Phân tích ổn định tĩnh của tấm có cơ tính biến thiên - Lê Thúc Định

Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 207 - 211 207 PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH CỦA TẤM CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN Lê Thúc Định1*, Vũ Quốc Trụ1, Trần Thị Hương2 1Học viện Kỹ thuật Quân sự, 2Trường CĐKT Lý Tự Trọng TÓM TẮT Bài báo trình bày phương pháp giải bài toán ổn định tĩnh của tấm có cơ tính biến thiên (FGM) chịu tác dụng của tải trọng trong mặt phẳng trung bình bằng phương pháp phần tử hữu hạn để xác định tải tới hạn. Trên cơ sở thuật toán thực hiện khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến lực tới hạn. Kết quả bài báo là cơ sở để tham khảo cho quá trình thiết kế, tính toán các kết cấu có cơ tính biến thiên. Từ khóa: ổn định, tấm, vật liệu có cơ tính biến thiên, gốm, kim loại, lực tới hạn ĐẶT VẤN ĐỀ* Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Materials - FGM) với những ưu điểm vượt trội so với vật liệu composite thông thường nên ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như: hàng không - vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, công nghiệp quốc phòng, Vì vậy, nghiên cứu đáp ứng các kết cấu FGM (đặc biệt là các kết cấu dạng tấm, vỏ) là vấn đề cấp thiết và có ý nghĩa thực tiễn. NỘI DUNG Vật liệu có cơ tính biến thiên Vật liệu có cơ tính biến thiên có nhiều loại, song trong thực tế thường được sử dụng nhiều là loại hai thành phần, nó là hỗn hợp của gốm (ceramic) và kim loại (metal) (Hình 1). Trong đó, tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu biến đổi theo chiều dày kết cấu và là hàm lũy thừa của biến chiều dày z [1], [2], [3]: k c m c z 1 V (z) ,V (z) 1 V (z),(0 k ) h 2             (1) trong đó: k là chỉ số tỷ lệ thể tích; c mV ,V là tỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim loại tương ứng, z là trục tọa độ theo phương pháp tuyến của tấm. Tính chất hiệu dụng của vật liệu được xác định theo biểu thức sau [0], [0]:   k e c m m z 1 P P P P h 2          (2) trong đó Pe, Pc, Pm là tính chất hiệu dụng (mô * Tel: 0982 140560, Email: ledinhvhp@gmail.com đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số giãn nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt) của vật liệu FGM, gốm và kim loại tương ứng. h/2 -h/2 0 Bề mặt giàu gốm Bề mặt giàu kim loại z x Hình 1. Mô hình kết cấu làm từ vật liệu FGM Mô hình bài toán và các giả thiết Xét tấm vật liệu có cơ tính biến thiên dạng hình chữ nhật: chiều dài a, chiều rộng b, chiều dày h, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh trong mặt phẳng trung bình (Hình 2). Kết cấu được xét là tấm mỏng đàn hồi. Bỏ qua biến dạng cắt ngang  xz yz 0    . Hình 2. Mô hình bài toán Các phương trình cơ bản Ứng xử cơ học Véc tơ nội lực:                 m N A B B D kM                     (3) trong đó:     T x y xyN N ,N ,N - véc tơ lực màng;     T x y xyM M ,M ,M - véc tơ mô men uốn và xoắn; [A], [B], [D] là ma trận độ cứng màng, Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 207 - 211 208 ma trận độ cứng tương tác màng-uốn-xoắn và ma trận độ cứng uốn tương ứng:       h 2 h 2 2 2 A,B,D E 1,z,z dz 1 0 E z E 1 0 1 1 0 0 2                      (4) Véc tơ biến dạng màng (có kể đến biến dạng lớn):           m 0m L 2 2 0m L 1 w u 2 x x v 1 w ; y 2 y u v w w y x x y                                                            (5) Véc tơ độ cong:   T 2 2 2 2 2 w w w k 2 x y x y               (6) với u, v, w là các thành phần chuyển vị tại một điểm thuộc mặt trung bình của tấm theo các phương x, y, z. Phương trình ổn định Theo [3], phương trình cân bằng của tấm dưới tác dụng của tải trọng tĩnh trong mặt phẳng trung bình có dạng:                 m m m u g u K 0 q P 00 K K q                             (7) trong đó:  mK - ma trận độ cứng màng;  uK - ma trận độ cứng uốn; gK   - ma trận độ cứng hình học phụ thuộc vào ứng suất do tải trọng tác dụng trong mặt phẳng trung bình gây nên còn được gọi là ma trận ứng suất;     T m 1 1 n nq u v ... u v - véc tơ chuyển vị màng tổng thể của kết cấu;     T u 1 x1 y1 n xn ynq w ... w     - véc tơ chuyển vị uốn tổng thể của kết cấu; n- tổng số nút của kết cấu. Khai triển (7) ta được hai phương trình sau: Phương trình cân bằng do nén:     m m mK q P (8) Phương trình cân bằng do uốn:      u g uK K q 0    (9) Tấm được xem là mất ổn định khi bắt đầu bị uốn, tức là tồn tại    uq 0 . Nghĩa là phương trình (9) có nghiệm khác 0. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:  u gK K 0    (10) Ở trạng thái tới hạn, giả thiết cường độ của lực tới hạn gấp  lần cường độ của lực được chọn ban đầu để tính ma trận độ cứng hình học 0 gK   . Khi đó (10) có dạng:   0u gK K 0     (11) trong đó: 0 gK   là ma trận độ cứng hình học được xác định từ trạng thái ứng suất ban đầu khi giải phương trình (8) với cường độ lực nén ban đầu  0P tác dụng trong mặt phẳng trung bình. Giải bài toán trị riêng (11) ta tìm được các giá trị khác nhau của  . Tuy nhiên, để xác định trị số lực tới hạn nhỏ nhất ta chọn giá trị  th min   . Xác định các ma trận phần tử Chọn phần tử phẳng chữ nhật 4 nút, mỗi nút có 5 bậc tự do (Hình 3). Hình 3. Phần tử tấm phẳng chữ nhật 4 nút Véc tơ chuyển vị tại nút thứ i của tấm:     T i i i xi yii q u v w   (12) trong đó: i iu ,v - chuyển vị nút trong trạng thái ứng suất phẳng (chuyển vị màng); i xi yiw , ,  - chuyển vị nút trong trạng thái uốn (chuyển vị uốn). y z v1 u1 w1 y1 x1 v4 u4 w4 y4 x4 v3 u3 w3 y3 x3 v2 u2 w2 y2 x2 x Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 207 - 211 209 Véc tơ chuyển vị nút của phần tử:       em e eu q q q          (13) với  emq - chuyển vị màng của phần tử,  euq - chuyển vị uốn của phần tử:     T em 1 1 2 2 3 3 4 4q u v u v u v u v (14)     T eu 1 x1 y1 4 x4 y4q w w       (15) Biểu diễn chuyển vị và biến dạng của một điểm thông qua chuyển vị nút của phần tử ta nhận được các ma trận hàm dạng và ma trận biến dạng như sau: Ma trận hàm dạng màng:   m1 m4m m4 m4 N 0 N 0 N 0 N 0 N            (16) Ma trận hàm dạng uốn:    u u1 u2 u11 u12N N N N N    (17) trong đó:    mj ukN j 1 4 ,N k 1 12    là các biểu thức đại số chỉ phụ thuộc vào các tọa độ x, y. Ma trận biến dạng màng:          m m1 m2 m3 m4B B B B B    (18) Ma trận biến dạng uốn:          u u1 u2 u11 u12B B B B B      (19) trong đó:       T mj mj mj mj mj T 2 2 2 uk uk uk uk 2 2 N N 0 x y B , j 1 4 ; N N 0 y x N N N B 2 , k 1 12 x y x y                                     (20) Ma trận biến dạng tương tác màng uốn (ảnh hưởng của lực màng đến chuyển vị uốn của tấm):               1 2 11 12 uk k uk G G G G G ; N x G k 1 12 N y                    (21) Xây dựng các ma trận tổng thể Theo [6Error! Reference source not found.] ta có: Ma trận độ cứng màng của phần tử: T m e m m S [K ] [B ] [A][B ]dS  (22) Ma trận độ cứng uốn của phần tử: T u e u u S [K ] [B ] [D][B ]dS  (23) Ma trận độ cứng hình học:   x xyTg e xy yS N N [K ] [G] [N][G]dS ; N N N          (24) Theo [6], các ma trận tổng thể được xác định như sau:     n n m m e u u e i 1 i 1 n 0 0 g g e i 1 K [K ] ; K [K ] ; K [K ]             (25) trong đó:     0m u gK , K , K   tương ứng là ma trận độ cứng màng, ma trận độ cứng uốn, ma trận độ cứng hình học ban đầu tổng thể. Chú ý dấu tổng trong (25) không phải là phép cộng ma trận thông thường mà là cách biểu diễn sự sắp xếp khi ghép nối các ma trận phần tử theo thuật toán của phương pháp PTHH. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN Xét tấm chữ nhật có cơ tính biến thiên gồm 2 vật liệu thành phần là nhôm và nhôm ô xít với các thuộc tính vật liệu là: 10 2 mE 7.10 N / m , 10 2 cE 38.10 N / m , m c 0.3    , k 0.5 . Tấm có chiều dài a = 2m, chiều rộng b = 1m, chiều dày h = 0.01m, chịu liên kết ngàm cứng một cạnh ngắn, lực 0P 10N tác dụng trong mặt phẳng trung bình (Hình 4). P0 x z y 0 ,0 1 m 1m 2m Hình 4. Mô hình chịu lực của tấm FGM Xác định lực tới hạn Giải bài toán với các số liệu nêu trên ta nhận được giá trị lực tới hạn: thP 220,023 N. Khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến lực Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 207 - 211 210 tới hạn * Ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích (k): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 150 200 250 300 350 Luc toi han - chi so mu ti le the tich Chi so mu ti le the tich - k L u c t o i h a n - P th ( N ) Hình 5. Ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích Từ đồ thị (Hình 5) ta thấy: khi chỉ số mũ tỉ lệ thể tích tăng thì lực tới hạn giảm. Điều này là phù hợp với quy luật hàm vật liệu vì khi k tăng, tỷ lệ thành phần gốm giảm, thành phần kim loại tăng, làm cho mô đun đàn hồi của vật liệu FGM giảm nên độ cứng uốn của tấm giảm. Giá trị lực tới hạn thay đổi rất nhanh khi giá trị của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích thay đổi trong khoảng 0 k 3  . Do vậy, khi thiết kế vật liệu FGM cần chú ý lựa chọn giá trị của k sao cho phù hợp để nâng cao khả năng ổn định của tấm. * Ảnh hưởng của tỷ số giữa chiều dài và chiều rộng (a/b): 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Luc toi han - ti so giua chieu dai va chieu rong Ti so giua chieu dai va chieu rong - a/b L u c t o i h a n - P th ( N ) Hình 6. Ảnh hưởng của tỉ số chiều dài và chiều rộng Kết quả kháo sát (Hình 6) cho thấy tỷ số giữa chiều dài và chiều rộng của tấm ảnh hưởng lớn đến giá trị lực tới hạn của tấm FGM. Khi tỷ số a/b tăng thì lực tới hạn lại giảm và giảm rõ rệt trong khoảng 0,5 a / b 2,5  . Như vậy, khi thiết kế kết cấu tấm FGM cần chú ý đến tỷ số giữa 2 cạnh để đảm bảo khả năng ổn định cho tấm. * Ảnh hưởng của chiều dày tấm (h): 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Luc toi han - chieu day tam Chieu day tam - h (m) L u c t o i h a n - P th ( N ) Hình 7. Ảnh hưởng của chiều dày tấm Qua đồ thị (Hình 7) ta có nhận xét: kích thước chiều dày tấm có ảnh hưởng rất lớn đến lực tới hạn. Lực tới hạn tăng phi tuyến so với chiều dày. Do đó, để tăng khả năng ổn định cho tấm ta có thể tăng chiều dày của tấm, tuy nhiên phải chú ý đến tính kinh tế và tính công nghệ của kết cấu. * Ảnh hưởng đồng thời của tỉ số a/b và chỉ số mũ k 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Ti so chieu dai va chieu rong - a/b L u c t o i h a n - P th [ N ] Luc toi han - ti so kich thuoc a/b va chi so mu k k=0 (ceramic) k=0.5 k=1.0 k=1.5 k=2.0 k= (metal) Hình 8. Ảnh hưởng đồng thời của tỉ số a/b và chỉ số mũ tỉ lệ thể tích k Từ kết quả khảo sát ảnh hưởng đồng thời của tỉ số kích thước a/b và chỉ số mũ k (Hình 8), ta thấy giá trị lực tới hạn của tấm nhôm oxit (gốm) là lớn nhất, của tấm nhôm (kim loại) là nhỏ nhất, của tấm FGM nằm trung gian giữa kim loại và gốm. Kết quả này là hợp lý vì độ Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 135(05): 207 - 211 211 cứng của ceramic lớn hơn độ cứng của kim loại, độ cứng của FGM là trung gian giữa ceramic và kim loại, phụ thuộc vào quy luật phân bố tỷ lệ thể tích các thành phần. KẾT LUẬN Bằng phương pháp PTHH, tác giả đã giải bài toán ổn định đàn hồi tuyến tính tấm FGM, xây dựng chương trình tính toán và khảo sát số. Trong đó, khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến lực tới hạn của tấm FGM. Từ kết quả khảo sát số, bài báo đã đưa ra các nhận xét làm cơ sở tham khảo cho việc thiết kế và chế tạo các kết cấu bằng vật liệu FGM. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Ibrahim H.H., Tawfik M. (2010), “Limit-cycle Oscillations of Functionally Graded Material Plates Subject to Aerodynamic and Thermal Loads”, Journal of Vibration and Control, 16(14), pp. 2147-2166. 2. Lee S. L, Kim J. H (2009), “Thermal post- buckling and limit-cycle oscillation of functionally graded panel with structural damping in supersonic airflow”, Composite Structures (91), pp. 205-211. 3. Lee S.-L., Kim J.-H. (2007), “Thermal Stability Boundary of FG Panel under Aerodynamic Load”, World Academy of Science, Engineering and Technology, (32), pp. 60-65. 4. Phạm Tiến Đạt, Lê Thúc Định (2011), “Tính toán tấm composite có cơ tính biến thiên chịu tải trọng tĩnh”, Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật (141), tr. 22-27. 5. Vũ Dũng Mạnh (2008), Nghiên cứu ổn định của tấm, vỏ mỏng chịu tác dụng của tải trọng động, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Học viện KTQS, Hà Nội. 6. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L. (1991), The Finite Element Method, Volume 2, McGraw-Hill Book Company. SUMMARY STATIC STABILITY ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL PLATES Le Thuc Dinh 1* , Vu Quoc Tru 1 , Tran Thi Huong 2 1Military Technical Academy 2Ly Tu Trong Technical College This article presents a method of solving for the static stability problem of functionally graded material plates subjected to load in mid-plane based on Finite Element Method (FEM) algorithm to define critical loads. On the algorithm, investigate some effective fators to value of critical loads. The result of this paper is basis to refer in design and compute for functionally graded material structure. Keywords: stability, plate, functionally graded material, ceramic, metal, critical load Ngày nhận bài:31/12/2014; Ngày phản biện:23/01/2015; Ngày duyệt đăng: 31/5/2015 Phản biện khoa học: TS. Nguyễn Văn Dũng – Học viện Kỹ thuật Quân sự * Tel: 0982 140560, Email: ledinhvhp@gmail.com Nitro PDF Software 100 Portable Document Lane Wonderland