Nguyên hàm của hàm hữu tỉ

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )( ) P xI dxQ x= ∫ Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số. I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT Khi đó Q(x) = ax + b.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức.
Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có ( ) (ax ) ln ax .( ) ax ax P x k k d b kI dx dx b CQ x b a b a + = = = = + + + +∫ ∫ ∫ Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 1 4 2 1 I dx x = − ∫ b) 2 1 1 xI dx x + = − ∫ c) 3 2 1 3 4 xI dx x + = − ∫ d) 2 4 4 3 x xI x + + = +∫ Hướng dẫn giải: a) Ta có 1 4 4 (2 1) 2ln 2 1 . 2 1 2 2 1 d xI dx x C x x − = = = − + − − ∫ ∫ b) 2 1 1 2 21 2 2ln 1 . 1 1 1 1 x x dxI dx dx dx dx x x C x x x x + − +   = = = + = + = + − +  − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ c) ( ) ( ) ( ) 3 1 53 4 3 42 1 1 5 1 5 1 52 2 3 4 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 8 3 4 x d xx dxI dx dx dx x x x x x x x − − +   −+ = = = − + = − + = − −   − − − − −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 1 5 1 5ln 3 4 ln 3 4 . 2 8 2 8 x x C I x x C= − − − + → = − − − + d) ( ) ( ) 2 2 4 34 102 2 10 2 10ln 3 . 3 3 3 2 d xx x xI x dx x dx x x C x x x ++ +   = = − + = − + = − + + + + + +  ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 3 5 7 2 5 x xI dx x − + = +∫ b) 3 2 6 3 3 2 1 x x xI dx x + + + = − ∫ c) 4 2 7 4 3 2 2 1 x x xI dx x + + + = +∫ Hướng dẫn giải: a) Chia tử số cho mẫu số ta được 3 2 49 7 1 5 21 8 2 5 2 4 8 2 5 x x x x x x − + = − + − + + Khi đó 3 2 2 5 49 7 1 5 21 1 5 21 498 2 5 2 4 8 2 5 2 4 8 8 2 5 x x dxI dx x x dx x x dx x x x     − +   = = − + − = − + −   + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ ( )3 2 3 22 51 5 21 49 5 21 49 . . ln 2 5 . 2 3 4 2 8 16 2 5 6 8 8 16 d xx x x x x x x C x + = − + − = − + − + + +∫ b) Ta có 3 2 2 3 2 6 3 3 2 93 6 7 3 7 9ln 1 . 1 1 x x xI dx x x dx x x x x C x x + + +   = = + + + = + + + − +  − −  ∫ ∫ c) Chia tử số cho mẫu số ta được 4 2 3 2 5 4 3 2 1 22 2 2 1 2 2 1 x x x x x x x x + + + = − + − + + + 04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Khi đó 4 2 3 2 3 2 7 5 4 3 2 1 1 522 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 x x x dxI dx x x x dx x x x dx x x x    + + +   = = − + − + = − + − +   + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ ( )4 3 4 32 22 11 5 1 52. ln 2 1 . 4 3 2 4 2 1 2 3 2 4 d xx x x x x x x x x C x + = − + − + = − + − + + + +∫ II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x). TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số.
Nếu P(x) bậc nhất thì ta có phân tích ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1( ) ( ) P x P x A BQ x a x x x x Q x a x x x x a x x x x   = − − → = = +  − − − −  Đồng nhất hệ số ở hai vế ta được A, B. Từ đó, quy về bài toán nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc nhất đã xét ở trên.
Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải. Chú ý:
Việc phân tích đa thức thành nhân tử với các phương trình bậc hai có hệ số a khác 1 phải theo quy tắc ( )( )2 1 2+ + = − −ax bx c a x x x x Ví dụ: 2 ( 1)(3 1) : '. 3 4 1 1( 1) : . 3 x x dung x x x x sai − − − + =   − −   
Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu, rồi tách thành 2 nguyên hàm (xem các ví dụ dưới đây). Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 1 2 2 3 dxI dx x x = − − ∫ b) 2 2 2 3 4 1 dxI x x = − + −∫ c) 3 2 2 3 3 4 xI dx x x + = − − ∫ d) 4 2 3 4 5 6 1 xI dx x x + = + +∫ Hướng dẫn giải: a) 1 2 1 ( 1) ( 3) 1 1 3ln .( 1)( 3) 4 ( 1)( 3) 4 3 1 4 12 3 dx dx x x dx dx xI dx dx C x x x x x x xx x + − − −  = = = = − = + + − + − − + +− −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) 2 2 2 2 2 (3 1) 3( 1)2 2 3 4 1 3 4 1 ( 1)(3 1) 4 ( 1)(3 1) dx dx dx x xI dx x x x x x x x x − − − − = = − = − = − + − − + − − − −∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 (3 1) 1 1 1 3 13 ln 1 ln 1 ln 3 1 ln . 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 2 1 dx dx d x x x x x C C x x x x − −  = − − = − − + = − − + − + = +  − − − −  ∫ ∫ ∫ c) 3 2 2 3 3 4 xI dx x x + = − − ∫
Cách 1: Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = –1 và x = 4, khi đó ( )( )2 2 3 2 3 1 4 1 43 4 x x A B x x x xx x + + = = + + − + −− − Đồng nhất ta được ( ) ( ) 1 2 52 3 4 1 3 4 11 5 AA B x A x B x A B B  = −= +  + ≡ − + + → ←→  = − +  =  Từ đó 3 2 1 11 2 3 1 11 1 115 5 ln 1 ln 4 . 1 4 5 1 5 4 5 53 4 x dx dxI dx dx x x C x x x xx x   − + = = + = − + = − + + − +  + − + −− −      ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Vậy 3 1 11ln 1 ln 4 . 5 5 I x x C= − + + − +
Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: ( )2 3 2 2 2 2 2 3 42 3 2 3 6 (2 3) 6 6 ( 1)( 4)3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 d x xx x x dx dx dxI dx dx x xx x x x x x x x x x − −+ − + − = = = + = + + −− − − − − − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 26 ( 1) ( 4) 6 6 4ln 3 4 ln 3 4 ln 3 4 ln . 5 ( 1)( 4) 5 4 1 5 1 x x dx dx x x x dx x x x x C x x x x x + − − −  = − − + = − − + − = − − + + + − − + + ∫ ∫ ∫ Nhận xét: Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số. Nhưng, chỉ bằng một vài phép biến đổi logarith đơn giản ta có ngay cùng kết quả. Thật vậy, theo cách 2 ta có: 2 6 4 6 6 1 11ln 3 4 ln ln 4 ln 1 ln 4 ln 1 ln 1 ln 4 . 5 1 5 5 5 5 x x x x x x x C x x x − − − + = − + + + − − + + = − + + − + Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cũng không cần dùng đến giấy nháp ta có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được! d) 4 2 3 4 3 4 5 6 1 ( 1)(5 1) x xI dx dx x x x x + + = = + + + +∫ ∫
Cách 1: Ta có 1 3 53 4 43 4 (5 1) ( 1) 4 17( 1)(5 1) 1 5 1 4 AA Bx A B x A x B x A Bx x x x B  = −= ++  = + → + ≡ + + + ←→ →  = ++ + + +   =  Từ đó 4 3 4 1 17 1 17 ( 1)(5 6) 4( 1) 4(5 1) 4 1 4 5 1 x dx dxI dx dx x x x x x x  + = = − + = − +  + + + + + +  ∫ ∫ ∫ ∫ 4 1 17ln 1 ln 5 1 . 4 20 I x x C→ = − + + + +
Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 10x + 6 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: ( ) ( ) 4 2 2 2 2 3 2210 6 10 63 4 3 2210 10 5 6 1 5 6 1 10 5 6 1 10 5 6 1 x xx dxI dx dx dx x x x x x x x x + + ++ = = = + + + + + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ( )2 2 2 5 6 13 22 3 22 (5 1) 5( 1)ln 5 6 1 10 5 6 1 10 (5 1)( 1) 10 40 (5 1)( 1) d x x dx x x x x dx x x x x x x + + + − + = + = + + − + + + + + +∫ ∫ ∫ 2 23 22 5 3 11 1ln 5 6 1 ln 5 6 1 ln . 10 40 1 5 1 10 20 5 1 dx dx x x x x x C x x x +  = + + − − = + + − + + + +  ∫ ∫ Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 3 5 2 4 2 1 1 x xI dx x + − = − ∫ b) 6 2 5 3 2 xI dx x x − = − − ∫ Hướng dẫn giải: a) Do tử số có bậc lớn hơn mẫu nên chia đa thức ta được 3 5 2 2 4 2 1 6 14 1 1 x x xI dx x dx x x + − −  = = +  − −  ∫ ∫ Ta có 2 7 66 1 6 1 26 1 ( 1) ( 1) 1 51 ( 1)( 1) 1 1 2 AA Bx x A B x A x B x A Bx x x x x B  == +− −  = = + → − ≡ − + + ⇔ ⇔  − = − +− − + + −   =  ( ) ( ) 2 5 7 5 7 54 2 ln 1 ln 1 . 2 1 2 1 2 2 I x dx x x x C x x   → = + + = + + + − +  + −  ∫ b) Ta có 2 2 5 5 5 5 ( 3) ( 1) 3 2 2 3 ( 1)( 3) 1 3 x x x A B x A x B x x x x x x x x x − − − = = = + → − ≡ + + − − − + − − + − + Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! 6 2 1 1 5 1 2 2 5 3 2 1 3 1 33 2 A B A x dx dxI dx dx A B B x x x xx x = + = −  − −  → ⇔ → = = + = − +    − = − = − + − +− −    ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )2 2 6 3 3 ln 1 2ln 3 ln ln . 1 1 x x x x C C I C x x − − = − − + + + = + → = + − − BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 2 1 3 xI dx x − = +∫ b) 2 2 3 1 1 x xI dx x + − = +∫ c) 3 2 3 3 3 2 1 x x xI dx x + + + = − ∫ Bài 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) 3 4 7 2 5 x xI dx x − + = +∫ b) 5 1 4 3 xI dx x + = − ∫ c) 4 2 6 5 3 3 1 x x xI dx x − + = +∫ Bài 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 2 2 1 3 2 xI dx x x − = + +∫ b) 2 2 3 4 5 6 1 xI dx x x + = + +∫ c) 2 3 2 3 1 2 3 1 xI dx x x + = + +∫ Bài 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) 4 2 5 4 3 2 xI dx x x + = − − ∫ b) 5 2 5 3 2 1 xI dx x x + = − − ∫ c) 6 2 1 5 4 5 1 xI dx x x − = + +∫