Ngoại khóa tổ toán - Chủ đề: “Đại số tổ hợp”

NGOẠI KHÓA TỔ TOÁN Chủ đề: “Đại số tổ hợp” Như chúng ta đã biết toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học nên toán học đã được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ". Toán học là một trong những ngành khoa học cơ bản cổ xưa nhất của nhân loại và là niềm đam mê của rất nhiều thế hệ các nhà khoa học, chứa đựng trong nó là cả một kho tàng vô tận những bí ẩn cũng như khả năng ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống. Toán học sử dụng những học thuyết toán, kỹ thuật tính toán, thuật toán, với sự hỗ trợ của Công nghệ thông tin để giải quyết mọi vấn đề từ kinh tế, khoa học, kỹ thuật, vật lý đến những vấn đề thuộc về khoa học xã hội và nhân văn. Đại số tổ hợp hay còn gọi là lý thuyết tổ hợp hoặc giải tích tổ hợp là một ngành mới của toán học. Từ di truyền học đến các ngành khoa học kinh tế và xã hội, các lĩnh vực áp dụng lý thuyết này không ngừng được mở rộng. Chúng ta làm sao có thể loại bỏ mọi vận may trong một ván bài hay quản lý tốt hơn cung và cầu trong buôn bán hàng hóa hay làm sao có thể hiểu sâu hơn về tổ chức gen trong một vi khuẩn? Khoa học toán học được gọi là lý thuyết tổ hợp cho phép tiếp cận được hết các lĩnh vực này. Vì lý thuyết tổ hợp có tầm quan trọng lớn như vậy nên nó đã được đưa vào giảng dạy trong bộ môn toán học phổ thông trung học một số nước trên Thế Giới. Để giúp học sinh có thể nắm vững, đồng thời vận dụng tốt các kiến thức được học về đại số tổ hợp, hôm nay tổ Toán tổ chức buổi ngoại khóa với cuộc thi “Thử tài cùng đại số tổ hợp”. Cuộc thi gồm có 3 vòng thi: - Vòng 1: Khởi động - Vòng 2: Ai nhanh hơn - Vòng 3: Chung sức *Vòng 1: “Khởi động” - Ở vòng thi này sẽ có 6 câu hỏi trắc nghiệm. Sau khi người dẫn chương trình đọc xong câu hỏi, các em có 15 giây để suy nghĩ và trả lời bằng cách giơ bảng ghi chữ cái tương ứng với đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng sẽ được 5 điểm. 1. Số các chỉnh hợp chập k của một tập có n phần tử là: A. B. C. D. 2. Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với . Một tổ hợp chập k của A là: A. Sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự. B. Một tập con của A có k phần tử. C. Lấy ra k phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự . D. Các câu trên đều sai. 3. Ba vận động viên A, B, C chạy thi. Nếu không kể trường hợp hai vận động viên về đích cùng 1 lúc thì có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba? A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 (Số các khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba là số các hoán vị của tập có 3 phần tử. Vậy có 3! = 6 khả năng có thể xảy ra) 4. Trong mặt phẳng, cho tập hợp P gồm 5 điểm. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P? A. B. C. 2! D. 5! (Một vectơ có phân biệt điểm dầu và điểm cuối nên số các vectơ là số cách sắp thứ tự 2 điểm bất kì trong tập hợp P gồm 5 điểm. Vậy, số các vectơ có thể được tạo thành là vectơ) 5. Cho 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được thành lập từ 6 chữ số đó? A. 6! B. C. 63 D. (Số các chữ số cần tìm là số cách sắp thứ tự 3 chữ số khác nhau trong tập gồm có 6 chữ số. Vậy, có số) 6. Tìm hệ số của trong khai triển của A. -6 B. 6 C. 15 D. -15 (Số hạng thứ k + 1 của khai triển là: Hệ số của là ứng với Vậy hệ số cần tìm là ) * Vòng 2: “Ai nhanh hơn” - Trong vòng thi này, BTC sẽ lần lượt đưa ra 6 câu hỏi. Các đội sẽ giành quyền trả lời bằng hình thức giơ tay. Nếu trả lời đúng sẽ được 10 điểm, nếu trả lời sai sẽ bị trừ đi 5 điểm. Thời gian suy nghĩ tối đa cho mỗi câu hỏi là 20 giây. Tuy nhiên, các đội chú ý: Chỉ được giơ tay giành quyền trả lời sau tiếng “Hết” của người dẫn chương trình. 1. Xem bảng số sau: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ......................................................................................................................................... Bảng số này do nhà toán học nào thiết lập? Và được gọi là gì? Đáp án: Do nhà toán học Pascal thiết lập (vào năm 1653) và được gọi là Tam giác Pascal. (Tam giác Pascal được lập theo quy luật sau: - Đỉnh được ghi số 1. - Hàng thứ nhất ghi 2 số 1. - Nếu biết hàng thứ n () thì hàng thứ n+1 được lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.) 2. Từ các chữ số 0 ; 1; 2; 3; 4 ; 5 ;6 ; 7; 8 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số (các chữ số không nhất thiết khác nhau)? Đáp án: 360 số (Gọi số cần tìm : Có 5 cách chọn c, 8 cách chọn a, 9 cách chọn b. Vậy có: 5.8.9 = 360 số) 3. Tìm hệ số của trong khai triển của ? Đáp án: = 6435 (Số hạng thứ k + 1 của khai triển là: Hệ số của là ứng với Vậy hệ số cần tìm là ) 4. Tổ của An và Cường có 7 học sinh. Có bao nhiêu cáh sắp xếp 7 học sinh đó theo một hàng dọc mà An đứng đầu hàng, Cường đứng cuối hàng? Đáp án: 5!=120 cách (Do An đứng đầu hàng, Cường đứng cuối hàng nên ta chỉ cần sắp 7-2=5 học sinh còn lại vào 5 vị trí ở giữa hàng. Vậy có 5!=120 cách sắp xếp) 5. Một học sinh 11A có 12 cuốn sách gồm : 6 sách toán , 4 sách lý và 2 sách hóa. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách lên một kệ sách dài nếu các cuốn sách cùng một môn xếp kề nhau? Đáp án: 6!.4!.2!.3!= 207.360 cách. ( Xếp 6 cuốn sách toán kề nhau: có 6! cách Xếp 4 cuốn sách lý kề nhau: có 4! cách Xếp 2 cuốn sách hóa kề nhau: có 2! cách Mỗi lần ta hoán vị 3 nhóm sách này ta có 3! cách sắp xếp mới Vậy có tất cả: 6!.4!.2!.3!= 207.360 cách sắp xếp) 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho cả 2 ; 5 và 10? Đáp án: 90 số (Gọi số cần tìm : Có 1 cách chọn c, 9 cách chọn a, 10 cách chọn b. Vậy có : 1.10.9 = 90 số.) * Trò chơi dành cho khán giả: Giải ô chữ Học sinh chọn 1 trong 6 ô chữ hàng ngang. Mỗi ô chữ hàng ngang sẽ có 1 gọi ý. Học sinh có 15 giây suy nghĩ, nếu trả lời đúng sẽ nhận được một món quà từ phía BTC, đồng thời nhận được 1 hay nhiều chữ cái cho ô chữ chìa khóa; nếu trả lời sai, cơ hội sẽ thuộc về những học sinh khác. Sau khi các ô chữ được giải hết, các chữ cái của từ chìa khóa sẽ dần xuất hiện. Học sinh trả lời đúng từ chìa khóa của ô chữ sẽ được nhận 1 phần quà đặc biệt của BTC. 1. Ô chữ gồm 4 chữ cái. Quốc gia này là quê hương của nhiều nhà toán học nổi tiếng như Descartes, Fermat, Pascal, Đáp án: Pháp (từ cho ô chữ chìa khóa: P, A) 2. Ô chữ gồm 6 chữ cái. Điền vào chỗ trông sau: “Cho tập các số 1, 3, 4, 5. Số các chữ số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số trên là số các .của 4 phần tử.” Đáp án: Hoán vị (từ cho ô chữ chìa khóa: A) 3. Ô chữ gồm có 6 chữ cái. Ông và Pascal là những người đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu lý thuyết xác suất và các định luật tổ hợp tương ứng trong các thảo luận của họ về trò đánh bạc. Ông là ai? Đáp án: Fermat (từ cho ô chữ chìa khóa: E) 4. Ô chữ gồm có 7 chữ cái. Đây là môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi, là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, là một ngành toán học quan trọng được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của KHTN, KHXH, kinh tế, y học, . Đáp án: Xác suất (từ cho ô chữ chìa khóa: S – có 2 chữ S) 5. Ô chữ gồm có 8 chữ cái. Điền vào chỗ trống sau: “Một ban chấp hành đoàn gồm 15 người. Số cách chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: bí thư, phó bí thư, ủy viên là số ..chập 3 của tập có 15 phần tử” Đáp án: Chỉnh hợp (từ cho ô chữ chìa khóa: C, I) 6. Số các đường chéo của đa giác này là 9. Đa giác này đưuọc gọi là gì? Đáp án: Lục giác (từ cho ô chữ chìa khóa: A, L – có 2 chữ L) P H A P H O A N V I F E R M A T X A C S U Â T C H I N H H O P L U C G I A C Ô chữ chìa khóa: BLAISE PASCAL (Ta đã từng nghe câu nói “Con người chỉ là một cây sậy, một vật rất yếu đuối của tự nhiên, nhưng là 1 cây sậy biết suy nghĩ”, hay câu “Trái tim có những lí lẽ mà lí trí không giải thích được”. Đó là những câu nói người ta vẫn thường nhắc khi nói về Blaise Pascal - một nhà toán học, nhà vật lý học, nhà văn, nhà tư tưởng người Pháp. Ông sinh ngày 19 tháng 6 năm 1623, mất ngày 19 tháng 8 năm 1662 . Ông được tiếp thu nền giáo dục từ người cha của ông. Ngay từ thời trẻ Pascal đã nổi tiếng là thần đồng. Các tác phẩm ban đầu của ông là về tự nhiên và các khoa học ứng dụng, nơi ông đã có những đóng góp quan trọng vào việc xây dựng một máy tính cơ khí, các nghiên cứu về chất lỏng, trình bày các khái niệm về áp suất và chân không, Trong lĩnh vực toán học, Pascal đã giúp tạo ra hai lĩnh vực nghiên cứu mới. ông đã viết một luận án quan trọng về đối tượng của hình học ánh xạ ở độ tuổi 16. Năm 17 tuổi, ông có ý định chế tạo 1 chiêc máy tính, và 5 năm sau ông đã chế tạo xong chiếc máy tính làm được bốn phép cộng, trừ, nhân, chia. Đó là chiếc máy tình đầu tiên trong lịch sử nhân loại. Năm 28 tuổi, một nhà quý tộc Pháp nhờ ông giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi đánh bạc. Ông đã toán học hóa các trò chơi này và nâng lên thành những bài toán phức tạp hơn. Ông đã trao đổi vấn đề này cùng với nhà toán học Pierre de Fermat. Những cuộc trao đổi đó đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu lý thuyết xác suất và các định luật tổ hợp tương ứng. Đây là công trình có ảnh hưởng lớn tới sự phát triển của kinh tế học hiện đại và các ngành khoa học xã hội. Tháng 6 năm 1662, Pascal đem nốt căn nhà ở tặng cho một gia đình nghèo đang mắc bệnh đậu mùa. Ông dọn tới ở nhờ người chị gái. Tại nơi này, ông bị ốm nặng và cơn bệnh còn hành hạ ông trong hai tháng. Pascal qua đời vào ngày 19 tháng 8 năm đó, hưởng thọ 39 tuổi.) * Vòng 3: “Chung sức” - Trong vòng thi này, BTC có 1 bộ gồm 6 câu hỏi. Mỗi đội sẽ có 2 lần bốc thăm chọn câu hỏi cho đội mình. Trong thời gian 1 phút , các thành viên của đội phải trình bày bài giải cùng đáp án cuối cùng lên giấy đã in sẵn đề một cách ngắn gọn và hợp lý. Sau khi hết thời gian, các đội lần lượt trình bày bài giải của mình bằng cách sử dụng máy chiếu đa vật thể. BGK sẽ đánh giá và cho điểm. Điểm tối đa cho mỗi bài giải đúng, hoàn chỉnh là 10 điểm. 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của . Đáp án: 240 (Số hạng thứ k + 1 của khai triển là: Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với Vậy số hạng cần tìm là ) 2. Tìm hệ số của trong khai triển của . Đáp án: (Số hạng thứ k + 1 của khai triển là: Hệ số của ứng với Vậy hệ số cần tìm là ) 3 Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau không vượt quá 410? Đáp án: 90 số (Gọi số cần tìm : nên Có 3 cách chọn a, 6 cách chọn b, 5 cách chọn c. Vậy có: 3.6.5 = 90 số) 4. Từ các chữ số 0 ; 1; 2; 3; 4 ; 5 ;6 ; 7; 8 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 có ba chữ số (các chữ số không nhất thiết khác nhau). Đáp án: 144 số (Gọi số cần tìm : chia hết cho 5 nên Có 8 cách chọn a, 9 cách chọn b, 2 cách chọn c. Vậy có: 8.9.2 = 144 số) 5. Đội thanh niên tình nguyện của 1 trường THPT có 18 học sinh gồm 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 8 học sinh từ các học sinh trên để tham gia chiến dịch “mùa hè xanh” sao cho khối 12 có đúng 1 học sinh tham gia. Đáp án: 2.310 cách (Chọn 1 học sinh trong số 7 học sinh khối 12: có cách chọn. Chọn 7 học sinh trong số 6+5=11 học sinh khối 10 và 11: có cách chọn. Vậy số cách chọn 8 học sinh trong đó có đúng 1 học sinh khối 12 là: 7.330=2.310 cách chọn.) 6. Một nhóm học sinh gồm 6 HS nam và 8 HS nữ. Người ta chọn 1 tổ trực nhật gồm 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và lẫn nữ? Đáp án: 2.974 cách (Chọn 6 học sinh nam: có cách chọn. Chọn 6 học sinh nữ: có cách chọn. Vậy số cách chọn 6 học sinh, trong đó phải có cả nam và nữ là: cách chọn.) Kết luận: Đại số tổ hợp là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,... các phần tử của một tập hợp. Đại số tổ hợp không chỉ có trong lĩnh vực giảng dạy và nghiên cứu, mà còn ứng dụng trong công nghệ thông tin, điện – điện tử, các ngành kinh tế – kỹ thuật và cả các ngành khoa học xã hội. Chính vì lẽ đó, từng dạng toán trong đại số tổ hợp càng mang tính khoa học và trí tuệ. Muốn học tốt môn đại số tổ hợp, học sinh cần phải: Nắm vững và phân biệt được hai quy tắc: quy tắc cộng, quy tắc nhân. - Nắm vững các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Từ đó, có thể vận dụng linh hoạt và phù hợp cho từng bài toán cụ thể. - Giải nhiều bài tập để lấy kinh nghiệm. Tuy nhiên, bên cạnh đó để học tốt môn Toán nói chung và phần Đại số tổ hợp nói riêng, học sinh cần bồi dưỡng lòng yêu thích môn Toán. Toán học không thật sự "rất khó và khô", để lấy lại niềm đam mê học toán, chúng ta hãy bắt đầu bằng những việc sau: - Thấy được vai trò quan trọng của toán học trong cuộc sống. - Đọc các sách ứng dụng toán học vào cuộc sống. - Đọc tiểu sử của các nhà toán học.