Mối quan hệ giữa căn Jacobson và Iđêan 0-Tựa chính quy trái trên nửa vành có đơn vị cộng giản ước

MỐI QUAN HỆ GIỮA CĂN JACOBSON VÀ IĐÊAN 0-TỰA CHÍNH QUY TRÁI TRÊN NỬA VÀNH CÓ ĐƠN VỊ CỘNG GIẢN ƯỚC LÊ CẢNH DƯƠNG Trường THPT Nam Hải Lăng, Quảng Trị NGUYỄN XUÂN TUYẾN Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi dùng định nghĩa và một số kết quả về căn Jacobson của H. M. Al-Thani [1] để tìm mối quan hệ với iđêan 0-tựa chính quy trái được định nghĩa dựa theo quan điểm của K. Iizuka [4] và S. Bourne [3] trên nửa vành có đơn vị khác không, cộng giản ước. 1 GIỚI THIỆU Nội dung bài báo này chia làm ba mục. Mục 1 giới thiệu bài toán. Trong mục 2, chúng tôi nêu định nghĩa căn Jacobson, định lý liên quan và một số ví dụ. Trong mục 3 dành cho việc xét mối quan hệ giữa căn Jacobson với iđêan 0-tựa chính quy trái. Trong suốt bài báo này chúng tôi ký hiệu Λ là nửa vành có đơn vị 1Λ 6= 0. M là Λ-nửa môđun trái, ký hiệu là ΛM . Nửa môđun con N của M được gọi là cô lập nếu x + x′ ∈ N và x′ ∈ N kéo theo x ∈ N ∀x, x′ ∈ ΛM. ΛM được gọi là thô nếu ΛM không có nửa môđun con cô lập nào ngoài không và chính nó. Một phần tử x ∈ ΛM được gọi là chính quy nếu đồng cấu fx : Λ −→ M xác định bởi fx(r) = rx là đồng cấu chính quy, ΛM được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của nó đều chính quy. Cho ΛM , các tập LΛ(M) = {r ∈ Λ | rx = 0, ∀x ∈ M}, SLΛ(M) = {r ∈ Λ | rx = 0, với mọi phần tử chính quy x ∈M} lần lượt được gọi là linh hóa tử trái của M và linh hóa tử trái mạnh của M . ΛM được gọi là thô mạnh nếu M thô và SLΛ(M) 6= Λ. Cho N ≤ ΛM , lúc đó N cảm sinh một quan hệ tương đẳng ρN trên M và được gọi là quan hệ Bourne được xác định như sau: xρNx ′ ⇐⇒ ∃n, n′ ∈ N : x+ n = x′ + n′. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 04(16)/2010: tr. 5-14 6 LÊ CẢNH DƯƠNG - NGUYỄN XUÂN TUYẾN Với mỗi x ∈ M ta ký hiệu lớp tương đương của x theo quan hệ Bourne là: x/N và Λ-nửa môđun thương theo quan hệ Bourne ký hiệu là M/N . Nửa vành Λ được gọi là cộng giản ước nếu x + y = z + y thì x = z ∀x, y, z ∈ Λ. Một iđêan trái thực sự I của nửa vành Λ được gọi là iđêan trái cô lập cực đại nếu có iđêan trái cô lập J sao cho I ≤ J , I 6= J thì J = Λ, iđêan phải (iđêan hai phía) cô lập, cô lập cực đại được định nghĩa tương tự. Một iđêan trái I của Λ được gọi là chính quy nếu Λ/I là Λ-nửa môđun trái chính quy. Ký hiệu yρl(0, x)z để chỉ y không có quan hệ ρl(0, x) với z. 2 CĂN JACOBSON VÀ VÍ DỤ Bổ đề 2.1. Cho Λ là nửa vành và M là Λ-nửa môđun trái chính quy khác không. Khi đó, M thô mạnh khi và chỉ khi M = Λx, ∀x ∈M , x 6= 0. Chứng minh. (=⇒) Theo Bổ đề 1. 1 ([8], tr 412), ∀x ∈ M,x 6= 0 tồn tại r ∈ Λ sao cho rx 6= 0, suy ra Λx là nửa môđun con khác không của M và do tính chính quy của M nên Λx là nửa môđun con cô lập của M , ta lại có M là nửa môđun thô nên M = Λx. (⇐=) Vì M là nửa môđun chính quy và ΛM 6= 0, suy ra SLΛ(M) = LΛ(M) 6= Λ. Giả sử N là nửa môđun con cô lập của M và N 6= 0. Khi đó, với 0 6= n ∈ N ta có: M = Λn ≤ N . Do đó M = N . Vậy M là Λ-nửa môđun trái thô mạnh. Định nghĩa 2.2. [1]. Cho Λ là nửa vành . Ký hiệu χ là tập tất cả các Λ-nửa môđun trái chính quy và thô mạnh. Căn Jacobson của nửa vành Λ được ký hiệu là J(Λ) và được xác định: J(Λ) = ⋂ M∈χ LΛ(M) Nếu χ = ∅ thì ta quy ước J(Λ) = Λ và khi đó Λ được gọi là nửa vành Jacobson. Định lý 2.3. [1]. Cho Λ là nửa vành. Khi đó, J(Λ) là iđêan cô lập và J(Λ) = ∩{I | I là iđêan trái cô lập cực đại, chính quy} Ví dụ 2.4. 1) Xét nửa vành Λ3 = {0, 1, a}. Khi đó, Λ3 chỉ có duy nhất {0, a} là iđêan cô lập cực đại, chính quy nên J(Λ3) = {0, a}. Với nửa vành N ta có J(N) = {0}. MỐI QUAN HỆ GIỮA CĂN JACOBSON VÀ IĐÊAN 0-TỰA CHÍNH QUY TRÁI... 7 2) Ký hiệu Q∗ là tập các số hữu tỷ không âm. Xét T là nửa vành các ma trận T = {( k x 0 y )∣∣∣∣k ∈ N, x, y ∈ Q∗ } = ( N Q∗ 0 Q∗ ) Mỗi iđêan trái cô lập cực đại của T có dạng: Ap = ( pN Q∗ 0 Q∗ ) với p là số nguyên tố. Ta chứng tỏ với mỗi số nguyên tố p, Ap là iđêan trái chính quy. Xét T -nửa môđun trái T/Ap = {( k x 0 y ) /Ap ∣∣∣∣k ∈ N, x, y ∈ Q∗ } Với mọi ( k x 0 y ) /Ap ∈ T/Ap ta có: ( k x 0 y ) /Ap = ( k 0 0 0 ) /Ap + ( 0 x 0 y ) /Ap = ( k 0 0 0 ) /Ap Suy ra T/Ap = {( k 0 0 0 ) /Ap ∣∣∣∣k ∈ N, 0 ≤ k < p } Với mỗi k ∈ {0, ..., p− 1}, đặt Bk = ( k 0 0 0 ) và ta xét đồng cấu fBk/Ap : T −→ T/Ap xác định bởi fBk/Ap (( k′ x 0 y )) = ( k′ x 0 y ) .(Bk/Ap) Rõ ràng, nếu k = 0 thì fBk/Ap là đồng cấu chính quy. Với k 6= 0, ta có: ( k′ x 0 y ) .(Bk/Ap) = ( k′k 0 0 0 ) /Ap 8 LÊ CẢNH DƯƠNG - NGUYỄN XUÂN TUYẾN KerfBk/Ap = {( k′ x 0 y ) ∈ T ∣∣∣∣ ( k′k 0 0 0 ) /Ap = ( 0 0 0 0 ) /Ap } = {( k′ x 0 y ) ∈ T ∣∣∣∣k′k chia hết cho p } = {( k′ x 0 y ) ∈ T ∣∣∣∣k′ chia hết cho p } = ( pN Q∗ 0 Q∗ ) = Ap Giả sử fBk/Ap (( k1 x1 0 y1 )) = fBk/Ap (( k2 x2 0 y2 )) Suy ra ( k1k 0 0 0 ) /Ap = ( k2k 0 0 0 ) /Ap Suy ra ∃t1, t2 ∈ N: k1k + pt1 = k2k + pt2. Giả sử t2 ≥ t1 ⇒ k1 ≥ k2 ⇒ k1 = k2 + k3 ⇒ k3k + pt1 = pt2 ∈ pN⇒ k3k ∈ pN⇒ k3k chia hết cho p ⇒ k3 chia hết cho p vì (k, p) = 1⇒ ∃t ∈ N : k3 = pt⇒ k1 = k2 + pt ⇒ ( k1 x1 0 y1 ) + ( 0 x2 0 y2 ) = ( k2 x2 0 y2 ) + ( pt x1 0 y1 ) Mặt khác ta có: ( 0 x2 0 y2 ) , ( pt x1 0 y1 ) ∈ KerfBk/Ap = Ap Do đó, fBk/Ap là đồng cấu k-chính quy. Với mọi l ∈ {0, ..., p− 1} tồn tại k′, t ∈ N : k′k = pt+ l. Suy ra( k′k 0 0 0 ) /Ap = ( l 0 0 0 ) /Ap hay fBk/Ap (( k′ 0 0 0 )) = ( l 0 0 0 ) /Ap Do đó, fBk/Ap là một đồng cấu toàn ánh i-chính quy, suy ra Bk/Ap là phần tử chính quy hay T/Ap là T -nửa môđun trái chính quy. Vậy Ap là iđêan chính quy. Do đó, J(T ) = ⋂ p∈N, p: nguyên tố Ap = ( 0 Q∗ 0 Q∗ ) . MỐI QUAN HỆ GIỮA CĂN JACOBSON VÀ IĐÊAN 0-TỰA CHÍNH QUY TRÁI... 9 3 MỐI QUAN HỆ GIỮA CĂN JACOBSON VỚI IĐÊAN 0-TỰA CHÍNH QUY TRÁI TRÊN NỬA VÀNH CÓ ĐƠN VỊ CỘNG GIẢN ƯỚC. Trong suốt phần này nửa vành Λ được xét là nửa vành có đơn vị khác không và cộng giản ước, E là tập tất cả các quan hệ tương đẳng thỏa mãn luật giản ước trên Λ xem như là Λ-nửa môđun trái (E ⊆ Λ-Cong(Λ)). Với i1, i2 ∈ Λ cố định, ta xác định quan hệ hai ngôi ρl(i1, i2) (ρr(i1, i2)) trên Λ như sau: Với s, t ∈ Λ, sρl(i1, i2)t⇐⇒ ∃j1, j2 ∈ Λ : s+ j1 + j1i1 + j2i2 = t+ j2 + j2i1 + j1i2 (∗) (sρr(i1, i2)t⇐⇒ ∃k1, k2 ∈ Λ : s+ j1 + i1k1 + i2k2 = t+ k2 + i1k2 + i2k1 (∗∗)). Bổ đề 3.1. [4]. (1) ρl(i1, i2) ∈ E và ∀r1, r2 ∈ Λ ta có: (r1 + r1i1 + r2i2)ρl(i1, i2)(r2 + r2i1 + r1i2) (2) Nếu i1ρl(i1, i2)i2 thì ρl(i1, i2) = ρ1 (ρ1 là quan hệ phổ dụng). Cho Λ là nửa vành có đơn vị khác không, cộng giản ước và S = Λ × Λ, khi đó S cùng với hai phép toán (+) và (.) được xác định bởi (x, y) + (z, t) = (x + z, y + t), (x, y)(z, t) = (xz + yt, xt + yz) ∀x, y, z, t ∈ Λ là nửa vành với phần tử không (0, 0), phần tử đơn vị (1, 0). Hơn nữa, do Λ là nửa vành có đơn vị khác không, cộng giản ước nên D = {(x, x) | x ∈ Λ} là một iđêan cô lập của S và S 6= 0/D, từ đó ta có S/D là vành với phần tử đơn vị (1, 0)/D và được gọi là vành các sai phân của Λ, ký hiệu là Λ4. Mặt khác, ta có ánh xạ ϕ : Λ −→ Λ4 xác định bởi ϕ(x) = (x, 0)/D là đơn cấu, nên ta xem Λ như là nửa vành con của vành Λ4. Một phần tử x của vành R là tựa-chính quy trái nếu tồn tại a ∈ R sao cho: x + a − ax = 0. Vấn đề là một phần tử x ∈ Λ tựa-chính quy trái trong vành Λ4 sẽ thỏa mãn điều gì? Giả sử phần tử (x, 0)/D ∈ Λ4 là tựa-chính quy trái, khi đó tồn tại (j1, j2)/D ∈ Λ4 sao cho: (x, 0)/D + (j1, j2)/D − (j1, j2)/D(x, 0)/D = (0, 0)/D ⇐⇒ x+ j1 + j2x = j2 + j1x Từ những điều trên và dựa trên các quan điểm về iđêan nửa chính quy phải của S. Bourne [3], iđêan tựa-chính quy của K. Iizuka [4], ta đi đến định nghĩa sau: Định nghĩa 3.2. (i) Một phần tử x ∈ Λ được gọi là 0-tựa chính quy trái nếu xρl(0, x)0, nghĩa là tồn tại j1, j2 ∈ Λ sao cho: x+ j1 + j2x = j2 + j1x. 10 LÊ CẢNH DƯƠNG - NGUYỄN XUÂN TUYẾN (ii) Một iđêan trái I của nửa vành Λ được gọi là 0-tựa chính quy trái nếu mọi phần tử của nó đều 0-tựa chính quy trái. Ví dụ 3.3. (i) Trong nửa vành N chỉ có 0 và 2 là các phần tử 0-tựa chính quy trái và do đó {0} là iđêan duy nhất 0-tựa chính quy trái. (ii) Trong nửa vành N/nN với n = pk11 p k2 2 ...p km m thì (p1p2...pmN)/nN là iđêan 0-tựa chính quy trái. (iii) Trong nửa vành N/6N thì các iđêan 2N/6N, 3N/6N không phải là 0-tựa chính quy trái. Mệnh đề 3.4. Cho Λ là nửa vành. Khi đó, mỗi iđêan 0-tựa chính quy trái đều chứa trong J(Λ). Chứng minh. Nếu J(Λ) = Λ thì Mệnh đề hiển nhiên đúng. Xét trường hợp J(Λ) 6= Λ. Giả sử I là iđêan 0-tựa chính quy trái và I * J(Λ). Do J(Λ) 6= Λ nên tồn tại Λ-nửa môđun trái chính quy và thô mạnh M sao cho IM 6= 0, suy ra ∃i ∈ I (i 6= 0), ∃x ∈ M (x 6= 0): 0 6= ix ∈ IM . Theo Bổ đề 2.1 tồn tại r ∈ Λ sao cho x = rix. Vì ri ∈ I và I là iđêan 0-tựa chính quy trái nên 0ρl(0, ri)ri hay tồn tại j1, j2 ∈ Λ sao cho: 0 + j1 + j10 + j2(ri) = ri+ j2 + j20 + j1(ri)⇐⇒ j1 + j2(ri) = ri+ j2 + j1(ri) (1) Mặt khác, ta có: x = rix, suy ra j1x = (j1(ri))x và j2x = (j2(ri))x. Từ đó ta có: x+ j1x+ j2(ri)x = rix+ j2x+ j1(ri)x ⇒ (1 + j1 + j2(ri))x = (ri+ j2 + j1(ri))x (∗) Nhưng M là Λ-nửa môđun trái chính quy nên x là phần tử chính quy, nghĩa là đồng cấu fx : Λ −→ M xác định bởi fx(r) = rx là đồng cấu chính quy nên từ (∗) suy ra tồn tại t1, t2 ∈Kerfx sao cho: 1 + j1 + j2(ri) + t1 = ri+ j2 + j1(ri) + t2 (2) Do Λ là nửa vành cộng giản ước được nên từ (1) và (2) suy ra: 1 + t1 = t2 ⇒ x+ t1x = t2x⇒ x = 0 (điều này mâu thuẫn với x 6= 0). Vậy I ≤ J(Λ). MỐI QUAN HỆ GIỮA CĂN JACOBSON VÀ IĐÊAN 0-TỰA CHÍNH QUY TRÁI... 11 Nhận xét: Nếu r là phần tử lũy linh thì r là phần tử 0-tựa chính quy trái và do đó nếu I là nil-iđêan trái thì I là iđêan 0-tựa chính quy trái. Thật vậy, giả sử tồn tại số nguyên dương n sao cho rn = 0, đặt r′ = n−1∑ i=1 ri. Khi đó, r + r′r = r′ hay r + 0 + r′r = r′ + 0r. Từ nhận xét trên ta có các hệ quả sau: Hệ quả 3.5. Cho Λ là nửa vành. Khi đó, nếu I là nil-iđêan trái thì I ≤ J(Λ). Đặc biệt, nếu I là iđêan trái lũy linh thì I ≤ J(Λ). Giả sử Λ là nửa vành thỏa hai tính chất sau gọi là thỏa điều kiện (C): (1) Mỗi iđêan trái cô lập cực đại của nửa vành Λ đều chính quy; (2) Với mỗi x ∈ J(Λ) thì Λ-đồng cấu nửa môđun trái px : Λ −→ Λ/ρl(0, x) xác định bởi px(r) = r/ρl(0, x) là đồng cấu k-chính quy. Mệnh đề 3.6. Cho Λ là nửa vành thỏa điều kiện (C). Khi đó, J(Λ) là iđêan 0-tựa chính quy trái và mọi iđêan chứa trong J(Λ) đều là iđêan 0-tựa chính quy trái. Chứng minh. Trong nửa vành Λ thì luôn tồn tại iđêan trái cô cực đại I và theo điều kiện (C) thì I là chính quy nên J(Λ) 6= Λ. Giả sử J(Λ) không là iđêan 0-tựa chính quy trái, nghĩa là tồn tại x ∈ J(Λ) sao cho ρl(0, x) 6= ρ1 hay xρl(0, x)0. Đặt K = {r ∈ Λ | rρl(0, x)0} Khi đó, K 6= ∅ vì 0 ∈ K và đồng thời K là iđêan trái cô lập của Λ. Vì ρl(0, x) 6= ρ1 nên x 6∈ K. Đặt F = {I iđêan trái cô lập | K ≤ I và x 6∈ I}. Khi đó, F 6= ∅ vì I ∈ F . Xét F ′ ⊆ F là tập con sắp thứ tự tuyến tính của F , đặt I0 = ∪ I∈F ′ I. Lúc đó, I0 là iđêan trái cô lập của Λ, đồng thời K ≤ I0 và x 6∈ I0, suy ra I0 là cận trên của F ′ trong F . Áp dụng Bổ đề Zorn trong F tồn tại phần tử cực đại H, hay H là iđêan trái cô lập và cực đại trong số các iđêan trái cô lập thỏa tính chất K ≤ H và x 6∈ H. Ta chỉ ra H là iđêan trái cô lập cực đại. Thật vậy, giả sử L là iđêan trái cô lập sao cho H  L. Nếu x 6∈ L thì L ∈ F , điều này mâu thuẫn với tính cực đại của H. Do đó, x ∈ L. Mặt khác, ta có: yρl(0, x)z ⇒ y/ρl(0, x) = z/ρl(0, x), theo điều kiện (C) suy ra tồn tại a, b ∈ K sao cho: y + a = z + b⇒ y/L = z/L⇒ yρLz ⇒ ρl(0, x)[≤]ρL. Hơn nữa, ta có: 1ρl(0, x)x⇒ 1ρLx⇒ 1 ∈ L⇒ L = Λ. 12 LÊ CẢNH DƯƠNG - NGUYỄN XUÂN TUYẾN Vậy H là iđêan trái cô lập cực đại và theo điều kiện (C) thì H là chính quy, suy ra J(Λ) ≤ H, điều này mâu thuẫn với x 6∈ H. Vậy J(Λ) là iđêan 0-tựa chính quy trái. Nhận xét: Nếu tính chất (2) trong điều kiện (C) không thỏa thì Mệnh đề 3.6 không còn đúng nữa. Thật vậy, theo Ví dụ 2.4(2) với nửa vành T = {( k x 0 y )∣∣∣∣k ∈ N, x, y ∈ Q∗ } = ( N Q∗ 0 Q∗ ) Ta có J(T ) = ( 0 Q∗ 0 Q∗ ) . Xét t = ( 0 0 0 1 ) ∈ J(T ) Giả sử xρl(0, x)0, nghĩa là tồn tại j1 = ( 0 x 0 y ) , j2 = ( 0 x′ 0 y′ ) ∈ J(T ) sao cho t+ j1 + j2t = j2 + j1t hay( 0 0 0 1 ) + ( 0 x 0 y ) + ( 0 x′ 0 y′ )( 0 0 0 1 ) = ( 0 x′ 0 y′ ) + ( 0 x 0 y )( 0 0 0 1 ) Suy ra 1+ y+ y′ = y+ y′ (điều này vô lý). Vậy J(T ) không là iđêan 0-tựa chính quy trái. Mặt khác, với a = ( 0 1 0 1 ) ∈ J(T ), b = ( 1 2 0 0 ) , c = ( 2 1 0 0 ) ∈ T đồng cấu T -nửa môđun trái pa : T −→ T/ρl(0, a) xác định bởi pa(t) = t/ρl(0, a) có Kerpa = {0}. Trong khi đó bρl(0, x)c⇒ b/ρl(0, x) = c/ρl(0, x)⇒ pa(b) = pa(c) nhưng rõ ràng không tồn tại t1, t2 ∈Kerpa sao cho b + t1 = c + t2. Vậy đồng cấu pa không là k-chính quy hay điều kiện (2) trong điều kiện (C) không thỏa. Định lý 3.7. Cho Λ là nửa vành thỏa điều kiện (C). Khi đó, nếu Λ là nửa vành Artin trái thì J(Λ) lũy linh. MỐI QUAN HỆ GIỮA CĂN JACOBSON VÀ IĐÊAN 0-TỰA CHÍNH QUY TRÁI... 13 Chứng minh. Đặt J = J(Λ). Xét dãy giảm các iđêan trái J ≥ J2 ≥ · · · ≥ Jn ≥ Jn+1 ≥ · · · Do Λ là nửa vành Artin trái nên tồn tại số nguyên dương n sao cho Jn = Jn+i, i = 1, 2, .... Ta chứng minh Jn = 0. Giả sử Jn 6= 0. Đặt V = {A iđêan trái của Λ | JnA 6= 0}. Khi đó, V 6= ∅ vì JnJ = Jn+1 = Jn 6= 0 nên J ∈ V . Do Λ là nửa vành Artin trái nên trong V tồn tại phần tử cực tiểu A0 hay A0 là iđêan trái cực tiểu thỏa tính chất JnA0 6= 0, suy ra tồn tại a ∈ A0, a 6= 0 sao cho: Jna 6= 0 và Jna ≤ A0. Khi đó, Jna là iđêan trái của Λ và Jn(Jna) = J2na = Jna 6= 0. Do tính cực tiểu của A0 nên Jna = A0 ⇒ ∃r ∈ Jn : a = ra (∗ ∗ ∗) Mặt khác, J là iđêan 0-tựa chính quy trái nên rρl(0, r)0 hay tồn tại r1, r2 ∈ Λ sao cho: r + r1 + r2r = r2 + r1r ⇒ ra+ r1a+ (r2r)a = r2a+ (r1r)a Hơn nữa, từ (∗ ∗ ∗) ta có: r1a = (r1r)a và r2a = (r2r)a. Suy ra a+ (r1r)a+ r2a = ra+ r1a+ (r2r)a. Do Λ là nửa vành cộng giản ước nên a = 0, điều này mâu thuẫn với a 6= 0. Hệ quả 3.8. Cho Λ là nửa vành Artin trái và thỏa điều kiện (C). Khi đó, (1) Mọi nil-iđêan trái đều là iđêan trái lũy linh; (2) J(Λ) là iđêan lũy linh lớn nhất; (3) Nếu Λ là vành giao hoán thì J(Λ) trùng với tập các phần tử lũy linh. Chứng minh. (1), (2) : Rõ ràng. Ta chứng minh (3) Ký hiệu I là tập tất cả các phần tử lũy linh của Λ. Ta chứng tỏ I là một iđêan của Λ. +) Rõ ràng I 6= ∅ vì 0 ∈ I. +) Với mọi a, b ∈ I ⇒ ∃m,n ∈ N sao cho am = 0, bn = 0. Khi đó, (a+ b)m+n = k=m+n∑ k=0 akbm+n−k = 0⇒ a+ b ∈ I. +) Với mọi a ∈ I, r ∈ Λ ta có: a ∈ I nên ∃n ∈ N sao cho an = 0, từ đó (ra)n = rnan = 0 nên ra ∈ I. Vậy I là nil-iđêan và do đó I ≤ J(Λ). Mặt khác, ta có J(Λ) lũy linh nên J(Λ) ≤ I. Suy ra I = J(Λ). 14 LÊ CẢNH DƯƠNG - NGUYỄN XUÂN TUYẾN 4 KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã tìm mối quan hệ giữa căn Jacobson với iđêan 0-tựa chính quy trái trên nửa vành có đơn vị cộng giản ước và kết quả thu được là mọi iđêan 0-tựa chính quy trái đều chứa trong J(Λ) (Mệnh đề 3.4), từ đó thu được Hệ quả 3.5. J(Λ) là iđêan 0-tựa chính quy trái (Mệnh đề 3.6) và đồng thời là iđêan lũy linh (Định lý 3.7) từ đó thu được Hệ quả 3.8. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H. M. J. Al-Thani (2006). The Jacobson semiradical over a certain semiring. Tamkang Journal of Mathematics., 37, 67-76. [2] H. M. J. Al-Thani (2007). The Jacobson radical of type (3,1). International Journal of Modern Mathematics., 2, 27-33. [3] S. Bourne (1951). The Jacobson radical of a semiring. Proc. Nat. Acad. Sci., 37, 163- 170. [4] K. Iizuka (1959). On the Jacobson radical of a semiring. Tohoku Math. J., 2, 409 - 421. [5] N. X. Tuyen and T. G. Nam (2007). On radicals of Semirings. Southeast Asian Bulletin of Mathematics., 31, 131-140. Title: THE RELATIONSHIP BETWEEN THE JACOBSON RADICAL AND 0-QUASI REGULAR LEFT IDEALS ON ADDITIVELY CANCELLATIVE SEMIRINGS. Abstract: In this paper we use the definition and some results of Jacobson radicals by H.M.AL-Thani in order to search the relations with 0-quasi regular left ideals defined according to Iizuka’s and Bourne’s view on additively cancellative semirings. PGS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TUYẾN Khoa Toán, Đại học Sư phạm Huế Email: nxtuyenvn@yahoo.com, ĐT: 0913.439.587 ThS. LÊ CẢNH DƯƠNG Giáo viên Toán, Trường THPT Nam Hải Lăng-Quảng trị Email: duongtoannhl@gmail.com, ĐT: 0987.444.087