Môn Toán học - Chương 3: Không gian vectơ

CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VECTƠ ----- 1 Nội dung 1. Không gian vectơ 2. Không gian con của không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính
Chương 3. Không gian vectơ 4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT 5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay ñổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Không gian nghiệm. 7. Không gian dòng của ma trận. 2
Chương 3. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ: Định nghĩa 1: Cho V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2 phép toán: i. Phép toán cộng (ký hiệu +) ,u v V∈ u v V+ ∈ (Phép hợp thành trong) ii. Phép nhân vô hướng: (Phép hợp thành ngoài) , ,u V k ku V∈ ∈ ∈R V được gọi là không gian vectơ (KGVT) trên trường số thực R nếu thỏa mãn các tính chất sau đối với phép cộng và nhân vô hướng: Các phần tử của V được gọi là các vectơ. 3
Chương 3. Không gian vectơ i. Tính giao hoán của phép cộng ii. Tính kết hợp của phép cộng: iii. Tồn tại một phần tử không, ký hiệu 0, thỏa mãn: , ,u v V u v v u∀ ∈ + = + ( ) ( ), , ,u v w V u v w u v w∀ ∈ + + = + + , 0u V u u∀ ∈ + = iv. tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là , thỏa mãn: u V∀ ∈ u− ( ) 0u u+ − = v. vi. vii. viii. ( ), , ,u v V k k u v ku kv∀ ∈ ∀ ∈ + = +R ( ), , ,u V k h h k u hu ku∀ ∈ ∀ ∈ + = +R ( ) ( ), , ,u V k h h ku hk u∀ ∈ ∀ ∈ =R ,1.u V u u∀ ∈ = 4
Chương 3. Không gian vectơ Tính chất: Phép trừ trong KGVT được định nghĩa như sau: ( )u v u v− = + − i. Phần tử 0 trong (iii) và phần tử -u trong (iv) là duy nhất. ii. (0 ở vế trái và vế phải khác nhau) iii. (0 ở hai vế giống nhau) , 0.u V u∀ ∈ = 0 k V∀ ∈ ∈R 0 k =0 0, . iv. Nếu ku = 0 thì hoặc k = 0 hoặc u = 0 v. ( )1u u− = − 5 • Ví dụ: 1. Không gian vectơ Rn:
Chương 3. Không gian vectơ [ ] [ ]1 2 1 2; , , , ,..., , , ,...,n n nk u v u u u u v v v v∈ ∈ = =R R [ ]1 1 2 2, ,..., n nu v u v u v u v+ = + + + trong đó các ui và vi là các số thực và được gọi là các thành phần của vec tơ u và v. [ ]1 2, ,..., nku ku ku ku= [ ]0,0,...,0=0 phần tử không. 6
Chương 3. Không gian vectơ 2. Cho X là tập khác rỗng, tập hợp các hàm số từ X và R ký hiệu: { }:F f X= →R Các phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa như sau: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , : ; : f g F f g x f x g x x Xf F k kf x kf x ∀ ∈ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ =R Phần tử không là các hàm đồng nhất không, tức là bằng không x X∈với mọi 3. Pn là tập tất cả các đa thức hệ số thực cấp 1n≤ − Phép cộng: cộng đa thức Phép nhân vô hướng: nhân số với đa thức Pn là một KGVT trên trường số thực 7
Chương 3. Không gian vectơ 4. Tập tất cả các ma trận cấp mxn: Phép cộng: cộng ma trận Phép nhân vô hướng: nhân vô hướng với một ma trận là một KGVT trên trường số thực. m n×M m n×M 5. Trường số thực R là KGVT trên chính nó. 8 1. Không gian vectơ 2. Không gian con của không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính 4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT 5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay
Chương 3. Không gian vectơ ñổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Không gian nghiệm. 7. Không gian dòng của ma trận. 9
Chương 3. Không gian vectơ 2. Không gian con của KGVT: Định nghĩa 2: Không gian con của KGVT V trên trường số thực R (gọi tắt là không gian con) là một tập hợp W khác rỗng của V thỏa 2 tích chất sau: i. , ,u v W u v W∀ ∈ + ∈ ii. u W k ku W∀ ∈ ∀ ∈ ∈R, , Nhận xét: Hai tính chất trên có thể được thay bằng tính chất sau: , , ,u v W k ku v W∀ ∈ ∀ ∈ + ∈R 10
Chương 3. Không gian vectơ Định lý: Phần giao của một số bất kỳ các không gian con của KGVT V là không gian con của KGVT V. Định lý: Tập hợp nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trên R: AX = 0 trong đó và M∈A M∈X là không gian con của KGVT Rn. m n× 1n× Chứng minh: RM 1 ; n k × ∈ ∈X,Y M 1n k × + ∈X Ycần cm cũng là nghiệm của hệ AX = 0 ( )

k k+ = + = 0 0 A X Y AX AY 0 với X và Y là nghiệm của AX = 0 Suy ra điều phải chứng minh. 11 1. Không gian vectơ 2. Không gian con của không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính 4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT 5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay
Chương 3. Không gian vectơ ñổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Không gian nghiệm. 7. Không gian dòng của ma trận. 12 3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính: Định nghĩa 3: V là KGVT trên R. Cho . Vectơ có dạng
Chương 3. Không gian vectơ 1 2 , ,..., m v v v V∈ u V∈ 1 1 2 2 ... m m u v v vα α α= + + + trong đó , được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ , 1, i i mα ∈ =R v v v 1 2 , ,..., m Định nghĩa 4: Hệ các vectơ v1, v2, ,vm của KGVT V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các vô hướng (các số thực), 1 2, ,..., mα α α không đồng thời bằng không, sao cho: 1 1 2 2 ... m m v v vα α α+ + + = 0 Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính. 13 Định lý: Các vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
Chương 3. Không gian vectơ 1 2 , ,..., m v v v V∈ Chú ý: i. Các vectơ độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu 1 2 , ,..., m v v v V∈ m ∑1 1 ,..., , 0 0, 1,... m i i i i v i mα α α α = ∈ = ⇒ = ∀ =R ii. Mọi hệ hữu hạn các vectơ, trong đó có vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính. iii. , một họ vectơ gồm 1 vectơ, ký hiệu độc lập tuyến tính khi và chỉ khi . v V∀ ∈ { }v v ≠ 0 14 Phương pháp kiểm tra hệ các vectơ ĐLTT hay PTTT:
Chương 3. Không gian vectơ Bước 1: Lập hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: =AX 0 trong đó A là ma trận có các cột là các vectơ v1, v2, ,vm. 1 2 m v v v  =    A ⋯ 1 2 T i i i ni v v v v  =    ⋯ 11 12 1 21 22 2 1 m m n nm v v v v v v v v         =           A ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ 15
Chương 3. Không gian vectơ 1 2 m α α α  =    X ⋯ và vectơ X có dạng: Bước 2: Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên ta được: i. Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT ii. Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ các vectơ PTTT 16
Chương 3. Không gian vectơ Ví dụ: 27/156 Xác định các đa thức u và v có ĐLTT? 2 3 2 3 1 3 2 3 , 3 9 6 9u t t t v t t t= − + − = − + − + Xét phương trình: 0au bv+ = trong đó a và b là vô hướng. 1 2 m α α α  =    X ⋯ i. Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT ii. Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ các vectơ PTTT 17
Chương 3. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ 2. Không gian con của không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính 4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT 5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay ñổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Không gian nghiệm. 7. Không gian dòng của ma trận. 18
Chương 3. Không gian vectơ 4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT Rn: Tập gồm m vectơ của KGVT Rn lập thành một hệ các phần tử sinh của Rn, nếu với mọi vectơ v bất kỳ trong Rn là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ , tức là có thể biểu diễn v dưới dạng: { } 1 2 , ,..., m f f f=B v f f fα α α= + + + 1 2 , ,..., m f f f 1 2 , ,..., m α α α 1 1 2 2 ... m m trong đó là các vô hướng. 19 Định nghĩa 5: (cơ sở của KGVT) Cơ sở của KGVT Rn là một hệ các phần tử sinh độc lập tuyến tính, tức là B thỏa mãn hai tính chất sau: { } 1 2 , ,..., n f f f=B i) được biểu diễn dưới dạngnv ∈ R 1 1 2 2 ... n n v f f fα α α= + + +
Chương 3. Không gian vectơ 20 ii) Phương trình chỉ thỏa mãn khi 1 1 2 2 ... 0 n n f f fλ λ λ+ + + = 1 2 ... 0 n λ λ λ= = = = (công thức khai triển vectơ v thành các thành phần) Các vô hướng được gọi là các tọa độ của vectơ v trong cơ sở
Chương 3. Không gian vectơ { } 1 2 , ,..., . n f f f=B 1 2 , ,..., n α α α Ký hiệu: 1 2 n v α α α         =             B ⋮ 21
Chương 3. Không gian vectơ Ví dụ: 1) Trong KGVT R2: mọi vectơ đều có thể biểu diễn thông qua 2 vectơ không cùng phương. Và hai vectơ không cùng phương thì ĐLTT. Vậy cơ sở của R2 là một hệ gồm 2 vectơ không cùng phương. ( ) ( )1,2 ; 2,0a b= = ( )4,4 2c c a b= ⇒ = + vậy: 2  2) Trong KGVT R3: mọi vectơ đều có thể biểu diễn thông qua 3 vectơ không đồng phẳng (không nằm trên cùng mặt phẳng). Và 3 vectơ không đồng phẳng thì ĐLTT. Vậy cơ sở của R3 là một hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng. 1 c    =        B 22 Chú ý:
Chương 3. Không gian vectơ { } 0 1 2 , ,..., . n e e e=B i) Mỗi vectơ v trong Rn được khai triển thành các thành phần một cách duy nhất ii) Với mỗi cơ sở khác nhau, một vectơ được khai triển thành các thành phần khác nhau (trừ vectơ 0) iii) Cơ sở chính tắc trong Rn: ký hiệu 1 1,0,0, , 0 , 0,1,0, , 0 , e e  =     =   2 3 0,0,1, , 0 , 0,0, 0, ,1 . n e e    =     =    ⋮ ( ) 1 2 3 1,2,3 2 3a a e e e= ⇒ = + + 0 1 2 3 c        =           B Ví dụ: 23 Định nghĩa 6: (chiều của của KGVT) Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho KGVT V có một cơ sở gồm n vectơ, số nguyên này là duy nhất và được gọi là số chiều của KGVT.
Chương 3. Không gian vectơ Ký hiệu: n = dimV. Nhận xét: i) Số chiều của một KGVT chính là số vectơ của mọi cơ sở của V và cũng là số tối đại các vectơ độc lập tuyến tính của KGVT V. ii) KGVT có số chiều hữu hạn thì gọi là KGVT hữu hạn chiều. KGVT trong đó có thể tìm được vô số vectơ độc lập tuyến tính được gọi là KGVT vô hạn chiều. 24 Định lý:
Chương 3. Không gian vectơ Trong KGVT Rn, một hệ bất kỳ gồm n vectơ độc tuyến tính thì tạo thành một cơ sở Định lý: Hệ gồm n vectơ trong KGVT Rn độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức của ma trận tạo bởi các thành phần của vectơ đó khác không. 25 Ví dụ: (45/158)
Chương 3. Không gian vectơ Chứng tỏ rằng là một cơ sở của KGVT R3: 1 2 3 , ,e e e 1 2 3 1,1,1 , 1,2, 3 , 2, 1,1e e e     = = = −           Giải: Để chứng tỏ một hệ n vectơ là một cơ sở trong KGVT Rn ta cần chứng minh hệ n vectơ này ĐLTT. Xét phương trình theo ẩn 1 2 3 , ,α α α 1 1 2 2 3 3 e e eα α α+ + = 0 2 3 1 1 2 0 1 2 1 0 1 3 1 0 α α α 1                   ⇒ − =                        1 2 3 0α α α⇒ = = = Suy ra hệ các vecto ĐLTT. Vậy hệ là một cơ sở của R3. 1 2 3 , ,e e e 26
Chương 3. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ 2. Không gian con của không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính 4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT 5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay ñổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Không gian nghiệm. 7. Không gian dòng của ma trận. 27 5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở.
Chương 3. Không gian vectơ là hai cơ sở khác nhau của KGVT Rn. { } 1 2 , ,..., n e e e=B { } 1 2 , ,..., n f f f′ =B Tọa độ của các vectơ trong cơ sở mới được biểu diễn trong cơ sở cũ như sau: (*) 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n n n n nn n f e e e f e e e f e e e α α α α α α α α α = + + + = + + + = + + + ⋮ 28
Chương 3. Không gian vectơ Ma trận vuông cấp n: 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... ... n n B B n n nn P α α α α α α α α α ′→         =           ⋮ ⋮ ⋮ được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở cũ B sang cơ sở mới B’ (hoặc ma trận chuyển). Hệ (*) có thể viết dưới dạng ma trận như sau: T B B F P E ′→ = trong đó: 1 2 , , , T n F f f f =    ⋯ 1 2 , , , T n E e e e =    ⋯ 29
Chương 3. Không gian vectơ Định lý: là ma trận chuyển từ cơ sở B={ei} sang cơ sở B’={fi} và là ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang cơ sở B. Khi đó khả nghịch và B B P ′→ B B Q ′→ B B P ′→ 1Q P− ′ ′→ → = B B B B 30
Chương 3. Không gian vectơ Định lý: là ma trận chuyển từ cơ sở B={ei} sang cơ sở B’={fi} trong KGVT V. Khi đó đối với vectơ bất kỳ v trong V: B B P ′→ B B v P v ′→ ′    =      B B 1−   = i) B B v P v ′→′      B B ii) 31
Chương 3. Không gian vectơ Ví dụ: 100-102/164 Cơ sở chính tắc: E={e1,e2,e3} và cơ sở S={w1=[1,1,1], w2=[1,1,0], w3=[1,0,0]}. i) Tìm ma trận chuyển từ B sang S. ii) Tìm tọa đô của vectơ bất kỳ v=[a,b,c] trong cơ sở S. iii) Tìm ma trận chuyển từ S sang B. Giải: i) Tìm ma trận chuyển từ B sang S: B S P → Các vectơ trong cơ sở S được biểu diễn trong cơ sở B: 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 w e e e w e e e w e e e α α α α α α α α α = + + = + + = + + 32
Chương 3. Không gian vectơ 11 21 31 12 22 32 13 23 33 B S P α α α α α α α α α →       ⇒ =         Để tìm các ta cần giải các hệ phương trình: ij α 1 1 2 2 3 3 1,3 i i i i e e e w iα α α+ + = = 1 1 12 13 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 i α α α 1 =                   → =                        ( ) ( ) 11 12 13 , , 1,1,1α α α⇒ = Tương tự: ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 23 31 32 33 , , 1,1, 0 , , 1, 0, 0 α α α α α α  =   = 33
Chương 3. Không gian vectơ 1 1 1 1 1 0 1 0 0 B S P →       ⇒ =         ii) Tìm biết S v      , , T B v a b c   =       v w w wα α α= + +Ta có: 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 1 1 1 0 1 0 0 a b c α α α                   ⇒ =                        1 2 3 , , , , T T c b c a bα α α   ⇒ = − −       34
Chương 3. Không gian vectơ iii) Tìm S B Q → Cách 1: Các vectơ trong cơ sở B được biểu diễn trong cơ sở S: 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 e w w w e w w w e w w w β β β β β β β β β = + + = + + = + + 11 21 31 12 22 32 13 23 33 S B Q β β β β β β β β β →       ⇒ =         Để tìm các ta cần giải các hệ phương trình: ij β 1 1 2 2 3 3 1,3 i i i i e e e w iα α α+ + = = 35 11 12 13 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 i β β β 1 =                   → =                        ( ) ( ) 11 12 13 , , 0, 0,1β β β⇒ = Tương tự: ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 23 , , 0,1, 1 , , 1, 1, 0 α α α α α α  = −   = −
Chương 3. Không gian vectơ 31 32 33 0 0 1 0 1 1 1 1 0 S B Q →       ⇒ = −    −    36 Cách 2:
Chương 3. Không gian vectơ 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 S B B S Q P− → →       = = −    −    37
Chương 3. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ 2. Không gian con của không gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính 4. Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT 5. Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay ñổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Không gian nghiệm. 7. Không gian dòng của ma trận. 38
Chương 3. Không gian vectơ Định nghĩa: ij m n a ×  =    ACho ma trận với mỗi dòng 1,2,...,i m= đặt 1 2 , , , i i i in u a a a  =    ⋯ và W A là KG con của Rn sinh bởi các vector 1 2 , , , m u u u⋯ Ta gọi 1 2 , , , m u u u⋯ là các vector dòng W là KG dòng của ma trận A. A Định lý: ,A BCho hai ma trận i) A tương đương (dòng) với B thì W W= A B ii) ( )dimW r= A A 39
Chương 3. Không gian vectơ Nhận xét: KG dòng của ma trận sẽ không thay đổi nếu ta áp dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận. Hệ quả: Cho ma trận A và B là ma trận dạng bậc thang của A. Khi đó có thể chọn các vector dòng khác 0 của B làm một cơ sở cho KG dòng WA. 40