Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực

Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đônườ Math 08-11 PH NG TRÌNH L NG GIÁC CÓ CÁCHƯƠ ƯỢ GI I KHÔNG M U M CẢ Ẫ Ự A.PH NG PHÁP GI IƯƠ Ả M t s bài toán v ph ng trình l ng giác mà cách gi i tuỳ theoộ ố ề ươ ượ ả đ c thù c a ph ng trình, ch không n m trong ph ng pháp đã nêu ặ ủ ươ ứ ằ ở ươ ở h u h t các sách giáo khoa.ầ ế M t s ph ng trình l ng giác th hi n tính không m u m c ộ ố ươ ượ ể ệ ẫ ự ở ngay d ng c a chúng, nh ng cũng có nh ng ph ng trình ta th y d ng r tạ ủ ư ữ ươ ấ ạ ấ bình th ng nh ng cách gi i l i không m u m c.ườ ư ả ạ ẫ ự Sau đây là nh ng ph ng trình l ng giác có cách gi i không m uữ ươ ượ ả ẫ m c th ng g p.ự ườ ặ I.PH NG PHÁP T NG BÌNH PH NGƯƠ Ổ ƯƠ Ph ng pháp này nh m bi n đ i ph ng trình l ng giác v d ngươ ằ ế ổ ươ ượ ề ạ m t v là t ng bình ph ng các s h ng (hay t ng các s h ng không âm)ộ ế ổ ươ ố ạ ổ ố ạ và v còn l i b ng không và áp d ng tính ch t:ế ạ ằ ụ ấ   = = ⇔=+ 0 0 022 B A BA Bài 1. Gi i ph ng trình:ả ươ 02sin4tan32sin4tan3 22 =+−−+ xxxx GI IẢ ( )Znm nx mx x x x x xx xxxx xxxx ∈    += += ⇔    = = ⇔   =− =− ⇔ =−+−⇔ =+−++−⇔ =+−−+ , 2 6 6 2 1sin 3 3tan 01sin2 01tan3 0)1sin2()1tan3( 01sin4sin41tan32tan3 02sin4tan32sin4tan3 22 22 22 pi pi pi pi Nguy n Văn Tu n Anhễ ấ 1 Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đônườ Math 08-11 ĐS pi pi kx 2 6 += )( Zk ∈ II.PH NG PHÁP Đ I L PƯƠ Ố Ậ Ph ng pháp này đ c xây d ng trên tính ch t: Đ gi i ph ng trìnhươ ượ ự ấ ể ả ươ )()( xgxf = , ta có th nghĩ đ n vi c ch ng minh t n t i A → R:ể ế ệ ứ ồ ạ ),(,)( baxAxf ∈∀≥ và ),(,)( baxAxg ∈∀≤ thì khi đó:   = = ⇔= Axg Axf xgxf )( )( )()( N u ta ch có ế ỉ Axf >)( và Axg <)( , ),( bax∈∀ thì k t lu n ph ngế ậ ươ trình vô ngi m.ệ Bài 2. Gi i ph ng trình:ả ươ 0cos 25 =+ xx GI IẢ xxxx 5225 cos0cos −=⇔=+ Vì 1cos1 ≤≤− x nên 1110 2 ≤≤−⇔≤≤ xx mà [ ] [ ] [ ]1,1,0cos1,1,0cos2,21,1 5 −∈∀⇒   − ⊂− xxxxpipi Do 02 >x và 0cos5 <− x nên ph ng trình vô nghi m.ươ ệ V y ph ng trình đã cho vô nghi m.ậ ươ ệ Bài 3. Gi i ph ng trình:ả ươ 1cossin 19961996 =+ xx (1) GI IẢ (1) xxxx 2219961996 cossincossin +=+⇔ )cos1(cos)1(sinsin 1994219942 xxxx −=−⇔ (2) Ta th y ấ xxx x x ∀≤−⇒  ≤ ≥ ,0)1(sinsin 1sin 0sin 19942 1994 2 Mà xxx x x ∀≥−⇒  ≥− ≥ ,0)cos1(cos 0cos1 0cos 19942 1994 2 Do đó (2) ),( 2 2 1cos 0cos 1sin 0sin 0)cos1(cos 0)1(sinsin 19942 19942 Znm nx nx mx mx x x x x xx xx ∈          = +=   += = ⇔      ±= =   ±= = ⇔  =− =− ⇔ pi pi pi pi pi pi Nguy n Văn Tu n Anhễ ấ 2 Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đônườ Math 08-11 V y nghi m c a ph ng trình là: ậ ệ ủ ươ )( 2 Zkkx ∈= pi ĐS )( 2 Zkkx ∈= pi Áp d ng ph ng pháp đ i l p, ta có th suy ra cách gi i nhanh chóngụ ươ ố ậ ể ả nh ng ph ng trình l ng giác các d ng đ c bi t d i đây:ữ ươ ượ ở ạ ặ ệ ướ •        −= −=   = = ⇔= 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin.sin bx ax bx ax bxax •        = −=   −= = ⇔−= 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin.sin bx ax bx ax bxax Cách gi i t ng t cho các ph ng trình thu c d ng:ả ươ ự ươ ộ ạ 1cos.sin 1cos.sin 1cos.cos 1cos.cos −= = −= = bxax bxax bxax bxax III. PH NG PHÁP ĐOÁN NH N NGHI M VÀ CH NGƯƠ Ậ Ệ Ứ MINH TÍNH DUY NH T C A NGHI MẤ Ủ Ệ Tuỳ theo d ng và đi u ki n c a ph ng trình, ta tính nh m m tạ ề ệ ủ ươ ẩ ộ nghi m c a ph ng trình, sau đó ch ng t nghi m này là duy nh t b ngệ ủ ươ ứ ỏ ệ ấ ằ m t trong nh ng cách thông s ng sau:ộ ữ ụ •Dùng tính ch t đ i sấ ạ ố •Áp d ng tính đ n đi u c a hàm sụ ơ ệ ủ ố Ph ng trình ươ 0)( =xf có 1 nghi m ệ ),( bax ∈= α và hàm f đ n đi uơ ệ trong ),( ba thì 0)( =xf có nghi m duy nh t là ệ ấ α=x . Ph ng trình ươ )()( xgxf = có 1 nghi m ệ ),( bax ∈= α , )(xf tăng (gi m)ả trong ),( ba , )(xg gi m (tăng) trong ả ),( ba thì ph ng trình ươ )()( xgxf = có nghi m ệ α=x là duy nh t.ấ Bài 4. Gi i ph ng trình:ả ươ 2 1cos 2xx −= v i ớ 0>x Nguy n Văn Tu n Anhễ ấ 3 Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đônườ Math 08-11 GI IẢ Ta th y ngay ph ng trình có 1 nghi m ấ ươ ệ 0=x . Đ t ặ 1 2 cos)( 2 −+= xxxf là bi u th c c a hàm s có đ o hàmể ứ ủ ố ạ 0,0sin)(' >∀>+−= xxxxf (vì xxx ∀> ,sin ) ⇒ Hàm f luôn đ n đi u tăng trong ơ ệ ( )+∞,0 ⇒ 0)( =xf có 1 nghi m duy nh t trong ệ ấ ( )+∞,0 V y ph ng trình đã cho có 1 nghi m duy nh t ậ ươ ệ ấ 0=x . B.CÁC BÀI TOÁN C B NƠ Ả Bài 1: Gi i ph ng trình:ả ươ 02sin2cos22 =+−− xxxx (1) GI IẢ Ta có (1) 01sin2sincoscos2 222 =+−++−⇔ xxxxxx   = = ⇔   =− =− ⇔ =−+−⇔ 1sin cos 01sin 0cos 0)1(sin)cos( 22 x xx x xx xxx Ph ng trình vô nghi m.ươ ệ Bài 2: Gi i ph ng trình:ả ươ 1cossin 154 =+ xx GI IẢ Ta có: 1cossin 154 =+ xx xxxx 22154 cossincossin +=+⇔ )cos1(cos)1(sinsin 13222 xxxx −=−⇔ (1) Vì xxx ∀≤− ,0)1(sinsin 22 Và xxx ∀≥− ,0)cos1(cos 132 Do đó (1)   =− =− ⇔ 0)cos1(cos 0)1(sinsin 132 22 xx xx Nguy n Văn Tu n Anhễ ấ 4 Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đônườ Math 08-11      = =   ±= = ⇔ 1cos 0cos 1sin 0sin x x x x ),( 2 2 2 Znm nx nx mx mx ∈          = +=   += = ⇔ pi pi pi pi pi pi ĐS pi pi kx += 2 hay pikx 2= , )( Zk ∈ C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ Đ THIỀ Bài 3: Gi i các ph ng trình: ả ươ 1. 4 1) 4 (cossin 44 =++ pixx (1) 2. ,...)4,3,2(sincos)cot 4 1(tan =+=+ nxxxx nnn GI IẢ 1. Ta có: (1) 4 1 4 ) 2 2cos(1 4 )2cos1( 2 2 =    ++ + − ⇔ pix x 1)2sin1()2cos1( 22 =−+−⇔ xx 2 2) 4 2cos( 12sin2cos =−⇔ =+⇔ pix xx )( 4 Zk kx kx ∈  += = ⇔ pi pi pi 2.V i đi u ki n ớ ề ệ 2 pikx ≠ ta có xtan và xcot luôn cùng d u nên:ấ 1cot 4 1tan1cot 4 1tan2cot 4 1tancot 4 1tan ≥+⇒=⋅≥+=+ n xxxxxxxx Nguy n Văn Tu n Anhễ ấ 5 Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đônườ Math 08-11 D u "=" x y ra ấ ả 2 1tan 4 1tancot 4 1tan 2 ±=⇔=⇔=⇔ xxxx •V i ớ 2=n : ph ng trình ươ 1cot 4 1tan 2 =   + xx có nghi m choệ b i:ở )( 2 1arctan 2 1tan Zkkxx ∈+±=⇔±= pi •V i ớ 2, >∈ nZn thì: 1sincossincos 22 =+≤+ xxxx nn D u b ng x y ra ấ ằ ả ),( 122 2 2 2 2 Zmk mnkhikxhaykx mnkhikx ∈     +=+== == ⇔ pi pi pi pi (đ u không tho mãn đi u ki n ề ả ề ệ 2 pikx ≠ c a ph ng trình)ủ ươ V y v i ậ ớ Znn ∈> ,2 thì ph ng trình vô nghi m.ươ ệ ĐS )( 2 1arctan Zkkx ∈+±= pi Bài 4: Gi i ph ng trình:ả ươ 11 3cos 13cos1 cos 1cos =−+− x x x x (1) GI IẢ Đi u ki n: ề ệ   > > 03cos 0cos x x Khi đó (1) 13cos3coscoscos 22 =−+−⇔ xxxx Vì 4 10) 2 1( 4 1 222 ≤−⇒≥−=+− aaaaa Do đó 4 1coscos 2 ≤− xx và 4 13cos3cos 2 ≤− xx 2 13cos3cos 2 1coscos 22 ≤−≤−⇒ xxvàxx D u b ng x y ra ấ ằ ả ∅∈⇔    = = ⇔    =− =− ⇔ x x x xx xx 2 13cos 2 1cos 4 13cos3cos 4 1coscos 2 2 V y ph ng trình (1) vô nghi m.ậ ươ ệ Nguy n Văn Tu n Anhễ ấ 6 Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đônườ Math 08-11 D.CÁC BÀI T P Đ NGHẬ Ề Ị Bài 1: Gi i ph ng trình:ả ươ xxx 433 sin2cossin −=+ H NG D NƯỚ Ẫ xx xxx xxx xxx ∀≥− ∀≤+⇒ ∀≤ ∀≤ ,1sin2 ,1cossin ,coscos ,sinsin 4 33 23 23 V y ph ng trình t ng đ ng: ậ ươ ươ ươ   =− =+ 1sin2 1cossin 4 33 x xx ĐS )(2 2 Zkkx ∈+= pipi Bài 2: Gi i ph ng trình: ả ươ 02tansin =−+ xxx v i ớ 2 0 pi≤≤ x H NG D NƯỚ Ẫ D th y ph ng trình có 1 nghi m ễ ấ ươ ệ 0=x Đ t ặ xxxxf 2tansin)( −+= liên t c trên ụ    2 ;0 pi Có đ o hàm: ạ    ∈∀≥−−−= 2 ;0,0 cos )1cos)(cos1(cos)(' 2 2 pix x xxxxf do 01coscos 2 511cos0 2 51 2 <−−⇒+<≤≤<− xxx f⇒ đ n đi u tăng trên ơ ệ    2 ;0 pi Bài 3: Gi i ph ng trình: ả ươ ( ) xxx 3sin52cos4cos 2 +=− ĐS )(2 2 Zkkx ∈+= pipi Bài 4: Gi i ph ng trình:ả ươ xxxx sincossincos 44 +=− ĐS )( Zkkx ∈= pi Bài 5: Gi i ph ng trình:ả ươ Nguy n Văn Tu n Anhễ ấ 7 Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đônườ Math 08-11 01sin22 =+− xyx ĐS    += = pi pi ky x 2 2 1 hay    += −= pi pi ky x 2 2 1 )( Zk ∈ Nguy n Văn Tu n Anhễ ấ 8 Tr ng THPT chuyên Lê Quý Đônườ Math 08-11 Nguy n Văn Tu n Anhễ ấ 9