Phương pháp chia miền giải bài toán biên với điểm biên kỳ dị - Vũ Vinh Quang

PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN VỚI ĐIỂM BIÊN KỲ DỊ Vũ Vinh Quang* – Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên Ngô Thị Kim Quy – Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh Thái Nguyên TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một số phương pháp tiếp cận giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh dựa trên cơ sở phương pháp chia miền đồng thời đưa ra các kết quả cụ thể khi áp dụng các phương pháp để giải bài toán Motz, một bài toán mẫu được thế giới quan tâm. Các kết quả được trình bày cả về lý thuyết và thực nghiệm khẳng định tính đúng đắn của các phương pháp đã đưa ra. Từ khóa: phương pháp chia miền, sơ đồ lặp, bài toán Motz, bài toán biên hỗn hợp mạnh, điểm kì dị. 1. Cơ sở của phương pháp Cho 2R là miền với biên Lipschitz , xét bài toán: ( ) ( ), , ( ) ( ), . u x f x x lu x g x x       (1) Giả thiết 1 2 2( ) ( ), g( ) ( )f x L x H    . Ta xét trường hợp tổng quát khi điều kiện biên )()( xgxlu  là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là trên một phần biên trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet ( l là toán tử hàm) và Neumann (l là toán tử đạo hàm hướng). Khi đó điểm giao giữa hai loại điều kiện biên được gọi là điểm kì dị. Đây là bài toán đã được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm như Saito, Fuijtu, Funaro, Quarteroni,... Để giải quyết bài toán trên, có nhiều phương pháp đã được đưa ra của các tác giả trên thế giới, một trong các phương pháp đó là sử dụng phương pháp khai triển các hàm cơ sở xung quanh lân cận điểm kì dị từ đó xác định nghiệm bằng chuỗi hàm xấp xỉ qua các hàm cơ sở. Các hệ số của chuỗi được xác định thông qua điều kiện cực trị của một phiếm hàm. Các kết quả trên đã được đưa ra trong [2, 3, 5]. Trong phần này, khác với các phương pháp của các tác giả trên thế giới, chúng tôi sẽ áp dụng phương pháp chia miền để xử lý bài toán biên hỗn hợp mạnh. Nhờ phương pháp này bài toán được dẫn về dãy các bài toán biên hỗn hợp yếu để giải. Giả sử miền  được mô tả bởi Hình 1, xét bài toán ( ) ( ), , ( ) ( ), , ( ) ( ) \ . n n u x f x x u x x x u x x x                 (2) Hình 1 Bài toán được gọi là bài toán biên hỗn hợp mạnh khi trên đoạn biên trơn d n  gồm cả hai loại điều kiện biên Dirichlet và Neumann. Chia miền 1 2 1 2,        bởi biên 1 2    . Kí hiệu ( 1,2) ii u u i  là nghiệm, 1 1 \ , d       2 2 \ n       . Để giải được hai bài toán trong 2 miền con, điều quan trọng nhất là cần xác định được giá trị điều kiện biên trên đường phân chia giữa 2 miền. Có hai cách tiếp cận: 1. Cách tiếp cận thứ nhất là xác định giá trị hàm trên biên phân chia dựa trên một sơ đồ 136Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên lặp. Cách tiếp cận này đã được các tác giả Nhật Bản [4] phát triển vào năm 2001. 2. Cách tiếp cận thứ hai là xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia dựa trên một sơ đồ lặp. Cách tiếp cận này đã được các tác giả Việt Nam [1] phát triển năm 2006. Phương pháp này đã được đánh giá có tốc độ hội tụ nhanh hơn. Sau đây chúng tôi giới thiệu cả 2 cách tiếp cận.  Thuật toán 1.1. Đặt 2 g u  . Khi đó giá trị của g sẽ được xác định bằng sơ đồ lặp sau đây: Bước 1: Cho trước (0) 2( )g L  . Bước 2: Với ( )kg trên  tiến hành giải hai bài toán. ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 n 2 ( ) ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ), , ( ) ( ), . k k k k k u x f x x u x x x u x g x x u x x x v                 (3) 1 1 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ), , ( ) ( ) , , ( ) ( ), . d u x f x x u x u x x u x x x                   (4) Hiệu chỉnh: ( 1) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) (1 ) ( ), .k k kg x g x u x x       (5) Tương tự như trong [4] ta có thể chứng minh sơ đồ (5) là hội tụ, tham số lựa chọn 0 1  .  Thuật toán 1.2. Đặt 1 1 u g     . Khi đó giá trị của g được xác định bởi sơ đồ lặp sau đây: Bước 1: Cho trước (0) 2( )g L  . Bước 2: Với ( )kg trên ( 0, 1, 2,.....)k  tiến hành giải hai bài toán: 1 1 ( )1 1 1 1 ( ) ( ), , ( ) ( ), , ( ) ( ), . k d u x f x x u x g x x u x x x                (6) ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 ( ) ( ), , ( ) ( ) , ( ) ( ), , ( ) ( ), . k k k k k n u x f x x u x x x u x u x x u x x x v                  (7) Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị ( 1)kg  ( ) ( 1) ( ) 2 2 ( ) ( ) (1 ) ( ) , . k k k u xg x g x x v         (8) trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn. Trong tài liệu [1] đã chứng minh sơ đồ lặp (8) hội tụ với tham số : 0 1   . 2. Mô hình bài toán Motz Bài toán Motz là một bài toán Laplace chuẩn, nó thường được sử dụng để kiểm tra các phương pháp số với các bài toán biên với điều kiện biên kì dị. Chúng ta xét bài toán Motz với hệ điều kiện biên được biểu hiện trong Hình 2.  ( ) 0, ( , ) -1 1,0 1 , ( ) 0, ( ) 500, ( ) 0. OD AB OA BC CD u x x y x y u x u x u x n               (9) Hình 2 u = 500 0   n u -1 D 0 A x B C 1 y 1 u = 0 1 2 0   n u 137Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nhận xét: Ở bài toán này, điểm kì dị sinh ra tại 0x y  vì tại đó là điểm chuyển tiếp từ điều kiện biên 0u  đến điều kiện đạo hàm 0 u y   . Ta thấy rằng, mô hình bài toán Motz chính là trường hợp bài toán biên gián đoạn mạnh với điểm phân cách giữa hai loại điều kiện biên hàm và đạo hàm chính là điểm (0,0)O . Sử dụng các phương pháp chia miền đã trình bày, ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán Motz theo các thuật toán như sau.  Thuật toán 2.1. Chia miền 1 2     bởi biên  0,0 1x y     , kí hiệu 11 2 2 , ,u u u u g u     . Xuất phát từ (0) 0, 0,1,2,...g k   thực hiện thuật toán lặp: Bước 1: Giải bài toán xác định ( ) 2 ku trong miền 2  ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 0, ( , ) , 500, 1, 0 1, 0, ,0 1, 0, 0, 0 1, 1, , ( , ) . k k k k k k u x y u x y u x y x u x y y u g x y                      Bước 2: Giải bài toán xác định ( ) 1 ku trong miền 1  ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 0, ( , ) 0, 1 0, 0, 1 0, 0, 1,0, 1, 0 1,0 , ( , ) . k k k k k k u x y u x y u x y y y u x y x u u x y x x                               Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị )(kg trên biên ( 1) ( ) ( ) 1 (1 ) , ( , ) .k k kg g u x y       Trong đó giá trị tham số được chọn trong khoảng (0,1) .  Thuật toán 2.2. Bước 1: Giải bài toán xác định ( ) 1 ku trong miền 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )1 0, ( , ) , 0, 1 0, 0, 0, 0,0 1, 0, 1 0, 1, , ( , ) . k k k k k k u x y u x y u x y x u x y y u g x y x                            Bước 2: Giải bài toán xác định )(2 ku trong miền 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 0, ( , ) , 500, 1,0 1, 0, 0 1, 0, 1, , ( , ) . k k k k k u x y u x y u x y y y u u x y                  Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị ( )kg trên biên ( ) ( 1) ( ) 2(1 ) , ( , ) . k k k ug g x y x         Để kiểm tra độ chính xác của phương pháp lặp, chúng tôi sử dụng phương pháp lưới với số lưới 64 64M N   . Chuyển các bài toán vi phân về các bài toán sai phân tương ứng. Sau đó sử dụng thuật toán thu gọn khối lượng tính toán xác định nghiệm xấp xỉ trên từng nút lưới. Trong quá trình tính toán, chúng tôi đã sử dụng các hàm tương ứng trong thư viện TK2004 [6] . Kết quả về tốc độ hội tụ và độ chính xác của bài toán được cho trong Bảng 1 và đồ thị nghiệm bài toán Motz được cho bởi Hình 3. Trong Bảng 1, ( 1) ( )max k k ij ij err u u  , K là số bước lặp tương ứng. 138Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Bảng 1. Kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz Hình 3: Nghiệm của bài toán Motz với phương pháp chia miền Nhận xét: Từ các kết quả trong Bảng 1 ta có thể thấy tốc độ hội tụ của thuật toán 2 nhanh hơn thuật toán 1. 3. Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát Xét bài toán tổng quát: 1 3 5 4 2 , ( , ) ( , ) (0, ) , , 0 , 0, 0 , 0 , 0 , , , , 0 . u f x y a c b u g x a y b x u g a x y u g x c y y u g a x c y b y u g x c y b                               Hình 4 Đây chính là sự mở rộng của bài toán Motz trong trường hợp điều kiện biên bất kỳ, điểm (0,0) vẫn là điểm kì dị. Có thể thấy rằng trong trường hợp này, việc áp dụng các phương pháp BAMs và GFIFs [2, 3, 5] là không thực hiện được vì không thể xây dựng được hệ hàm độc lập tuyến tính. Tuy nhiên chúng ta vẫn có thể sử dụng phương pháp chia miền để xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán theo thuật toán sau đây.  Thuật toán 3.1. Chia 21  bởi biên  0,0x y b     . Kí hiệu 2 g u  . Xuất phát (0) 0g  , ,....2,1,0k thực hiện thuật toán. Bước 1: Xác định nghiệm trong miền 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 5 ( ) 2 4 ( ) ( ) 2 , ( , ) , , 0 , , 0 , 0 , 0 , , ( , ) . k k k k k k u f x y u g x c y b u g x c y x u g x c y b y u g x y                      Bước 2: Xác định nghiệm trong miền 1 Thuật toán 1 Thuật toán 2  K err  K err 0.1 150 3.10-5 0.1 150 3.10-5 0.2 78 8.10-11 0.2 78 7.10-11 0.3 40 7.10-11 0.3 40 6.10-11 0.4 24 4.10-11 0.4 23 4.10-11 0.5 30 9.10-11 0.5 22 7.10-11 0.6 40 9.10-11 0.6 32 8.10-11 0.7 56 9.10-11 0.7 48 6.10-11 0.8 87 9.10-11 0.8 78 7.10-11 0.9 150 1.10-9 0.9 150 8.10-10 y 1 a 0 u = g2 x -a u = g3 4gy u    4gy u    1gx u    5gy u     139Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ( ) 1 1 ( ) 1 4 ( ) 1 3 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 2 , , , 0, , 0, 0 , , 0 , . k k k k k k u f x u g a x y b y u g a x y u g x a y b x u u x x x                               Bước 3: Hiệu chỉnh ( 1) ( ) ( ) 1 (1 ) , ( , ) .k k kg g u x y        Thuật toán 3.2. Chia 21  bởi biên  0,0x y b     . Kí hiệu 1 u g x    . Xuất phát (0) 0g  , ,....2,1,0k thực hiện thuật toán. Bước 1: Xác định nghiệm trong miền 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 3 ( ) 1 4 ( ) ( )1 , , 0 , , 0, 0 , 0, , . k k k k k k u f x u g y b x a x u g y a x u g a x y b y u g x x                             Bước 2: Xác định nghiệm trong miền 2 ( ) 2 2 ( ) 2 5 ( ) 21 2 ( ) 2 4 ( ) ( ) 2 1 , , , 0 , 0 , ,0 , 0 , , . k k k k k k u f x u g x c y y u g x c y b u g x c y b y u u x                      Bước 3: Hiệu chỉnh ( ) ( 1) ( ) 2(1 ) , (x,y) . k k k ug g x         Sau đây là các kết quả thực nghiệm đối với các hàm 2 2 2 1 2 3 2 4 5 ( 1) ( ) cos . sin . y y y y y f x y g x e g x x e g e g x e g x e              được đưa trong Bảng 2 và Hình 5 (a=1, b=1, c=1). Bảng 2. Số liệu thực hiện trong trường hợp tổng quát Thuật toán 1 Thuật toán 2  K err  K err 0.1 150 7.10-8 0.1 150 1.10-8 0.2 62 7.10-11 0.2 57 8.10-11 0.3 32 5.10-11 0.3 29 9.10-11 0.4 26 6.10-11 0.4 17 5.10-11 0.5 34 5.10-11 0.5 17 5.10-11 0.6 45 6.10-11 0.6 24 9.10-11 0.7 63 7.10-11 0.7 36 7.10-11 0.8 97 9.10-11 0.8 58 7.10-11 0.9 150 1.10-8 0.9 120 9.10-11 Hình 5: Đồ thị nghiệm trong trường hợp tổng quát 140Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nhận xét + Các thuật toán đề xuất vẫn hội tụ tốt trong trường hợp tổng quát trong đó sơ đồ lặp theo hướng hiệu chỉnh đạo hàm vẫn có tốc độ hội tụ nhanh hơn sơ đồ lặp theo hướng hiệu chỉnh hàm. + Trong thực tế, tại các điểm kì dị (phân cách giữa các loại điều kiện biên) thường xảy ra các vết đứt gãy với giá trị đạo hàm tiến ra  , Hình 6 mô tả dáng điệu của đạo hàm tại điểm kì dị. Hình 6: Đường cong đạo hàm bậc nhất Kết luận Nội dung bài báo đã trình bày hai phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic với hệ điều kiện biên hỗn hợp mạnh, hai phương pháp trên là sự phát triển của hai ý tưởng hiệu chỉnh hàm và đạo hàm trên cơ sở phương pháp chia miền, qua các kết quả thực nghiệm có thể nhận thấy rằng phương pháp dựa trên ý tưởng hiệu chỉnh đạo hàm có tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp hiệu chỉnh hàm. Qua các kết quả khi áp dụng vào bài toán Motz có thể thấy khả năng áp dụng phương pháp chia miền vào các bài toán thực tế là hiệu quả hơn các phương pháp BAMs và GFIFs dựa trên việc khai triển nghiệm thông qua các hệ hàm cơ sở xung quanh lân cận điểm kì dị. Tài liệu tham khảo [1] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2006), "Phương pháp chia miền giải bài toán biên hỗn hợp mạnh", Tạp chí Tin học và Điều khiển học, 22, (4), 307 - 318. [2] D. Funaro, A. Quarteroni, P. Zanolli (1998), "An iterative procedure with interface relaxation for domain decomposition method", SIAM J. Number. Anal, 25(6), 1213 - 1236. [3] M. Arad, Z. Yosibash, G. Ben- Dor, A.Yakhot (2005), “Computinh Flux Intensity Factors by a Boundary method for Elliptic Equations with Singularities”, Preprint submitted to ElsevierScience, 14 October. [4] N. Saito, H. Fuijtu (2001), “Operator theoretical analysic to domain decompisition methods”, 12th Int. Conf, on Domain Decompisition Methods. Editors: Tony chan, Takashi, Hideo, Oliver Pinoncau, 63 – 70. www.ddm.org/DDI2/Saito.pdf. [5] Z. C. Li, Y. L. Chan, G. C. Georgiov, C. Xenophontos (2006), “Special boundary approcimation methods for Laplace equation problems with boundary singularities”, Applications, 51, 115 - 142. [6] Vũ Vinh Quang, Các kết quả về việc ứng dụng thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải các bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp. Hội thảo khoa học toàn quốc "Phát triển công cụ tin học trợ giúp cho giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng toán học", Hà Nội 1 - 2/04/2005:247 - 256. SUMMARY DOMAIN DECOMPOSITION METHOD FOR SOLVING THE BOUNDARY PROBLEM WITH BIZARRE BOUNDARY POINT In this research paper, we introduce some new approaches for solving an elliptic boundary problem with a strongly mixed boundary condition based on the division domain method. Simultaneously, specific results are given when applied to solve the Motz problem, a benchmark problem concerned by researchers all over the world. The results, presented both in theory and experiment, confirm the correctness of the proposed method. Key words: domain decomposition method, iterative scheme, the Motz problem, a strong mixed boundary problem, bizarre point. * Email: vvquangcntt@yahoo.com Tel: 0913286676 141Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên UNIQUENESS OF MEROMORPHIC FUNCTION AND ITS ORDER K CONCERNING THE DIFFERENCE POLYNOMIALS PHAM TUYET MAI Abstract. In this paper, we study the uniqueness problem on difference poly- nomials and its differential of meromorphic function sharing a common value. 1. Introduction A meromorphic function means meromorphic in the whole complex plane. We assume that the reader is used to doing the standard notations and fundamental results of Nevanlinna theory. Let be two meromorphic function f, g and a ∈ C ∪ {∞}. We say that f and g share a − CM if f − a and g − a have the same zero with multiplicities . We denote by Em)(a; f) = {z ∈ C : f(z) = a} the set of all a-points of f with multiplicities not exceeding m, where a-point is counted according to it’s multiplicity. In 2011, K. Liu, X. Ling and T. B. Cao proved the following: Theorem A. Let f and g be transcendental meromorphic functions with finite order, c ∈ C be a nonzero constant and n ∈ N. If n > 14, fn(z)f(z + c) and gn(z)g(z + c) share 1− CM , then f = tg, or fg = t, where tn+1 = 1. The results of this paper was suggested thinking of ideal differential order k. We will consider the functions (fn(z)f(z + c))(k) and (gn(z)g(z + c))(k). Our result is stated as follows: Theorem 1. Let f and g be transcendental meromorphic functions with finite order, c ∈ C is a nonzero constant and n ∈ N, k be a positive integer. If one of the following conditions is hold 1. n > 10k + 24 and E1)(1, (fn(z)f(z + c))(k)) = E1)(1, (gn(z)g(z + c))(k)); 2. n > 4k + 15 and (fn(z)f(z + c))(k), (gn(z)g(z + c))(k) share 1− CM ; then f = tg or (fn(z)f(z + c))(k).(gn(z)g(z + c))(k) = 1, where tn+1 = 1. 2000 Mathematics Subject Classification. Primary 32H30. Key words: Uniqueness theorem, difference polynomials. 1 142Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên