Phương pháp phần tử hữu hạn

Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Nguyễn Xuân Thành tkris1004@nuce.edu.vn Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp Trường Đại học Xây dựng Ngày 16 tháng 4 năm 2015 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu BÀI GIẢNG 4 (hệ thanh - phần 2/3 ma trận độ cứng một số phần tử khác, ma trận khối lượng, mô hình hóa toàn hệ kết cấu) Nguyễn Xuân Thành tkris1004@nuce.edu.vn Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp Trường Đại học Xây dựng Ngày 16 tháng 4 năm 2015 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu NỘI DUNG CHÍNH 1 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Phần tử thanh dàn phẳng Thanh lăng trụ chịu xoắn Phần tử thanh không gian 2 Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Phương trình Lagrange Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử 3 Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Ghép nối và khử trùng lặp Đưa vào điều kiện biên của hệ Một quy trình ghép nối nhanh hơn Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu NỘI DUNG CHÍNH 1 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Phần tử thanh dàn phẳng Thanh lăng trụ chịu xoắn Phần tử thanh không gian 2 Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Phương trình Lagrange Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử 3 Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Ghép nối và khử trùng lặp Đưa vào điều kiện biên của hệ Một quy trình ghép nối nhanh hơn Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh dàn phẳng x L q4q1 E,A q5q2 i j y Véc-tơ chuyển vị tại nút: q = [ q1 q2 q4 q5 ]T Trường chuyển vị: u = [ ux(x) uy(x) ] = [ a1 + a2x a3 + a4x ] Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh dàn phẳng Ma trận các hàm dạng: N = (1− xL) 0 xL 0 0 ( 1− x L ) 0 x L  Biến dạng pháp tuyến tại thớ cách trục trung hòa 1 khoảng bằng y: εx = dux dx − y d 2uy dx2 Ma trận liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút: B = [ d dx −y d 2 dx2 ] N = [ −1 L 0 1 L 0 ] Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh dàn phẳng Ma trận liên hệ giữa ứng suất và biến dạng: E = E Ma trận độ cứng phần tử: K = ∫ Ω BTEBdΩ = L∫ 0 ∫ A dA BTEBdx Triển khai cụ thể: K =  EA L 0 −EA L 0 0 0 0 0 −EA L 0 EA L 0 0 0 0 0  Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Thanh lăng trụ chịu xoắn x L q8q7 G, Jρi j Véc-tơ chuyển vị tại nút: q = [ q7 q8 ]T Trường chuyển vị: u = θx = a1 + a2x Ma trận các hàm dạng: N = [( 1− x L ) x L ] Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Thanh lăng trụ chịu xoắn Ma trận liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút: B = r dN dx = [ − r L r L ] Ma trận liên hệ giữa ứng suất và biến dạng: E = G (nhắc lại: τ = Gγ) Ma trận độ cứng phần tử: K = L∫ 0 ∫ A r2 dA  − 1 L 1 L G [−1 L 1 L ] dx =  GJρ L −GJρ L −GJρ L GJρ L  Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh không gian x L q7 q10q1q4 E,A, Iy, Iz, Jρ q8 q11 q9 q12 q2 q5 q3 q6 z y i j Véc-tơ chuyển vị nút phần tử: q = [ q1 q2 · · · q12 ]T Cách thiết lập ma trận độ cứng phần tử: giống như trước ... Nhưng từ các phần tử thanh phẳng đã học, dễ suy luận để có ... Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh không gian K =  a 0 0 0 0 0 −a 0 0 0 0 0 b 0 0 0 c 0 −b 0 0 0 c d 0 −e 0 0 0 −d 0 −e 0 f 0 0 0 0 0 −f 0 0 g 0 0 0 e 0 g/2 0 h 0 −c 0 0 0 h/2 a 0 0 0 0 0 b 0 0 0 −c d 0 e 0 đ.x. f 0 0 g 0 h  Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh không gian Các ký hiệu từ a đến i [chỉ] trong công thức trên như sau: a = EA L ; b = 12EIz L3 c = 6EIz L2 ; d = 12EIy L3 e = 6EIy L2 ; f = GJρ L g = 4EIy L ; h = 4EIz L Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu NỘI DUNG CHÍNH 1 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Phần tử thanh dàn phẳng Thanh lăng trụ chịu xoắn Phần tử thanh không gian 2 Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Phương trình Lagrange Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử 3 Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Ghép nối và khử trùng lặp Đưa vào điều kiện biên của hệ Một quy trình ghép nối nhanh hơn Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học x L q4q1 E,A, I, ρ q5 q6 q2 q3 y i j Gọi T là động năng của hệ và định nghĩa Lagrangian của hệ L như sau L = T −Πp trong đó Πp là thế năng tổng cộng của hệ Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Trong mọi cách chuyển động mà thỏa mãn các điều kiện biên động học của hệ tại mọi thời điểm, và bắt đầu cũng như kết thúc với các giá trị chuyển vị thực tại hai thời điểm t1 và t2 bất kỳ, tại mọi điểm của hệ, thì chuyển động thực của hệ từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 của hệ là chuyển động mà làm cho phiếm hàm I đạt cực trị:I = t2∫ t1 Ldt → cực trị tức: δI = δ t2∫ t1 Ldt = t2∫ t1 δLdt = 0 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình Lagrange Gọi Ri là các lực khái quát ứng với các tọa độ khái quát qi Động năng T của hệ phụ thuộc vào trạng thái chuyển vị của hệ (thể hiện thông qua các tọa độ khái quát qi) và trạng thái vận tốc của hệ (thể hiện thông qua đạo hàm theo thời gian q˙i của các tọa độ khái quát): T = T (q1, q2, . . . , qN , q˙1, q˙2, . . . , q˙N , t) Thế năng biến dạng U của hệ phụ thuộc vào trạng thái chuyển vị của hệ: U = U(q1, q2, . . . , qN , t) Thế năng của các lực khái quát: V = − (R1q1 +R2q2 + · · · +RNqN) Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình Lagrange Từ các phương trình trên và biểu thức của Nguyên lý biến phân Hamilton, giao hoán thứ tự phép tích phân và phép lấy biến phân, ta có: t2∫ t1 ( ∂T ∂q1 δq1 + ∂T ∂q2 δq2 + · · · + ∂T ∂qN δqN + ∂T ∂q˙1 δq˙1 + ∂T ∂q˙2 δq˙2 + · · · + ∂T ∂q˙N δq˙N − ∂U ∂q1 δq1 − ∂U ∂q2 δq2 − · · · − ∂U ∂qN δqN + R1δq1 + R2δq2 + · · · + RNδqN ) dt = 0 Tích phân từng phần của số hạng sau t2∫ t1 ∂T ∂q˙i δq˙i dt = [ ∂T ∂q˙i δqi ]t2 t1 − t2∫ t1 d dt ( ∂T ∂q˙i ) δqi dt Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình Lagrange Số hạng đầu tiên của biểu thức tích phân từng phần có giá trị bằng 0 vì δqi(t1) = δqi(t2) = 0 là điều kiện cơ bản ngay khi phát biểu nguyên lý biến phân Hamilton. Do đó: t2∫ t1 ( N ∑ i=1 [ − d dt ( ∂T ∂q˙i ) + ∂T ∂qi − ∂U ∂qi + Ri ] δqi ) dt = 0 Do biểu thức này phải đúng với mọi δqi và mọi t1 ≤ t2, nên: d dt ( ∂T ∂q˙i ) − ∂T ∂qi + ∂U ∂qi = Ri Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử Động năng của phần tử: T = 1 2 ∫ Ω u˙Tu˙ρdΩ trong đó: ρ là khối lượng riêng trên một đơn vị thể tích của vật liệu; u˙ là véc-tơ vận tốc Từ biểu thức u = Nq, rút ra: u˙ = Nq˙ Thay vào biểu thức động năng, ta có: T = 1 2 q˙T ∫ Ω ρNTNdΩ  ︸ ︷︷ ︸ M q˙ Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử Ma trậnM được gọi là ma trận khối lượng. Kết hợp với biểu thức của thế năng biến dạng U = ( qTKq ) /2, từ các phương trình Lagrange ta có Phương trình chuyển động không cản của phần tử: Mq¨ +Kq = R trong đóM là ma trận khối lượng của phần tử. Nhận xét: Khi hệ chuyển động với gia tốc nhỏ, số hạngMq¨ không đáng kể, có thể bỏ qua, ta lại có phương trình quen thuộc trong bài toán tĩnh Kq = R Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu NỘI DUNG CHÍNH 1 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Phần tử thanh dàn phẳng Thanh lăng trụ chịu xoắn Phần tử thanh không gian 2 Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Phương trình Lagrange Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử 3 Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Ghép nối và khử trùng lặp Đưa vào điều kiện biên của hệ Một quy trình ghép nối nhanh hơn Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Ứng với mỗi phần tử n, trong hệ tọa độ riêng xyz của phần tử, chúng ta có phương trình: (1)Knqn = Rn trong đó: qn là véc-tơ chuyển vị nút của phần tử n; Rn là véc-tơ lực nút tương đương của phần tử n; Kn là ma trận độ cứng phần tử của phần tử n. Tổng quát, trong một hệ kết cấu, các phần tử có định vị khác nhau. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Dù đã xác định được phương trình cân bằng Knqn = Rn trong hệ tọa độ riêng của từng phần tử ... 1 4 7 8 9 6 32 5 y x y x y x y′ x′ nhưng ... muốn ghép nối các phần tử vào hệ kết cấu, phải đưa các đại lượng về cùng hệ quy chiếu x′y′z′. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Ma trận cô-sin chỉ phương l được xác định từ hai hệ véc-tơ cơ sở ei (của hệ tọa độ phần tử xyz) và e′j (của hệ tọa độ chung x′y′z′), với các thành phần như sau lij = ei · e′j Triển khai cụ thể với bài toán trong mặt phẳng xOy và x′Oy′, ta đã có: l =  cosα sinα 0− sinα cosα 0 0 0 1  trong đó α là góc dương tính ngược chiều kim đồng hồ từ chiều dương trục Ox′ đến chiều dương trục Ox. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Các chuyển vị tại hai điểm nút ở hai đầu phần tử khi biểu diễn trong hệ tọa độ phần tử xOy: là véc-tơ q khi biểu diễn trong hệ tọa độ chung x′Oy′ là véc-tơ q′. Để cho gọn, ta lược bỏ không viết chỉ số n. x y n q1 q2 q3 q6 q4q5 • i • j x′ y′ n q′1 q′2 q′3 q′6 q′4 q′5 α i j Phép chuyển hệ tọa độ Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Khi đó: q = Tq′ trong đó T là ma trận được ghép chéo khối từ ma trận l: T = [ l 0 0 l ] =  cosα sinα 0 0 0 0 − sinα cosα 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cosα sinα 0 0 0 0 − sinα cosα 0 0 0 0 0 0 1  Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Do véc-tơ lực nút tương đương R được biểu diễn tương ứng các thành phần theo các thành phần của q, nên cũng có: R = TR′ x y n R1 R2 R3 R6 R4R5 • i • j x′ y′ n R′1 R′2 R′3 R′6 R′4 R′5 i j α Phép chuyển hệ tọa độ Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Thay các quan hệ trên vào phương trình cân bằng phần tử Kq = R của phần tử n, ta có: KTq′ = TR′ Cũng giống như ma trận l, ma trận T cũng trực giao∗, tức: T−1 = TT Từ đó, phương trình cân bằng phần tử được viết như sau: TTKT︸ ︷︷ ︸ K′ q′ = R′ hay K′q′ = R′ Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Ghép nối và khử trùng lặp Gọi: Kg =  K′1 0 · · · 0 0 K′2 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · K′m  , qg =  q′1 q′2 ... q′m  , Rg =  R′1 R′2 ... R′m  Từ các phương trình cân bằng cho từng phần tử viết trong hệ tọa độ chung K′q′ = R′, ta có: Kgqg = Rg Việc xây dựng phương trình Kgqg = Rg này vẫn chỉ đơn thuần là xem xét các phần tử làm việc một cách riêng rẽ trong hệ tọa độ chung, chứ chưa khử được trùng lặp trong các bậc tự do. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Ghép nối và khử trùng lặp Chú ý là, trên hệ kết cấu cần phân tích đã được cho, thì các bậc tự do tại bất kỳ một nút chung nào cũng chỉ được tính một lần. Thế nhưng, sau khi chuyển về cùng hệ tọa độ chung→ thấy rằng các bậc tự do tại nút chung trong hệ tọa độ tổng thể xuất hiện nhiều lần với nhiều tên gọi khác nhau Đây là hiện tượng trùng lặp, cần phải khử trong quá trình ghép nối. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Ghép nối và khử trùng lặp Gọi H là ma trận liên hệ giữa véc-tơ toàn bộ các chuyển vị nút gộp từ mọi phần tử của hệ, qg, và véc-tơ chuyển vị nút của hệ sau khi khử trùng lặp (mỗi bậc tự do chỉ được tính một lần) q. Tức: qg = Hq Ma trận H được gọi là ma trận topo nhận dạng. Trong ví dụ cuối bài giảng: H =  I3×3 03×3 03×3 03×3 I3×3 03×3 03×3 I3×3 03×3 03×3 03×3 I3×3  12×9 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Ghép nối và khử trùng lặp Gọi R là véc-tơ lực nút tương đương của toàn hệ kết cấu, tương ứng với véc-tơ chuyển vị nút sau khi khử trùng lặp q. Điều kiện tương đương về công khả dĩ trong hai trường hợp trước và sau khi khử trùng lặp cho ta: δW = δqTgRg = δq THTRg (trước) δW = δqTR (sau) So sánh hai biểu thức trên, rút ra: R = HTRg Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Ghép nối và khử trùng lặp Thay vào phương trình cân bằng trước khi khử trùng lặp: KgHq = Rg HTKgHq = HTRg Hay: Kq = R với K = HTKgH Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Ghép nối và khử trùng lặp x′ y′ 1 q′1 q′2 q′3 q′6 q′4 q′5 Đ C x′ y′ 2 q′7 q′8 q′9 q′12 q′10 q′11 −α Đ C x′ y′ 1 q′1 q′2 q′3 q ′ 6 q′4 q′5 2 q′9 q′7 q′8 −α Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Đưa vào điều kiện biên của hệ Sau khi khử trùng lặp, các phần tử đã được ghép nối với nhau thành một hệ kết cấu để cùng làm việc. Các ma trận đặc trưng cũng đã được ghép nối. Tuy nhiên, hệ vẫn còn như một vật thể cô lập, lơ lửng trong không gian, chưa được gắn kết vào đâu cả. Khi có véc-tơ ngoại lực R đặt vào hệ, hệ sẽ chuyển động và véc-tơ chuyển vị nút q lúc này là bất định (nhớ lại nội dung chuyển động của vật thể trong cơ học!?) Chuyển động dạng này của hệ được gọi là chuyển động khối rắn, còn ma trận độ cứng K của hệ được gọi là suy biến (có định thức bằng 0, không lấy nghịch đảo được). Cần phải đưa vào các điều kiện biên để khử suy biến Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Đưa vào điều kiện biên của hệ Để đưa điều kiện biên ứng với bậc tự do thứ k trong véc-tơ chuyển vị nút q, có hai cách: Đưa điều kiện biên Cách 1: Nhân thêm vào thành phần nằm trên đường chéo chính thứ k của ma trận độ cứng K với một giá trị rất lớn. Tại sao vậy? Đó là vì ... Cách 2: Không coi bậc tự do k như là ẩn số nữa vì đã biết giá trị. Do đó, ta loại bỏ hàng và cột thứ k trong ma trận độ cứng K, loại bỏ hàng thứ k trong các véc-tơ chuyển vị q và véc-tơ lực nút tương đương R. Đồng thời, trong bước này, nếu hệ có lực tập trung đặt sẵn tại nút theo một bậc tự do nào đó thì sẽ cộng thêm vào véc-tơ lực nút tương đương R. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Đưa vào điều kiện biên của hệ Một số dạng điều kiện biên đặc biệt Dạng 1: Liên kết có chuyển vị cưỡng bức Giải quyết bằng cách coi đó là ẩn số đã biết giá trị. Dạng 2: Gối tựa xiên góc Hai cách giải quyết như sau: ... Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Một quy trình ghép nối nhanh hơn Việc lập mô hình phần tử hữu hạn cho toàn hệ kết cấu theo quy trình trên gặp phải vấn đề về kích cỡ lớn của các ma trận trong các tính toán trung gian, cho dù số ẩn số thực sự của hệ khá nhỏ. Trong trường hợp này, với các bài toán cỡ nhỏ, ngoài quy trình trên, có thể sử dụng quy trình thực hành sau ... Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Một quy trình ghép nối nhanh hơn Quy trình thực hành ghép nối Khởi tạo ma trận độ cứng tổng thể K∗ và véc-tơ lực nút của toàn hệ kết cấu R∗ . Đánh số các bậc tự do tổng thể. Đánh số các bậc tự do tại các nút của từng phần tử theo các bậc tự do tổng thể. Chuyển toàn bộ các phương trình cân bằng phần tử về biểu diễn trong hệ tọa độ chung. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Một quy trình ghép nối nhanh hơn Quy trình thực hành ghép nối Với mỗi phần tử n , đặt thành phần K′st của ma trận K′n tương ứng với các bậc tự do hiện hoạt s và t cộng dồn vào đúng vị trí trong ma trận độ cứng tổng thể K∗ Với mỗi phần tử n , đặt thành phần R′s của véc-tơ R′n tương ứng với bậc tự do hiện hoạt s cộng dồn vào đúng vị trí trong véc-tơ lực nút tổng thể R∗ Chú ý các lực đặt sẵn tại nút ...