Phương pháp xấp xỉ ngẫu nhiên giải một loại bài toán điều khiển chứa tích phân bội và ứng dụng - Trần Thị Ngân

Trần Thị Ngân và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 90(02): 93 - 99 93 PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGẪU NHIÊN GIẢI MỘT LOẠI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHỨA TÍCH PHÂN BỘI VÀ ỨNG DỤNG Trần Thị Ngân*, Trần Mạnh Tuấn Đại học CNTT & TT – ĐHTN TÓM TẮT Bài toán điều khiển đã đƣợc nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm giải quyết bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau. Trong đó có những bài toán điều khiển chứa các tích phân bội. Việc giải một bài toán chứa tích phân bội luôn có độ phức tạp tính toán cao khi giải bằng các thuật giải thông thƣờng (sử dụng các công cụ giải tích). Với việc áp dụng phƣơng pháp xấp xỉ ngẫu nhiên, các tích phân bội đƣợc giải với độ phức tạp nhỏ hơn nhiều. Từ khóa: Bài toán điều khiển, tích phân bội, độ phức tạp tính toán, giải tích toán học, lý thuyết độ tin cậy. MỞ ĐẦU* Cho vecto n n Raaa  )...,,( 1 có các thành phần hữu hạn và vecto n n Rbbb  )...,,( 1 với các thành phần nhận các giá trị có thể là vô hạn. Liên quan tới chúng là hình hộp mở [a,b), các thời điểm 1 0 , RTt  và lớp U các hàm hằng từng khúc trên ],[ 0 Tt , xác định lần lƣợt dƣới dạng:     1 0 1 1 1 0, : ,..., : [ , ) : , , 1 : min , : max , 1 ( ) 1 ; : , 0 (.) (., ) : 1 (.) :[ , ] : , {0,1}| 1 . i i n n i i i i i Y i n i n n i i i i i a i i i i x x x R a a b x b i n t a T b y khi y Y khi y Y u u t T a b i n                                                    (1.1) Xét bài toán điều khiển tất định Lagrange với hàm điều khiển )...,,( 1 nuuu   U đƣợc tham số hóa theo các tham số ),(),( 0 ban   , ),(),...,( 1 1110 ii n in ba     và với thời gian điều khiển ),( 0 Tt có thể là vô hạn sau: * Tel: 0989.040.454; Email: ttngan@ictu.edu.vn   2 2 1 1 1 ( ) : ( ) ( ) 1 inf, ( ,..., ) L i i i n n n n J u z z T z T z u Q u u                   (1.2) iiiii ztzTtttutptz  )(;),().()( 00 đã cho 11  ni (1.3) 1 1 0 0 ( ) ( ,..., ; ). ( ), ; ( ) n n n nn z t Q u u t u t t t T z t z      đã cho. (1.3*) Trong đó: 1 1 0 0 11 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ( ) : ... ( ,..., ,..., ) , [ , ], 1 ; ( ,..., ; ) : ... ( ) ( ; ) ... ( ) : ( ; ) ( ,..., ) : ( ,..., ; ) n n n n n vv i i i n j j ia a i T T n n n j j j j jt t n j n ja a b n n n n a p x p x x x dx x t T i n Q u u x p x u x dx p x dx q x Q u u Q u u x dx                             11 1 1 0 1 0... ( ) ... ( ; ) : ( ) n n n n n n n b b n n n n a a a a p x dx dx q x dx q              (1.4) Với các giả thiết sau đƣợc thỏa mãn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trần Thị Ngân và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 90(02): 93 - 99 94 (A)- Hàm đã cho 1: RRp n  là dƣơng, liên tục và khả tích (theo nghĩa Lebesgue) trên [a,b):   ( , ) ( , ) ( ) 0, ( , ); , ; ( ) L a b a b p x x a b p C a b p x dx p        (1.5) (B)- Các tham số ),...,(: 1 n  thỏa mãn: ( , ) 0 : , 1 1, 0 1 i L a b n p p i n            (1.6) Khi dùng phƣơng pháp trực tiếp để giải bài toán điều khiển (1.2) – (1.4), ta có thể chuyển nó về bài toán quy hoạch:   2 1 ( ) : ( ) inf, ( , ); ( ) ( ), 1 n i i i i i i J f a b f f i n                (1.7) 1 11 1 1 1 ( ) : ... ... ( ) , ( , ), 1 i i i n i i i n b b bb i i a a a a a i i i f p x dx a b i n                  (1.8) 11 1 1 0 1 0 1 0 ( ; ) ( ) : ( ) 1 ... ( ) , ( , ) ( ) n n n n n n b n n n b a a q x dx f q p x dx a b q                   (1.9) Việc giải số bài toán quy hoạch (1.7) theo các phƣơng pháp tất định gặp khó khăn ở chỗ cần phải tính (n -1) tích phân bội )( iif  trong (1.8) và các tích phân bội trong (1.9), )( 01 q trong (1.4) thì mới xác định đƣợc một giá trị cho hàm mục tiêu )(J . Mở rộng các kết quả đã có và sử dụng kết quả của công trình [7], bài toán điều khiển (1.2)- (1.4) đƣợc giải trong dạng tổng quát. Với ý nghĩa đó, phƣơng pháp Monte Carlo, tạo ƣớc lƣợng không chệch của các tích phân bội sẽ đƣợc sử dụng (trong mục II.2) để thiết lập các phƣơng trình hồi quy tƣơng ứng với bài toán quy hoạch (1.7)-(1.9). Trên cơ sở này, phƣơng pháp Robins Monro (Robins Monro’s Procedure - RMP) đƣợc xây dựng để giải số bài toán ban đầu. Những ứng dụng vào lý thuyết độ tin cậy sẽ đƣợc trình bày trong mục II.3. II.2. XÂY DỰNG MÔ HÌNH XẤP XỈ NGẪU NHIÊN Nhằm chuyển bài toán điều khiển (1.2)-( 1.4) về bài toán quy hoạch (1.7)-(1.9), ta xét kết quả sau: Bổ đề 2.1: Nếu các điều kiện (A), (B) được thỏa mãn thì: 1-Bài toán quy hoạch (1.7) có lời giải duy nhất: * * * * * 1 0 * * * 0 1 1 : ( ,..., ) ( , ) ( , ); : ( ,..., ) n n na b                (2.1) Cho bởi nghiệm duy nhất: niba iii ,...,1),,(*  của n phương trình phi tuyến: nniii fnif   )(,11,)( (2.2) 2- Hệ động lực (1.3)-( 1.3*) là điều khiển được bởi lớp hàm U và lớp hàm này cũng là tập hợp các điều khiển chấp nhận được của bài toán điều khiển (1.2)-( 1.3*). 3- Bài toán điều khiển (1.2)-( 1.3*) có điều khiển tối ưu duy nhất  *)(.,** uu U xác định từ lời giải (2.1) của bài toán quy hoạch (1.7) theo công thức:  * * * * * * * * 1 ( , ) (.; ) : ( ,..., ), ( ) : ( ; ) : 1 ( ), 0, , 1 . i i n i i i a u u u u t u t t t T i n          (2.3) Bổ đề trên đây đƣa việc giải bài toán điều khiển (1.2)-(1.3*) về việc tìm nghiệm ),(* ba của hệ phƣơng trình phi tuyến (2.2). Nhằm thiết lập lƣợc đồ tính toán theo RMP thực hiện điều này, ta đƣa vào hàm vecto: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trần Thị Ngân và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 90(02): 93 - 99 95       1 1 1 : ( ),..., ( ) ( , ), : ,..., n n n n g u g u g u a b u u u R      (2.4) có các thành phần thỏa mãn điều kiện (C) dƣới đây: (C)- Với mỗi i = 1, , n, hàm ),(: 1 iii baRg  là một song ánh khả vi, liên tục trên R1, trong đó )(,0)( 1Rttgi  . Gắn với các hàm niug ii ,...,1),(  nói trên, ta ký hiệu:                                         ,,...,: ,,),,...,(...:; ,1,,),...,,...,(...:)( ,),...,(,)()(),...,(:)( 1 110 1 1 1 110 1 1 1 1 11 11 n n n n j jnnn ij ijniii n n n i iinn R Ruduuuupuq niRuduuuupup Ruuuugugugpup n     (2.5) 1 0 0 1 0 ( ) ( ) : ( ) , , 1 1, ( ; ) ( ) , ( ; ) , ( , ) . i n i i i i i n n n n n n n n f f p t dt R i n q u du f q u du R R                                         (2.5*) và lần lƣợt chứng minh đƣợc các kết quả sau: Bổ đề 2.2: Nếu các điều kiện (A), (B), (C) được thỏa mãn thì: 1-Với mỗi I = 1,..., n luôn tồn tại hàm ngược liên tục ),(,)( 11 iiiiii baxRxgu   của hàm 1),,()( Rubaugx iiiiii  và ta có: 1 1 1 ( ) ( ), 1 1, ( ) ( ) ( ,..., ), : ( ) , ( , ), 1 i i i i n n n i i i i i f f i n f f g R a b i n                        (2.6) 10 ( ) , , 1 1; 0 ( ) 1, i i i n n f p R i n f R                (2.6*) Trong đó, 1,...,1),,0(:(.) 1  nipRf i và 1 0 1 0 ),1,0(:,.)(  nn RRf  là các hàm liên tục, thực sự tăng với i = 1,, n-1 và thực sự giảm với i = n. 2-Hệ n phương trình phi tuyến: nniii fnif   )(,11,)( (2.7) luôn có nghiệm duy nhất: n n R ),...,(: ** 1 *  và lời giải * trong (2.1) của bài toán (1.7) được xác định từ nghiệm này theo công thức:  * * *1 1 * * * 1 ( ),..., ( ) ( , ), : ( ,..., ) n n n n g g a b R           (2.8) 3-Khi chuẩn hóa hàm nRuup ),( trong (2.5), ta thu được hàm mật độ:     ( ) : , ; ( ) 1, 0, n n R n p u u u R u du p u u R            (2.9) Từ kết luận 3 của bổ đề trên, ta có thể thiết lập vecto ngẫu nhiên n n R ),...,(: 1  có hàm mật độ (đồng thời) là nRuu ),( và lập quá trình ngẫu nhiên  nR ),( , dƣới dạng:                      1 1 1 1 1 1 1 : ,..., , , : ( ,..., ) 1 , : , 0 1 , , : , 1 , . n n n n n n i i i i i i i i n n n j j n n n i R R khi khi i n                                                       (2.10) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trần Thị Ngân và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 90(02): 93 - 99 96 Gọi nn RRF : là hàm vecto xác định dƣới dạng:                    1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 : ,..., , , : ( , ) , : , 1 1, ; : ; , : ( ,..., ). n n n n n n n i i i i n n n n n n n F F F F R R F p f i n q u F du p q u du p                                      (2.11) Khi đó ta thu đƣợc các kết quả sau: Bổ đề 2.3: Nếu các điều kiện (A)-(C) được thỏa mãn thì ta có:      ,, nRFE   (2.12)      n R RconstFE n   , 22 2.13) Đồng thời, hệ phương trình (2.6) tương đương với hệ phương trình hồi quy sau đây:    nn RpE    )0,,...,(:; 11 1  (2.14) Đối với hàm n n Ruuuup  ),...,(,0)( 1 xác định trong (2.7) và tham số n nêu trong giả thiết (B), ta còn bổ sung thêm giả thiết (D) dƣới đây: (D)-Tham số 2 1 n và hàm ),0(:,.)( 10 Rup , phụ thuộc tham biến 1 110 ),...,(    n n Ruuu là đối xứng qua trục mun  : ,),(),,(),( 000 n nnn Ruuuumupumup  sao cho: (2.15)   * * * 1 * 0 0 ( ) . , : i i n i i i i i n n i n p u du p R                   (2.15*) Bổ đề 2.4: Nếu các điều kiện (A) – (D) được thỏa mãn thì với mọi )1,0( , ta có:      ,,0,: **   FG (2.16)          * * inf , 0, : : 1/n F R                       (2.17) Trong đó: ),...,( **1 * n  là nghiệm duy nhất của hệ (2.9). Chú ý 2.1: Ta nhận thấy rằng: có thể thu hẹp miền áp dụng  *\ nR của điều kiện (2.14*) thành miền )( . Nghĩa là ta có thể thay điều kiện nói trên trong giả thiết (D) bởi điều kiện sau:     * * 1 * ( ) . , i i n i i i i i i n n p u du p                 (2.18) Khi đó, có thể đưa ra một dấu hiệu đủ của điều kiện này, dưới dạng:   *131 * : min ( ) , ( ) 1 : : i i i n n p p B R                           (2.18*) Bây giờ ta sử dụng phƣơng pháp RMP để xây dụng dãy nghiệm xấp xỉ ngẫu nhiên   1mm của hệ phƣơng trình hồi quy (2.14) theo mô hình lặp sau:       1 1 1 ,..., , 1; , , , 1 . m m m m n n m m m n m m m m m i i i m i i m p i n                                   (2.19) trong đó: vecto ngẫu nhiên nR)1( là tùy ý,   1mm  là dãy số thỏa mãn điều kiện: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trần Thị Ngân và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 90(02): 93 - 99 97       1 2 1 ,;1,0 m m m mm m  (2.20) ),(),,( mmmi m ii   xác định theo (2.10) và    11 ,...,   m m n mm  là dãy những thể hiện độc lập của vecto ngẫu nhiên  n ,...,1 đƣợc tạo bằng phƣơng pháp Monte Carlo từ hàm mật độ  u cho dƣới dạng (2.9), (2.5). Khi đó ta có: Định lý 2.1: Với các điều kiện (A)-(D), ta đặt:       1 1 ( , ) 0 : ,..., ( , ), : ( ), 1 , 1 : ,..., ; ( ) : 1 ( ), , , 1 . m i i m m m m m n i i i m m m m n i a a b g i n m u u u u t t t t T i n                   (2.21) Trong đó   1mm là dãy nghiệm xấp xỉ ngẫu nhiên của hệ (2.14) lập theo RMP (2.19). Khi đó: 1-Dãy   1mm sẽ hội tụ hầu chắc chắn (hcc) về lời giải ),( * ba của bài toán quy hoạch (1.7): .1}lim{ *    m m P (2.22) 2- Dãy   1mmu sẽ hội tụ theo mục tiêu (theo nghĩa hầu chắc chắn) về điều khiển tối ưu u* U của bài toán điều khiển (1.2)- (1.3*):   .1)()(lim *   uJuJP L m L m (2.23) Chứng minh: Khi xét các thành phần của vecto hàm F() trong (2.11) ta nhận thấy rằng: do tính dƣơng của các hàm      nii uqupup ;,, 0 trong (2.5) nên từ (2.5), (2.5*) và (2.9) ta có:       0 ( ) 1, 1 . i n i i i i i R f f t F dt p p u du i n              (2.24) Tƣơng tự, do 0 <  < 1 nên ta còn có:       0 0 ; ( ) ; 2 2 n n n n n n n R q u du F p q u du u du p                Kết hợp điều này với (2.24) ta thu đƣợc:         21 2 2 1 3 , n i i n i n F F F F n const R                 (2.25) Ta biết rằng: từ các điều kiện (2.25), (2.20), (2.17), (2.13), (2.12) có thể suy ra sự hội tụ hcc của dãy nghiệm xấp xỉ ngẫu nhiên   1mm về nghiệm của hệ phƣơng trình hồi quy (2.14): * * { lim } 1 { lim } 1, 1 . m m m i i m P P i n               (2.26) trong đó, do hệ phƣơng trình hồi quy này tƣơng đƣơng với hệ (2.9) (theo bổ đề 2.3) nên nghiệm * nói trên cũng là nghiệm duy nhất của (2.7). Bởi vậy, từ (2.14), (2.21), và tính liên tục của các hàm gi (theo giả thiết (C)) ta có:     * * * { lim } { lim } { lim }, 1 . m m i i i i m m m i i i i m P P g g P i n                  Khi đó, từ (2.26) ta thu đƣợc: * * { lim }, 1 { lim } 1, m i i m m m P i n P              trong đó, (xem Bổ đề 2.2), ),( * ba là điều khiển tối ƣu dạng (2.1) của bài toán (1.2)-(1.4). Nghĩa là (2.22) đƣợc chứng minh. Cuối cùng, từ tính liên tục của các hàm   nif i 1, trong (1.8), (1.9) ta suy ra tính liên tục của hàm  J trong (2.5). Khi đó, ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trần Thị Ngân và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 90(02): 93 - 99 98         * * * 1 { lim } { lim } { lim } m m m m m L L m P P J J P J u J u              Nghĩa là (2.23) đƣợc chứng minh. Chú ý 2.2: Do lời giải ),( * ba của bài toán quy hoạch (1.7) cũng là nghiệm duy nhất của hệ phƣơng trình (2.2) (theo Bổ đề 2.1) nên ta cũng có thể sử dụng các công thức (2.19), (2.21) để lập dãy   1mm các nghiệm xấp xỉ của hệ (2.2) với sự hội tụ theo nghĩa của công thức (2.22). II.3. Ứng dụng vào lý thuyết độ tin cậy Giả sử  n ii n SS 1 )( :   là một hệ thống mà mỗi bộ phận niSi 1, gắn với biến chỉ thị trạng thái hoạt động [10], có dạng:          * * * 0 1 : ii ii iii khi khi XX    (3.1) Trong đó: 1 là ký hiệu hệ thống hoạt động, 0 là ký hiệu hệ thống bị tê liệt. trong đó, i là tuổi thọ của bộ phận (cá thể [4]) iS và * i là mức tối thiểu của tuổi thọ, để cho bộ phận này còn hoạt động đƣợc. Ta xem rằng hệ  n ii n SS 1 )( :   thu đƣợc từ sự bổ sung bộ phận nS vào hệ   1 1 )1( :     n ii n SS , trong đó, gọi 11, )(  nii là độ tin cậy hoạt động của mỗi bộ phận iS trong hệ )1( nS , theo nghĩa:  * ( ) : 1 , 0 1, 1 1. i i i i i P i n               (3.2) Gọi nnkXX k k ,1),,...,( 1 )(  là biến chỉ thị trạng thái hoạt động của hệ )(kS : (3.3) và xem rằng cả 2 hệ nnkS k ,1,)(  đều hoạt động theo cấu trúc song song, nghĩa là (xem [6]) các hàm cấu trúc của chúng có dạng:   .,1,max),...,( 1 1 )( nnkXXX i ki k k   (3.4) Bài toán ngƣợc của đánh giá độ tin cậy (ĐGĐTC) một hệ thống đƣợc đặt ra (xem [1]) là để xác định các mức tối thiểu nii 1, *  của tuổi thọ các bộ phận trong hệ )(nS , với giả thiết rằng đã cho các độ tin cậy hoạt động i i  1)( của mỗi bộ phận 11,  niSi trong hệ )1( nS ban đầu và cho xác suất n , để bộ phận hỗ trợ (bổ sung) nS sẽ làm cho hệ mới )(nS hoạt động khi hệ cũ )1( nS bị tê liệt:  ( ) ( 1)1 1 1( ,..., ) 1| ( ,..., ) 0 1 , 1. 2 n n n n n n P X X X X           (3.5) Trong việc giải bài toán trên đây, ta giả thiết (xem [2]) rằng: tuổi thọ của mỗi bộ phận iS là một đại lƣợng ngẫu nhiên (đlnn)   nii  1,,0 và xem rằng đã cho hàm mật độ (đồng thời) nixxxp in  1,0,0),...,( 1 của vecto ngẫu nhiên ).,...,( 1 n  Để có thể sử dụng mô hình tính toán trong Mục 2.2 vào việc giải bài toán ngƣợc của ĐGĐTC nói trên, trƣớc hết ta lƣu ý rằng: trong trƣờng hợp này, hiển nhiên là điều kiện (A) đƣợc thỏa mãn với:   0, , 1 ; ( , ) : 0, ; ( ) 1 n i i nn R a b i n a b R p p x dx              (3.6) Do 1p nên từ (3.2) và (3.5) ta thu đƣợc điều kiện (B). Ngoài ra, các hàm: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trần Thị Ngân và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 90(02): 93 - 99 99 1 0 0 0 ( ,..., ,..., ) ( ) : ... , ( ) ( ) i i n i i j i i i i i j i p x x x p x dx f p x dx           (3.7) lần lƣợt là hàm mật độ và hàm phân bố của đlnn nii 1, . Khi đó, từ (3.2) ta có:     11,*  niPf iiiii  (3.8) Chú ý 3.1: Khi )(xp là hàm mật độ của vecto ngẫu nhiên  , hàm  f trong (1.9) có dạng:        1 , 1 1, , , 1 1 : ,..., i i n n n i i n n P i n f P i n R                         (3.9)     nnnn Rf  **1** ,...,:,  (3.10) Chú ý 3.2: Dựa trên (3.8) và (3.10) ta nhận thấy (xem Bổ đề 2.1) rằng: lời giải ),...,( ** 1 * n  trong bài toán ngược của ĐGĐTC chính là nghiệm duy nhất của hệ phương trình (2.2). Bởi vậy, có thể sử dụng mô hình tính toán nêu trong Chú ý 2.2 để thiết lập dãy   1mm những lời giải xấp xỉ cho lời giải * nói trên. KẾT LUẬN Khi giải các bài toán điều khiển, việc chứa các tích phân bội luôn gặp khó khăn. Các phƣơng pháp trực tiếp đƣợc sử dụng nhƣng có độ phức tạp cao. Với phƣơng pháp xấp xỉ ngẫu nhiên, các bài toán chứa tích phân bội đƣợc giải quyết với độ phức tạp nhỏ hơn. Ứng dụng cụ thể trong bài toán đánh giá độ tin cậy, lời giải của bài toán tìm đƣợc bằng quá trình thiết lập dãy các lời giải xấp xỉ. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Văn Hộ, Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Quý Hỷ, Về một bài toán ngược của đánh giá độ tin cậy một hệ thống trong nghiên cứu tương quan dòng chảy giữa sông Đà – Đồng Nai, Kỷ yếu Hội nghị Ứng dụng Toán học Toàn quốc lần thứ I, T.2, NXB ĐHQGHN, 2000 (Tr.191-206) [2]. Nguyen Quy Hy, Nguyen Dinh Hoa, The population and it renewal function, Viet. J. Math., Vol.24, N3, 1996, (Tr.198-224). [3]. Nguyen Quy Hy, Nguyen Van Huu, Nguyen Van Ho, Tong Dinh Quy, Mai Van Duoc, The Monte Carlo method in theory of reliability and its application to hydroelectric system, Proc. ISTAEM HongKong 2001 (85-88). [4]. Nguyễn Quý Hỷ, Phương pháp mô phỏng số Monte Carlo, NXB ĐHQGHN, 2004. [5]. Révész P., A note on the Robbins-Monro method, Stuchia Sci. Math. Hung., N 7, 1972 (355-362). [6]. Barlow R. E., Proschan F., Statistical Theory of Reliability and Life Testing, New York 1975. ABSTRACT THE STOCHASTIC APPOROXIMATION METHOD FOR SOLVING A KIND OF CONTROL PROBLEM INCLUDING MULTIPLE INTEGRALS AND APPLICATION Tran Thi Ngan*, Tran Manh Tuan College of Information Technology and Comunication – TNU Control problems have been solved by many authors in different methods. There are some problems that contain multiple integrals. These problems always get high computing complexity when using normal algorithms (mathematical analysis tools). By applying stochastic apporoximation method, multiple integrals are solved with much less computing complexity. Key words: Control problems, Multiple integrals, Complexity, Mathematical analysis, reliability theory. * Tel: 0989.040.454; Email: ttngan@ictu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên