Một số đặc trưng của Môđun tựa nội xạ linh

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH LƯƠNG THỊ MINH THỦY Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Một môđun M được gọi là tựa nội xạ linh nếu cho mỗi m ∈ Nil(M) và mỗi đồng cấu f : mR → M , thì tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ mR. Đây là lớp môđun được xây dựng dựa trên định nghĩa về tích của hai môđun con và được xem là một trong những trường hợp tổng quát của lớp môđun P -nội xạ. Bài báo đã đưa ra được một số đặc trưng của lớp các môđun tựa nội xạ linh đồng thời một số kết quả được suy ra từ các đặc trưng này. Từ khóa: Môđun tựa nội xạ linh 1 GIỚI THIỆU Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Với vành R đã cho, viết MR (RM) để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của bài báo, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, để đơn giản chúng ta viết môđun M thay vì MR. Chúng ta dùng các ký hiệu A ≤ M (A < M) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự) của M . Nếu A là môđun con cực đại (hạng tử trực tiếp) của môđun M , chúng ta viết A ≤max M (t.ư., A ≤⊕ M). Căn Jacobson, đế của môđun M được ký hiệu tương ứng là Rad(M) và Soc(M), đặc biệt, J(R) được dùng để ký hiệu cho căn Jacobson của vành R. Chúng ta viết Mn(R) để chỉ vành các ma trận vuông cấp n với hệ tử trên vành R. Nếu I là một tập hợp với card(I) = α và M là một môđun, chúng ta sẽ ký hiệu tổng trực tiếp α bản sao của M bởi M (I) hoặc M (α), tích trực tiếp α bản sao của M bởi M I hoặc Mα. Chúng ta ký hiệu Mod-R (R-Mod) là phạm trù các R-môđun phải (t.ư., trái). Cho M và N là các R-môđun phải. Đồng cấu từ M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N . Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ 6= X ⊂ M . Linh hóa tử phải của X trong R được ký hiệu là rR(X) và được xác định như sau rR(X) = {r ∈ R | xr = 0 (∀x ∈ X)}. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(31)/2014: tr.14-21 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH 15 Khi không sợ nhầm lẫn chúng ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR(X). Khi X = {x1, x2, . . . , xn} thì chúng ta viết r(x1, x2, . . . , xn) thay vì r({x1, x2, . . . , xn}). Ta có rR(X) là một iđêan phải của vành R. Hơn nữa, nếu X là môđun con củaM thì r(X) là một iđêan (phải và trái) của R. Linh hóa tử trái của X trong R được ký hiệu là lR(X) và được định nghĩa tương tự. Năm 2007, Wei và Chen ([3]) đã đưa ra một trường hợp tổng quát của môđun P-nội xạ đa là môđun nội xạ linh, theo đó một môđun M được gọi là nội xạ linh nếu cho mỗi phần tử lũy linh a của R và mỗi đồng cấu f : aR → M , thì tồn tại một đồng cấu f¯ : RR →M sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ aR. Một cách tự nhiên, năm 2011 nhóm tác giả Lương Thị Minh Thủy và Trương Công Quỳnh đã đưa ra khái niệm môđun "tựa nội xạ linh" và một số đặc trưng. Tác giả tiếp tục nghiên cứu, chứng minh được một số đặc trưng nữa của lớp môđun này, và đây chính là nội dung của bài báo. 2 KẾT QUẢ Theo [1], Lomp đã định nghĩa H ? K := ϕ(φ× 1M)(H,K) = ϕ(Hom(M,H), K) = Hom(M,H)K = ∑ {f(K)| f ∈ Hom(M,H)}. Từ đó chúng tôi định nghĩa: Định nghĩa 2.1. Cho H,K là các môđun con của M . Khi đó H ? K được gọi là tích của hai mô đun con của H và K và được ký hiệu là HK. Cho N là một môđun con của M và n ∈ N. Chúng ta xác định các môđun con của N như sau: N1 = N,N2 = NN,N3 = N2N, . . . , Nn = Nn−1N. Khi đó chúng ta có Nn ≤ Nn−1 ≤ · · · ≤ N2 ≤ N1 = N. Môđun con N được gọi là lũy linh nếu tồn tại n ∈ N sao cho Nn = 0. Chúng ta ký hiệu Nil(M) = {m ∈M | mR là lũy linh } Dựa trên định nghĩa tích hai môđun con chúng ta có định nghĩa về môđun tựa nội xạ linh như sau: 16 LƯƠNG THỊ MINH THỦY Định nghĩa 2.2. Một môđunM được gọi là tựa nội xạ linh nếu cho mỗim ∈ Nil(M) và mỗi đồng cấu f : mR → M , thì tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ mR, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán: M 0 mR M- 6 f -i ppppp ppppI f¯ với i : mR→M là đơn cấu chính tắc. Vành R được gọi là tự nội xạ linh phải nếu RR là tựa nội xạ linh. Ví dụ 2.3. Đặt R = Z vành các số nguyên. Khi đó đó R là tựa nội xạ linh, nhưng không là tựa nội xạ chính. Định lý 2.4. Các điều kiện sau là tương đương với môđun M và S = End(M): (1) M là tựa nội xạ linh. (2) lM(r(m)) = Sm với mọi m ∈ Nil(M) (3) Nếu r(m) ≤ r(m′) với mỗi m ∈ Nil(M), m′ ∈M , thì Sm′ ≤ Sm. Chứng minh. (1) ⇒ (2). Cho m ∈ Nil(M) và x ∈ lM(r(m)). Xét f : mR → M xác định bởi f(mr) = xr với mọi r ∈ R. Khi đó f là một đồng cấu. Theo (1), thì tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M sao cho f¯(y) = f(y) với mọi y ∈ mR. Suy ra x = f(m) = f¯(m) ∈ Sm. Từ đó suy ra lM(r(m)) = Sm. (2)⇒ (3) là hiển nhiên. (3) ⇒ (1). Cho mỗi m ∈ Nil(M) và mỗi đồng cấu f : mR → M . Khi đó r(m) ≤ r(f(m)). Suy ra tồn tại f¯ ∈ S sao cho f(m) = f¯(m). Vậy M là tựa nội xạ linh. Tiếp theo chúng ta có một tính chất khác của môđun tựa nội xạ linh: Mệnh đề 2.5. Nếu M là tựa nội xạ linh, thì lS(Ker(α) ∩mR) = Sα + lS(m) với mọi m ∈M, α ∈ S và α(m) ∈ Nil(M). Chứng minh. Với mỗi m ∈ M, α ∈ S và α(m) ∈ Nil(M), thì Sα + lS(m) ≤ lS(Ker(α)∩mR). Ngược lại với mỗi s ∈ lS(Ker(α)∩mR) thì s(Ker(α)∩mR)) = 0. Hơn nữa chúng ta lại có α(m) ∈ Nil(M) và r(α(m)) ≤ r(s(m)). Khi đó theo Định lý 2.4, ta suy ra tồn tại s′ ∈ S sao cho s(m) = s′α(m) hay s− s′α ∈ lS(m) và vì vậy s ∈ Sα + lS(m). Tóm lại chúng ta có lS(Ker(α) ∩mR) = Sα + lS(m). MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH 17 Mệnh đề 2.6. Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun tựa nội xạ linh là tựa nội xạ linh. Chứng minh. Giả sử M là môđun tựa nội xạ linh và N là hạng tử trực tiếp của M . Gọi ι : N → M là đơn cấu chính tắc, p : M → N là toàn cấu chính tắc. Lấy n ∈ Nil(N) và f : nR → N là đồng cấu. Khi đó tồn tại k ∈ N sao cho (nR)k = 0. Ta có (nR)k = ∑{f(nR)| f ∈ Hom(N, (nR)k−1)}. Mặt khác, với mọi g ∈ Hom(M, (nR)k−1), thì g(nR) = gι(nR) ≤∑{f(nR)| f ∈ Hom(N, (nR)k−1)} = (nR)k, điều này suy ra∑ {f(nR)| f ∈ Hom(M, (nR)k−1)} = 0. Do đó n ∈ Nil(M). VìM là môđun tựa nội xạ linh, nên tồn tại đồng cấu f¯ ∈ End(M) sao cho f¯(x) = f(x) với mọi x ∈ nR. Từ đó ta có pf¯ ι ∈ End(N) và pf¯ ι(x) = f(x) với mọi x ∈ nR. Vậy N là môđun tựa nội xạ linh. Bổ đề 2.7. Giả sử φ : N →M là một đẳng cấu và A,B ≤ N . Khi đó φ(AB) = φ(A)φ(B) và φ(Ak) = φ(A)k. Chứng minh. Theo định nghĩa của tíchA vàB ta cóAB = ∑{f(B)| f ∈ Hom(N,A)} và φ(A)φ(B) = ∑{g(φ(B))| g ∈ Hom(M,φ(A))}. Khi đó φ(AB) = ∑{φ(f(B))| f ∈ Hom(N,A)}. Tiếp theo ta lấy f ∈ Hom(N,A) và đặt g = φ|Afφ−1, thì g ∈ Hom(M,φ(A)) và g(φ(B)) = φ|Afφ−1(φ(B)) = φ|Af(B) = φ(f(B)). Từ đây suy ra φ(AB) ≤ φ(A)φ(B). Ngược lại với mỗi g ∈ Hom(M,φ(A)), đặt f = φ−1|φ(A)gφ, thì f ∈ Hom(N,A). Ta có φ(f(B)) = φφ−1|φ(A)gφ(B) = gφ(B) và do đó gφ(B) ≤ φ(A)φ(B). Suy ra φ(A)φ(B) ≤ φ(AB). Vậy φ(AB) = φ(A)φ(B). Hơn nữa, φ(Ak) = φ(Ak−1.A) = φ(Ak−1).φ(A) = φ(A)φ(A) . . . φ(A) = φ(A)k. Sử dụng bổ đề trên chúng ta có. Mệnh đề 2.8. Giả sử M là môđun tựa nội xạ linh và N ' M . Khi đó N cũng là tựa nội xạ linh. Chứng minh. Gọi φ : N → M là một đẳng cấu. Giả sử n ∈ Nil(N) và f : nR→ N là một đồng cấu. Khi đó tồn tại k ∈ N sao cho (nR)k = 0. Theo Bổ đề 2.7 thì φ(nR)k = φ((nR)k) = 0. Suy ra (φ(n)R)k = 0 hay φ(n) ∈ Nil(M). Suy ra tồn tại một đồng cấu g ∈ End(M) sao cho g là mở rộng của đồng cấu φf(φ−1|φ(n)R) bởi vì M là tựa nội xạ linh. Đặt f¯ = φ−1gφ ∈ End(M), thì với mọi x ∈ R ta có f¯(nx) = φ−1gφ(nx) = φ−1(φf(φ−1|φ(n)R))(φ(nx)) = f(nx). Vậy f¯ là mở rộng của f . Do đó N là tựa nội xạ linh. 18 LƯƠNG THỊ MINH THỦY Như chúng ta được biết một iđêan phải cực tiểu I của vành R thì hoặc I là hạng tử trực tiếp của vành hoặc là I2 = 0. Định lý sau cho chúng ta một kết quả tương tự như trong vành đối với môđun. Định lý 2.9. Nếu M là môđun tựa nội xạ linh và N là một môđun con đơn của M , thì hoặc N là một hạng tử trực tiếp của M hoặc N2 = 0. Chứng minh. Cho N là một môđun con đơn của M . Giả sử N2 6= 0. Suy ra∑{f(N)| f ∈ Hom(M,N)} 6= 0. Khi đó tồn tại một đồng cấu f : M → N sao cho f(N) 6= 0. Vì N là đơn, nên f(N) = N . Từ đó suy ra N = f(N) = f(M) và từ đó chúng ta cũng có M = N + Kerf . Mặt khác, ta có N ∩ Kerf = Ker(f |N) và f |N : N → N là một đẳng cấu (bởi vì N đơn). Suy ra N ∩Kerf = 0 và vì vậy M = N ⊕Kerf . Từ Định lý trên chúng ta có kết quả sau: Hệ quả 2.10. Nếu M là tựa nội xạ linh, thì M là tựa nội xạ đơn. Chứng minh. Cho f : mR→M là một đồng cấu với mR là môđun con đơn của M . Theo Định lý 2.9, thì hoặc mR là hạng tử trực tiếp của M hoặc (mR)2 = 0. Nếu mR là hạng tử trực tiếp của M , thì fpi : M → M với pi : M → mR toàn cấu chính tắc là mở rộng của f . Nếu (mR)2 = 0 thì m ∈ Nil(M). Suy ra f được mở rộng đến đồng cấu M →M bởi vì M là tựa nội xạ linh. Giả sử N là một môđun con đơn của M . Ký hiệu SocN(M) = ∑ {X ≤M | X ' N} được gọi là thành phần thuần nhất của Soc(M) chứa N . Mệnh đề 2.11. Giả sử M là tựa nội xạ linh và S = End(M). Khi đó: (1) Nếu N là môđun con đơn của M , thì SocN(M) = SN . (2) Nếu mR là môđun con đơn của MR, thì Sm là môđun con đơn của SM. (3) Soc(MR) ⊂ Soc(SM). MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH 19 Chứng minh. (1). Chúng ta luôn luôn có SN ⊂ SocN(M). Ngược lại, giả sử f : N → N1 là một đẳng cấu với N1 ≤ M . Theo Hệ quả 2.10, M là tựa nội xạ đơn, nên tồn tại một đồng cấu f¯ : M → M là mở rộng của f . Suy ra N1 = f(N) = f¯(N) ≤ SN. Điều này suy ra SocN(M) ⊂ SN. (2). Giả sử mR là một môđun con đơn củaMR và 0 6= α(m) ∈ Sm với α ∈ S. Khi đó α : mR → α(m)R là một đẳng cấu. Suy ra α(m)R cũng là môđun con đơn của M . VìM là nội xạ linh nênM là tựa nội xạ đơn, do đó tồn tại một đồng cấu α¯ : M →M là mở rộng của α−1 : α(m)R → mR. Suy ra m = α−1(α(m)) = α¯(α(m)) ∈ Sαm. Điều này suy ra Sm = Sαm. Vậy Sm là môđun con đơn của SM. (3) được suy ra từ (2). Hệ quả 2.12 ([2, Proposition 1.3]). Giả sử M là tựa nội xạ chính và S = End(M). Khi đó: (1) Nếu N là môđun con đơn của M , thì SocN(M) = SN . (2) Nếu mR là môđun con đơn của MR, thì Sm là môđun con đơn của SM. (3) Soc(MR) ⊂ Soc(SM). Từ các tính chất trên chúng ta có các đặc trưng của vành tự nội xạ linh: Hệ quả 2.13. Các điều kiện sau là tương đương với vành R đã cho: (1) R là vành tự nội xạ linh phải. (2) l(r(a)) = Ra với mọi a ∈ Nil(R) (3) Nếu r(a) ≤ r(b) với mỗi a ∈ Nil(R), b ∈M , thì Rb ≤ Ra. (4) l(r(a) ∩ bR) = Ra+ l(b) với mọi a, b ∈ R với ab ∈ Nil(R). Chứng minh. (1)⇒ (2)⇒ (3)⇒ (4) theo Định lý 2.4 và Mệnh đề 2.5. (4)⇒ (1). Lấy a ∈ Nil(R) và f : aR→ RR là một đồng cấu. Khi đó r(a) ≤ r(f(a)). Suy ra f(a) ∈ lr(f(a)) ≤ lr(a) = l(r(a)∩R) = Ra theo (4). Điều này suy ra f được mở rộng đến RR. Hệ quả 2.14. Nếu R là tự nội xạ linh phải thì R là vành nội xạ đơn phải. Chứng minh. Giả sử rằng RR là một iđêan của R. Nếu (Rk)2 = 0 thì k ∈ Nil(R). Theo giả thiết và Hệ quả 2.8 ta có Rk = lr(k). 20 LƯƠNG THỊ MINH THỦY Nếu (Rk)2 6= 0 thì Rk = Re, e2 = e ∈ R. Viết e = kc, c ∈ R thì k == e = kck. Đặt g = ck thì g2 = g, k = kg và Rk = Rg = lr(g) = lr(k). Từ cả hai trường hợp trên ta đều có R là vành nội xạ đơn phải. Từ các kết quả trên chúng ta có quan hệ tựa nội xạ chính ⇒ tựa nội xạ linh ⇒ tựa nội xạ đơn Tuy nhiên các chiều ngược lại nói chung không đúng trong trường hợp tổng quát. Vành R ở Ví dụ 2.3 là môđun tựa nội xạ linh nhưng không tựa nội xạ chính. Ngoài ra, ví dụ sau chứng tỏ tồn tại một môđun tựa nội xạ đơn nhưng không là tựa nội xạ linh. Ví dụ 2.15. Xét V là một không gian vectơ 2-chiều trên một trường K. Ký hiệu R = { ( k v 0 k ) | k ∈ K, v ∈ V } (vành mở rộng tầm thường). Xét x = ( 0 v 0 0 ) . Suy ra (xR)2 = 0 và lr(x) 6= Rx. Khi đó R là vành giao hoán không nội xạ linh. Hơn nữa, vành các đa thức R[x] cũng là một môđun tựa nội xạ đơn nhưng không là tựa nội xạ linh (xem như R[x]-môđun). Hệ quả 2.16. Cho R = ∏ i∈I Ri là tích trực tiếp các vành Ri. Khi đó R là tựa nội xạ linh phải nếu và chỉ nếu Ri là tựa nội xạ linh phải với mọi i ∈ I. Chứng minh. Theo Hệ quả 2.8, l(r(ai)) = Riai, với mọi ai ∈ Nil(R), i ∈ I. Với mỗi bi Nil(R), bi = (0, 0, ..., ai, 0, 0, ..., 0), i ∈ I ta có Rbi = ( ∏ i∈I Ribi = ∏ i∈I Ribi =∏ i∈I Riai = ∏ i∈I l(r(ai)) = l(r( ∏ i∈I ai)) = l(r(bi)). Ta có điều phải chứng minh. Gọi R là vành MC2 phải nếu eRa = 0 kéo theo aRe = 0, trong đó a, e 2 = e ∈ R, eR là idean phải cực tiểu của R. Hệ quả 2.17. Nếu R là vành tựa nội xạ linh phải thì R là vành MC2 phải. Chứng minh. Giả sử rằng eR, e2 = e ∈ R là một iđêan phải cực tiểu của R và a ∈ R với eRa = 0. Nếu aRe 6= 0 thì tồn tại một b ∈ R sao cho abe 6= 0. Từ abe ∈ Nil(R), Rabe = lr(abe) (theo giả thiết). Rõ ràng, r(e) = r(abe) vì vậy Re = Rabe. Từ đó Re = ReRe = ReRabe = 0, điều này mâu thuẫn. Do đó aRe = 0 vậy R là một vành MC2 phải. MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN TỰA NỘI XẠ LINH 21 3 KẾT LUẬN Bài báo đã đưa ra được một số đặc trưng của môđun tựa nội xạ linh như: Những điều kiện tương đương khi R là vành tựa nội xạ linh và các linh hóa tử. Mọi hạng tử trực tiếp của môđun tựa nội xạ linh là tựa nội xạ linh. Vành tựa nội xạ linh phải là vành nội xạ đơn phải. Tích trực tiếp các vành tựa nội xạ linh là tựa nội xạ linh. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lomp, Christian, Prime elements in partially ordered groupoids applied to modules and Hopf [2] Nicholson, W. K.; Park, J. K.; Yousif, M. F. Principally quasi-injective modules, Comm. Algebra, 27(4) (1999), 1683–1693. [3] Wei, J. and Chen, J., Nil-injective rings, Int. Electron. J. Algebra, 2 (2007), 1-21. Title: SOME CHARACTERIZATIONS OF QUASI NIL-INJECTIVE. Abstract: Module M is called nil quasi-injective if for each m ∈ Nil(M) and each homo- morphism f : mR→M , there exists a homomorphism f¯ : M →M such that f¯(x) = f(x) for every x ∈ mR. In this paper, we obtain some characterizations of the class of nil quasi- injective modules and some known results can be deduced from these characteristics. Keywords: Quasi nil-injective module ThS. LƯƠNG THỊ MINH THỦY Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế