One-Sample Estimation Problems (TOÁN)

Chương 6: One-Sample Estimation Problems Giảng viên: Nguyễn Phương Contents Introduction Point Estimation Interval Estimation Single Sample: Estimating the Mean Single Sample: Estimating a Proportion Introduction Cho biến ngẫu nhiên X có thể biết hoặc chưa biết quy luật phân phối xác suất và chưa biết tham số  nào đó của nó. Hãy ước lượng  bằng phương pháp mẫu. Vì  là một hằng số nên ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng . Ước lượng như vậy gọi là ước lượng điểm. Ngoài ra, người ta còn dùng ước lượng khoảng, tức chỉ ra một khoảng số nào đó có thể chứa . Point Estimation Definition: Thống kê được gọi là ước lượng không chệch của tham số nếu Example : Chứng minh rằng là một ước lượng không chệch của tham số  Solution: Point Estimation Example : Chứng minh rằng S2 là một ước lượng không chệch của tham số Solution: Point Estimation Mặt khác, Point Estimation Lưu ý: + Kỳ vọng mẫu là ước lượng không chệch của kỳ vọng tổng thể  + Phương sai mẫu hiệu chỉnh S2 là ướclượng không chệch của phương sai tổng thể + Tỷ lệ mẫu F là ước lượng không chệch của tỷ lệ tổng thể p. Point Estimation Example: Khảo sát khối lượng của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: Những sản phẩm có khối lượng từ 19 gam trở xuống được xếp vào loại B. Hãy ước lượng khối lượng trung bình, phương sai của khối lượng trung bình và tỉ lệ các sản phẩm loại B. Point Estimation Solution: Trước hết ta thay các khoảng a-b, bằng giá trị trung bình của hai đầu mút (a+b)/2 Ta có: Trung bình mẫu: Point Estimation Phương sai mẫu hiệu chỉnh: + Tỷ lệ mẫu các sp loại B là + Ước lượng điểm của khối lượng trung bình sản phẩm là 26.36 (gam) Point Estimation + Ước lượng điểm của phương sai của khối lượng sản phẩm là + Ước lượng điểm của tỷ lệ sản phẩm loại B là 0.17 hay 17% Nếu và là hai ước lượng không chệch của tham số của cùng một tổng thể, chúng ta sẽ chọn ước lượng mà phân phối mẫu của nó có phương sai nhỏ hơn. Vì vậy, nếu , chúng ta nói ước lượng hiệu quả hơn . Definition 9.2: Nếu chúng ta xem xét tất cả các ước lượng không chệch của tham số thì ước lượng có phương sai nhỏ nhất được gọi là ước lượng hiệu quả nhất của . Point Estimation Bài toán: Xét tổng thể có tham số  chưa biết. Với cho trước, và mẫu , ta cần tìm các thống kê và sao cho Khi đó, khoảng , được tính từ mẫu , được gọi là khoảng tin cậy ; được gọi là độ tin cậy Interval Estimation Với mẫu cụ thể , tương ứng nhận giá trị cụ thể là . Khi đó, khoảng được gọi là một khoảng ước lượng của  với độ tin cậy . Với là ước lượng không chệch của . + Ước lượng khoảng đối xứng của  với độ tin cậy có dạng với , sao cho Interval Estimation Trong ước lượng khoảng đối xứng , ta gọi là độ chính xác. Chú ý rằng nếu càng lớn thì ước lượng khoảng càng dài, cung cấp cho ta ít thông tin về đặc số ; ngược lại nếu càng nhỏ thì khoảng ước lượng khoảng càng ngắn cho ta nhiều thông tin về đặc số nên tính chính xác của ước lượng càng cao. Interval Estimation + Ước lượng khoảng tin cậy bên trái của với độ tin cậy có dạng với , sao cho + Ước lượng khoảng tin cậy bên trái của với độ tin cậy có dạng với , sao cho Interval Estimation Single Sample: Estimating the Mean Bài toán ước lượng khoảng đối xứng: Xét tổng thể có kỳ vọng chưa biết. Với độ tin cậy , hãy dựa vào mẫu để đưa ra ước lượng khoảng cho kỳ vọng có dạng , tức , trong đó là kỳ vọng mẫu. Single Sample: Estimating the Mean Lời giải: Ta chia bài toán thành 4 trường hợp tùy theo phân phối của kỳ vọng mẫu Trường hợp 1: đã biết Trong trường hợp này, có phân phối xấp xỉ chuẩn , hay Với độ tin cậy Vì nên Single Sample: Estimating the Mean Single Sample: Estimating the Mean với là phân vị mức của phân phối chuẩn chính tắc Z. Khi đó, Single Sample: Estimating the Mean Trường hợp 2: chưa biết Tương tự như trường hợp 1, nhưng trong trường hợp này có phân phối xấp xỉ chuẩn , hay  trong đó S là độ lệch chuẩn của mẫu. Tương tự, ta cũng có Single Sample: Estimating the Mean Trường hợp 3: đã biết; X có phân phối chuẩn Trong trường hợp này, có phân phối chuẩn , hay . Tương tự trường hợp 1, ta có Single Sample: Estimating the Mean Trường hợp 4: chưa biết; X có phân phối chuẩn Trong trường hợp này có phân phối Student với n -1 bậc tự do (n là cỡ mẫu) Single Sample: Estimating the Mean Với độ tin cậy , ta có  hay Single Sample: Estimating the Mean Example: Khảo sát khối lượng của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau: Những sp có khối lượng =30 Ta có 1-=0.95 Tra bảng ta được: 1-/2=0.95 Single Sample: Estimating the Mean Khoảng ước lượng khối lượng trung bình của sản phẩm là Thay số ta được: 24.89 100 nên cần điều tra thêm ít nhất 118 – 100 =18 sản phẩm nữa. Single Sample: Estimating a Proportion