Nhận dạng trạng thái hệ cẩu treo 2 chiều bằng bộ quan sát kalman rời rạc - Hoàng Đức Quỳnh

Hoàng Đức Quỳnh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 15 - 21 15 NHẬN DẠNG TRẠNG THÁI HỆ CẨU TREO 2 CHIỀU BẰNG BỘ QUAN SÁT KALMAN RỜI RẠC Hoàng Đức Quỳnh1*, Nguyễn Thị Việt Hương2, Nguyễn Doãn Phước3 1Trường Cao đẳng Công nghệ và Kinh tế Công nghiệp, 2Cao đẳng Công nghiệp Thái Nguyên, 3Đại học Bách khoa Hà Nội TÓM TẮT Cẩu treo là thiết bị công nghiệp được ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực công nghiệp; chính vì vậy, cẩu treo là đối tượng được nghiên cứu khá nhiều về các phương pháp điều khiển nó. Bài báo đưa ra mô hình toán của hệ cẩu treo ở dạng đơn giản (Dạng mô hình hai chiều đã được tuyến tính hóa) và kết quả thiết kế bộ quan sát trạng thái Kalman rời rạc nhằm quan sát trạng thái cho đối tượng, từ đó mở ra hướng thiết kế các bộ điều khiển phản hồi trạng thái để điều khiển hệ cẩu treo. Việc quan sát, chẩn đoán được trạng thái của hệ thống, vốn thường bỏ qua, sẽ góp phần nâng cao được chất lượng điều khiển hệ thống mà không làm tăng thêm phần thiết bị cứng cũng như chi phí thiết bị. Các kết quả mô phỏng trên matlab – simulink nhằm kiểm chứng lại tính đúng đắn của các thuật toán đã thiết kế. Từ khóa: Hệ cẩu treo; Hệ cẩu treo 2 chiều, Bộ quan sát Kalman rời rạc; Quan sát trạng thái; Thuật toán bộ quan sát Kalman. Các ký hiệu ( )1, , Tnx x x= vector của các phần tử , 1,2, ,ix i n= , trong đó chỉ số T là ký hiệu phép tính chuyển vị , , , d dA B A B Ma trận , , , kk k k x y n v giá trị trích mẫu của (vector) tín hiệu GIỚI THIỆU* Cẩu treo là thiết bị công nghiệp được ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như trong xây dựng, trong nhà máy hay tại các bến cảng, ... Những cẩu treo này thường điều khiển bằng tay. Khi mà kích thước của cẩu treo trở nên lớn hơn và yêu cầu vận chuyển nhanh hơn thì quá trình điều khiển chúng sẽ trở nên khó khăn nếu không được tự động hoá. Cẩu treo di chuyển theo những quỹ đạo xác định, nhưng nó hoạt động dưới những điều kiện hết sức khắc nghiệt và một hệ thống điều khiển kín là thích hợp nhất. Cẩu treo là hệ rất phức tạp, trong thời gian qua đã có khá nhiều các nghiên cứu về cẩu treo nhằm tìm ra phương pháp vận hành nó một cách hiệu quả. Trong số các nghiên cứu đó thì phương pháp điều khiển cẩu treo dựa vào mô hình tuyến tính đã thu được một vài kết quả khả quan. * Email: hoangducquynh@gmail.com Trong nội dung của bài báo, nhóm tác giả muốn đề cập đến ở đây là thiết kế một bộ quan sát trạng thái Kalman dựa trên mô hình cẩu treo 2 chiều đã được tuyến tính hóa để quan sát các trạng thái của hệ, từ đó mở ra hướng thiết kế các bộ điều khiển phản hồi trạng thái để điều khiển hệ cẩu treo. Những hệ thống động hiện nay đang sử dụng đều được điều khiển bằng những thiết bị, cơ cấu chấp hành hiện đại, các cảm biến đo tinh xảo với chất lượng điều khiển cao. Tuy nhiên giá thành thiết bị thay thế, bảo dưỡng là không nhỏ, đó là còn chưa nói tới khả năng tự điều chỉnh, linh hoạt trong môi trường làm việc không ổn định là chưa tốt. Từ những vấn đề đặt ra đó, ta thấy cần thiết phải áp dụng những lý thuyết mới: Nghiên cứu triển khai, cài đặt thuật toán chẩn đoán và quan sát trạng thái có thời gian quan sát hữu hạn, áp dụng vào nhận dạng các thông số, trạng thái của các quá trình sản suất. Đây là mảng nghiên cứu có ý nghĩa ứng dụng cao. Việc quan sát, chẩn đoán được trạng thái Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hoàng Đức Quỳnh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 15 - 21 16 của hệ thống, vốn thường bỏ qua, sẽ góp phần nâng cao được chất lượng điều khiển hệ thống mà không làm tăng thêm phần thiết bị cứng cũng như chi phí thiết bị. MÔ HÌNH TOÁN CỦA HỆ CẨU TREO Các thông số giả thiết của hệ cẩu treo đơn giản Một hệ cẩu treo dạng đơn giản được xây dựng như trên hình vẽ H1. Cần cẩu có khối lượng cm di chuyển trên thanh ray treo cao nhờ một động cơ tạo ra lực đẩy đầu vào ( )u t cho hệ. Trục Ox nằm ngang dọc theo thanh rầm, trục Oz thẳng đứng có chiều hướng lên trên. Xe goòng di chuyển trên thanh rầm với vị trí được xác định bởi ( )y t là khoảng cách đo được từ gốc O đến điểm treo của cáp nâng tải trên xe. Coi tải như một chất điểm có khối lượng hm .Tải trọng và xe goòng được nối với nhau bằng một cáp cứng có khối lượng không đáng kể và có chiều dài l , sự dài ra của dây cáp là không đáng kể. Trong khi nâng hạ tải hay di chuyển xe thì tải dao động trong mặt phẳng thẳng đứng với góc lệch ( )tϕ . Các tham số , , c hm m l được xem như hằng số của mô hình. Xây dựng phương trình mô tả toán của hệ và biểu diễn trên không gian trạng thái Ký hiệu cy là quãng đường cần cẩu đi được, hy là quãng đường hàng đi được theo phương nằm ngang, hx là quãng đường hàng đi được theo phương thẳng đứng và F là lực căng của dây treo hàng. Khi đó, theo các định luật cân bằng lực (các định luật của Newton) ta được: sinc cm y u F ϕ= +ɺɺ (1) sin 0h hm y F ϕ+ =ɺɺ (2) cosh h hm x F m gϕ+ =ɺɺ (3) Từ các phương trình trên, sau khi cộng (1) với (2), cũng như nhân (2) với cos hm ϕ và nhân (3) với sin hm ϕ rồi trừ các kết quả cho nhau, sẽ khử được biến F , tức là từ hệ 3 phương trình 6 ẩn số sẽ còn hệ 2 phương trình 5 ẩn số: cos sin sin c c h h h h y m y m u y x gϕ ϕ ϕ + =  − = − ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ Để ý tiếp, do có quan hệ hình học sinh cy y l ϕ= + và coshx l ϕ= , nên sau khi thay chúng vào hai phương trình trên để khử tiếp hai ẩn , h hx y ta sẽ được: ( ) 2 2 2 2 ( sin ) cos sin cos + sin cos sin c c c h c d y l y m m u dt y l l g ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ  + + =   + − +     + = −    ɺɺ ɺɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺ ⇔ ( ) 2 2 cos sin cos sin c h c h c m m y m l u y l g ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ   + + − =    + = − ɺɺ ɺɺɺ ɺɺɺ ⇔ ( ) ( )2os sin cos sin 0 c h c h c m m y m l c u y l g ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ  + + − =   + + = ɺɺɺɺ ɺɺɺɺ (4) Hệ (4) gồm hai phương trình vi phân bậc cao này tạo thành một mô hình toán học mô tả hệ thống cần cẩu treo. Nếu giả thiết góc lệch ϕ là đủ nhỏ, sin , cos 1ϕ ϕ ϕ≈ ≈ , thì ta có mô hình tuyến tính dừng của hệ: ( )c h c h c m m y m l u l g y ϕ ϕ ϕ  + + =  + = − ɺɺɺɺ ɺɺ ɺɺ (5) Biểu diễn hệ (5) trong không gian trạng thái với các biến trạng thái: 1 2 3 4 1 2 3 4, , , , c c x x x x x y x y x x xϕ ϕ      = = = = =       ɺɺ cy cm hy hx u ϕ hm F F Hình 1. Hệ cẩu treo đơn giản Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hoàng Đức Quỳnh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 15 - 21 17 thì hệ sẽ có 4 biến trạng thái cần quan sát, gồm: 1( )cx y là quãng đường chuyển động của xe 2 ( )cx yɺ vận tốc chuyển động của xe 3( )x ϕ góc chuyển động của tải (hàng hóa) 4 ( )x ϕɺ vận tốc góc của tải (hàng hóa) Suy ra hệ biểu diễn trong không gian trạng thái: x Ax Bu y Cx Du = +  = + ɺ (6) với 0 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 , ,00 0 0 1 0 0 1 0 10 0 0 h cc c h hc m g mm A B C m m g mml                                              = = = + − − THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT KALMAN RỜI RẠC CHO HỆ CẨU TREO CÓ NHIỄU HỆ THỐNG VÀ NHIỄU RA Xét hệ có tham số hằng chịu tác động của nhiễu, 1k d d k k k d k d k k x A x B u n y C x D u v + = + +  = + + (7) trong đó , k kn v được giả thiết là hai tín hiệu nhiễu egodic, có kỳ vọng bằng 0, không tương quan với nhau, kv không tương quan với trạng thái kx của hệ, cũng như kx không tương quan với tất cả các giá trị trạng thái trước đó. Để quan sát được trạng thái của hệ, ta sử dụng quan sát Kalman rời rạc. Theo tài liệu [1], cấu trúc bộ quan sát Kalman đó để tạo ra giá trị trạng thái quan sát được kkx x≈ ⌢ là thuật toán sau, trong đó , N V lần lượt là hai ma trận tương quan của nhiễu Gauss , k kn v : 1. Chọn 0K và 0x ⌢ tùy ý 2. Thực hiện các bước sau lần lượt với 1, 2, k = a) Tính 1 Tk d kP A K A N−= + có sử dụng 1kK − từ vòng lặp trước. b) Tính ( ) 1T Tk k d d k dL P C C P C V −= + c) Tính ( )k k d kK I L C P= − cho vòng lặp sau, trong đó I là ma trận đơn vị d) Tính / 1 1d dk k kx A x B u− −= +⌢ có sử dụng 1kx − ⌢ từ vòng lặp trước e) Tính /( ) ( )k d k dk k kkx I L C x L y D u= − + − ⌢ rồi xuất ra bên ngoài làm giá trị quan sát được cho kx . f) Quay về bước a). Để sử dụng được thuật toán trên trước tiên ta phải chuyển mô hình liên tục (6) của hệ cẩu treo thành không liên tục (7) với chu kỳ trích mẫu tín hiệu sT chọn trước, có sử dụng thêm khâu ZOH ở đầu vào. Các công thức chuyển đổi đó có trong tài liệu [1], bao gồm: = s AT dA e , 0 0 s sT T At At dB e Bdt e dt B= = ⋅∫ ∫ (8) dC C= và dD D= (9) Ta cũng có thể thực hiện hai công thức chuyển đổi (8) và (9) trên nhờ lệnh sau trong phần mềm MatLab: [Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,Ts,’zoh’) (10) trong đó: dA=Ad , dB=Bd , dC=Cd , dD=Dd Trong trường hợp không đủ thông tin về nhiễu , k kn v , ta có thể gán , N V là các ma trận đơn vị [9]. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG Giả sử hệ cẩu treo có khối lượng xe 2cm kg= , khối lượng tải trọng là 0.2hm kg= , chiều dài cáp buộc hàng là 1l m= , 210 /g kgm s= là gia tốc trọng trường, góc lắc theo phương thẳng đứng của hàng là đủ nhỏ 10 0.2radϕ < ° ≈ . Như vậy thì mô hình liên tục đã được tuyến tính hóa (6) sẽ có: 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0,5 1 0 0 0 0 , , , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 11 0 5 A B C D                                        = = = = − − Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hoàng Đức Quỳnh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 15 - 21 18 Giả sử thời gian trích mẫu là 0.01sT = . Khi đó từ các công thức (8) và (9), hoặc sử dụng lệnh (10) có trong phần mềm MatLab, sẽ được mô hình không liên tục (7) với: , 1 0,01 0 0 0 1 0,01 0 0 0 0,9995 0,01 0 0 0,11 0,9995 0 0,005 1 0 0 0 0 , 0,0002 0 0 1 0 0 0,05 Ad B C Dd d d                                       = − = = = − − Kết quả mô phỏng cho hệ cẩu treo Hình 2. Sơ đồ Simulink Kết quả về các biến trạng thái của hệ: Hình 3. So sánh trạng thái 1x là quãng đường dịch chuyển của xe cẩu cho hai trường hợp có và không có nhiễu Hình 4. So sánh trạng thái 2x là vận tốc xe cẩu cho hai trường hợp có và không có nhiễu Hình 5. So sánh trạng thái 3x là góc lắc của tải cho hai trường hợp có và không có nhiễu Hình 6. So sánh trạng thái 4x là vận tốc góc lắc của tải cho hai trường hợp có và không có nhiễu Nhận xét: So sánh các đồ thị trạng thái với cả hai trường hợp có và khi không có nhiễu cho ta thấy, nhiễu quá trình, bao gồm nhiễu hệ thống kn tác động trực tiếp vào trạng thái và nhiễu đầu ra kv đã làm ảnh hưởng đến tất cả các đáp ứng của bốn trạng thái của hệ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hoàng Đức Quỳnh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 15 - 21 19 Thiết kế sơ đồ mô phỏng cho bộ quan sát Kalman rời rạc Hình 7. Sơ đồ Simulink bộ quan sát Kalman rời rạc Kết quả mô phỏng khi ghép nối bộ lọc Kalman để quan sát trạng thái cho hệ cẩu treo Hình 8. Sơ đồ Simulink Cài đặt các thông số: A=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 -11 0]; B=[0;0.5;0;-5]; C=[1 0 0 0;0 0 1 0]; D=[0;0]; Ts=0.01; [Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,Ts,'zoh'); N =eye(4); V =eye(2); I=eye(4); Hình 9. So sánh trạng thái quan sát được 1x ⌢ và trạng thái thực 1x Phóng to: Hình 10. So sánh trạng thái quan sát được 2x ⌢ và trạng thái thực 2x Hình 11. So sánh trạng thái quan sát được 3x ⌢ và trạng thái thực 3x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hoàng Đức Quỳnh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 15 - 21 20 Phóng to: Hình 12. So sánh trạng thái quan sát được 4x ⌢ và trạng thái thực 4x Hình 13. So sánh đáp ứng đầu ra y Nhận xét: So sánh các trạng thái cho thấy, sau khi sử dụng bộ quan sát Kalman đã thiết kế để quan sát trạng thái cho hệ cẩu treo, các trạng thái quan sát được trùng khớp với các trạng thái thực của hệ ( k kx x≈⌢ ). Ngoài ra, trong các đáp ứng này còn cho thấy sự ảnh hưởng của nhiễu được giảm thiểu (dạng đáp ứng trạng thái quan sát được giống với đáp ứng trạng thái khi không có nhiễu). KẾT LUẬN Nghiên cứu hệ cẩu treo là một hướng ứng dụng rất thiết thực vì sự đa dạng và tính kinh tế của nó. Bài báo đã trình bầy tóm tắt về cách xây dựng mô hình toán cho hệ cẩu treo, cách thiết kế bộ quan sát trạng thái Kalman rời rạc và khả năng ứng dụng nó vào xây dựng các bộ điều khiển phản hồi trạng thái (sử dụng các tín hiệu đầu ra của đối tượng). Các kết quả mô phỏng cho thấy các trạng thái quan sát được bám rất gần và gần như trùng khít với các trạng thái thực của hệ thống. Khi quan sát được các biến trạng thái như vị trí xe, vận tốc xe, vị trí góc lắc tải, vận tốc góc lắc tải và cả đáp ứng đầu ra, ta có thể dễ dàng áp dụng các phương pháp điều khiển phản hồi trạng thái để thiết kế các bộ điều khiển chất lượng cao cho hệ cẩu treo. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Doãn Phước (2009), Lý thuyết điều khiển tuyến tính. Nxb Khoa học và Kỹ thuật. [2]. Nguyễn Doãn Phước (2005), Lý thuyết điều khiển nâng cao. Nxb Khoa học và Kỹ thuật. [3]. Chí N.V.; Phước N.D., “Đánh giá quá trình quá độ của các bộ quan sát trạng thái phi tuyến từ ví dụ ứng dụng”, Tạp chí KH&CN các trường ĐHKT, tr.82-87, số 75, 2010. [4]. Phước N.D.; Trung N.H., “Thiết kế bộ quan sát tối ưu có khoảng thời gian quan sát hữu hạn và ứng dụng vào điều khiển tách kênh hệ tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách” Tạp chí KH&CN các trường ĐHKT, tr.38-42, số 77.2010 [5]. Đông N.T.; Thuyến N.V.; Phước N.D.: “Cài đặt bộ quan sát có thời gian hữu hạn thành khối thư viện của MatLab Simulink và kiểm chứng nguyên lý tách cho bài toán điều khiển ổn định” Tạp chí KH&CN các trường ĐHKT, tr.40-46, số 80.2011 [6]. Trịnh Lương Miên: Trường Đại học Giao thông đường sắt Mátxcơva. Bài báo: Điều khiển hệ cầu trục dựa trên luật PID. Luận án TS. [7]. Resner, Sorensen, Pettersen (2007), A 6 DOF Nonlinear Observer for AUVs with experimental results. Proceeding CDC. [8]. Bouadi, Tadjine (2009), Nonlinear Observer Design and Sliding Mode Control of four Rotors Helicopter. World Academy of Sciences and Technology. [9]. Besancon, G. (Chủ biên) (2007), Nonlinear Observers and Applications. Springer. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hoàng Đức Quỳnh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 15 - 21 21 [10]. L.Haskara&V.Utkin: On sliding mode observer via equivalent control approach. Int. J. Contr: vol. 40, no. 6, pp. 1051-1067, 1998. [11]. M. Alamir: Optimization based nonlinear observers revisited. Int. J. Contr., vol. 72, no. 13, pp. 1204-1217, 1999. [12]. A.; Korovin, S.; Fomichev, V.; Hlavenka, A: Observers for Linear Dynamical Systems with Indeterminacy. Differential Equations, Volume 41, Number 11, November 2005 , pp. 1517- 1531(15). SUMMARY IDENTIFY STATUS OF 2-D CRANES SYSTEM USING DISCRETE KALMAN OBSERVER Hoang Duc Quynh1*, Nguyen Thi Viet Huong2, Nguyen Doan Phuoc3 1College of Technology and Industrial Economics, 2Thai Nguyen College of Industry, 3Hanoi General University Bridge Cranes are industrial equipments that to be used widely in many industrial fields and therefore, there are many researchs about control methods to control them. This paper offers a mathematical model of a simple bridge crane (two-dimensional form of the model that has been linearized) and the design results of a discrete Kalman state observer status for the 2-D crane. The state of the system, which is often overlooked, will contribute to improving the quality control system without additional hardware equipments, as well as the cost of equipments. The simulation results on MATLAB - Simulink to verify the correctness of the algorithm that has been designed. Key words: Bridge Cranes; 2-D Cranes system; Discrete Kalman Observer; State Observe; Algorithm of Kalman Observer. Ngày nhận bài: 05/6/2013; Ngày phản biện: 05/6/2013; Ngày duyệt đăng:26/7/2013 * Email: Hoangducquynh@gmail.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên