Ôn tập: Phương pháp vi phân tìm nguyên hàm

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 12 2 2xdx d x d x a d a x= = ± = − − 6. ( ) ( ) ( )2 cot cot cotsin dx d x d x a d a x x = − = − ± = − 2. ( ) ( ) ( )2 3 3 31 1 13 3 3x dx d x d x a d a x= = ± = − − 7. ( ) ( ) ( )2dx d x d x a d a xx = = ± = − − 3. sin (cos ) (cos ) ( cos )x dx d x d x a d a x= − = − ± = − 8. ( ) ( ) ( )x x x xe dx d e d e a d a e= = ± = − − 4. cos (sin ) (sin ) ( sin )x dx d x d x a d a x= = ± = − − 9. ( ) ( ) ( )ln ln lndx d x d x a d a x x = = ± = − − 5. ( ) ( ) ( )2 tan tan tancos dx d x d x a d a x x = = ± = − − 10. ( ) ( )1 1dx d ax b d b ax a a = + = − − Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 1 21 xI dx x = +∫ b) 2 10 2 (1 )I x x dx= +∫ c) 2 3 3 1 x dxI x = + ∫ Lời giải: a) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( ) ( ) 2 2 21 1 2 2 2 ln x xdx d d x d x a du d u u    = = = ±       = Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 (ln ) ln 2 1 12 2 2 11 1 1 ln 1 . 2 2 21 1 1 du d u u C u d x d xxI dx I x C x x x = = ++ = = = ←→ = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( )2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 n n x xdx d d x d x a u u du d n +    = = = ±         =   +  Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 112 10 102 2 2 2 111 1 1 . 2 22 x I x x dx x d x C + = + = + + = +∫ ∫ c) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( ) 3 2 31 3 3 2 x x dx d d x a du d u u    = = ±        = Ta có ( ) ( )3 32 3 3 3 3 3 1 11 2 2 1 . 3 3 31 1 2 1 d x d xx dx xI C x x x + + + = = = = + + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 24 1I x x dx= −∫ b) 5 2 1 dxI x = − ∫ c) 6 5 2I x dx= −∫ Lời giải: 02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! a) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( )2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 n n x xdx d d x d a x u u du d n +    = = = − −         =   +  Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 321 1 2 2 2 2 22 2 4 11 11 1 1 1 . 2 2 3 x I x x dx x d x x d x C − = − = − = − − − = − +∫ ∫ ∫ b) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( ) ( ) 1 1 ax ax 2 dx d b d b a a du d u u  = + = − −   =  Ta có ( ) ( ) ( )25 52 1 2 11 2 1 .22 1 2 1 2 2 1 du d u u d x d xdxI I x C x x x = − − = = = ←→ = − + − − − ∫ ∫ ∫ c) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( ) 1 1 1 ax ax 1 n n dx d b d b a a u u du d n +  = + = − −     =    +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 26 5 22 5 21 1 15 2 5 2 2 5 2 5 2 . . 2 2 2 3 3 xx I x dx x d x x d x C C − − ⇒ = − = − = − − − = − + = − +∫ ∫ ∫ Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 3 7 5 4 2 5 xI dx x = − ∫ b) 8 5(3 2 ) dxI x = − ∫ c) 3 9 ln xI dx x = ∫ Lời giải: a) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( )43 4 4 1 1 1 4 4 4 1 n n x x dx d d x a d a x du ud nu − +    = = ± = − −         =   − +  ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 444 5513 4 45 7 5 54 4 5 55 542 1 12 5 5 . . 2 2 4 85 5 xd xxxI dx x d x C C x x −     − − ⇒ = = = − − = + = + − − ∫ ∫ ∫ b) Ta có ( ) ( ) ( ) 6 5 8 5 3 21 3 2 3 2 .(3 2 ) 2 12 xdxI x d x C x − = = − − − = − + − ∫ ∫ c) Sử dụng công thức vi phân ( )lndx d x x = ta được ( ) 3 4 3 9 ln lnln ln . 4 x xI dx x d x C x = = = +∫ ∫ Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ( )10 2010 3 4 2 dxI x = − ∫ b) 11 cos xI dx x = ∫ c) 12 cos sinI x x dx= ∫ Lời giải: a) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2009 2010 10 2010 2009 4 23 3 3 34 2 4 2 . 2 2 20094 2 4018 4 2 xdxI x d x C C x x − − − = = − − − = − + = + − − − ∫ ∫ b) Sử dụng các công thức vi phân ( ) ( ) cos sin 2 u du d u dx d x x  =   =  Ta có ( )11 cos cos2 2 os 2sin .2x xI dx dx c x d x x Cx x= = = = +∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! c) Sử dụng các công thức vi phân ( )( ) cos sin sin x cos u du d u dx d x  =  = − Ta có ( ) ( ) ( ) 3 31 2 212 2 cos 2 cos cos sin cos cos . 3 3 x xI x x dx x d x C= = − = − = − +∫ ∫ Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 313 sin cosI x x dx= ∫ b) 14 5 sin cos xI dx x = ∫ c) 415 sin cosI x xdx= ∫ Lời giải: a) Sử dụng các công thức vi phân ( )( ) sin cos cos sin u du d u x dx d x  = −  = Ta có ( ) ( ) ( ) 1 4 3 3 43 3 41 343 33 13 3 sinx 3 sin sin cos sinx sin 4 4 u du d u xI x x dx d x I C C    =     = = ←→ = + = +∫ ∫ b) Ta có ( ) 4 14 5 5 4 cossin (cos ) 1 . cos cos 4 4cos xx d xI dx C C x x x − = = − = − + = + − ∫ ∫ c) Sử dụng các công thức vi phân ( ) 1 cos sin 1 n n x dx d x u u du d n +  =    =   +  Khi đó ta được ( ) 5 4 5 54 4 15 15 sin sin cos sin sin . 5 u u du d xI x x dx x d x I C   =      = = ←→ = +∫ ∫ Ví dụ 6: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 16 tanxI dx= ∫ b) 17 sin 4 cos 4I x x dx= ∫ c) 18 sin 1 3cos x dxI x = +∫ Lời giải: a) Sử dụng các công thức sin x (cos ) ln dx d x du u C u = −   = +∫ Ta có ( )16 cossintan ln cos . cos cos d xxdxI x dx x C x x = = = − = − +∫ ∫ ∫ b) Ta có ( ) ( )17 1 1sin 4 cos 4 sin 4 cos4 4 sin 4 sin 44 4I x x dx x x d x x d x= = =∫ ∫ ∫ ( )3 322 sin 41 sin 4 . . 4 3 6 x xC C= + = + c) Ta có ( ) ( )18 cos 3cos 1sin 1 1 ln 1 3cos .1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3 d x d xx dxI x C x x x + = = − = − = − + + + + +∫ ∫ ∫ Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) ( )19 2 2cos 2 5sin x dxI x = − ∫ b) 20 cos 4sin x 3 x dxI = − ∫ c) ( )21 tan .ln cosI x x dx= ∫ Lời giải: a) Sử dụng công thức vi phân 2 cos (sin x) 1 xdx d du d uu =     = −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )19 2 2 2 2 sin 2 5sin2cos 2 2 . 5 5 2 5sin2 5sin 2 5sin 2 5sin d x d xx dxI C xx x x − ⇒ = = = − = + − − − − ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! b) Sử dụng công thức vi phân ( ) cos (sin x) 2 xdx d du d u u =   =  Ta được ( ) ( ) ( )20 sin 4sin 4sin 3cos 1 1 1 4sin x 3 .4 2 24sin x 3 4sin x 3 4sin x 3 2 4sin x 3 d x d x d xxdxI C − = = = = = − + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản ( ) 2 cossin tan ln cos cos cos 2 d xxdx xdx x C x x u u du C  = = − = − +   = + ∫ ∫ ∫ ∫ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 cossintan .ln cos ln cos ln cos ln cos ln cos cos cos d xxI x x dx x dx x x d x x x = = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 21 ln (cos ) ln (cos ) . 2 2 x xC I C= − + → = − + Ví dụ 8: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 22 2 tan cos xI dx x = ∫ b) 3 23 4 tan cos xI dx x = ∫ c) 24 2 tan 2 1 cos 2 xI dx x + = ∫ Lời giải: a) Sử dụng các công thức ( )2 2 tan cos 2 dx d x x u u du C  =   = + ∫ Ta có ( ) 2 2 22 222 2 tan tan tan tan . tan tan . 2 2cos cos x dx x xI dx x x d x C I C x x = = = = + → = +∫ ∫ ∫ b) Sử dụng các công thức ( )2 2 2 tan cos 1 1 tan cos dx d x x x x  =   = +  Ta có ( ) ( )3 3 3 2 5 323 4 2 2tan 1tan . . tan . 1 tan (tan ) tan tan (tan )cos cos cosx dxI dx x x x d x x x d xx x x= = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ 6 4 6 4 23 tan tan tan tan . 6 4 6 4 x x x xC I C= + + → = + + c) Sử dụng các công thức ( )2 2 2 1 ( ) 1 tan( ) cos cos 2 dx d ax d ax ax a ax a u u du C  = =   = + ∫ Ta có 24 2 2 2 2 2 tan 2 1 tan 2 1 tan 2 (2 ) 1 (2 ) 2 2cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 x xdx dx x d x d xI dx x x x x x + = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 24 1 1 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 (tan 2 ) (tan 2 ) . 2 2 4 2 4 2 x x x x x d x d x C I C= + = + + → = + +∫ ∫ Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 25 2 cot sin xI dx x = ∫ b) 26 3 tan cos xI dx x = ∫ c) 27 cot pi cos 2 xI dx x =   +    ∫ Lời giải: a) Sử dụng các công thức ( )2 2 cot sin 2 dx d x x u u du C  = −   = + ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Ta có ( ) 2 2 25 252 2 cot cot cot cot . cot cot . 2 2sin sin x dx x xI dx x x d x C I C x x = = = − = − + → = − +∫ ∫ ∫ b) Sử dụng các công thức ( ) 1 sin x cos 1 n n dx d x du u C u n − +  = −   = + − +∫ Ta có ( ) ( ) 3 26 263 4 4 3 3 cos costan sin 1 1 . cos cos cos 3 3cos 3cos d x xx xdxI dx C C I C x x x x x − = = = − = − + = + → = + − ∫ ∫ ∫ c) Sử dụng các công thức ( ) 2 cos sin pi cos sin 2 1 x dx d x x x du C u u   =     + = −      = − + ∫ Ta có ( )27 272 2 cot cos cos (sin ) 1 1 . pi sin . sin sin sin sin sin cos 2 x x x dx d xI dx dx C I C x x x x x x x = = = − = − = + → = + −  +    ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 10: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 28 3 xeI dx x = ∫ b) tan 2 29 2cos xe dxI x + = ∫ c) 21 30 . xI x e dx−= ∫ d) cos31 sinxI e x dx= ∫ e) 2ln 3 32 xeI dx x + = ∫ Lời giải: a) Sử dụng các công thức ( )2 u u dx d x x e du e C  =   = +∫ Ta có ( )28 283 3.2 6 6 6 .2 x x x x xe dxI dx e e d x e C I e C x x = = = = + → = +∫ ∫ ∫ b) Sử dụng các công thức ( ) ( )2 tan tancos u u dx d x d x k x e du e C  = = ±   = +∫ Ta có ( ) tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 29 292 2 tan 2 .cos cos x x x x xe dx dxI e e d x e C I e C x x + + + + + = = = + = + → = +∫ ∫ ∫ c) Sử dụng các công thức ( ) ( ) 2 21 1 1 2 2 u u x dx d x d x e du e C  = = − −   = +∫ Ta có ( )2 2 2 2 21 1 1 2 1 130 301 1 1. 1 .2 2 2x x x x xI x e dx e x dx e d x e C I e C− − − − −= = = − − = − + → = − +∫ ∫ ∫ d) Sử dụng các công thức ( )sin cos u u x dx d x e du e C  = −  = +∫ Ta có ( )cos cos cos cos31 31sin cos .x x x xI e x dx e d x e C I e C= = − = − + → = − +∫ ∫ e) Sử dụng các công thức ( ) ( )ln ln u u dx d x d x k x e du e C  = = ±   = +∫ Ta có ( ) ( ) 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 32 1 1ln 2ln 3 . 2 2 x x x x xe dxI dx e e d x e d x e C x x + + + + + = = = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Vậy 2ln 3 2ln 3 32 1 . 2 x xeI dx e C x + + = = +∫ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP 1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn • 3 4 1 (4 5 )I x x dx= − =∫ .................................................................................................................................... • 32 3 2 2 1 3 )I x x dx= + =∫ ................................................................................................................................. • 3 24 3 2 xdxI x = = − ∫ ........................................................................................................................................... • 5 4 61 5 xI dx x = = − ∫ .......................................................................................................................................... • 3 5 4 3 2 3 xI dx x = = + ∫ ...................................................................................................................................... • ( )6 222 3 xdxI x = = − ∫ ......................................................................................................................................... • 2 7 cos(3 4 )I x x dx= − =∫ ................................................................................................................................ • 3 4 8 sin(1 5 )I x x dx= + =∫ ............................................................................................................................... • 24 5 9 xI xe dx− += =∫ .......................................................................................................................................... • 4 10 2 xe dxI x = =∫ ................................................................................................................................................ • 3 11 2 xe dxI x = =∫ .............................................................................................................................................. • 12 3 dxI x x = = + ∫ ........................................................................................................................................... 2. Vi phân nhóm hàm lượng giác • 3 1 sin .cosI x xdx= =∫ ................................................................................................................................... • 5 2 cos .sinI x xdx= =∫ ................................................................................................................................... • 3 sin . 3cos 2I x x dx= + =∫ ......................................................................................................................... • 4 4 cos . 5 2sinI x xdx= − =∫ .......................................................................................................................... • 5 sin 2 5cos xdxI x = = +∫ ...................................................................................................................................... Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! • 6 sin 1 3cos xdxI x = = − ∫ ...................................................................................................................................... • ( )7 2 cos 1 2sin xdxI x = = − ∫ ..................................................................................................................................... • 8 sin 2 7 2cos 2 xdxI x = = − ∫ ...................................................................................................................................... • 9 sin 3 1 2cos3 xdxI x = = + ∫ ..................................................................................................................................... • 10 2 tan 3cos xdxI x = =∫ ........................................................................................................................................... • 11 4 tan cos xdxI x = =∫ ............................................................................................................................................ • 3cos 2 12 sin . xI x e dx−= =∫ ................................................................................................................................. • 2 5sin 2 13 cos 2 . xI x e dx−= =∫ ............................................................................................................................. • 2cot 1 14 2sin xeI dx x − = =∫ ........................................................................................................................................ • 15 2sin 4cot 3 dxI x x = = − ∫ ........................................................................................................................... 3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga • 1 2 1 x x eI dx e = = − ∫ ......................................................................................................................................... • 3 2 31 5 x x eI dx e = = − ∫ ..................................................................................................................................... • ( ) 2 3 221 3 x x eI dx e − − = = − ∫ .................................................................................................................................. • 3 4 ln xI dx x = =∫ ........................................................................................................................................... • 5 1 5ln dxI x x = = − ∫ ..................................................................................................................................... • ( )6 22 3ln dxI x x = = + ∫ .................................................................................................................................. • 7 2 ln 1 4ln xdxI x x = = − ∫ ................................................................................................................................... Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1) 1 21 xI dx x = +∫ 2) 2 10 2 (1 )I x x dx= +∫ 3) 3 cos xI dx x = ∫ 4) 4 cos sinI x xdx= ∫ 5) 5 3 sin cos xI dx x = ∫ 6) 36 sin cosI x xdx= ∫ 7) 7 2 5 xI dx x = +∫ 4) 8 2 1 dxI x = − ∫ 3) 9 5 2I xdx= −∫ 10) 3 10 ln xI dx x = ∫ 11) 2 1 11 . xI x e dx+= ∫ 12) 412 sin cosI x xdx= ∫ 13) 13 5 sin cos xI dx x = ∫ 14) 14 cotI x dx= ∫ 15) 15 2 tan cos xI dx x = ∫ 16) tan 16 2cos xeI dx x = ∫ 17) 17 xeI dx x = ∫ 18) 218 1I x x dx= +∫ 19) 19 5(3 2 ) dxI x = − ∫ 20) 2 320 5I x x dx= +∫ 21) 2 21 3 1 x dxI x = + ∫ 22) 222 1I x x dx= −∫ 23) 23 cos 1 4sinI x x dx= +∫ 24) 224 1I x x dx= +∫ 25) cos25 sinxI e x dx= ∫ 26) 2 2 26 . xI x e dx+= ∫ 27) 27 sin 1 3cos x dxI x = +∫ 28) 2128 . xI x e dx−= ∫ 29) ( )sinx29 cos cosI e x x dx= +∫ 30) 2ln 1 30 xeI dx x + = ∫