Nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu và tính phản chùm của trạng thái hai Mode kết hợp su(2)lẻ

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN TỔNG, NÉN HIỆU VÀ TÍNH PHẢN CHÙM CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(2)LẺ HUỲNH VŨ - TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế TRẦN QUANG ĐẠT Trường Đại học Giao thông Vận tải, TP Hồ Chí Minh Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu và tính phản chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ. Kết quả thu được cho thấy trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ không thể hiện tính chất nén tổng hai mode nhưng lại thể hiện tính chất nén hiệu hai mode, tổng số photon hai mode càng tăng thì tính chất nén hiệu càng được thể hiện mạnh. Bằng việc sử dụng tiêu chuẩn tính phản chùm hai mode để khảo sát trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ chúng tôi nhận thấy rằng trạng thái này chỉ thể hiện tính phản chùm với tổng số photon hai mode phù hợp và phụ thuộc vào r. Từ khóa: trạng thái kết hợp, nén tổng, nén hiệu 1 GIỚI THIỆU Ngày nay với nhiều sự tiến bộ vượt bậc của khoa học kỹ thuật thì sự bảo mật thông tin được đặt lên hàng đầu. Do đó lĩnh vực thông tin lượng tử và máy tính lượng tử được các nhà khoa học tập trung nghiên cứu để tạo ra sự bảo mật tuyệt đối về thông tin. Vì lí do này mà việc tạo ra các trạng thái phi cổ điển được các nhà khoa học quan tâm hàng đầu, điển hình là trạng thái nén, trạng thái kết hợp chẵn lẻ. Trạng thái hai mode kết hợp SU(2) là một trạng thái phi cổ điển đã được Schwinger đưa ra như sau |ζ, j〉 = exp(βJˆ+ − β∗Jˆ−) |j,−j〉 = (1 + |ζ|2)−N2 N∑ n=0 (CnN ) 1 2 ζn |n,N − n〉 , (1) Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế ISSN 1859-1612, Số 04(36)/2015: tr. 14-23 NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN TỔNG, NÉN HIỆU... 15 trong đó β = γ/2 exp(−iψ) (0 ≤ γ ≤ pi, 0 ≤ ψ ≤ 2pi), ζ = tan(γ/2) exp(−iψ) và na = n, nb = N − n. Từ đó ta đưa ra trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ như sau |α−〉 = N−[|ζ, j〉 − |−ζ, j〉] = 2N− (1 + |ζ|2)N2 N−1 2∑ n=0 ( N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! ) 1 2 ζ2n+1 |2n+ 1, N − 2n− 1〉 , trong đó N− = 1√ 2 ( 1− ( 1− |ζ|2 1 + |ζ|2 )2j)− 12 . Các tính chất nén của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ bậc thấp đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, các tính chất nén tổng, nén hiệu và tính phản chùm vẫn chưa được khảo sát. Vì vậy, trong bài báo này chúng tôi tiến hành khảo sát mức độ thể hiện tính chất nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ. 2 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT NÉN TỔNG HAI MODE CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(2) LẺ Để khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ, chúng tôi sử dụng điều kiện nén tổng được đưa ra bởi Hillery vào năm 1989 [2]. Toán tử nén tổng trong trường hợp này được định nghĩa như sau Vˆφ = 1 2 ( eiφaˆ+bˆ+ + e−iφaˆbˆ ) , (2) trong đó aˆ† và aˆ tương ứng là toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ nhất, bˆ† và bˆ là toán tử sinh và toán tử hủy của mode thứ hai. Một trạng thái thể hiện tính nén tổng nếu S = 〈 Vˆ 2φ 〉 − 〈 Vˆφ 〉2 − 1 4 〈nˆa + nˆb + 1〉 < 0, (3) trong đó nˆa, nˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b và mức độ nén thể hiện càng mạnh nếu S càng âm. Khi đó, với Vˆφ = 12 ( eiφaˆ+bˆ+ + e−iφaˆbˆ ) ta có tham số nén S = 1 4 〈( eiφaˆ+bˆ+ )2 + ( e−iφaˆbˆ )2 + 2aˆ+bˆ+aˆbˆ 〉 − 1 4 {〈 eiφaˆ+bˆ+ 〉 + 〈 e−iφaˆbˆ 〉}2 . (4) Sử dụng trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ đã được nêu ra ở trên và lấy trung bình trạng thái này để tính biểu thức (4) ta tính được tham số nén S = 2|N−|2 (1 + |ζ|2)N N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! (|ζ|2)2n+1(2n+ 1)(N − 2n− 1), 16 HUỲNH VŨ và cs. trong đó ζ = tan(γ/2) exp(−iψ), (0 ≤ γ ≤ pi, 0 ≤ ψ ≤ 2pi). Để thuận tiện cho việc khảo sát chúng tôi đặt γ = 2r với 0 ≤ r ≤ pi/2. Từ đó chúng tôi có tham số nén tổng hai mode dưới dạng S = ( 1− ( 1−tan2 r 1+tan2 r )N)−1 (1 + tan2 r) N N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! ( tan2 r )2n+1 (2n+ 1)(N − 2n− 1). (5) Hình 1: Sự phụ thuộc của S vào r với N = 11, 9, 7. (Đường biểu diễn các tham số theo thứ tự từ trên xuống dưới) Kết quả khảo sát sự phụ thuộc của mức độ nén tổng hai mode theo r và tổng số photon hai mode N thể hiện trên hình 1. Đồ thị cho thấy S > 0 với mọi giá trị của r, nghĩa là điều kiện nén tổng hai mode không được thể hiện. Vậy trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ không thể hiện tính chất nén tổng hai mode. 3 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT NÉN HIỆU HAI MODE CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(2) LẺ Tương tự như trường hợp nén tổng hai mode, theo Hillery [2] toán tử nén hiệu được định nghĩa như sau Wˆφ = 1 2 ( eiφaˆbˆ+ + e−iφaˆ+bˆ ) . (6) Một trạng thái thể hiện tính nén hiệu nếu D = 〈 Wˆ2φ 〉 − 〈 Wˆφ 〉2 − 1 4 〈nˆa − nˆb〉 < 0 , (7) NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN TỔNG, NÉN HIỆU... 17 trong đó nˆa, nˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b và mức độ thể hiện càng mạnh nếu D càng âm. Khi đó, với Wˆφ = 12 ( eiφaˆbˆ+ + e−iφaˆ+bˆ ) ta có được D = 1 4 〈( eiφaˆbˆ+ )2 + ( e−iφaˆ+bˆ )2 + aˆbˆ+aˆ+bˆ+ aˆ+bˆaˆbˆ+ 〉 − 1 4 {〈 eiφaˆbˆ+ 〉 + 〈 e−iφaˆ+bˆ 〉}2 − 1 4 〈nˆa − nˆb〉 . (8) Bằng cách lấy trung bình trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ chúng tôi thu được tham số nén hiệu hai mode như sau D = |N−|2 (1 + |ζ|2)N [ N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)!(|ζ| 2)2n+1 × ( 2(2n+ 2)(N − 2n− 1) ) + N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)!(|ζ| 2)2n+1 × ( (N − 2n− 1)(N − 2n− 2) ) (ζ2e2iφ + ζ∗2e−2iφ) ] , (9) trong đó ζ = tan(γ/2) exp(−iψ), (0 ≤ γ ≤ pi, 0 ≤ ψ ≤ 2pi). Để thuận tiện cho việc khảo sát chúng tôi đặt γ = 2r với 0 ≤ r ≤ pi/2. Từ đó chúng tôi có tham số nén tổng hai mode dưới dạng D = ( 1− ( 1−tan2 r 1+tan2 r )N)−1 2 (1 + tan2 r) N [ N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)!(tan 2 r)2n+1 × ( 2(2n+ 2)(N − 2n− 1) ) + N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)!(tan 2 r)2n+2 × ( 2(N − 2n− 1)(N − 2n− 2) cos (2(φ− ψ)))]. Từ biểu thức trên thì tham số nén D chỉ có thể âm khi cos(2(φ−ψ)) < 0. Hình 2 trình bày đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tham số nén D vào r cho trường hợp 2(φ−ψ) = pi. Kết quả khảo sát sự phụ thuộc mức độ nén hiệu của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ theo r và tổng số photon của hai mode N thể hiện trên hình 2 ứng với trường hợp 2(φ−ψ) = pi. Mỗi đường biểu diễn cho ta mức độ nén hiệu khác nhau. Đường trên cùng ứng với N = 21, đường tiếp theo ứng với N = 15, đường phía dưới ứng với N = 11. Đồ thị cho thấy D < 0 ứng với giá trị r nhất định, đường cong chứng tỏ khi r tăng thì mức độ nén tăng nhưng sau đó lại giảm và N càng lớn thì mức độ nén càng thể hiện rõ với giá trị r nhất định. Vậy trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ thể hiện tính chất nén hiệu và N càng lớn tính chất nén hiệu càng được thể hiện mạnh. 18 HUỲNH VŨ và cs. Hình 2: Sự phụ thuộc của D vào r cho trường hợp N = 21, 15, 11. (Các tham số được chọn theo thứ tự từ trên xuống dưới.) 4 KHẢO SÁT TÍNH PHẢN CHÙM CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(2) LẺ Theo Lee. C. T [3], tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phản kết chùm cho trạng thái hai mode trong trường bức xạ được viết dưới dạng sau R (l, p) = 〈 nˆ (l+1) a nˆ (p−1) b 〉 + 〈 nˆ (p−1) a nˆ (l+1) b 〉 〈 nˆ (l) a nˆ (p) b 〉 + 〈 nˆ (p) a nˆ (l) b 〉 − 1 < 0 , trong đó nˆa = aˆ+aˆ, nˆb = bˆ+bˆ lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b trong trường bức xạ. Lấy trung bình của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ ta có kết quả sau Rab(l, p) = [ N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! ( tan2 r )2n+1((2n+ 1)! (2n− l)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− p)! + (2n+ 1)! (2n+ 2− p)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− l − 2)! )][ N−12∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! × (tan2 r)2n+1( (2n+ 1)! (2n+ 1− l)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 1− p)! + (2n+ 1)! (2n+ 1− p)! × (N − 2n− 1)! (N − 2n− 1− l)! )]−1 − 1. (10) NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN TỔNG, NÉN HIỆU... 19 Khi l = 1, p = 1 ta được biểu thức Rab(1, 1) = [ N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! ( tan2 r )2n+1((2n+ 1)! (2n− 1)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 1)! + (2n+ 1)! (2n+ 1)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 3)! )][ N−12∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! × (tan2 r)2n+1((2n+ 1)! (2n)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 2)! + (2n+ 1)! (2n)! × (N − 2n− 1)! (N − 2n− 2)! )]−1 − 1. (11) Sự phụ thuộc của Rab(1, 1) vào r và tổng số photon hai mode cho bởi hình 3. Ta thấy tính Hình 3: Sự phụ thuộc của Rab (1, 1) vào r với N = 7, 5, 3. (Các tham số được chọn theo thứ tự từ trên xuống dưới.) phản chùm chỉ được thể hiện khi N = 3 và khi r tăng thì tính phản chùm giảm. Khi l = 2, p = 1 ta được biểu thức Rab(2, 1) = [ N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! ( tan2 r )2n+1((2n+ 1)! (2n− 2)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 1)! + (2n+ 1)! (2n+ 1)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 4)! )][ N−12∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! × (tan2 r)2n+1((2n+ 1)! (2n− 1)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 2)! + (2n+ 1)! (2n)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 3)! )]−1 − 1 Sự phụ thuộc của Rab(2, 1) vào r và tổng số photon hai mode cho bởi hình 4. Ta thấy tính phản chùm chỉ được thể hiện khi N = 3 và khi r tăng thì tính phản chùm giảm. Tính phản 20 HUỲNH VŨ và cs. chùm thể hiện mạnh hơn so với Rab(1, 1). Hình 4: Sự phụ thuộc của Rab (2, 1) vào r với N = 7, 5, 3. (Các tham số được chọn theo thứ tự từ trên xuống dưới.) Khi l = 2, p = 2 ta được biểu thức Rab(2, 2) = [ N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! ( tan2 r )2n+1((2n+ 1)! (2n− 2)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 2)! + (2n+ 1)! (2n)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 4)! )][ N−12∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! × (tan2 r)2n+1((2n+ 1)! (2n− 1)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 3)! + (2n+ 1)! (2n− 1)! × (N − 2n− 1)! (N − 2n− 3)! )]−1 − 1 (12) Sự phụ thuộc của Rab(2, 2) vào r và tổng số photon hai mode cho bởi hình 5. Ta thấy tính phản chùm chỉ được thể hiện khi N = 5 và khi r tăng thì tính phản chùm tăng. NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN TỔNG, NÉN HIỆU... 21 Hình 5: Sự phụ thuộc của Rab (2, 2) vào r với N = 9, 7, 5. (Các tham số được chọn theo thứ tự từ trên xuống dưới.) Khi l = 3, p = 1 ta được biểu thức Rab(3, 1) = [ N−1 2∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! ( tan2 r )2n+1((2n+ 1)! (2n− 3)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 1)! + (2n+ 1)! (2n+ 1)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 5)! )][ N−12∑ n=0 N ! (2n+ 1)!(N − 2n− 1)! × (tan2 r)2n+1((2n+ 1)! (2n− 2)! (N − 2n− 1)! (N − 2n− 2)! + (2n+ 1)! (2n)! × (N − 2n− 1)! (N − 2n− 4)! )]−1 − 1 (13) Sự phụ thuộc của Rab(3, 1) vào r và tổng số photon hai mode cho bởi hình 6. Ta thấy tính phản chùm chỉ được thể hiện khi N = 5 và khi r tăng thì tính phản chùm tăng nhưng sau đó lại giảm. Dựa vào các đồ thị khảo sát tính phản chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ đối với các l và p ở trên. Chúng tôi nhận thấy rằng tính phản chùm của trạng thái này luôn được thể hiện đối với các giá trị l và p nhưng chỉ xảy ra đối với tổng số hạt photon của hai mode N phù hợp. Đối với các giá trị l và p khác nhau thì tính phản chùm thể hiện khác nhau và tổng số photon hai mode N càng bé thì tính phản chùm càng thể hiện mạnh. Kết quả khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ thể hiện tính phản chùm trong tất cả các trường hợp với tổng số photon hai mode phù hợp và phụ thuộc vào r. 22 HUỲNH VŨ và cs. Hình 6: Sự phụ thuộc của Rab (3, 1) vào r với N = 9, 7, 5. (Các tham số được chọn theo thứ tự từ trên xuống dưới.) 5 KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu các tính chất nén tổng, nén hiệu và tính phản chùm của trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ. Từ các tham số nén tổng hai mode S và nén hiệu hai mode D, chúng tôi vẽ được đồ thị mô tả mức độ nén tổng hai mode và nén hiệu hai mode. Các đồ thị này chứng tỏ rằng trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ không thể hiện tính chất nén tổng hai mode nhưng lại thể hiện tính chất nén hiệu hai mode. Bằng việc sử dụng tiêu chuẩn tính phản kết chùm hai mode chúng tôi thu được kết quả trạng thái hai mode kết hợp SU(2) lẻ thể hiện tính phản kết chùm với độ mạnh, yếu phụ thuộc vào r và với tổng số photon hai mode phù hợp mới thể hiện tính phản kết chùm. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Perelomov. A. M. (1972), Commun. Math. Phys, 26, 222. [2] Christopher C. Gerru, Rainer Grobe (1996), journal of modern optics, vol. 44, 41-53. [3] Hillery (1989), Physical Review A, 45, pp.3147-3155. [4] Lee. C. T (1989), Physical Review A, 41, 1569-1575. [5] Hillery M. (1963),Physical Review A, 31, pp. 338-342 [6] Hong C. K. and Mandel L. (1985), Physical Review Letters, 54(4), 323-325. [7] Truong M. D. and Noh J. (2008), Optics Communications, 281, 2842-284. NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NÉN TỔNG, NÉN HIỆU... 23 Title: A STUDY OF THE SUM SQUEEZING, DIFFERENCE SQUEEZING AND AN- TIBUNCHING PROPERTIES OF THE TWO-MODE ODD SU(2) COHERENT STATES Abstract: In this paper, we study the sum squeezing, difference squeezing and antibuching properties of the two-mode odd SU(2) coherent states. We derive analytical expressions for the state which is sum squeezing and difference squeezing. which proves that two - mode odd SU(2) coherent states show properties difference squeezing but do not show properties sum squeezing. Based on antibunching criterion we also examine the degree of antibunching liabe on r and subjective when total photon two mode N suitable. Keywords: Coherent states, the sum squeezing, the difference squeezing HUỲNH VŨ Học viên Cao học, trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế THS. TRẦN QUANG ĐẠT Trường Đại học Giao thông Vận tải, Cơ sở II, TP Hồ Chí Minh