Phân loại các đường có f- Độ cong hằng trên mặt phẳng Minkowski với mật độ e-x

PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG CÓ f -ĐỘ CONG HẰNG TRÊN MẶT PHẲNG MINKOWSKI VỚI MẬT ĐỘ e−x VÕ NGỌC CƯƠNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế TRẦN LÊ NAM Trường Đại học Đồng Tháp Tóm tắt: Đa tạp với mật độ là bộ ba ( Mn, g, e−f ) , ở đó Mn là một đa tạp Riemann n-chiều với mêtric g và f là một hàm thực trơn trên M , được dùng làm trọng số cho thể tích k-chiều, 1 ≤ k ≤ n. Nó xuất hiện một cách tự nhiên trong Toán học, Vật lý và Kinh tế. Chúng ta chứng minh được rằng một siêu mặt có f -độ cong hằng trong không gian Rn với mật độ ex là một nghiệm tịnh tuyến của dòng độ cong trung bình với trường lực mở rộng. Trong bài báo này, cùng với hình vẽ minh họa, chúng tôi phân loại các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng Minkowski với mật độ e−x. Từ khóa: độ cong hằng, dòng độ cong trung bình, nghiệm tịnh tuyến 1 GIỚI THIỆU Không gian Minkowski (n + 1)-chiều, ký hiệu Rn+11 , là không gian vectơ Rn+1 được trang bị một tích vô hướng Lorentz xác định bởi g(x, y) := 〈x, y〉 = n∑ i=1 xiyi − xn+1yn+1, (1) trong đó x = (x1, x2, . . . , xn+1) , y = (y1, y2, . . . , yn+1) . Chúng ta gọi siêu mặt kiểu đồ thị Σ = {( x,w(x) ) : x ∈ Ω} ⊂ Rn+11 , ở đó Ω ⊂ Rn là một miền mở, là kiểu không gian ngặt (strictly spacelike) nếu w ∈ C1(Ω) và |Dw| < 1 trong Ω; Σ được gọi là kiểu không gian yếu nếu w ∈ C0,1(Ω) và |Dw| ≤ 1 trong Ω. Ở đó, C0,1(Ω) là lớp các hàm Lipschitz địa phương trong Ω. Dòng độ cong trung bình với thành phần lực mở rộng trong không gian Minkowski là một họ các phép nhúng trơn, kiểu không gian ngặt Xt = X(., t) : Ω ⊆ Rn → Rn+11 Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(33)/2015: tr. 5-14 6 VÕ NGỌC CƯƠNG - TRẦN LÊ NAM với các ảnh Mt = Xt(Ω) tương ứng thỏa mãn phương trình tiến hóa (evolution) dX dt = (H −H)ν (2) trong một khoảng thời gian, ở đó H, ν lần lượt là độ cong trung bình và vectơ pháp đơn vị của Mt trong Rn+11 , H là thành phần lực. Khi siêu mặt ban đầu là một đồ thị toàn phần, phương trình (2) tương đương, sai khác một vi phôi trong Rn, với phương trình ∂V ∂t = √ 1− |∇V |2 [ div ( ∇V√ 1− |∇V |2 ) −H ] trong Rn (3) với |∇V (., t)| < 1. Phương trình (3) đã được nghiên cứu bởi Ecker và Huisen trong các không thời gian vũ trụ (cosmological spacetimes, xem [3]). Các tác giả đã chứng minh tính tồn tại nghiệm toàn thời gian và tính chất hội tụ của các dòng đến các siêu mặt có độ cong trung bình H = H cho trước khi giả sử tồn tại các rào cản. Sau đó, Ecker đã chứng minh tồn tại nghiệm toàn thời gian của dòng trong không gian Minkowski với giả thuyết H = 0 (xem [2]). Một điều đáng chú ý trong kết quả này là không đòi hỏi các điều kiện ở vô tận. Gần đây, Aarons đã chứng minh tồn tại nghiệm toàn thời gian của phương trình (3) với các điều kiện ban đầu (xem [1]). Đồng thời, Aarons cũng chứng minh rằng nghiệm của (3) với H là một hằng số dương hội tụ về hoặc một siêu mặt có độ cong trung bình hằng hoặc một nghiệm tịnh tuyến. Một nghiệm tịnh tuyến của (3) với H ≡ c được đặt trưng bởi V (x, t) = u(x) + at, ở đó a là tốc độ tịnh tuyến và u : Rn → R là một siêu mặt kiểu không gian ban đầu thỏa mãn div ( ∇u(x)√ 1− |∇u(x)|2 ) = a√ 1− |∇u(x)|2 + c, ∀x ∈ R n. (4) Khi đó, điều kiện kiểu không gian trở thành |∇u(x)| < 1, ∀x ∈ Rn. (5) Trong [1], Aarons đã đưa ra dự đoán về tính đối xứng quay, hội tụ về mặt gradient kiểu không gian và sự hội tụ của hàm Vu(x) = lim ρ→∞ u(ρx) ρ . Năm 2010, Ju và các cộng sự đã chứng minh một phần của dự đoán này (xem [5]). PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG CÓ F -ĐỘ CONG HẰNG . . . 7 Mặt khác, với n = 2, gọi Γ là đồ thị của hàm u trên R, phương trình (4) trở thành k − 〈∇f, ν〉 = c, (6) ở đó k là hàm độ cong của Γ và f(x1, x2) = −ax2. Do đó, Γ là một đường có f -độ cong hằng trên mặt phẳng R21 với mật độ e−ax2 . Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu và sự quan tâm đến đa tạp với mật độ được gia tăng rất nhanh do các ứng dụng của nó trong Toán học và Vật lý. Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (Mn, g) với một hàm trơn, dương, thường được dùng là e−f , được sử dụng làm trọng số cho thể tích k-chiều, 1 ≤ k ≤ n, (xem [6]). Đây là một công cụ sắc bén để giải quyết các bài toán về tôpô và dòng độ cong trung bình. Trong [4], Hieu - Nam đã phân loại triệt để các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính. Thực hiện tương tự, chúng tôi phân loại các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng R21 với mật độ eax1 , a ∈ R∗. 2 CÁC ĐƯỜNG CÓ f -ĐỘ CONG HẰNG TRÊN MẶT PHẲNG MINKOWSKI VỚI MẬT ĐỘ e−x Bổ đề 2.1. Chúng ta có các công thức nguyên hàm sau 1. I1 = ∫ 1 + [1 c + A c .f ( At 2 )]2 1− [ 1 c + A c .f ( At 2 )]2dt = ln ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ A2f 2 ( At 2 ) − A2[ A.f ( At 2 ) + 1 ]2 − c2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ b, 2. I2 = ∫ 1 c + A c .f ( At 2 ) 1− [ 1 c + A c .f ( At 2 )]2dt = −ct2 − 12 ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ A.f ( At 2 ) − c+ 1 A.f ( At 2 ) + c+ 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ b, ở đó f = tanh hoặc f = coth, A = √ c2 + 1 và b ∈ R. Chứng minh. Do d du (tanhu) = 1− tanh2 u và d du (cothu) = 1− coth2 u nên chúng ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp f = tanh. 1. Đặt u = √ c2 + 1 c tanh t √ c2 + 1 2 , ta được: cu√ c2 + 1 = tanh t √ c2 + 1 2 , 2cdu c2 + 1 = ( 1− tanh2 t √ c2 + 1 2 ) dt. 8 VÕ NGỌC CƯƠNG - TRẦN LÊ NAM Từ đó, chúng ta suy ra dt = 2cdu c2 + 1− c2u2 . Thay dt vào tích phân, chúng ta thu được: I1 = 2c ∫ 1 + (1 c + u)2( 1− (1 c + u)2 ) (c2 + 1− c2u2)du, = 2c ∫ (c2 + 1 + 2uc+ u2c2) (1 + 2uc+ u2c2 − c2) (u2c2 − 1− c2)du = ∫ ( 2uc2 u2c2 − 1− c2 − 2uc2 + 2c u2c2 + 2uc+ 1− c2 ) du = ln ∣∣∣∣ c2u2 − c2 − 1(cu+ 1)2 − c2 ∣∣∣∣+ b, b ∈ R = ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ (c2 + 1) tanh2 t √ c2 + 1 2 − c2 − 1(√ c2 + 1 tanh t √ c2 + 1 2 + 1 )2 − c2 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ b. 2. Tương tự, đối với tích phân I2, chúng ta được: I2 = ∫ 2c2 (1 + uc) (u2c2 + 2uc+ 1− c2) (u2c2 − c2 − 1)du = ∫ ( c2 u2c2 − c2 − 1 − c2 u2c2 + 2uc+ 1− c2 ) du = − c√ 1 + c2 arctanh ( cu√ 1 + c2 ) − 1 2 ln ∣∣∣∣cu+ 1− ccu+ 1 + c ∣∣∣∣+ b, b ∈ R. Do đó, I2 = −ct 2 − 1 2 ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ √ c2 + 1 tanh t √ c2 + 1 2 − c+ 1 √ c2 + 1 tanh t √ c2 + 1 2 + c+ 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ b. Cho α(s) = ( x(s), y(s) ) là một đường cong tham số hóa tự nhiên trên R21 và số thực a khác 0. Chúng ta xét đường cong α˜(s) = (1/a) ( y(as), x(as) ) . Ký hiệu kf (α) là f -độ cong của α ứng với mật độ e−x và kf˜ (α˜) là f˜ -độ cong của α˜ ứng với mật độ e−ay. Khi đó, chúng ta có: kf (α) = x ′y′′ − x′′y′ − y′ (7) kf˜ (α˜) = ay ′x′′ − ay′′x′ + ay′. (8) Do đó, chúng ta thu được bổ đề sau đây: PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG CÓ F -ĐỘ CONG HẰNG . . . 9 Bổ đề 2.2. −akf (α) = kf˜ (α˜). (9) Gọi β là đường cong đối xứng với α qua trục Ox, tức là β(s) = ( x(s),−y(s)). Từ đẳng thức (7), chúng ta thấy rằng kf (β) = −kf (α). Từ đó, chúng ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.3. Trên mặt phẳng Minkowski R21 với mật độ e−x, hai đường tham số chính qui đối xứng nhau qua trục Ox có hàm f -độ cong đối nhau. 2.4 Phân loại đường cong có f-độ cong hằng Theo Bổ đề 2.3, chúng ta chỉ phân loại các đường có f -độ cong hằng, không âm. Khai triển đẳng thức kf = c của đường tham số độ dài cung α(t) = ( x(t), y(t) ) trên mặt phẳng Minkowski với mật độ e−x, chúng ta được hệ phương trìnhx′y′′ − x′′y′ − y′ = c,x′2 − y′2 = 1. (10) Hệ phương trình (10) tương đương với hệ phương trình x′(t) = cosh 2ϕ(t), (11a) y′(t) = sinh 2ϕ(t), (11b) 2ϕ′(t) = c+ sinh 2ϕ(t), (11c) với ϕ là một hàm khả vi. Chúng ta xét 2 trường hợp của hằng số c. Trường hợp c = 0. Khi đó, phương trình (11c) trở thành 2ϕ′ = sinh 2ϕ = 2 sinhϕ coshϕ = 2 tanhϕ cosh2 ϕ ⇐⇒d(tanhϕ) tanhϕ = dt ⇐⇒ tanhϕ = Aet, A ∈ R. 10 VÕ NGỌC CƯƠNG - TRẦN LÊ NAM Thay kết quả trên vào các phương trình (11a) và (11b), chúng ta được  x′ = tanh2 ϕ+ 1 1− tanh2 ϕ = A2e2t + 1 1− A2e2t y′ = 2 tanhϕ 1− tanh2 ϕ = 2Aet 1− A2e2t =⇒  x(t) = t− ln |A2e2t − 1|+B1 y(t) = ln ∣∣∣∣Aet + 1Aet − 1 ∣∣∣∣+B2 , A,B1, B2 ∈ R. Trường hợp c > 0. Khi đó, phương trình (11c) trở thành 2ϕ′ = c+ sinh 2ϕ = c+ 2 sinhϕ coshϕ = c+ 2 tanhϕ cosh2 ϕ ⇐⇒ 2ϕ ′ cosh2 ϕ = c cosh2 ϕ + 2 tanhϕ = c(1− tanh2 ϕ) + 2 tanhϕ ⇐⇒2d(tanhϕ) = c− c(tanhϕ− 1/c)2 + 1/c ⇐⇒2d(tanhϕ) dt = c ( 1 + 1/c2 − (tanhϕ− 1/c)2) ⇐⇒ 2d(tanhϕ) c2 + 1 c2 − (tanhϕ− 1/c)2 = cdt ⇐⇒ 1 A ln ∣∣∣∣tanhϕ− 1/c+ Atanhϕ− 1/c− A ∣∣∣∣ = ct+ b, A = √c2 + 1c , b ∈ R. Do đó,  tanhϕ− 1/c = Ae Act+b + 1 eAct+b − 1 = A tanh Act+ b 2 , (12 a) tanhϕ− 1/c = Ae Act+b − 1 eAct+b + 1 = A coth Act+ b 2 , (12 b) b ∈ R. + Thay A = √ c2 + 1 c vào (12 a), chúng ta được tanhϕ = 1 c + √ c2 + 1 c tanh t √ c2 + 1 + b 2 . PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG CÓ F -ĐỘ CONG HẰNG . . . 11 Từ đó suy ra  x′ = 1 + ( 1 c + √ c2 + 1 c tanh t √ c2 + 1 + b 2 )2 1− ( 1 c + √ c2 + 1 c tanh t √ c2 + 1 + b 2 )2 y′ = 2 ( 1 c + √ c2 + 1 c tanh t √ c2 + 1 + b 2 ) 1− ( 1 c + √ c2 + 1 c tanh t √ c2 + 1 + b 2 )2 . Áp dụng Bổ đề 2.1, chúng ta được x(t) = ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ (c2 + 1) tanh2 t √ c2 + 1 + b 2 − c2 − 1(√ c2 + 1 tanh t √ c2 + 1 + b 2 + 1 )2 − c2 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ A1 y(t) = −ct− ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ √ c2 + 1 tanh t √ c2 + 1 + b 2 − c+ 1 √ c2 + 1 tanh t √ c2 + 1 + b 2 + c+ 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ A2 , A1, A2 ∈ R. + Tương tự, từ (12 b), chúng ta được tanhϕ = 1 c + √ c2 + 1 c coth t √ c2 + 1 + b 2 . Áp dụng Bổ đề 2.1, chúng ta được x(t) = ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ (c2 + 1) coth2 t √ c2 + 1 + b 2 − c2 − 1(√ c2 + 1 coth t √ c2 + 1 + b 2 + 1 )2 − c2 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ A1 y(t) = −ct− ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ √ c2 + 1 coth t √ c2 + 1 + b 2 − c+ 1 √ c2 + 1 coth t √ c2 + 1 + b 2 + c+ 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ A2 , A1, A2 ∈ R. Định lý 2.1. Trên mặt phẳng Minkowski với mật độ e−x, các đường cong có f -độ cong hằng sai khác với các đường tham số sau một phép tịnh tuyến. 12 VÕ NGỌC CƯƠNG - TRẦN LÊ NAM (a) (α) :  x(t) = t− ln |A2e2t − 1| , y(t) = ln ∣∣∣∣Aet + 1Aet − 1 ∣∣∣∣ , A ∈ R. (b) (β) :  x(t) = ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ (c2 + 1) tanh2 t √ c2 + 1 + b 2 − c2 − 1(√ c2 + 1 tanh t √ c2 + 1 + b 2 +1 )2 − c2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ , y(t) = −ct− ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ √ c2 + 1 tanh t √ c2 + 1 + b 2 − c+ 1 √ c2 + 1 tanh t √ c2 + 1 + b 2 + c+ 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ . (c) (γ) :  x(t) = ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ (c2 + 1) coth2 t √ c2 + 1 + b 2 − c2 − 1(√ c2 + 1 coth t √ c2 + 1 + b 2 +1 )2 − c2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ , y(t) = −ct− ln ∣∣∣∣∣∣∣∣ √ c2 + 1 coth t √ c2 + 1 + b 2 − c+ 1 √ c2 + 1 coth t √ c2 + 1 + b 2 + c+ 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ . 2.6 Hình vẽ các đường cong có f-độ cong hằng -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 2 2.5 O Hình 2.1 Đường cong có f -độ cong bằng 0 PHÂN LOẠI CÁC ĐƯỜNG CÓ F -ĐỘ CONG HẰNG . . . 13 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 O α1 α2 α3 α4 α5 Hình 2.2 kf (α1) = 1, kf (α2) = 2, kf (α3) = 3, kf (α4) = 4, kf (α5) = 10 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 O α1 α2 α3 α4 α5 Hình 2.3 kf (α1) = 1, kf (α2) = 2, kf (α3) = 3, kf (α4) = 4, kf (α5) = 10 3 KẾT LUẬN Chúng tôi giải hệ phương trình vi phân (10) và thu được tham số hóa của các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng Minkowski với mật độ e−x. Từ đó, chúng tôi minh họa một số đường cong tìm được bằng hình vẽ. Kết quả phân loại cho chúng ta thấy đường cong hội tụ về hyperbol x2− y2 = −1 khi f -độ cong dần đến vô tận. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Mark A. S. Aarons (2006), Mean curvature flow with a forcing term in minkowski space, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 25(2), 205-246. [2] Klaus Ecker (1997), Interior estimates and longtime solutions for mean curvature flow of noncompact spacelike hypersurfaces in minkowski space, Journal of Differential Geometry, 45(1), 481-498. [3] Klaus Ecker and Gerhard Huisken (1991), Parabolic methods for the construction of spacelike slices of prescribed mean curvature in cosmological spacetimes, Communica- tions in mathematical physics, 135(3), 595-613. 14 VÕ NGỌC CƯƠNG - TRẦN LÊ NAM [4] Doan The Hieu and Tran Le Nam (2014), The classification of constant weighted curvature curves in the plane with a log-linear density, Communications on Pure and Applied Analysis, 13, 1641-1652. [5] Hongjie Ju, Jian Lu and Huaiyu Jian (2010), Translating solutions to mean curvature flow with a forcing term in minkowski space, Communications on Pure and Applied Analysis, 9(4), 963-973. [6] Frank Morgan (2005), Manifolds with density, Notices of American Mathematical Society, 52(8), 853 - 858. Title: THE CLASSIFICATION OF CONSTANT WEIGHTED CURVATURE CURVES IN THE MINKOWSKI PLANE WITH DENSITY e−x Abstract: Manifold with density is the triple ( M, g, e−f ) , where M is a n-dimensional Riemannian manifold with metric g and f is a smooth real function on M , used to weight k-dimensional volume, 1 ≤ k ≤ n. It arises naturally in math, physics and economics. We prove that an a hypersurface with constant f -curvature in space with density ex is a translating solution to mean curvature flow with a forcing term. In this paper, with illustrations, we classify the class of constant f -curvature curves in the Minkowski plane with density e−x. Keywords: constant curvature, mean curvature flow, translating solution VÕ NGỌC CƯƠNG SV Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ThS. TRẦN LÊ NAM Khoa Sư phạm Toán và Công nghệ thông tin, Trường Đại học Đồng Tháp