Môn Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục (tiếp theo)

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục (tiếp theo) • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I.2 – Giới hạn của hàm số  – Hàm số.  – Giới hạn của hàm số.  – Vô cùng bé, Vô cùng lớn. Định nghĩa (hàm hợp) Cho hai hàm . : ; :g X Y f Y Z  Khi đó tồn tại hàm hợp . :f g X Z ( ( ))h f g f g x  Ví dụ. 2( ) 3; ( ) g x x f x x    2( ) ( ( ) ( 3) 3f g x f g x f x x      2 2( ) ( ( )) ( ) 3g f x g f x g x x     1. Hàm số 4) ( ) 2 2 a f g x x x    ( ,2]f gD   ) ( ) 2 b g f x x   0,4g fD  4) ( ) c f f x x  0,f fD   ) ( ) 2 2 d g g x x    2,2g gD   Cho . Tìm các hàm sau và miền dụ. ( ) ; ( ) 2f x x g x x   ) ; ; ; . b) c) d) a f g g f f f g g   xác định của nó: Đầu vào Đầu ra Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm. Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu Định nghĩa (hàm 1 – 1) thì . 1 2 fx x D   1 2( ) ( )f x f x Hàm 1 – 1 Ví dụ. Không là hàm 1 – 1 ký hiệu , xác định bởi . Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D, Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền Định nghĩa (hàm ngược) giá trị E. 1( )x f y 1( ) ( )x f y y f x   Vì , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x) Chú ý: khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của . 1f  1( ) ( )a f b b f a   Đồ thị y = f(x) và đồ thị của đối xứng nhau qua qua đường thẳng y = x. 1f  Ví dụ. Vẽ đồ thị của 1y x  Vẽ đồ thị của và đồ thị hàm ngược. Xét hàm lượng giác y = sin x Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên đoạn , y = sin x là hàm 1 – 1. - , 2 2       Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arcsiny x Xét hàm lượng giác y = cos x Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên đoạn , y = cos x là hàm 1 – 1.  0, Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arccosy x Miền xác định: [-1,1] Hàm arcsin x - , 2 2       Miền giá trị: Hàm luôn luôn tăng. Miền xác định: [-1,1] Hàm arccos x  0,Miền giá trị: Hàm luôn luôn giảm. Xét hàm lượng giác y = tanx Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên khoảng , y = tan x là hàm 1 – 1. , 2 2        Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arctany x Xét hàm lượng giác y = cot x Định nghĩa (hàm lượng giác ngược) Trên khoảng , y = cot x là hàm 1 – 1.  0, Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arccot y x Miền xác định: R Hàm arctan x - , 2 2        Miền giá trị: Hàm luôn luôn tăng. Miền xác định: R Hàm arccotan x  0,Miền giá trị: Hàm luôn luôn giảm. Định nghĩa (hàm Hyperbolic) sin hyperbolic sinh( ) 2 x xe e x   cos hyperbolic cosh( ) 2 x xe e x   tan hyperbolic sinh( ) tanh( ) cosh( ) x x x  cotan hyperbolic cosh( ) coth( ) sinh( ) x x x  cosh( )y xHàm sinh( )y xHàm tanh( )y xHàm coth( )y xHàm Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác) 2 21) cosh ( ) sinh ( ) 1 a a  2 22) sinh(2 ) 2sinh( )cosh( ); cosh(2 ) cosh ( ) sinh ( ) a a a a a a   3) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) a b a b a b   4) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) a b a b a b   5) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( ) a b a b b a   6) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( ) a b a b b b   và các công thức lượng giác hyperbolic khác. Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay sin bởi isinh. Ví dụ. Từ công thức 2 2cos sin 1a a  ta có 2 2 2cosh sin 1ia a  2 2cosh sinh 1a a   Hàm cho bởi phương trình tham số. Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên, giả sử của x = x(t) là t = t(x). Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm . 0t Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t). dụ. Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số 2cos 3sin (1) x t y t    Đây chính là phương trình của ellipse. 2 2 1 4 9 x y    cos 2 (1) sin 3 x t y t        Ví dụ. Phương trình tham số của đường tròn tâm O bán kính R: cos sin x R t y R t    Phương trình tham số của đường tròn tâm (a,b) bán kính R: cos sin x a R t y b R t      cos sin x a t y b t    Phương trình tham số của ellipse là 2 2 2 2 1 x y a b   2. Giới hạn của hàm số Ví dụ. D = (0,1) Cho D là tập số thực. Điểm được gọi là điểm tụ của 0x Định nghĩa. tập D nếu trong mọi khoảng đều chứa vô 0 0( , )x x   số các phần tử của tập D. Điểm tụ của D là [0,1] D có duy nhất một điểm tụ là 0 1 ,D n N n        1 ( 1) , 2 n nD n N n         D có hai điểm tụ -1 và 1. 2. Giới hạn của hàm số 0 lim ( ) x x f x a   0   0  0, | ( ) | .fx D x x f x a        Chú ý: Trong định nghĩa không đòi hỏi là f(x) phải xác định tại 0x Ví dụ. 20 1 cos 1 lim 2x x x   mặc dù hàm không xác định tại x = 0. Định nghĩa. (ngôn ngữ )   Cho x0 là điểm tụ của miền xác định. 2. Giới hạn của hàm số lim ( ) x f x a   0   0A  , | ( ) | .fx D x A f x a       Định nghĩa. lim ( ) x f x a   0   0B  , | ( ) | .fx D x B f x a       Định nghĩa. thì f(x) trong khoảng này khi x trong khoảng này lim ( ) x f x L      thì f(x) trong khoảng này khi x trong khoảng này lim ( ) x f x L   2. Giới hạn của hàm số 0 lim ( ) x x f x    0M  0  0,| | ( ) .fx D x x f x M      Định nghĩa. 0 lim ( ) x x f x    0M  0  Định nghĩa. 0,| | ( ) .fx D x x f x M      2. Giới hạn của hàm số Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm không có giới hạn. 0 lim ( ) x x f x a   Định nghĩa. (ngôn ngữ dãy ) Cho x0 là điểm tụ của miền xác định. ( ) ,n fx D  0 , n n n ox x x x   ( ) nnf x a   Nếu tìm được hai dãy mà ' 0( ),( )n nx x x '( ), ( )n nf x f x hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn. 2. Giới hạn của hàm số Ví dụ. Chứng tỏ không tồn tại giới hạn 0 1 limsin x x Chọn dãy 1 0 2 n nx n   ( ) sin 2 0 0nf x n    Chọn dãy , 1 0 2 / 2 n nx n     ( ) sin(2 ) 1 1 2 nf x n       Suy ra không tồn tại giới hạn 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x f x a g x b     Tính chất của giới hạn hàm số 0 1) lim ( ) , R x x f a      0 2) lim ( ) x x f g a b     0 3) lim ( ) x x f g a b     0 4) lim , 0 x x f a b g b    05) ( ), ( ) ( ) x V x f x g x a b     0 0 ( ) ( ) ( ) 6) lim lim x x x x f x g x h x f h a         0 lim ( ) x x g x a    00 lim ( ) 0 lim ( ) x x x x u x a v x b         Mệnh đề   0 ( ) lim ( ) v x b x x u x a        0 0 ( ) ( ) ln ( ) lim ( ) lim v x v x u x x x x x u x e    0 lim ( ) ln( ( )) x x v x u x e  ln .b a be a  1 lim 1 x x e x        1 lim 1 x x e x          1 0 lim 1 x x x e    0sin 1) lim 1   x x x 0 1 2) lim 1    x x e x 20 1 cos 1 3) lim 2    x x x 0 ln(1 ) 4) lim 1    x x x 0 (1 ) 1 5) lim       x x x Các giới hạn cơ bản thường gặp khi 0x 0 arctan 6) lim 1   x x x 0 arcsin 7) lim 1   x x x 0 tan 8) lim 1   x x x   1/ 0 9) lim 1    x x x e   1/ 0 1 10) lim 1    x x x e 1) lim , 0       x x  2) lim ln , 0       x x 3) lim , 1    x x a a 1 4) lim 1         x x e x Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x 5) lim sin x x không tồn tại 0 1) 0 Các dạng vô định 2)   3) 0  4)  5) 1  06) 0 07)  0  0  0,0fx D x x      Định nghĩa. (giới hạn trái) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu | ( ) | .f x a    0 lim ( ) xx f x a  ký hiệu 0  0  0,0fx D x x      Định nghĩa. (giới hạn phải) Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu | ( ) | .f x a    0 lim ( ) xx f x a  ký hiệu Ví dụ 1 1 lim 1x x    1 1 lim 1x x    Ví dụ 1/ 0 lim 0x x e   1/ 0 lim x x e    Ví dụ 0 sin lim 1   x x x 0 sin lim | |x x x Không tồn tại Vì 0 0 sin sin lim lim 1 | |     x x x x x x và 0 0 sin sin lim lim 1 | |      x x x x x x Định lý. Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới hạn trái và giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau. Chú ý Dùng định lý trên để chứng tỏ hàm không có giới hạn. Chú ý. Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc hàm ghép. Ví dụ. Cho . Tìm 2 3, 0 ( ) 1 sin , 0       x x f x x x x 0 lim ( ) x f x 0 0 lim ( ) lim (2 3) 3       x x f x x 0 0 1 lim ( ) lim sin 0      x x f x x x Vậy không tồn tại giới hạn. Ví dụ Định nghĩa nếu Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi 0x x 0 lim ( ) 0. x x f x   là một vô cùng bé khi , vì 0x3( ) 3sin 2f x x x   3 0 lim 3sin 2 0. x x x    Tính chất của VCB 1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB. 2) Tích của hai VCB là một VCB. 3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB. Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi . 0x x Giả sử 0 ( ) lim . ( )  x x f x k g x 1) Nếu , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x). 0k ( ) ( ( ))f x g x 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai VCB cùng cấp. 3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. 1k ( ) ( )f x g x Định nghĩa 2 4 2 3( ) tan ; ( ) sin 2    f x x x g x x x Vì . 2 4 2 30 0 ( ) tan lim lim 1. ( ) sin 2     x x f x x x g x x x Ví dụ Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi . 0x 3 2 2( ) sin ; ( ) tan    f x x x g x x x Vì . 2 3 20 0 ( ) sin lim lim 0. ( ) tan     x x f x x x g x x x Ví dụ Khi đó f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi . 0x 2 2 2( ) sin 2 ; ( ) tan 3   f x x x g x x Vì . 2 2 20 0 ( ) sin 2 1 lim lim . ( ) 3tan 3     x x f x x x g x x Ví dụ Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi . 0x 1 2( ) 1; ( ) 1    xf x e g x x Vì . 1 1 1 2 ( ) 1 1 lim lim . ( ) 21          x x x f x e g x x Ví dụ Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi . 1 x 1) sin x x Các vô cùng bé thường gặp khi 0x 2) -1 xe x 2 3) 1- cos 2 x x  4) ln(1 ) x x  5) (1 ) -1 x x   6) arcsin x x 7) arctan x x 8) tan x x Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi 0x 9) sinh x x 2 10) cosh 1 2   x x Các vô cùng bé trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và các giới hạn cơ bản. Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao 0 lim Toång höõu haïn caùc VCB Toång höõu haïn caùc VCBx x 0 lim VCB baäc cuûa töû VCB baä thaáp nhaát thaáp nhaác cuûa m ãut a  x x Ví dụ. Tính giới hạn 2 30 ln(1 tan ) lim sin   x x x I x x 2ln(1 tan ) tan   x x x x x 2 30 ln(1 tan ) lim sin    x x x I x x 2 20 lim 1.    x x x Ví dụ. Tính giới hạn 20 ln(cos ) lim ln(1 )  x x I x 20 ln(1 cos 1) lim ln(1 )    x x I x 20 cos 1 lim    x x x 2 20 / 2 1 lim 2     x x x 2 3 2sin  x x x Ví dụ. Tính giới hạn 2 20 cos lim sin   x x e x I x 2 21  xe x 2 1 cos 2   x x 2 20 1 1 cos lim sin      x x e x I x 2 2 20 / 2 3 lim . 2    x x x x sin x x Ví dụ. Tính giới hạn sin 5 sin 0 lim ln(1 2 )    x x x e e I x sin 5 sin 0 1 1 lim ln(1 2 )      x x x e e I x 0 sin5 sin lim 2x x x x   0 5 lim 2 2x x x x    Ví dụ. Tính giới hạn  1 1 sin 1 lim ln     x x e I x 1 1 1   xe x ln ln(1 1) -1   x x x 1 sin( 1) lim 1    x x I x 1 1 lim 1. 1    x x x Ví dụ. Tính giới hạn sinh 3 sinh 0 lim tan   x x x e e I x sinh 3 sinh 0 1 1 lim      x x x e e I x 0 sinh3 sinh lim x x x x   0 3 lim 2. x x x x    Ví dụ. Tính giới hạn   3 40 1 (cos 1) lim sin 2 x x e x I x x     1 xe x  2cos 1 - / 2x x  2 3 40 ( / 2) lim 2x x x I x x     2 30 ( / 2) 1 lim 2x x x x     Ví dụ. Tính giới hạn 21/ 2 cos(1/ )lim arctan x x e x I x x    2 2 2 1/ 1/(2 )lim / 2x x x I x     3   Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI. 30 tan sin 1) lim   x x x x 30 tan lim    x x x x SAI 30 tan sin 2) lim   x x x x 30 sin lim    x x x x SAI 30 tan sin 2 3) lim x x x x  30 sin 2 lim x x x x   ĐÚNG Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI. 0 tan sin 2 4) lim sinx x x x  0 2 lim x x x x   ĐÚNG 30 tan sin 5) lim sinx x x x  0 3 tan sin lim    x x x x ĐÚNG 2 2 20 1 cos 6) lim sinx x x x       2 2 20 1 cos lim        x x x x SAI Ví dụ. Cho f(x) là vô cùng bé khi . 0x x  0 0 ( ) lim höõu haïn, . 0     px x f x x x Định nghĩa Số p được gọi là bậc của VCB f(x) khi , nếu 0x x 2 3( ) sin 1 cos2   f x x x x là một VCB khi , và bậc của f(x) là 2. 0x vì 2 3 2 20 0 ( ) sin 1 cos2 lim lim 3 x x f x x x x x x       Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi . 0x Ví dụ 3 2 31) ( )  f x x x  2) ( ) sin 2 2  f x x 3) ( ) 2 1 xf x 3 44) ( ) 3sin f x x x 3 5) ( ) cos xf x e x bậc 2/3. bậc 1. bậc 1/2. bậc 3. bậc 2. Ví dụ 1) ( ) cos cos2 f x x x  22) ( ) ln cosf x x 3) ( ) 3 x xf x e 34) ( ) sin 2 ln(1 tan )  f x x x x 25) ( ) 1 2 cos3  f x x x Tìm để f(x) và là 2 VCB tương đương, 0x,   x 3/ 2; 2   1/ 2; 4    ln3; 1/ 2   1   13/ 4; 2   Ví dụ Định nghĩa (vô cùng lớn) nếu Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi 0x x 0 lim ( ) .    x x f x là một vô cùng lớn khi , vì x 2( ) 2 3cos f x x x 2lim 2 3cos .     x x x Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi . 0x x Giả sử 0 ( ) lim . ( )  x x f x k g x 1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x).  k ( ) ( ( )) f x g x 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai VCL cùng cấp. 3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. 1k ( ) ( )f x g x Định nghĩa Qui tắc ngắt bỏ VCL 0 lim Toång höõu haïn caùc VCL Toång höõu haïn caùc VCLx x 0 lim VCL baäc cuûa töû VCL baä cao nhaát cao nhaátc cuûa maãux x  Ví dụ Tử là tổng của ba VCL: 2 2 4 2 3 lim 4      x x x x I x x 2 4 2 3 3     x x x x x Mẫu là tổng của hai VCL: 2 4 2    x x x x 3 3 lim 2 2   x x I x I) Tìm các giới hạn sau. Bài tập 2 22 4 1) lim 2   x x x x 5 0 32 2 2) lim    x x x 20 cos3 cos7 3) lim   x x x x / 4 4) lim cot 2 cot( / 4 )      x x x   21/ sin (2 )2 0 5) lim 1 tan   x x x 4 3 1 80 20 2 1/ 4e   21/ 0 6) lim cos  x x x   1/(1 cos ) 0 7) lim cosh   x x x 2 2 2 2 3 8) lim 2 1       x x x x 2 2 2 9) lim 2   x x x x 1/ 110) lim        x x x e x 1/ 2e e 2e 4(ln 2 1) 2e 22 14 11) lim 2    x x x x x 2 2 14 12) lim 2    x x x x x 0 1 13) lim tanh       x x 0 1 14) lim tanh       x x 2 20 sin 2 2arctan3 3 15) lim ln(1 3 sin )      xx x x x x x xe 1 7 1 1 2 5 3 2 30 1 10 1 3 16) lim arcsin(3 ) sinh(2 )      x x x x x x x 17) lim ln 1 ln 2 2          x x x x 3 3 0 cos4 cos5 18) lim 1 cos3  x x x x 30 1 tan 1 sin 19) lim sin    x x x x 0 tan 2 3arcsin 4 20) lim sin5 6arctan 7  x x x x x 1 2 1 3 1/ 4 10 /37