Những bài toán tựa cân bằng hỗn hợp pareto kiểu Blum - Oettli - Nguyễn Xuân Tấn

Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 119 - 124 119 NHỮNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG HỖN HỢP PARETO KIỂU BLUM - OETTLI Nguyễn Xuân Tấn1, Nguyễn Quỳnh Hoa2* 1Viện Toán học Việt Nam 2Trường Đại học Kinh tế & QTKD – ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ yếu hơn cho những ánh xạ đa trị để đảm bảo cho sự tồn tại nghiệm của những bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto kiểu Blum – Oettli. Từ khóa: Bài toán tựa cân bằng, tựa giống như lồi, ánh xạ đa trị, nửa liên tục, miền định nghĩa. MỞ ĐẦU* Năm 1994, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng. Người ta thường gọi bài toán này là bài toán cân bằng cổ điển hay bài toán cân bằng vô hướng. Bài toán được phát biểu như sau: Cho X là không gian vectơ lồi địa phương, D X⊂ là tập lồi đóng, khác rỗng và :f D D× →ℝ là hàm thoả mãn ( , ) 0f x x = với mọi x D∈ . Tìm điểm x D∈ sao cho ( , ) 0f x y ≥ , với mọi .y D∈ Điểm x được gọi là điểm cân bằng. Ta sử dụng ký hiệu (EP) để chỉ bài toán này (tiếng Anh: Equilibrium problem). Từ bài toán cân bằng cổ điển của Blum – Oettli, một số nhà toán học đã đưa ra các dạng bài toán cân bằng khác và các dạng bài toán tựa cân bằng. Mục đích của bài báo này là giới thiệu một số dạng bài toán tựa cân bằng, tựa cân bằng hỗn hợp Pareto kiểu Blum – Oettli và một số định lý về điều kiện tồn tại nghiệm. Cho ( ), 1, 2 , ,i iX Y i Y Z= là các không gian topo Hausdorff lồi địa phương, cho ,D X K Z⊆ ⊆ là các tập con khác rỗng và C Y⊆ là một nón. Ta đặt ( ) ( ).l C C C= ∩ − Nếu ( ) { }0l C = thì C được gọi là nón nhọn. Cho Y’ là không gian topo đối ngẫu của Y. Ta gọi , yξ là tích vô hướng giữa 'Yξ ∈ và ,y Y∈ xác định bởi ( ), .y yξ ξ= Nón đối * Tel: 0977615828; Email: hoakhcb@gmail.com ngẫu cực, nón đối ngẫu mạnh, nón đối ngẫu yếu của nón C lần lượt được định nghĩa: { } ( ){ } { } ' ' ' ' ' ' : , 0, ; : , 0, \ ; : , 0, int . C Y c c C C Y c c C l C C Y c c C ξ ξ ξ ξ ξ ξ + − = ∈ ≥ ∀ ∈ = ∈ > ∀ ∈ = ∈ > ∀ ∈ Trong bài này, ta luôn giả sử rằng C là một nón nhọn ở trong Y với .C + ≠ ∅ Cho các ánh xạ đa trị: 1 2 : 2 , : 2 , , , : 2 , : 2 , , : 2 . D K D K Y S D K T D K P P P D K Q D D G H K D D × → × → × → × → × × → Lin và Tan [8] đã đặt ra và nghiên cứu các bài toán sau: 1) Bài toán tựa cân bằng Pareto trên kiểu Blum – Oettli loại 1: Tìm ( , )x y D K∈ × sao cho ( , ),x S x y∈ ( , )y T x y∈ và ( ( , , ) ( , , )) ( \ ( ))G y x x H y x x C l C− ⊄− với mọi ( , ).x S x y∈ 2) Bài toán tựa cân bằng Pareto dưới kiểu Blum – Oettli loại 1: Tìm ( , )x y D K∈ × sao cho: ( , ), ( , )x S x y y T x y∈ ∈ và ( ( , , ) ( , , )) ( \ ( ))G y x x H y x x C l C− ∩ − = ∅ với mọi ( , ).x S x y∈ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 119 - 124 120 3) Bài toán tựa cân bằng Pareto trên kiểu Blum – Oettli loại 2: Tìm 1, ( )x D x P x∈ ∈ sao cho ( ( , , ) ( , , )) ( \ {0})G y x x H y x x C− ⊄ với mọi 2 ( ), ( , ).x P x y Q x x∈ ∈ 4) Bài toán tựa cân bằng Pareto dưới kiểu Blum – Oettli loại 2: Tìm 1, ( )x D x P x∈ ∈ sao cho ( ( , , ) ( , , )) ( \{0})G y x x H y x x C− ∩ = ∅ với mọi 2 ( ), ( , ).x P x y Q x x∈ ∈ Cho S, T, P là các ánh xạ đa trị như ở trên; 1 1 1 2 2 2, : 2 ; , : 2 . Y YG H K K D G H Y D D× × → × × → Ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán sau: 5) Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto trên – trên kiểu Blum – Oettli loại 1 và 2: Tìm ( , )x y D K∈ × sao cho ( , ), ( , )x S x y y T x y∈ ∈ và 1 1 1( ( , , ) ( , , )) ( \ {0})G y v x H v y x C− ⊄ với mọi ( , ).v T x y∈ 2 2 2( ( , , ) ( , , )) ( \ {0})G y x x H y x x C− ⊄ với mọi ( ), ( , ).x P x y Q x x∈ ∈ 6) Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto trên – dưới kiểu Blum – Oettli loại 1 và 2: Tìm ( , )x y D K∈ × sao cho ( , ), ( , )x S x y y T x y∈ ∈ và 1 1 1( ( , , ) ( , , )) ( \ {0})G y v x H v y x C− ⊄ với mọi ( , ).v T x y∈ 2 2 2( ( , , ) ( , , )) ( \ {0})G y x x H y x x C− ∩ = ∅ với mọi ( ), ( , ).x P x y Q x x∈ ∈ 7) Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto dưới – trên kiểu Blum – Oettli loại 1 và 2: Tìm ( , )x y D K∈ × sao cho ( , ), ( , )x S x y y T x y∈ ∈ và 1 1 1( ( , , ) ( , , )) ( \ {0})G y v x H v y x C− ∩ = ∅ với mọi ( , ).v T x y∈ 2 2 2( ( , , ) ( , , )) ( \ {0})G y x x H y x x C− ⊄ với mọi ( ), ( , ).x P x y Q x x∈ ∈ 8) Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto dưới – dưới kiểu Blum – Oettli loại 1 và 2: Tìm ( , )x y D K∈ × sao cho ( , ), ( , )x S x y y T x y∈ ∈ và 1 1 1( ( , , ) ( , , )) ( \ {0})G y v x H v y x C− ∩ = ∅ với mọi ( , ).v T x y∈ 2 2 2( ( , , ) ( , , )) ( \ {0})G y x x H y x x C− ∩ = ∅ với mọi ( ), ( , ).x P x y Q x x∈ ∈ MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA Miền định nghĩa và đồ thị của các ánh xạ đa trị : 2YG D → được định nghĩa lần lượt như sau: { } { } ( ) , ( ) ( , ) ( ) . domG x D G x Gr G x y D Y y G x = ∈ ≠ ∅ = ∈ × ∈ Ánh xạ G được gọi là đóng nếu Gr(G) là một tập đóng trong không gian tích X Y× và được gọi là ánh xạ compact nếu bao đóng của tập G(D), kí hiệu là clG(D), là một tập compact trong Y. Và G được gọi là nửa liên tục trên, ký hiệu là u.s.c (hoặc dưới, kí hiệu là l.s.c) tại x D∈ nếu với mỗi tập V chứa ( )G x (hoặc ( )G x V∩ ≠ ∅), tồn tại một lân cận mở U của x sao cho ( )G x V⊆ (hoặc ( )G x U∩ ≠ ∅ ) với mỗi x U∈ và G được gọi là u.s.c (l.s.c) trên D nếu nó là u.s.c (l.s.c) với mọi x D∈ . Ta nói rằng G là ánh xạ mở liên tục trên nếu với mỗi y Y∈ , tập { }1( ) ( )G y x D y G x− = ∈ ∈ là tập mở. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một cách tổng quát về khái niệm ánh xạ KKM (xem [2], [11] và [14]). Cho các ánh xạ đa trị : 2 ,XF K D D× × → : 2 ,KQ D D× → hoặc : 2YF D → là một ánh xạ đa trị và C là một nón trong Y. Ta nói rằng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 119 - 124 121 1) F được gọi là C – liên tục trên (dưới) tại x domF∈ nếu với bất kỳ lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại một lân cận U của x sao cho: ( ) ( ) ( ( ) ( ) )F x F x V C F x F x V C⊂ + + ⊂ + − với mọi .x U domF∈ ∩ 2) F được gọi là C – lồi trên (dưới) trên D nếu với mỗi [ ]1 2, , 0,1 ,x x D α∈ ∈ ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) ) ( ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ). F x F x F x x C F x x F x F x C α α α α α α α α + − ⊆ + − + + − ⊆ + − − F được gọi là tựa giống như lồi trên (dưới) trên D nếu với mỗi [ ]1 2, , 0,1 ,x x D α∈ ∈ hoặc 1 1 2( ) ( (1 ) )F x F x x Cα α⊆ + − + hoặc 2 1 2( ) ( (1 ) )F x F x x Cα α⊆ + − + (hoặc 1 2 1( (1 ) ) ( )F x x F x Cα α+ − ⊆ − hoặc 1 2 2( (1 ) ) ( )F x x F x Cα α+ − ⊆ − ) Trong [5], Ferro đã đưa ra ví dụ để chỉ ra rằng một ánh xạ đa trị là C – lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ C – tựa giống như lồi trên (dưới) và ngược lại, một ánh xạ đa trị là C – tựa giống như lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ C – lồi trên (dưới). Định nghĩa 2.1 Cho ánh xạ đa trị : 2 .YF D D× → Ta nói rằng: 1) F được gọi là C – lồi chéo trên (dưới) đối với giá trị thứ hai nếu với mỗi tập hữu hạn { } { }1 1, ..., , , ... , ,n nx x D x co x x⊆ ∈ 1 1 , 0, 1 n n j j j j j j x xα α α = = = ≥ =∑ ∑ điều kiện sau được thỏa mãn: 1 ( , ) ( , ) n j j j F x x F x x Cα = ⊆ +∑ với mọi y K∈ (hoặc 1 ( , ) ( , ) n j j j F x x F x x Cα = ⊆ −∑ ) 2) F được gọi là C – tựa giống như lồi chéo trên (dưới) đối với giá trị thứ hai nếu với mỗi tập hữu hạn { }1 , ..., ,nx x D⊆ 1 , n j j j x xα = = ∑ { }1,..., ,nx co x x∈ 1 0, 1 n j j j α α = ≥ =∑ tồn tại một chỉ số { }1,...,j n∈ sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: ( , ) ( , )jF x x F x x C⊆ + (hoặc ( , ) ( , )jF x x F x x C⊆ − ). SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Cho X, Z, D, K, Yi, Ci như trong lời mở đầu. Cho các ánh xạ đa trị: 1 2 1 2 : 2 , : 2 , : 2 , : 2 , , : 2 , : 2 , : 2 . D K D K Y i i Y Y S D K T D K P D Q D D G H K D D F K K D F K D D × → × → → × → × × → × × → × × → Trong đó: 1 1 1( , , ) ( , , ) ( , , )F y v x G v y x H v y x= + với ( , , ) ,y v x K K D∈ × × 2 2 2( , , ) ( , , ) ( , , )F y x t G y t x H y t x= + với ( , , ) .y x t D D K∈ × × Ta có các định lý sau: Định lý 3.1 Ta giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) D, K là các tập compact lồi khác rỗng; 2) S là ánh xạ đa trị mở, liên tục dưới với giá trị lồi khác rỗng và T là một ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng và {( , ) ( , ) ( , ) ( , )}A x y D K x y S x y T x y= ∈ × ∈ × là một tập đóng; 3) P là ánh xạ mở liên tục dưới và ( ) ( , )P x S x y⊆ với ( , ) .x y A∈ Với mỗi t D∈ cố định, ánh xạ đa trị (., ) : 2KQ t D → là nửa liên tục dưới với giá trị compact; 4) 1 1 2 2( , , ) , ( , , )F y y x C F y x x C∩ ≠ ∅ ∩ ≠ ∅ với mọi ( , ) ;y x K D∈ × 5) Ánh xạ đa trị 1F là 1( )C− – liên tục trên và C1 – liên tục dưới. Ánh xạ đa trị 2F là 2( )C− – liên tục trên và với mỗi y Y∈ cố định, ánh xạ đa trị 22 : 2 YN K D× → được xác định bởi 2 2( , ) ( , , )N y x F y x x= là C2 – liên tục dưới; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 119 - 124 122 6) Với mỗi ( , )x y D K∈ × cố định, ánh xạ đa trị 11( ,., ) : 2YF y x K → là C1 – lồi dưới (hoặc C1 – tựa giống như lồi dưới) và với mỗi y K∈ ánh xạ đa trị 22( ,.,.) : 2YF y D D× → là C2 – lồi dưới đối với giá trị thứ hai (hoặc C – tựa giống như lồi dưới đối với giá trị thứ hai). 7) Với mỗi ( , )x y D K∈ × cố định, các ánh xạ đa trị 1 1(.,., ) : 2 ,YG x K K× → 22( ,.,.): 2YG y D D× → là đơn điệu trên. Khi đó, tồn tại ( , )x y D K∈ × sao cho: 1 1 1 2 2 2 ( , ), ( , ); ( ( , , ) ( , , )) ( \{0}) ( , ); ( ( , , ) ( , , )) ( \{0} ( ), ( , ). x S x y y T x y G y v x H v y x C v T x y G y x t H y t x C t P x y Q x t ∈ ∈ − ⊄ ∀ ∈ − ⊄ ∀ ∈ ∈ Định lý 3.2 Ta giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) D, K là các tập compact lồi khác rỗng; 2) S là ánh xạ đa trị mở, liên tục dưới với giá trị lồi khác rỗng và T là một ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng và {( , ) ( , ) ( , ) ( , )}A x y D K x y S x y T x y= ∈ × ∈ × là một tập đóng; 3) P là ánh xạ mở liên tục dưới và ( ) ( , )P x S x y⊆ với ( , ) .x y A∈ Với mỗi t D∈ cố định, ánh xạ đa trị (., ) : 2KQ t D → là nửa liên tục dưới với giá trị compact; 4) 1 1 2 2( , , ) , ( , , )F y y x C F y x x C⊆ ⊆ với mọi ( , ) ;y x K D∈ × 5) Ánh xạ đa trị 1F là 1( )C− – liên tục trên và C1 – liên tục dưới. Ánh xạ đa trị 2F là 2( )C− – liên tục trên và với mỗi y Y∈ cố định, ánh xạ đa trị 22 : 2 YN K D× → được xác định bởi 2 2( , ) ( , , )N y x F y x x= là C2 – liên tục dưới; 6) Với mỗi ( , )x y D K∈ × cố định, ánh xạ đa trị 11( ,., ) : 2YF y x K → là C1 – lồi dưới (hoặc C1 – tựa giống như lồi dưới) và với mỗi y K∈ ánh xạ đa trị 22 ( ,.,.) : 2YF y D D× → là C2 – lồi dưới đối với giá trị thứ hai (hoặc C – tựa giống như lồi dưới đối với giá trị thứ hai). 7) Với mỗi ( , )x y D K∈ × cố định, các ánh xạ đa trị 1 1(.,., ) : 2 ,YG x K K× → 22( ,.,.): 2YG y D D× → là đơn điệu trên. Khi đó, tồn tại ( , )x y D K∈ × sao cho: 1 1 1 2 2 2 ( , ), ( , ); ( ( , , ) ( , , )) ( \ {0}) ( , ); ( ( , , ) ( , , )) ( \ {0}= ( ), ( , ). x S x y y T x y G y v x H v y x C v T x y G y x t H y t x C t P x y Q x t ∈ ∈ − ⊄ ∀ ∈ − ∩ ∅ ∀ ∈ ∈ Định lý 3.3 Ta giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) D, K là các tập compact lồi khác rỗng; 2) S là ánh xạ đa trị mở, liên tục dưới với giá trị lồi khác rỗng và T là một ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng và {( , ) ( , ) ( , ) ( , )}A x y D K x y S x y T x y= ∈ × ∈ × là một tập đóng; 3) P là ánh xạ mở liên tục dưới và ( ) ( , )P x S x y⊆ với ( , ) .x y A∈ Với mỗi t D∈ cố định, ánh xạ đa trị (., ) : 2KQ t D → là nửa liên tục dưới với giá trị compact; 4) 1 1 2 2( , , ) , ( , , )F y y x C F y x x C⊆ ⊆ với mọi ( ), ;y x K D∈ × 5) Ánh xạ đa trị 1F là C1– liên tục dưới và 1( )C− – liên tục dưới. Ánh xạ đa trị 2F là 2( )C− – liên tục trên và với mỗi y Y∈ cố định, ánh xạ đa trị 22 : 2 YN K D× → được xác định bởi 2 2( , ) ( , , )N y x F y x x= là C2 – liên tục dưới; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 119 - 124 123 6) Với mỗi ( , )x y D K∈ × cố định, ánh xạ đa trị ( ) 11 ,., : 2YF y x K → là C1 – lồi dưới (hoặc C1 – tựa như lồi dưới) và với mỗi y K∈ ánh xạ đa trị 22 ( ,.,.) : 2YF y D D× → là C2 – lồi dưới đối với giá trị thứ hai (hoặc C – tựa giống như lồi dưới đối với giá trị thứ hai). 7) Với mỗi ( , )x y D K∈ × cố định, các ánh xạ đa trị 1 1(.,., ) : 2 ,YG x K K× → 22( ,.,.): 2YG y D D× → là đơn điệu trên. Khi đó, tồn tại ( , )x y D K∈ × sao cho: 1 1 1 2 2 2 ( , ), ( , ); ( ( , , ) ( , , )) ( \{0}) ( , ); ( ( , , ) ( , , )) ( \{0} ( ), ( , ). x S x y y T x y G y v x H v y x C v T x y G y x t H y t x C t P x y Q x t ∈ ∈ − ∩ = ∅ ∀ ∈ − ⊄ ∀ ∈ ∈ Định lý 3.4 Ta giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) D, K là các tập compact lồi khác rỗng; 2) S là ánh xạ đa trị mở, liên tục dưới với giá trị lồi khác rỗng và T là một ánh xạ đa trị liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng và {( , ) ( , ) ( , ) ( , )}A x y D K x y S x y T x y= ∈ × ∈ × là một tập đóng; 3) P là ánh xạ mở liên tục dưới và ( ) ( , )P x S x y⊆ với ( , ) .x y A∈ Với mỗi t D∈ cố định, ánh xạ đa trị (., ) : 2KQ t D → là nửa liên tục dưới với giá trị compact; 4) 1 1 2 2( , , ) , ( , , )F y y x C F y x x C⊆ ⊆ với mọi ( , ) ;y x K D∈ × 5) Ánh xạ đa trị 1F là C1 – liên tục dưới và 1( )C− – liên tục dưới. Ánh xạ đa trị 2F là 2( )C− – liên tục dưới và với mỗi y Y∈ cố định, ánh xạ đa trị 22 : 2 YN K D× → được xác định bởi 2 2( , ) ( , , )N y x F y x x= là C2 – liên tục dưới; 6) Với mỗi ( ),x y D K∈ × cố định, ánh xạ đa trị ( ) 11 ,., : 2YF y x K → là C1 – lồi dưới (hoặc C1 – tựa giống như lồi dưới) và với mỗi y K∈ ánh xạ đa trị 22 ( ,.,.) : 2YF y D D× → là C2 – lồi dưới đối với giá trị thứ hai (hoặc C – tựa giống như lồi dưới đối với giá trị thứ hai) 7) Với mỗi ( , )x y D K∈ × cố định, các ánh xạ đa trị 1 1(.,., ) : 2 ,YG x K K× → 22( ,.,.): 2YG y D D× → là đơn điệu trên. Khi đó, tồn tại ( , )x y D K∈ × sao cho: 1 1 1 2 2 2 ( , ), ( , ); ( ( , , ) ( , , )) ( \ {0}) ( , ); ( ( , , ) ( , , )) ( \ {0} ( ), ( , ). x S x y y T x y G y v x H v y x C v T x y G y x t H y t x C t P x y Q x t ∈ ∈ − ∩ = ∅ ∀ ∈ − ∩ = ∅ ∀ ∈ ∈ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aubin, J.-P. and Frankowska H. (1990), Set- valued analysis, Birkhauser. [2] Aubin, J.-P. and Cellina A. (1994), Differential Inclusion, Springer Verlag, Heidelberg, Germany. [3] Blum, E. and Oettli, W. (1993), From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems, The Mathematical Student, Vol. 64, 1-23. [4] Fan, K. (1961), A generalization of Tychonoff's fixed point theorem, Mathematics Annalen,142, 305-310. [5] F. Ferro,F. (1982), Minimax Type Theorems for n-Valued Functions, Annali di Matematica Pura ed Applicata, Vol. 32, pp. 113-130. [6] Gurraggio, A. and Tan, N. X. (2002), On General Vector Quasi-Optimization Problems, Mathematical Methods of Operation Research, Vol 55,347-358. [7] N. X. Hai and P. Q. Khanh (2007), The solution existence of general variational inclusion problems, J. Math. Anal. Appl, 328, pp. 1268- 1277. [8] Lin, L.J and Tan, N. X. (2007), On quasivariational inclusion problems of type I and related problems, J Glob Optim, 39, 393-407. [9] Lin, L.J. , Yu, Z. T. and Kassay, G. (2002), Existence of Equilibria for Monotone multivalued Mappings and Its Applications to Vectorial Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 119 - 124 124 Equilibria, Journal of Optimzation Theory and Applications, Vol 114, 189-208. [10] Luc, D. T. (1989), Theory of Vector Optimization, Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer Verlag, Berlin, Germany, Vol 319. [11] Luc, D. T. and Tan, N. X. (2004), Existence conditions in variational inclusions with constraints. Optimization 53, no. 5-6, 505-515. [12] Minh, N. B. and Tan, N. X. (2000), Some Sufficient Conditions for the Existence of Equilibrium Points Concerning multivalued Mappings, Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 28, 295-310. [13] Minh, N. B. and Tan, N. X. (2005), On the existence of solutions of quasivariational inclusion problems of Stampacchia type, Adv. Nonlinear Var. Inequal. Vol. 8, 1-16. [14] Park, S. (2000), Fixed Points and Quasi- Equilibrium Problems. Nonlinear Operator Theory, Mathematical and Computer Modelling, Vol. 32, 1297-1304. [15] Parida, J. and Sen,A. (1987), A Variational- Like Inequality for Multifunctions with Applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 124, 73-81. [16] Tan, N. X. (1985), Quasi-variational inequalities in topological linear locally convex Hausdorff space, Math. Nachr., 122, 231-245. [17] Tan, N. X. (2004), On the existence of of solutions of quasi-variational inclusion problems, Journal of Optimization Theory and Applications, 123, 619-638. [18] Tuan, L. A. and Sach, P. H. (2009), Generalizations of vector quasivariational inclusion problems with set-valued maps, J. Global Optimization, 43, No 1, 23-45. SUMMARY ON THE MIXED QUASI – EQUILIBRIUM PROBLEMS OF THE BLUM – OETTLI TYPE Nguyen Xuan Tan1, Nguyen Quynh Hoa2* 1Vietnam Institute of Math 2College of Economics & business Administration - TNU The purpose of this paper is to present several weaker sufficient conditions putting on these mappings to guarantee the existence of solutions of mixed Pareto quasi – equilibrium problems of the Blum – Oettli type. Key words: Quasi – equilibrium problem, quasi – convex – like, multivalued mapping, semi – continuous, that the domain. Ngày nhận bài: 24/5/2013; Ngày phản biện: 20/7/2013; Ngày duyệt đăng: 26/7/2013 * Tel: 0977615828; Email: hoakhcb@gmail.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên