Nén hiệu đa mode bậc cao hillery với ngõ vào là các đơn mode kết hợp và đơn mode kết hợp thêm photon

NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE KẾT HỢP VÀ ĐƠN MODE KẾT HỢP THÊM PHOTON VÕ TÌNH - NGUYỄN SĨ CƯỜNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Từ Hamiltonian của một hệ tương tác gồm các photon và các nguyên tử của môi trường phi tuyến, các phương trình chuyển động Heisenberg của các toán tử sinh (hủy) hạt photon được thiết lập. Thông qua việc giải hệ phương trình này với phép gần đúng bậc hai theo thời gian bé và tính phương sai biên độ trực giao bậc cao, mối liên hệ giữa nén hiệu biên độ trực giao đa mode bậc cao Hillery từ các photon ở ngõ vào với nén biên độ trực giao bậc cao Hillery của photon có tần số hiệu ở ngõ ra được hình thành. Cũng trong bài báo này, điều kiện nén hiệu đa mode bậc cao Hillery tổng quát được rút ra và từ đó nén hiệu đa mode bậc cao Hillery được khảo sát với các photon ở trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon. 1 GIỚI THIỆU Sự nghiên cứu về Laser từ năm 1960 đã cho ra đời một loạt các khái niệm cơ bản trong quang lượng tử như trạng thái kết hợp, trạng thái nén... Trạng thái kết hợp (coherent state) được đưa ra bởi Glauber và Sudarshan vào năm 1963, trạng thái kết hợp vẫn còn là một trạng thái cổ điển, tuy nhiên trạng thái này là trạng thái giới hạn giữa trạng thái cổ điển và trạng thái phi cổ điển. Trạng thái phi cổ điển đầu tiên là trạng thái nén (squeered state), được đưa ra lần đầu tiên bởi D. Stoler vào năm 1970. Tiếp theo sau trạng thái nén là các trạng thái phi cổ điển khác được đề xuất như trạng thái kết hợp phi tuyến, trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn, lẻ, trạng thái kết hợp thêm photon đã được đưa ra [1]. Trạng thái phi cổ điển biểu hiện rõ những đặc điểm phi cổ điển như sự nén biên độ trực giao, tuân theo thống kê sub-Poisson, vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, anti-bunching. Trạng thái nén bậc cao đa mode được khởi đầu bởi Hillery vào năm 1989 khi khảo sát hai trường hợp nén tổng Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 04(24)/2012: tr. 18-27 NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ VÀO... 19 và nén hiệu đơn giản nhất cho hai mode [2]. Sau đó Kumar và Gupta nâng trường hợp khảo sát lên ba mode [3]. Bản chất cơ học lượng tử của ánh sáng được bộc lộ trực tiếp qua các trạng thái nén bậc cao đa mode. Năm 2000, nén hiệu đa mode tổng quát đã được Nguyễn Bá Ân, Võ Tình khảo sát với các đơn mode kết hợp và đơn mode nén [4], [5]. Các tác giả này đã chứng tỏ rằng từ các photon khác nhau ở trạng thái kết hợp và trạng thái nén kết hợp, nếu cho chúng tương tác với nhau thông qua môi trường quang phi tuyến có thể tạo ra được các photon có tần số khác (bằng tổng và hiệu các tần số của các photon tương tác) ở trạng thái nén biên độ trực giao. Giữa nén tổng (hiệu) đa mode của các photon ở các trạng thái khác nhau trước tương tác và nén thông thường của photon có tần số tổng (hiệu) được tạo ra bởi hệ đa mode sau khi tương tác trong môi trường phi tuyến đã được chứng minh là có mối liên hệ rất chặt chẽ. Việc nghiên cứu các photon nén biên độ trực giao có tần số là tổng hoặc hiệu tần số của các photon ban đầu ở trạng thái kết hợp và các trạng thái phi cổ điển trong môi trường phi tuyến không những có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực công nghệ mà còn có đóng góp rất lớn trong lĩnh vực khoa học cơ bản, mở rộng tầm hiểu biết của con người sâu hơn nữa về bản chất của trường điện từ và tương tác của nó với vật chất bằng công cụ nghiên cứu mạnh là lý thuyết trường lượng tử. Bài báo này trình bày khảo sát về nén hiệu biên độ trực giao đa mode bậc cao Hillery tổng quát và áp dụng với các photon ở trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon. 2 NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY Xét một quá trình chuyển đổi tần số đa sóng nhờ môi trường phi tuyến, theo đó có N mode ở ngõ vào có tần số ω1, ω2, ..., ωN tương tác với môi trường phi tuyến để tạo ra một mode ở ngõ ra với tần số ΩD được cho bởi ΩD = K∑ k=1 ωk − N∑ j=K+1 ωj > 0, (1) với 1 ≤ K < N , (N ≥ 2). Quá trình vật lý này được mô tả bằng Hamiltonian HˆD = N∑ j=1 ωjnˆj + ΩDnˆD + gD ( cˆ+D N∏ p=K+1 cˆ+p K∏ q=1 cˆq + h.c ) , (2) trong đó nˆj = cˆ + j cˆj, nˆD = cˆ + DcˆD, với cˆ + j , cˆj là các toán tử sinh, hủy ứng với các mode ở ngõ vào có tần số ωj và cˆ + D, cˆD là các toán tử sinh, hủy của mode ΩD ở ngõ ra. Hằng số tương tác phi tuyến gD thường nhỏ hơn tần số ωj, ΩD của các mode rất 20 VÕ TÌNH - NGUYỄN SĨ CƯỜNG nhiều, do đó ta có thể biểu diễn các toán tử cˆj = Cˆjexp(−iωjt), cˆD(t) = CˆD(t)exp(−iΩDt). (3) Các toán tử Cˆj(t), CˆD(t) biến thiên theo thời gian chậm hơn nhiều so với exp(−iωjt) và exp(−iΩDt). Toán tử "tập thể" lũy thừa n, QˆD,n(φ, t) được định nghĩa dưới dạng: QˆD,n(φ, t) = 1 2 [ exp(−iφ)Cˆn−1D (t) K∏ k=1 Cˆk(t) N∏ j=K+1 Cˆ+j (t) + h.c ] , (4) φ là góc tạo bởi toán tử tập trên với trục thực của mặt phẳng phức. Từ (4) ta suy ra hệ thức giao hoán[ QˆD,n(φ, t), QˆD,n(φ+ π 2 , t) ] = i 2 FˆD,n(n,N, t), (5) với FˆD,n(n,N, t) = [ Cˆn−1D (t) K∏ k=1 Cˆk(t) N∏ j=K+1 Cˆ+j (t), Cˆ +(n−1) D (t) K∏ k=1 Cˆ+k (t) N∏ j=K+1 Cˆj(t) ] . (6) FˆD,n(n,N, t) = Cˆ n−1 D (t)Cˆ +(n−1) D (t)FˆD(N, t) + FˆCD(n− 1, t) K∏ k=1 nˆk(t) N∏ j=K+1 (1 + nˆj(t)). (7) Từ đó điều kiện nén hiệu đa mode bậc cao theo hướng φ được rút ra V QD,n(φ, t)− |⟨FˆD,n(n,N, t)⟩| 4 < 0, (8) trong đó V QD,n là phương sai của toán tử tập thể lũy thừa n, QˆD,n. Gọi V XCD,n là phương sai của toán tử biên độ trực giao lũy thừa n của photon ở ngõ ra có tần số hiệu ΩD, XˆCD,n(φ, t) được định nghĩa XˆCD,n(φ, t) = 1 2 [ CˆnD(t)e −iφ + Cˆ+nD (t)e iφ ] . (9) Khi điều kiện trung bình lượng tử của số các mode ở ngõ vào phải thỏa mãn K∏ k=1 (⟨1 + nˆk⟩ ⟨nˆk⟩ ) > N∏ j=K+1 (⟨1 + nˆj⟩ ⟨nˆj⟩ ) (10) NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ VÀO... 21 cùng với giả thiết photon tần số hiệu ΩD ban đầu (t = 0) ở trạng thái chân không hoặc kết hợp thì V XCD,n(φ)− 1 4 ⟨FˆCD(n)⟩ = 0, theo đó, ta có mối liên hệ giữa nén hiệu biên độ trực giao đa mode bậc cao Hillery với nén biên độ trực giao bậc cao Hillery của đơn mode tần số hiệu ở ngõ ra được thể hiện qua biểu thức của độ nén hiệu đa mode bậc cao Hillery V ≡ V XCD,n(φ, t)− 1 4 ⟨FˆCD(n, t)⟩ = = n2g2Dt 2 [ V QD,n ( φ+ π 2 ) − 1 4 ⟨FˆD,n(n,N)⟩] . (11) Rõ ràng phương trình (11) cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa nén biên độ trực giao bậc cao Hillery của đơn mode có tần số hiệu ở thời điểm t > 0 với nén hiệu biên độ trực giao đa mode bậc cao Hillery ở thời điểm t = 0. Qua tính toán ta được biểu thức của độ nén hiệu đa mode bậc cao Hillery: V =2Re { e−2iφα2(n−1)D [ K∏ k=1 ⟨ Cˆ2k ⟩ N∏ j=K+1 ⟨ Cˆ+2j ⟩ − K∏ k=1 ⟨ Cˆk ⟩2 N∏ j=K+1 ⟨ Cˆ+j ⟩2]} + 2 |αD|2(n−1) [ K∏ k=1 ⟨nˆk⟩ N∏ j=K+1 (1 + ⟨nˆj⟩)− K∏ k=1 ⟨Cˆk⟩2 N∏ j=K+1 ⟨Cˆ+j ⟩2 ] . (12) Dựa vào biểu thức (12) ta sẽ khảo sát nén hiệu đa mode bậc cao với các trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon. Nếu V < 0, đồng thời điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào (10) được thỏa mãn thì hệ có nén hiệu. 3 NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE KẾT HỢP VÀ ĐƠN MODE KẾT HỢP THÊM PHOTON 3.1. Trường hợp N mode gồm các mode ωK+1, ωK+2, ..., ωK+J (1 ≤ J ≤ N − K) ở trạng thái kết hợp thêm photon và các mode còn lại ở trạng thái kết hợp Sử dụng véctơ trạng thái của hệ photon là tích các trạng thái riêng của từng photon, ta tính được một số giá trị trung bình ở trạng thái này như sau: ⟨Cˆ2k⟩ = ⟨Cˆk⟩2 = α2k, ⟨Cˆ+2j ⟩ = ⟨Cˆ+j ⟩2 = α∗2j , (13) 22 VÕ TÌNH - NGUYỄN SĨ CƯỜNG ⟨nˆk⟩ = |⟨Cˆk⟩|2 = |αk|2, ⟨nˆj⟩ = |⟨Cˆ+j ⟩|2 = |αj|2, (14) ⟨Cˆ+p ⟩ = α∗p ∑m i=0 Li(−|αp|2) Lm(−|αp|2) , ⟨Cˆ+2p ⟩ = α∗2p ∑m i=0(m+ 1− i)Li(−|αp|2) Lm(−|αp|2) , (15) ⟨nˆp⟩ = (m+ 1)Lm+1(−|αp| 2) Lm(−|αp|2) − 1. (16) Xét trường hợp các mode kết hợp là giống nhau αk = αj = rje iϑj ; các mode kết hợp thêm photon là giống nhau αp = rpe iϑp ; tham số kết hợp αD = rDe iϑD . Biểu thức V của độ nén hiệu đa mode bậc cao Hillery được viết lại là V1 =2cos[−2φ+ 2(n− 1)ϑD − 2(N − 2K − J)ϑj − 2Jϑp]r2(n−1)D r2(N−J)j r2Jp × [(∑m i=0(m+ 1− i)Li(−r2p) Lm(−r2p) )J − (∑m i=0 Li(−r2p) Lm(−r2p) )2J] + 2r 2(n−1) D r 2K j [( (m+ 1)Lm+1(−r2p) Lm(−r2p) )J (1 + r2j ) (N−K−J) −r2Jp (∑m i=0 Li(−r2p) Lm(−r2p) )2J r 2(N−K−J) j ] . (17) Điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào lúc này là D1 = ( (m+ 1)Lm+1(−r2p) (m+ 1)Lm+1(−r2p)− Lm(−r2p) )J(1 + r2j r2j )(N−2K−J) − 1 < 0. (18) Theo biểu thức tần số hiệu (1), ta sẽ khảo sát V 1 theo các trường hợp sau: - N = 2: +K = 1; J = 1 (Z = N −K − J = 0). - N = 3: +K = 1; J = 1, 2 (Z = 1, 0). +K = 2; J = 1 (Z = 0). - N = 4: +K = 1; J = 1, 2, 3 (Z = 2, 1, 0). +K = 2; J = 1, 2 (Z = 1, 0). +K = 3; J = 1 (Z = 0). Kết quả khảo sát hàm V1 của các trường hợp này cho thấy rằng, hệ không có nén hiệu và V1 có giá trị nhỏ nhất tại φ = 0, π. 3.2. Trường hợp N mode gồm các mode ω1, ω2, ..., ωJ (1 ≤ J ≤ K) ở trạng thái kết hợp thêm photon và các mode còn lại ở trạng thái kết hợp NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ VÀO... 23 Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp thêm photon ta tính được một số giá trị trung bình ở trạng thái này như sau: ⟨Cˆp⟩ = αp ∑m i=0 Li(−|αp|2) Lm(−|αp|2) ; ⟨Cˆ2p⟩ = α2p ∑m i=0(m+ 1− i)Li(−|αp|2) Lm(−|αp|2) . (19) Xét trường hợp các mode kết hợp là giống nhau αk = αj = rje iϑj ; các mode kết hợp thêm photon là giống nhau αp = rpe iϑp ; tham số kết hợp αD = rDe iϑD . Biểu thức V của điều kiện nén hiệu đa mode bậc cao Hillery được viết lại là V2 = 2cos[−2φ+ 2(n− 1)ϑD − 2(N − 2K + J)ϑj + 2Jϑp]r2(n−1)D r2(N−J)j r2Jp × [(∑m i=0(m+ 1− i)Li(−r2p) Lm(−r2p) )J − (∑m i=0 Li(−r2p) Lm(−r2p) )2J] + 2r 2(n−1) D r 2(K−J) j [((m+ 1)Lm+1(−r2p) Lm(−r2p) − 1 )J (1 + r2j ) (N−K) − r2Kp (∑m i=0 Li(−r2p) Lm(−r2p) )2K r 2(N−K) j ] . (20) Điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào lúc này là D2 = 1− ( (m+ 1)Lm+1(−r2p) (m+ 1)Lm+1(−r2p)− Lm(−r2p) )J(1 + r2j r2j )(−N+2K−J) < 0. (21) Theo biểu thức tần số hiệu, ta sẽ khảo sát V2 theo các trường hợp sau: - N = 2: +K = 1; J = 1 (Z = N −K = 1). - N = 4: +K = 1; J = 1 (Z = 3). - N = 3: +K = 1; J = 1 (Z = 2). +K = 2; J = 1, 2 (Z = 2). +K = 2; J = 1, 2 (Z = 1). +K = 3; J = 1, 2, 3 (Z = 1). a) Z = 3, J = 1 (ứng với trường hợp N = 4, K = 1). Kết quả khảo sát hàm V2 ở trường hợp này cho thấy rằng, hệ không có nén hiệu. b) Z = 2, J = 1 (ứng với trường hợp N = 4, K = 2). Kết hợp kết quả khảo sát hàm D2 với V2 ở hình 1 thì trong trường hợp này có thể xảy ra nén hiệu với các giá trị thích hợp của rj > 0 và rp > 1. 24 VÕ TÌNH - NGUYỄN SĨ CƯỜNG 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -20 -10 0 10 20 r j V 2 r j HaL 0 1 2 3 4 5 6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r j D 2 HbL Hình 1: Đồ thị của hàm V2 (hình a) và D2 (hình b) được khảo sát theo rj trong trường hợp Z = 2, J = 1, N = 4, K = 2, n = 2,m = 1, φ = 0, ϑD = 0, ϑj = 0, ϑp = 0, rD = 1, và với rp = 1, 2, 3 lần lượt tương ứng với đường nét liền, nét gạch dài và nét gạch ngắn trên mỗi đồ thị. c) Z = 1, J = 1 (ứng với trường hợp N = 3, K = 2; N = 4, K = 3) 0.0 0.5 1.0 1.5 -20 -15 -10 -5 0 5 r j V 2 r j HaL 0 1 2 3 4 5 6 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 r j D 2 HbL 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -20 -15 -10 -5 0 5 r j V 2 r j HcL 0 1 2 3 4 5 6 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 r j D 2 HdL Hình 2: Đồ thị của hàm V2 (a,c) và D2 (b,d) khảo sát theo rj với Z = 1, J = 1,m = 1, n = 2, φ = 0, ϑD = 0, ϑj = 0, ϑp = 0, rD = 1; hình (a,b) trong trường hợp N = 3, K = 2; hình (c,d) trong trường hợp N = 4, K = 3 và với rp = 1, 2, 3, lần lượt tương ứng với đường nét liền, nét gạch dài và nét gạch ngắn trên mỗi đồ thị. NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ VÀO... 25 Kết hợp kết quả khảo sát hàm D2 với V2 ở hình 2 thì trong trường hợp này có thể xảy ra nén hiệu với các giá trị thích hợp của rj > 0 và rp > 0. d) Z = 1, J = 2 (ứng với trường hợp N = 4, K = 3) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 -20 -10 0 10 20 r j V 2 r j HaL 0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 r j D 2 HbL Hình 3: Đồ thị của hàm V2 (hình a) và D2 (hình b) được khảo sát theo rj trong trường hợp Z = 1, J = 2, N = 4, K = 3, n = 2,m = 1, φ = 0, ϑD = 0, ϑj = 0, ϑp = 0, rD = 1, và với rp = 1, 2, 3 lần lượt tương ứng với đường nét liền, nét gạch dài và nét gạch ngắn trên mỗi đồ thị. Kết quả khảo sát hàm V2 và D2 ở hình 3 cho thấy rằng, trường hợp này có thể xảy ra nén hiệu với các giá trị thích hợp của rp > 1 và rj > 0. Xét các trường hợp còn lại ta có nhận xét sau: - Có thể xảy ra nén hiệu với các giá trị thích hợp của rp, rj đối với một số trường hợp: + N = 3, K = 2, J = 1 (Z = N −K = 1); với rj > 0 và rp > 0. + N = 4, K = 2, J = 1 (Z = 2); với rj > 0 và rp > 1. + N = 4, K = 3, J = 1 (Z = 1); với rj > 0 và rp > 0. + N = 4, K = 3, J = 2 (Z = 3); với rj > 0 và rp > 1. - Giá trị rp càng lớn thì mức độ nén hiệu đạt cực đại địa phương càng tăng. 3.3. Trường hợp các mode ω1, ω2, ..., ωJ (1 ≤ J ≤ K) và các mode ωK+1, ωK+2, ..., ωK+J ′ (1 ≤ J ′ ≤ N −K) kết hợp thêm photon còn các mode còn lại đều kết hợp Xét trường hợp các mode kết hợp là giống nhau αk = αj = rje iϑj ; các mode kết hợp thêm photon là giống nhau αp′ = αp = rpe iϑp ; tham số kết hợp αD = rDe iϑD . Biểu 26 VÕ TÌNH - NGUYỄN SĨ CƯỜNG thức V của điều kiện nén hiệu đa mode bậc cao Hillery được viết lại là V3 = 2cos[−2φ+2(n−1)ϑD−2(N−2K+J−J ′)ϑj+2(J−J ′)ϑp]r2(n−1)D r2(N−J−J ′) j × r2(J+J ′)p [(∑m i=0(m+ 1− i)Li(−r2p) Lm(−r2p) )(J+J ′) − (∑m i=0 Li(−r2p) Lm(−r2p) )2(J+J ′)] + 2r 2(n−1) D r 2(K−J) j [((m+ 1)Lm+1(−r2p) Lm(−r2p) − 1 )J((m+ 1)Lm+1(−r2p) Lm(−r2p) )J ′ × (1 + r2j )(N−K−J ′) − r2(J+J ′)p (∑m i=0 Li(−r2p) Lm(−r2p) )2(J+J ′) r 2(N−K−J ′) j ] . (22) Điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào lúc này là D3 = ( (m+ 1)Lm+1(−r2p) (m+ 1)Lm+1(−r2p)− Lm(−r2p) )(−J+J ′)(1 + r2j r2j )(N−2K+J−J ′) − 1 < 0. (23) Theo biểu thức tần số hiệu, ta sẽ khảo sát V 3 theo các trường hợp sau: - N = 2: +K = 1; J = 1; J ′ = 1 (Z = N −K − J ′ = 0). - N = 3: +K = 1; J = 1; J ′ = 1, 2 (Z = 1, 0). +K = 2; J = 1, 2; J ′ = 1 (Z = 0). - N = 4: +K = 1; J = 1; J ′ = 1, 2, 3 (Z = 2, 1, 0). +K = 2; J = 1, 2; J ′ = 1, 2 (Z = 1, 0). +K = 3; J = 1, 2, 3; J ′ = 1 (Z = 0). Kết quả khảo sát hàm V3 ở các trường hợp này cho thấy rằng, hệ không có nén hiệu với mọi giá trị của rp và rj. 4 KẾT LUẬN Như vậy là bằng cách thiết lập Hamiltonian của hệ N photon tương tác trong môi trường phi tuyến, giải hệ phương trình chuyển động Heisenberg cho các toán tử sinh với phép gần đúng lấy đến lũy thừa 2 theo thời gian của toán tử sinh (hủy) photon tần số hiệu được sinh ra và tính phương sai biên độ trực giao bậc cao lũy thừa n kiểu Hillery, ta thiết lập được mối liên hệ giữa nén đơn mode bậc cao Hillery tần số hiệu ở ngõ ra với nén hiệu đa mode bậc cao Hillery ở ngõ vào. Thông qua khảo sát điều kiện nén hiệu đa mode bậc cao Hillery tổng quát ở ngõ vào, ta tìm được nén bậc cao Hillery cho photon tần số hiệu ở ngõ ra. Kết quả khảo sát nén hiệu đa mode bậc cao Hillery của các photon kết hợp và kết hợp thêm photon ở ngõ vào bằng phương pháp tính số và đồ thị cho thấy chỉ có thể xảy ra nén hiệu đa mode bậc cao Hillery khi có tần số các mode kết hợp thêm photon chỉ nằm trong phần trước dấu trừ trong biểu NÉN HIỆU ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VỚI NGÕ VÀO... 27 thức của tần số hiệu, với các giá trị biên độ thích hợp của trạng thái kết hợp (rj) và biên độ của trạng thái kết hợp thêm photon (rp); trường hợp các mode kết hợp thêm photon xuất hiện ở số hạng sau dấu trừ của biểu thức tần số hiệu thì không thể xảy ra nén hiệu đa mode bậc cao Hillery. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Agarwal G. S. and Tara K. (1991), ′′Nonclassical properties of States generated by excitations on a coherent state′′, Phys. Rev. A, 43(1), pp. 492-497. [2] Hillery M. (1989), ′′Sum and Difference squeezing of the electromagnetic field′′, Phys. Rev. A, 40(8), pp. 3147-3155. [3] Kumar A. and Gupta S. P. (1997), ′′Sum squeezing in four-wave sum frequency generation′′, Optics communication, 136, pp. 441-446. [4] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000), ′′General multimode difference-squeezing′′, Physics Letters A, 270, pp. 27-40. [5] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000), ′′Multimode difference-squeezing′′, J. Phys. A: Mathematics & General, 33, pp. 2951-2962. Title: HILLERY HIGHER-ORDER MULTIMODE DIFFERENCE-SQUEEZING FROM COHERENT STATES AND PHOTON-ADDED COHERENT STATES Abstract: From the Hamiltonian of an interacting system including photons and atoms in nonlinear medium, the Heisenberg equations of motion for creation (annihilation) op- erators are set up. The relation between the Hillery higher-order multimode quadrature amplitude difference-squeezing of input photons to the Hillery high-order squeezing of out- put difference-frequency photon is established by solving these equations with short time approximation method and computing the photon quadrature amplitude variance. Building Hillery higher-order multimode difference-squeezing condition, using Hillery higher-order multimode difference-squeezing condition to study from coherent states and photon-added coherent states is also presented in this paper. TS. VÕ TÌNH Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế NGUYỄN SĨ CƯỜNG Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế