Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán

* cho F1, F2, F2F2= 2c, cho a > c > 0 M ?(E) ?MF1+ MF2= 2a. * (E) : 2 2 2 2 b y a x + = 1 (a > b > 0) : tiêu điểm : F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu cự : F1F2= 2c, trục lớn A1A2= 2a; trục nhỏ BB 1B2B = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = ±a/e; bk qua tiêu : MF1= a + exM, MF2= a – exM; tt với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E), (E) tx (d) : Ax + By + C = 0 ?a 2 A 2 + b 2 B 2 = C 2 ; a 2 = b 2 + c 2 . * (E) : 1 a y b x 2 2 2 2 =+ (a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2= 2c; trục lớn A1A2= 2a; trục nhỏ B1B2= 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = ±a/e; bán kính qua tiêu MF1= a + eyM, MF2= a – eyM; tiếp tuyến với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax + By + C = 0 ?aB+ bA= C; a = b+ c(Chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên bằng cách thay x bởi y, y bởi x).

pdf28 trang | Chia sẻ: aloso | Lượt xem: 1893 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Giai thừa : n! = 1.2...n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n 2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. 5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : )!kn(!k !nCkn −= 6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : = =− k k n n n!A , A (n k)! k n kC .P Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 7. Tam giác Pascal : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 3 3 2 3 1 3 0 3 2 2 1 2 0 2 1 1 0 1 0 0 CCCCC CCCC CCC CC C Tính chất : k 1n k n 1k n kn n k n n n 0 n CCC CC,1CC +− − =+ === 8. Nhị thức Newton : * n0nn11n1n0n0nn baC...baCbaC)ba( +++=+ − a = b = 1 : ... 0 1 nn n nC C ... C 2+ + + = n Với a, b ∈ {±1, ±2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : nn1n0n C,...,C,C * nnn1n1nn0nn xC...xaCaC)xa( +++=+ − Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách : nn1n0n C,...,C,C - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ... TRANG 1 - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ... - Cho a = ±1, ±2, ..., hay ∫∫ ±± 2 0 1 0 ...hay β α ∫ Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : k n k k mnC a b Kx − = Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. m r k n k k p q nC a b Kc d − = Giải hệ pt : ⎩⎨ ⎧ ∈ ∈ Zq/r Zp/m , tìm được k * Giải pt , bpt chứa : đặt điều kiện k, n ∈ N...C,A knkn * ..., k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ 1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎩⎨ ⎧ = ≠ == b/ca 0b 0cb a/b = c ⇔ ; ⎩⎨ ⎧ ≠ = 0b bca 1n21n2 baba ++ =⇔= TRANG 2 2n 2n 2n 2n b aa b a b, a b a 0 ⎧ == ⇔ = ± = ⇔ ⎨ ≥⎩ ⎩⎨ ⎧ α=⇔=≥ ±=⇔= α abbloga,0a ab ba ⎩⎨ ⎧ > < ⎩⎨ ⎧ < > >= ⇔<−<⇔<+ b/ca 0b b/ca 0b 0c,0b cab;bcacba 2. Giao nghiệm : ⎩⎨ ⎧ <⇔< < ⎩⎨ ⎧ >⇔> > }b,amin{x bx ax ;}b,amax{x bx ax ⎧⎨Γ⎧ > ∨< < < ⎧ ⎩⇔ ⇔⎨ ⎨< Γ≥ ⎧⎩⎩ ⎨Γ⎩ p x a p qa x b(nếua b) ; x b VN(nếua b) q Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm. 3. Công thức cần nhớ : a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện. ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ≥ ⎩⎨ ⎧ ⇔≤= ≥⇔= 22 ba0 0b ba, ba 0b ba ⎩⎨ ⎧ ≥ ≥ ⎩⎨ ⎧ ∨≥ <⇔≥ 2ba 0b 0a 0b ba )0b,anếu(b.a )0b,anếu(b.aab <−− ≥= b. . : phá . bằng cách bình phương : 22 aa = hay bằng định nghĩa : )0anếu(a )0anếu(a a <− ≥= baba; ba 0b ba ±=⇔=⎩⎨ ⎧ ±= ≥⇔= a b b a ≤ ⇔ − ≤ ≤ b b 0 a b b 0hay a b a ≥⎧≥ ⇔ < ⎨ ≤ − ∨ ≥⎩ b 0baba 22 ≤−⇔≤ c. Mũ : .1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay x ↑>∈= TRANG 3 0 m / n m m n m nn m n m n m n m.n n n n n n n m n a 1 ; a 1/ a ; a .a a a / a a ; (a ) a ; a / b (a/ b) a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1 − + − = = = = = = = = ⇔ = < ≠ ∨ α=α ><⇔< alognm a, )1a0nếu(nm )1anếu(nm aa d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaaα loga(MN) = logaM + logaN (⇐ ) loga(M/N) = logaM – logaN (⇐ ) 2aaa2a MlogMlog2,Mlog2Mlog == (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, Mlog 1Mlog aa α=α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N a a 0 M N(nếua 1) log M log N M N 0(nếu0 a 1 > < < ) Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện. 4. Đổi biến : a. Đơn giản : Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt ax2 ∈=>=≥=≥=≥=∈+= Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức. b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 5. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a TRANG 4 Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += = 21 21 x.xP xxS 0g Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 * Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 : x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > >Δ 0S 0P 0 x1 < x2 < 0 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > >Δ 0S 0P 0 * Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0 α < x1 < x2 ⇔ ; x⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <α >α >Δ 2/S 0)(f.a 0 1 < x2 < α ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ α< >α >Δ 2/S 0)(f.a 0 α < x1 < β < x2 ⇔ a.f( ) 0 a.f( ) 0 β ⎨⎪ α < β⎩ ; x1 < α < x2 < β ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ β<α >β <α 0)(f.a 0)(f.a 7. Phương trình bậc 3 : a. Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0 x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0 b. Số nghiệm phương trình bậc 3 : • x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : 3 nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≠α >Δ 0)(f 0 2 nghiệm phân biệt ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≠α =Δ∨⎩⎨ ⎧ =α >Δ 0)(f 0 0)(f 0 1 nghiệm ⇔ ( ) Δ⎧Δ ⎨ α⎩ = 0 < 0 hay f = 0 • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m. • Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 TRANG 5 3 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ < >Δ 0y.y 0 CTCĐ 'y 2 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ = >Δ 0y.y 0 CTCĐ 'y 1 nghiệm ⇔ Δy' ≤ 0 ∨ ⎩⎨ ⎧ > >Δ 0y.y 0 CTCĐ 'y c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : ⇔ ⎩⎨ ⎧ = >Δ 0y 0 uốn 'y d. So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) α < x1 < x2 < x3 ⇔ y ' CĐ CT CĐ 0 y .y 0 y( ) 0 x Δ >⎧⎪ <⎪⎨ α <⎪⎪α <⎩ α x1 x1 < α < x2 < x3 ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ <α >α < >Δ CT CTCĐ 'y x 0)(y 0y.y 0 αx1 x x x1 < x2 < α < x3 ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ α< <α < >Δ CĐ CTCĐ 'y x 0)(y 0y.y 0 α x1 x x x1 < x2 < x3 < α ⇔ y ' CĐ CT CT 0 y .y 0 y( ) 0 x Δ >⎧⎪ ⎪⎪ < α⎩ α x1 x x 8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : TRANG 6 f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α 2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ >Δ ≠α 0 0)(f ⎩⎨ ⎧ ≠α =Δ ⎩⎨ ⎧ =α >Δ 0)(f 0 0)(f 0 Vô nghiệm ⇔ Δ < 0 ∨ ⎩⎨ ⎧ =α =Δ 0)(f 0 Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. 9. Phương trình bậc 4 : a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ ⎩⎨ ⎧ = ≥= 0)t(f 0xt 2 t = x2 ⇔ x = ± t 4 nghiệm ⇔ ; 3 nghiệm ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > > >Δ 0S 0P 0 ⎩⎨ ⎧ > = 0S 0P 2 nghiệm ⇔ ; 1 nghiệm ⇔ ⎩⎨ ⎧ > =Δ < 02/S 0 0P ⎩⎨ ⎧ = =Δ ⎩⎨ ⎧ < = 02/S 0 0S 0P VN ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > ≥Δ 0S 0P 0 0 0 P S ⎧⎪ >⎨⎪ <⎩ 4 nghiệm CSC ⇔ ⎩⎨ ⎧ = << 12 21 t3t tt0 Giải hệ pt : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += = 21 21 12 t.tP ttS t9t b. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x + x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : 2t ≥ c. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x – x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R. d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT. e. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt : 2 baxt ++= , t ∈ R. TRANG 7 10. Hệ phương trình bậc 1 : ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 'cy'bx'a cbyax . Tính : D = 'b b 'a a , Dx = 'b b 'c c , Dy = 'c c 'a a D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D. D = 0, Dx ≠ 0 ∨ Dy ≠ 0 : VN D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. ĐK : S2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. (α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất ⇒ α = β ⇒ m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. 13. Hệ phương trình đẳng cấp : ⎩⎨ ⎧ =++ =++ 'dy'cxy'bx'a dcybxyax 22 22 Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx. 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của ., , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a, b ≥ 0 : ab 2 ba ≥+ Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a, b, c ≥ 0 : 3 abc 3 cba ≥++ Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : TRANG 8 Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + 2π 0 2− π 1. Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. 2− π 2π0 Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của 6 π ( 3 1 cung phần tư) và 4 π ( 2 1 cung phần tư) α 0A x+k2π M x = α + n k2 π : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác. 2. Hàm số lượng giác : 3. Cung liên kết : * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π). cotg chiếu xuyên tâm tg Mcos chiếu ⊥ sin M * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu 2 π (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. f. Đưa về 2 atgt = : đưa lượng giác về đại số. g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. TRANG 9 5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, sinα = 1 ⇔ α = 2 π + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – 2 π + k2π, cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = 2 π + kπ, cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 * Chia 2 vế cho 22 ba + , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo 2 utgt = ) 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. Đặt : t = sinu + cosu = 2t 12 sin u , 2 t 2,sin u.cos u 4 2 π −⎛ ⎞+ − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 8. Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu : Đặt : 2 12 0 2 4 2 tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= + = + ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt : π −⎛ ⎞= − = − − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 21 tt sin u cos u 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u 4 2 10. Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ và sinu.cosu : Đặt : 212 0 2 4 2 tt sinu cosu sin u , t ,sinu.cosuπ −⎛ ⎞= − = − ≤ ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng TRANG 10 * t = tg 2 x : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 14. Phương trình đặc biệt : * ⎩⎨ ⎧ = =⇔=+ 0v 0u 0vu 22 * ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ ≤ = Cv Cu Cv Cu vu * ⎩⎨ ⎧ = =⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=+ ≤ ≤ Bv Au BAvu Bv Au * sinu.cosv = 1 ⇔ ⎩⎨ ⎧ −= −=∨⎩⎨ ⎧ = = 1vcos 1usin 1vcos 1usin * sinu.cosv = – 1 ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −=∨⎩⎨ ⎧ −= = 1vcos 1usin 1vcos 1usin Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg a. Dạng 1 : ⎩⎨ ⎧ =± =± )2(nyx )1(m)y(F)x(F . Dùng công thức đổi + thành nhân, thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : ⎩⎨ ⎧ =− =+ byx ayx b. Dạng 2 : ⎩⎨ ⎧ =± = nyx m)y(F).x(F . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +. c. Dạng 3 : ⎩⎨ ⎧ =± = nyx m)y(F/)x(F . Dùng tỉ lệ thức : db ca db ca d c b a − −=+ +⇔= biến đổi phương trình (1) rồi dùng công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán Δ : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : TRANG 11 a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA * pr R4 abcCsinab 2 1ah 2 1S a ==== )cp)(bp)(ap(p −−−= * Trung tuyến : 222a ac2b22 1m −+= * Phân giác : ℓa = cb 2 Acosbc2 + IV- TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f : = F(x) + C (C ∈ R) ∫ dx)x(f * α+ α= + = +α +∫ ∫ 1udu u C ; u du C 1 , α ≠ – 1 u udu ln u C; e du e C; u = + = +∫ ∫ ∫ += Caln/adua uu ; sinudu cosu C= − +∫ ∫ += Cusinuducos ∫ ; +−= Cgucotusin/du 2 ∫ += Ctguucos/du 2 * = = −∫b ba a f(x)dx F(x) F(b) F(a) * ∫ ∫ ∫∫∫ +=−== ba ca ba cbabaa ,;0 ∫ ∫ ∫∫∫∫ =+=+ b a b a b a b a b a fkkf;gf)gf( 2. Tích phân từng phần : udv uv vdu= −∫ ∫ Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. a. ∫ ∫ ∫ = nnnxn xu:xcosx;xsinx,ex b. ∫ = xlnu:xlnxn c. ∫ ∫ == dxedvhayeu:xcose,xsine xxxx từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : TRANG 12 a. : u = sinx. ∫ + xcos.xsin 1n2m : u = cosx. ∫ + xsin.xcos 1n2m : hạ bậc về bậc 1 ∫ xcos.xsin n2m2 b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ xcos/xtg n2m2 : u = cotgx (n ≥ 0) ∫ xsin/xgcot n2m2 c. chứa a∫ 2 – u2 : u = asint chứa u∫ 2 – a2 : u = a/cost chứa a∫ 2 + u2 : u = atgt d. , R : hàm hữu tỷ ∫ )xcos,x(sinR R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx R đơn giản : 2 xtgu = ∫ π −π= 2/ 0 x 2 uđặtthử: ∫ π −π= 0 xuđặtthử: e. ∫ +=∈++ nqq/pnm bxau:Zn/)1m(,)bxa(x f. ∫ +=∈+++ nnqq/pnm bxaxu:Zqpn 1m,)bxa(x g. u 1khx:cbxax)khx/[(dx 2 =++++∫ h. ∫ ++ )dcx/()bax(,x(R , R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++= i. chứa (a + bx∫ k)m/n : thử đặt un = a + bxk. 4. Tích phân hàm số hữu tỷ : : bậc P < bậc Q ∫ )x(Q/)x(P * Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : n n 2 21n )ax( A... )ax( A ax A)ax(, ax Aax ++++++→++→+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =+=<Δ+++++++ +→<Δ++ ∫ ∫ atgtuđặt:)au/(du)0(cbxax dxcbxax Bcbxax )bax2(A)0(cbxax 222222 TRANG 13 5. Tính diện tích hình phẳng : a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : ∫= b a D dx)x(fS f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ⏐.⏐; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : ∫ −= b a D dx)x(g)x(fS Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 α / b D a S f(x) g(x) dx= −∫ x=b x=a f(x) g(x) β / b D a S f(y) g(y) dy= −∫ y=a f(y) y=b g(y) Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay − ( )trái:...x,phải:...x,dưới:...y,trên:...y −=+=−=+= 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : a b f(x)a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : [ ]∫π= b a 2 dx)x(fV a b f(y) b. [ ]∫π= b a 2 dy)y(fV b f(x) g(x a TRANG 14 c. ∫ −π= b a 22 dx)]x(g)x(f[V f(y) a g(y) b d. ∫ −π= b a 22 dy)]y(g)y(f[V a b c f(x) -g(x)f(x) g(x a be. ∫∫ π+π= b c 2 c a 2 dx)x(gdx)x(fV f. ∫∫ π+π= b c 2 c a 2 dy)y(fdy)y(gV Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy. V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Tìm lim dạng 0 0 , dạng 1 ∞ : a. Phân thức hữu tỷ : 1 1 ax1 1 axax Q Plim )x(Q)ax( )x(P)ax(lim)0/0dạng( )x(Q )x(Plim →→→ =− −= b. Hàm lg : 1 u usinlimthứccôngdùng),0/0dạng( )x(g )x(flim 0uax =→→ c. Hàm chứa căn : )0/0dạng( )x(g )x(flim ax→ , dùng lượng liên hiệp : a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1∞) : dùng công thức e)u1(lim u/1 0u =+→ 2. Đạo hàm : a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : o o oxx 0 xx )x(f)x(flim)x('f − −= → Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : Nếu thì f có đạo hàm tại x.lim)x(f,lim)x(f oxx o / oxx o / −→−+→+ == )x(f)x(f o/o/ −+ = o. b c f(y) -g(y)a b. Ý nghĩa hình học : M α f(x) TRANG 15 k = tgα = f/(xM) c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ f// + : f lõm , f// – : f lồi d. f đạt CĐ tại M ⇔ ⎩⎨ ⎧ < = 0)x(f 0)x(f M // M / f đạt CT tại M ⇔ ⎩⎨ ⎧ > = 0)x(f 0)x(f M // M / M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (xα)/ = αxα–1 , (lnx)/ = 1/x , ( )a 1log x x ln a′ = , (ex)/ = ex (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ... f. Vi phân : du = u/dx 3. Tiệm cận : ∞=→ ylimax ⇒ x = a : tcđ x a y ∞ ∞ x −∞ +∞ bylim x =∞→ ⇒ y = b : tcn y b b x −∞ +∞ 0)]bax(y[lim x =+−∞→ ⇒ y = ax + b : tcx y ∞ ∞ * Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. * Xét )x(Q )x(Py = TRANG 16 • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : )x(Q )x(Pbax)x(f 1++= , tcx là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer. * Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : cy ax b dx e = + + + ( d ≠ 0 ) • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 4. Đồ thị các hàm thường gặp : a/ y = ax + b : b/ y = ax2 + bx + c c/ y = ax3 + bx2 + c + d a> 0 : a < 0 : d/ y = ax4 + bx2 + c a > 0 a < 0 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0) ad - bc > 0 ad - bc < 0 f/ y = edx cbxax2 + ++ (ad ≠ 0) ad > 0 a > 0 a < 0 a = 0 a 0 y′Δ > 0 y′Δ = 0 y′Δ < 0 ab > 0 ab < 0 y′Δ > 0 y′Δ = 0 y′Δ < 0 TRANG 17 ad < 0 5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : x a a x = a y < b y > b b y = b g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox). (C/) : y = )x(f : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy). 6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) a/ Điểm cố định : M(xo, yo) ∈ (Cm), ∀m ⇔ yo = f(xo, m), ∀m ⇔ Am + B = 0, ∀m (hay Am2 + Bm + C = 0, ∀m) ⇔ (hay ). Giải hệ, được M. ⎩⎨ ⎧ = = 0B 0A ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = 0C 0B 0A b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(xo, yo) ∉ (Cm), ∀m ⇔ yo ≠ f(xo,m), ∀m ⇔ yo = f(xo, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) ⇔ (hay ). Giải hệ , được M. ⎩⎨ ⎧ ≠ = 0B 0A ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎩⎨ ⎧ <Δ ≠∨ ≠ = = 0 0A 0C 0B 0A Chú ý : C B A = VN ⇔ B = 0 ∨ ⎩⎨ ⎧ = ≠ VNBCA 0B c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương. 7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : . Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm. ⎩⎨ ⎧ = = /C / C / /CC yy yy b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). TRANG 18 * // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. * ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y = a 1− x + m. Tìm m nhờ đk tx. c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : ⎩⎨ ⎧ = = ky yy C / dC (1). Thế k vào (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 8. TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung. * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) : • Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d). • PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : lập Δ, xét dấu Δ, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 9. CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần. * f đạt cực đại tại xo ⇔ ⎩⎨ ⎧ < = 0)x(f 0)x(f o // o / f đạt cực tiểu tại xo ⇔ ⎩⎨ ⎧ > = 0)x(f 0)x(f o // o / * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ /fΔ > 0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2. • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α . • 1 bên (Ox) ⇔ 0 0 /f CD CTy .y Δ >⎧⎪⎨ >⎪⎩ • 2 bên (Ox) ⇔ 0 0 /f CD CTy .y Δ >⎧⎪⎨ <⎪⎩ * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT 0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). TRANG 19 * Tính yCĐ.yCT : • Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. • Hàm bậc 2/ bậc 1 : v uy = yCĐ.yCT = )x(v).x(v )x(u).x(u CT / CĐ / CT / CĐ / , dùng Viète với pt y/ = 0. * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc 3 : y = Cx + D • Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0 10. ĐƠN ĐIỆU : a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (−∞, x1) + hàm số tăng trên (x2, +∞) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (−∞, x1) + hàm số giảm trên (x2, +∞) + hàm số tăng trên (x1, x2) b. Biện luận sự biến thiên của y = 1bậc 2bậc i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định. iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và 1 2 x x p 2 m + =− . iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và 1 2 x x p 2 m + =− . c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α. 11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : TRANG 20 a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. b. Với pt mũ, log, ., , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f. 12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? ⇔ xo ? (hay yo ?) • Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a. • Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b. 13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a. c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn : M N M N M M N N x x 2x y y 2y y f(x ) y f(x ) + =⎧⎪ + =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩ I I d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là (d') : y = – a 1 x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB. B 14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + edx c + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈ +++= Zy,x edx cbaxy MM M MM ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∈+ +++= Z edx c,x edx cbaxy M M M MM ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+∈ +++= ccủasốướcedx,Zx edx cbaxy MM M MM 15. Tìm min, max của hàm số y = f(x) Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max. TRANG 21 16. Giải bất phương trình bằng đồ thị : a b f g f g ⇔ ⎢⎣ ⎡ < < xb ax f ≤ g ⇔ a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔ ⎢⎣ ⎡ ≥ ≤ bx ax VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1. Tọa độ , vectơ : * (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/) k(a, b) = (ka, kb) (a, b) = (a/, b/) ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = / / bb aa (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ 22 ba)b,a( += / / / v .vcos( v ,v ) v . v = r rr r r r ABAB),yy,xx(AB ABAB =−−= M chia AB theo tỉ số k ⇔ MBkMA = ⇔ k1 kyyy, k1 kxxx BAMBAM − −=− −= (k ≠ 1) M : trung điểm AB ⇔ 2 yyy, 2 xxx BAMBAM +=+= M : trọng tâm ΔABC ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++= ++= 3 yyyy 3 xxxx CBA M CBA M (tương tự cho vectơ 3 chiều). * Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp : )'c,'b,'a(v),c,b,a(v / == [ ] ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= /////// b b a a , a a c c , c c b b v,v rr / / /v ,v ] v . v .sin( v ,v )=r r r r r r[ [ // v,v]v,v rrrr ⊥ r * vr ⊥ ⇔ /v /v.v rr = 0 ; = 0 ; / /v // v [ v ,v ]⇔r r r r /// v,v,v rrr đồng phẳng ⇔ [ 0v].v,v r /// =rr TRANG 22 [ ]AC,AB 2 1S ABC =Δ [ ]AS.AC,AB 6 1V ABC.S = / 'D'C'B'A.ABCD AA].AD,AB[V = A, B, C thẳng hàng ⇔ AB // ACuuur uuur * Δ trong mp : H là trực tâm ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = 0AC.BH 0BC.AH H là chân đường cao ha ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = BC//BH 0BC.AH M là chân phân giác trong ⇔ ∧A MC AC ABMB −= M là chân phân giác ngòai ⇔ ∧A MC AC ABMB += I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC. I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong của ΔABM với M là chân phân giác trong của ΔABC. ∧ B ∧ A 2. Đường thẳng trong mp : * Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp v = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) : (d) : ⎩⎨ ⎧ −=−+= += b yy a xx:)d(, btyy atxx oo o o (d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0 * (d) qua A(a, 0); B(0,b) : 1 b y a x =+ * (AB) : AB A AB A yy yy xx xx − −=− − * (d) : Ax + By + C = 0 có )B,A(n;)A,B(v =−= * (d) // (Δ) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By + C′ = 0 * (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0 * (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ thì : cosϕ = ( )/ / / d d d d d d n .n cos( n ,n ) n . n ≠ uur uuur uur uuur uur uuur * d(M,(d)) = 22 MM BA CByAx + ++ * Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là : TRANG 23 2/2/ /// 22 BA CyBxA BA CByAx + ++±=+ ++ /dd n.n > 0 : phân giác góc tù + , nhọn – /dd n.n < 0 : phân giác góc tù – , nhọn + * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm. 3. Mặt phẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp 'v,v . (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 n = [ 'v,v ] (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C). (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ⇔ (P) : x/a + y/b + z/c = 1 * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0 d(M,(P)) = 222 ooo CBA DCzByAx ++ +++ * (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cosϕ = )n,ncos( )'P()P( * (P) ⊥ (P/) ⇔ )'P()P( nn ⊥ , (P) // (P/) ⇔ )'P()P( n//n 4. Đường thẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ : 'n,n : (d) : c zz b yy a xx:)d(, ctzz btyy atxx ooo o o o −=−= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − += += += ]'n,n[v = * (AB) : A A B A B A B A A x x y y z z x x y y z z − − −= =− − − * (d) = (P) ∩ (P/) : 0 0 Ax By Cz D A' x B' y C' z D' + + + =⎧⎨ + + + =⎩ * (d) qua A, vtcp v thì : d(M,(d)) = v ]v,AM[ * ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì : cosϕ = )v,vcos( /dd * ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì : TRANG 24 sinϕ = )n,vcos( pd * (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n : (d) cắt (P) ⇔ n.v ≠ 0 (d) // (P) ⇔ n.v = 0 và M ∉ (P) (d) ⊂ (P) ⇔ n.v = 0 và M ∈ (P) * (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp 'v : (d) cắt (d/) ⇔ [ 'v,v ] ≠ 0 , AB]'v,v[ = 0 (d) // (d/) ⇔ [ 'v,v ] = 0 , A ∉ (d/) (d) chéo (d/) ⇔ [ 'v,v ] ≠ 0 , AB]'v,v[ ≠ 0 (d) ≡ (d/) ⇔ [ 'v,v ] = 0 , A ∈ (d/) * (d) chéo (d/) : d(d, d/) = ]'v,v[ AB]'v,v[ * (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (Δ) : tìm ]'v,v[n = ; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n ; (Δ) = (P) ∩ (P/). * (d) ⊥ (P), cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d/). * (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P). * (d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/). * (d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//). * (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d/). * Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P). * Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P). * Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P); (d/) = (P) ∩ (Q) * Tìm hc song song của (d) theo phương (Δ) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (Δ); (d/) = (P) ∩ (Q). 5. Đường tròn : * Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = CBA 22 −+ * (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ R. * Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = MB.MA = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) 0. * Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0 TRANG 25 * (C), (C/) ngoài nhau ⇔ II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt ⇔ /RR − < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong ⇔ = /RR − (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau ⇔ < /RR − (không có tt chung). 6. Mặt cầu : * Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2. * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R = DCBA 222 −++ * (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ R. * Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S). * Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0 ⇔ M trong (S), > 0 ⇔ M ngoài (S). * Mặt đẳng phương của (S) và (S/) : 2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0 * Tương giao giữa (S), (S/) : như (C), (C/). * Khi (S), (S/) tx trong thì tiết diện chung là mặt đẳng phương. * Khi (S), (S/) cắt nhau thì mp qua giao tuyến là mặt đẳng phương. 7. Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > 0 M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a. * (E) : 2 2 2 2 b y a x + = 1 (a > b > 0) : tiêu điểm : F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ BB1B2B = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = ± a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM, MF2 = a – exM; tt với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E), (E) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2. * (E) : 1 a y b x 2 2 2 2 =+ (a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1BB2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = ± a/e; bán kính qua tiêu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a B + b A = C ; a = b + c (Chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên bằng cách thay x bởi y, y bởi x). 2 2 2 2 2 2 2 2 8. Hypebol : * Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c. M ∈ (H) ⇔ 21 MFMF − = 2a (H) : 2 2 2 2 b y a x − = 1 (pt chính tắc) tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo TRANG 26 BB1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo BB1B2B = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh phải MF1 = exM + a , MF2 = exM – a , M ∈ nhánh trái MF1 = – exM – a, MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H); (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y = ± a b x hình chữ nhật cơ sở : x = ± a, y = ± b; c2 = a2 + b2. (H) : 1 b x a y 2 2 2 2 =− (pt không chính tắc) tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(– b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1BB1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = ± a/e; bán kính qua tiêu : M ∈ nhánh trên MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M ∈ nhánh dưới MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H); (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tiệm cận x = ± a b y hình chữ nhật cơ sở : y= ± a, x = ± b; c2 = a2 + b2 (chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc bằng cách thay x bởi y, y bởi x). 9. Parabol : * Cho F, F ∉ (Δ) M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(Δ)) (P) : y2 = 2px (p > 0) (phương trình chính tắc). tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pB2 = 2AC (p : hệ số của x trong (P) đi với B : hệ số của y trong (d)); tham số tiêu : p. (P) : y2 = – 2px (p > 0) (phương trình không chính tắc). tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pB2 = – 2AC. (P) : x2 = 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc). tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = 2BC (p : hệ số của y trong (P) đi với A : hệ số của x trong (d)). (P) : x2 = – 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc). tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = – 2BC . CHÚ Ý : * Cần có quan điểm giải tích khi làm toán hình giải tích : đặt câu hỏi cần tìm gì? (điểm trong mp M(xo,yo) : 2 ẩn ; điểm trong không gian (3 ẩn); đường thẳng trong mp Ax + By + C = 0 : 3 ẩn A, B, C - thực ra là 2 ẩn; đường tròn : 3 ẩn a, b, TRANG 27 R hay A, B, C; (E) : 2 ẩn a, b và cần biết dạng ; (H) : như (E); (P) : 1 ẩn p và cần biết dạng; mp (P) : 4 ẩn A, B, C, D; mặt cầu (S) : 4 ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D; đường thẳng trong không gian (d) = (P) ∩ (Q); đường tròn trong không gian (C) = (P) ∩ (S). * Với các bài toán hình không gian : cần lập hệ trục tọa độ. HÀ VĂN CHƯƠNG- PHẠM HỒNG DANH-NGUYỄN VĂN NHÂN. (TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN) TRANG 28

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfÔn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán.pdf
Tài liệu liên quan