Phân tích dao động của tấm có cơ tính biến thiên chịu tác dụng của lực khí động và nhiệt độ - Lê Thúc Định

Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 122(08): 15 - 20 15 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA TẤM CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CHỊU TÁC DỤNG CỦA LỰC KHÍ ĐỘNG VÀ NHIỆT ĐỘ Lê Thúc Định1*, Vũ Quốc Trụ1, Trần Thị Hương2 1Học viện Kỹ thuật Quân sự, 2Trường Cao đẳng Kỹ thuật Lý Tự Trọng TÓM TẮT Bài báo trình bày kết quả phân tích dao động của tấm có cơ tính biến thiên chịu tác dụng của lực khí động và nhiệt độ. Theo đó, hệ phương trình vi phân mô tả dao động của tấm được các tác giả giải trên cơ sở tích phân trực tiếp Newmark. Chương trình tính cụ thể hóa thuật toán, phân tích bài toán được các tác giả viết trong môi trường Matlab. Các kết quả nghiên cứu góp phần phục vụ việc thiết kế và sửa chữa lớp vỏ của thân và cánh của các thiết bị bay. Từ khóa: vật liệu có cơ tính biến thiên, gốm, kim loại, dao động, lực khí động, nhiệt độ ĐẶT VẤN ĐỀ* Panel flutter là hiện tượng dao động tự kích gây mất ổn định cục bộ của tấm hoặc vỏ mỏng đàn hồi chịu tác dụng của lực khí động. Đối với các thiết bị bay có tốc độ lớn, việc nghiên cứu hiện tượng panel flutter là rất cần thiết cho việc thiết kế, chế tạo lớp vỏ của chúng. NỘI DUNG BÀI TOÁN Giới thiệu vật liệu có cơ tính biến thiên Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) thường gặp là loại 2 thành phần, nó là hỗn hợp của gốm (ceramic) và kim loại (metal) với tỷ lệ thể tích của các thành phần biến đổi trơn, liên tục theo chiều dày thành kết cấu và là hàm lũy thừa của biến chiều dày z. k c m c z 1 V (z) h 2 V (z) 1 V (z), (0 k )             (1) trong đó: k- chỉ số mũ tỷ lệ thể tích; cV (z) , mV (z) - tỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim loại tương ứng; h - chiều dày thành kết cấu; z là trục tọa độ hướng theo chiều dày của tấm. Tính chất hiệu dụng của vật liệu được xác định theo biểu thức sau:   k e c m m z 1 P P P P h 2          (2) với Pe, Pc, Pm là tính chất hiệu dụng của vật liệu FGM, gốm và kim loại tương ứng. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của tính chất các vật liệu thành phần (gốm, kim loại) [4] [5] [6]: * Tel: 0982 140560, Email: ledinhvhp@gmail.com  1 2 30 1 1 2 3P(T) P P T 1 PT P T P T     (3) trong đó: P0, P-1, P1, P2, và P3 là các hệ số của nhiệt độ; T - nhiệt độ (K). Do đó, tính chất hiệu dụng của vật liệu FGM theo tọa độ và nhiệt độ được xác định như sau:         k e c m m 2z h P T,z P T P T P T 2h            (4) Phân bố nhiệt độ theo chiều dày của tấm:      m c mT z T T T z    trong đó  z là hàm truyền nhiệt được xác định [3] [6]:             k 1 cm m 2k 12 cm 2 m 3k 13 cm 3 m 4k 14 cm 4 m 5k 15 cm 5 m 2z h K 2z h 2h k 1 K 2h K 2z h 2k 1 K 2h 1 K 2z h z C 3k 1 K 2h K 2z h 4k 1 K 2h K 2z h 5k 1 K 2h                                                                        (5) với           2 cm cm 2 m m 3 4 5 cm cm cm 3 4 5 m m m cm c m K K C 1 k 1 K 2k 1 K K K K 3k 1 K 4k 1 K 5k 1 K K K K               (6) Mô hình bài toán và các giả thiết Xét tấm vật liệu có cơ tính biến thiên hình chữ nhật, kích thước như hình vẽ (hình 1), Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 122(08): 15 - 20 16 mặt trên của tấm chịu tác dụng của dòng khí vượt âm với vận tốc V hướng theo trục x (trùng với một cạnh tấm), mặt dưới chịu áp suất không đổi bằng áp suất tĩnh của dòng khí tự do. Bề mặt giàu gốm có nhiệt độ lớn hơn bề mặt giàu kim loại. Kết cấu được xét là tấm mỏng đàn hồi. Bỏ qua biến dạng cắt ngang  xz yz 0    Lực khí động Với mô hình của bài toán, tác giả lựa chọn mô hình lực khí động theo lý thuyết piston bậc nhất 0: a 110 110 a 4 3 0 g D w D w P a t a x             (7) với       1 2 2 2a 110 0 4 2 2 2 3 aa a a2 32 0 110 v D q ; M 1; ; 2 ha M 2 v M 2a 2qa C ;g ; h h DM 1                              (8) trong đó: aP - lực khí động, v - vận tốc dòng khí, M - số Mach; q - áp suất khí động, a - khối lượng riêng của dòng khí;  - áp suất khí động không thứ nguyên ; 110D - độ cứng trụ của tấm; aC - hệ số cản khí động; ag - hệ số cản khí động không thứ nguyên; 0 - tần số quy ước;  - khối lượng riêng của tấm; h - chiều dày của tấm; a - chiều dài của tấm; w - chuyển vị của tấm theo phương z. Các phương trình cơ bản Quan hệ chuyển vị - chuyển vị nút Chọn loại phần tử phẳng hình chữ nhật 4 nút, mỗi nút có 5 bậc tự do (hình 2). Chuyển vị tại một điểm bất kỳ trên mặt trung bình của phần tử được biểu diễn thông qua chuyển vị nút của phần tử:      T eu,v,w N q (9) trong đó: u,v - chuyển vị màng; w - chuyển vị uốn (độ võng); [N] - ma trận hàm dạng; {qe} - véc tơ chuyển vị nút của phần tử. Quan hệ biến dạng - chuyển vị Véc tơ các thành phần biến dạng và độ cong của phần tử:           2 2 2 m m 2 2 wu xx v w ; ; k k y y u v w 2 y x x y                                                          (10) trong đó:    m , k tương ứng là véc tơ biến dạng màng, véc tơ độ cong. Biểu diễn biến dạng theo chuyển vị nút: 0 e{ } [B ]{q }  (11) với 0[B ] là ma trận tính biến dạng. Quan hệ ứng suất - biến dạng Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ:                     Tm T N NA B B D kM M                                (12) trong đó:     T x y xyN N ,N ,N - lực màng;     T x y xyM M ,M ,M - mô men uốn và xoắn; [A], [B], [D] là ma trận độ cứng màng, ma trận độ cứng tương tác màng-uốn-xoắn và ma trận độ cứng uốn tương ứng;  TN ,  TM lực màng và mô men uốn, xoắn do biến dạng nhiệt. Hình 1. Mô hình bài toán Hình 2. Phần tử tấm phẳng hình chữ nhật 4 nút y z v1 u1 w1 y1 x1 v4 u4 w4 y4 x4 v3 u3 w3 y3 x3 v2 u2 w2 y2 x2 x Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 122(08): 15 - 20 17                            h 2 h 2 h 2 h 2 2 T T 2 k c m m A,B,D E 1,z,z dz z N , M 1,z E z T z dz 0 1 0 E T,z E 1 0 1 1 0 0 2 2z h E T,z E T E T E T 2h                                                 (13)     0T z T z T   , T0 là nhiệt độ chuẩn  0T 300K . Thiết lập phương trình chuyển động Áp dụng nguyên lý công khả dĩ đối với các lực tác dụng lên phần tử (lực đàn hồi, lực nhiệt, lực khí động và lực quán tính), ta có: int extW= W W 0    (14) Công khả dĩ của nội lực:                   T T int m S T T e e e e Te W N k M dS q K q q P            (15) Công khả dĩ của các ngoại lực lực (lực khí động và lực quán tính):                   a ext S T e e e ed e ei e w hw+P u hu W dS v hv q M q A q A q                        (16) Thay (15), (16) vào (14) và biến đổi ta được phương trình dao động của phần tử tấm dưới tác dụng của lực khí động và nhiệt độ như sau:               eia e e ed e e Te 0 e Ag M q A q q P K            (17) trong đó: - Ma trận độ cứng tuyến tính của phần tử:   em emue eum eu [K ] [K ] K [K ] [K ]        (18) em eu[K ],[K ]- ma trận độ cứng của trạng thái màng, ma trận độ cứng của trạng thái uốn: T em 0m 0m S T eu 0u 0u S [K ] [B ] [A][B ]dS [K ] [B ] [D][B ]dS     (19) emu eum[K ],[K ] - ma trận độ cứng tương tác màng-uốn: T emu 0m 0u S T T eum 0u 0m emu S [K ] [B ] [B][B ]dS [K ] [B ] [B][B ]dS [K ]      (20) - Ma trận cản khí động của phần tử:           T110 ed edu u u4 edu S 0 0 D A ; A N N dS 0 A a         (21) - Ma trận độ cứng do ảnh hưởng khí động của phần tử:           T11 ei eiu u u3 eiu S 0 0 D A ; A N N dS 0 A a x          (22) - Ma trận khối lượng của phần tử [Me]:       em e eu M 0 M 0 M        (23) với             T T em m m eu u u S S M h N N dS; M h N N dS     - Véc tơ tải trọng do thay đổi nhiệt độ: Tem Te (20x1) Teu {P } {P } {P }           (24) với T T Tem 0m T Teu 0u T (8x1) (12x1)S S {P } [B ] [N ]dS; {P } [B ] [M ]dS      - e eq , q : Véc tơ vận tốc, véc tơ gia tốc nút của phần tử. Thực hiện ghép nối các ma trận và véc tơ phần tử  eM ,  eK ,  edA ,  eiA ,  TeP ,  eq ,  eq ,  eq ta được các ma trận và véc tơ tổng thể tương ứng của toàn bộ tấm  M ,  K ,  dA ,  iA ,  TP ,  q ,  q ,  q . Khi đó, phương trình dao động của tấm FGM chịu tác dụng của tải trọng khí động và nhiệt độ có dạng:              a d i T 0 g M q A q A K q P      (25) Phương pháp giải bài toán Viết lại phương trình (25) ở dạng sau:                                                 m mm a u du0u u m Tmm mu iu um u u Tu q qM 0 0 0g 0 M 0 Aq q q P0 0 K K 0 A K K q P                                                                  (26) Khai triển (26) ta được hai phương trình sau:           m m m m mu u TmM q K q K q P   (27) Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 122(08): 15 - 20 18                  a u u du u iu u u 0 um m Tu g M q A q A K q K q P         (28) Theo Vonmir, do quán tính màng rất nhỏ nên có thể bỏ qua. Do vậy, từ (27) ta rút ra được:           1 m m Tm mu uq K P K q    (29) Thay (29) vào (28) và biến đổi ta nhận được:                         iu u a u u du u u1 0 um m mu 1 Tu um m Tm A Kg M q A q q K K K P K K P                  (30) Khi xét đến ảnh hưởng của cản kết cấu, phương trình (30) trở thành:                            u u kc kd u 1 iu u um m mu u 1 Tu um m Tm M q C C q A K K K K q P K K P               (31) trong đó:  kdC - ma trận cản khí động;  kcC - ma trận cản kết cấu được xác định như sau:      kc u uC M K    (32) với 1 2 1 2 2 ;         ; 1 2,  là hai tần số dao động riêng đầu tiên;  là tỉ số cản kết cấu. Để giải phương trình (31) ta sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark và lập trình bằng ngôn ngữ Matlab. TÍNH TOÁN SỐ Xét tấm có cơ tính biến thiên 2 thành phần là gốm (Si3N4) và thép không gỉ (SUS304). Tấm hình chữ nhật kích thước (0.40×0.32×0.002)m, được ngàm cả 4 cạnh. Các thông số của dòng khí: a = 1.225 kg/m 3, a = 340.3 m/s. Nhiệt độ mặt giàu gốm cT =320K, nhiệt độ mặt giàu kim loại mT = 300K. Tấm được chia lưới đều 8×8, nhận được 64 phần tử và 81 nút. Tỉ số cản kết cấu 0,01  . Bước tích phân t = 1/100000s. Giải bài toán dao động riêng Giải bài toán dao động riêng ta thu được 2 dạng riêng đầu tiên (hình 3, hình 4) tương ứng với 2 tần số riêng đầu tiên: 1 = 1,23.10 3 Hz, 2 = 2,15.10 3 Hz. Hình 3. Dạng riêng thứ nhất ( 1 = 1,23.10 3 Hz) Hình 4. Dạng riêng thứ hai ( 2 = 1,23.10 3 Hz) Kết quả phân tích dao động của tấm Hình 5. Dao động tắt dần của tấm với  = 820 (tại nút 41) Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 122(08): 15 - 20 19 Hình 6. Dao động tuần hoàn của tấm với  = 879,5 (tại nút 41) Hình 7. Dao động với biên độ tăng dần của tấm với  = 882 (tại nút 41) * Nhận xét: - Khi  nhỏ (hình 5) lực khí động chưa đủ lớn nên dao động của tấm là dao động tắt dần. - Khi  tăng dần tới lân cận giá trị tới hạn (hình 6) tấm có xu hướng dao động tuần hoàn do xác lập trạng thái cân bằng động lực giữa lực khí động với đáp ứng tuyến tính của tấm. - Khi  vượt quá giá trị tới hạn (hình 7), dao động của tấm có biên độ tăng dần, tấm có khả năng mất ổn định. Khảo sát đáp ứng chuyển vị ngang lớn nhất (wmax/h) theo áp suất khí động không thứ nguyên và nhiệt độ Hình 8. Đáp ứng chuyển vị ngang wmax/h theo  và Tc * Nhận xét: Khi nhiệt độ tăng làm cho độ cứng uốn của tấm có cơ tính biên thiên giảm. Do đó, làm tăng giá trị chuyển vị ngang lớn nhất (wmax/h). Khi lực khí động càng lớn thì ảnh hưởng của nhiệt độ đến chuyển vị ngang tăng càng mạnh. KẾT LUẬN Bài báo đã đạt được các kết quả như sau: - Thiết lập và giải hệ phương trình vi phân mô tả dao động của kết cấu tấm FGM chịu tác dụng của lực khí động và nhiệt độ. - Xây dựng được chương trình tính trong môi trường Matlab. - Áp dụng tính toán số để xác định đáp ứng động của kết cấu tấm có cơ tính biến thiên cho 3 trường hợp khác nhau của lực khí động. Kết quả cho thấy tính chất dao động của tấm phụ thuộc vào lực khí động thông qua áp suất khí động không thứ nguyên, trên cơ sở đó có thể đánh giá khả năng ổn định của tấm. - Khảo sát ảnh hưởng của chuyển vị ngang lớn nhất theo lực khí động (thông qua áp suất Lê Thúc Định và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 122(08): 15 - 20 20 khí động không thứ nguyên) và nhiệt độ, cho thấy khi nhiệt độ tăng làm giảm độ cứng uốn tuyến tính của tấm, dẫn đến làm tăng giá trị chuyển vị ngang lớn nhất. Sự ảnh hưởng của nhiệt độ tăng mạnh khi áp suất khí động không thứ nguyên tăng. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Ibrahim H.H., Tawfik M. (2010), “Limit-cycle Oscillations of Functionally Graded Material Plates Subject to Aerodynamic and Thermal Loads”, Journal of Vibration and Control, 16(14), pp. 2147-2166. 2. Lanhe W., Hongjun W., Daobin W. (2007), “Dynamic stability analysis of FGM plates by the moving least squares differential quadrature method”, Composite Structures, (77), pp. 383-394. 3. Lee S. L, Kim J. H (2009), “Thermal post- buckling and limit-cycle oscillation of functionally graded panel with structural damping in supersonic airflow”, Composite Structures (91), pp. 205-211. 4. Lee S.-L., Kim J.-H. (2007), “Thermal Stability Boundary of FG Panel under Aerodynamic Load”, World Academy of Science, Engineering and Technology, (32), pp. 60-65. 5. Park J.-S., Kim J.-H. (2006), “Thermal postbuckling and vibration analyses of functionally graded plates”, Journal of Sound and Vibration (289), pp. 77-93. 6. Prakash T., Ganapathi M. (2006), “Supersonic flutter characteristics of functionally graded flat panels including thermal effects”, Composite Structures, (72), pp. 10-18. SUMMARY VIBRATION ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL PLATES SUBJECT TO AERODYNAMIC LOADS AND TEMPERATURE Le Thuc Dinh1*, Vu Quoc Tru1, Tran Thi Huong2 1Military Technical Academy, 2Ly Tu Trong Technical College This paper represents the result of vibration analysis of functionally graded material plates subject to aerodynamic loads and temperature based on Finite Element Method (FEM) algorithm in a Matlab program. The differential equation systems for vibration of functionally graded material plates are solved by a solution Newmark direct integral. The research results contribute to service design and repair of body shells and wings of aircraft equipments. Keywords: functionally graded material, ceramic, metal, vibration, aerodynamic load, temperature Ngày nhận bài:14/5/2014; Ngày phản biện:28/5/2014; Ngày duyệt đăng: 28/5/2014 Phản biện khoa học: TS. Nguyễn Văn Chình – Học viện Kỹ thuật Quân sự * Tel: 0982 140560, Email: ledinhvhp@gmail.com