Mô phỏng ba chiều linh kiện bán dẫn sử dụng thuật toán Bicgstab tiền điều kiện với tiền điều kiện Jacobi cho lời giải phương trình Poisson

MÔ PHỎNG BA CHIỀU LINH KIỆN BÁN DẪN SỬ DỤNG THUẬT TOÁN BICGSTAB TIỀN ĐIỀU KIỆN VỚI TIỀN ĐIỀU KIỆN JACOBI CHO LỜI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON ĐINH NHƯ THẢO Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế NGUYỄN TIẾN NGỌC Trường THPT Tây Trà - Quảng Ngãi Tóm tắt: Bài báo này trình bày các kết quả mô phỏng ba chiều động lực học hạt tải trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp sử dụng tiền điều kiện Jacobi vào thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện để giải phương trình Poisson. Chúng tôi đã tính toán vận tốc trôi dạt của điện tử cũng như sự phân bố điện thế trong linh kiện ứng với điện trường ngoài là 100 kV/cm và 150 kV/cm. Kết quả tính toán chỉ ra rằng thuật toán này không những cho kết quả tốt mà còn rút ngắn thời gian tính toán so với thuật toán BICGSTAB. 1. GIỚI THIỆU Việc nghiên cứu các linh kiện bán dẫn na-nô có vai trò rất lớn để cải thiện hiệu quả và tốc độ làm việc của các sản phẩm công nghệ cao. Ngày nay, với sự phát triển của phương pháp mô phỏng, việc nghiên cứu các linh kiện bán dẫn này trở nên dễ dàng và khả thi hơn so với phương pháp giải tích. Trong nhiều phương pháp mô phỏng đã được sử dụng, phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp với ưu điểm là tính ổn định và độ chính xác cao nên sớm được quan tâm và sử dụng rộng rãi [1], [2], [4], [5]. Mô phỏng Monte Carlo tập hợp tự hợp ba chiều đã được thực hiện thành công trên nhiều linh kiện bán dẫn [2], [3]. Gần đây nhất, năm 2009, Lê Hoài Linh và Trần Thiện Lân đã mô phỏng khá thành công đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs. Tuy nhiên, việc sử dụng thuật toán BICGSTAB để giải phương trình Poisson trong các công trình này có nhược điểm là thời gian tính toán dài, tốc độ hội tụ chậm và trong nhiều Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 04(16)/2010: tr. 34-41 MÔ PHỎNG BA CHIỀU LINH KIỆN BÁN DẪN SỬ DỤNG THUẬT TOÁN... 35 trường hợp nghiệm không hội tụ. Để khắc phục những nhược điểm của thuật toán BICGSTAB, người ta đã đưa ra thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện [3], [5]. Trong các tiền điều kiện đã được sử dụng thì tiền điều kiện Jacobi có ưu điểm là tốc độ hội tụ nhanh và sử dụng đơn giản hơn [5]. Thuật toán này được kì vọng sẽ cải thiện đáng kể tốc độ hội tụ và rút ngắn thời gian mô phỏng. Chúng tôi đã xây dựng một chương trình mô phỏng chạy trên máy tính cá nhân có cấu hình Intel(R) Pentium(R) Dual, CPU T2330 1.60GHz, 1GB DDR II với sai số 10−12. Bộ công cụ mới này cho kết quả tốt và thời gian mô phỏng cũng được rút ngắn đáng kể so với thuật toán BICGSTAB. 2. MÔ PHỎNG MONTE CARLO TẬP HỢP TỰ HỢP BA CHIỀU Phương pháp mô phỏng Monte Carlo là phương pháp lặp đi lặp lại việc tính toán kiểu không tất định (nghĩa là kết quả thu được là như nhau bất kể chúng ta lặp lại việc tính toán bao nhiêu lần) và dùng một tập số ngẫu nhiên như các dữ liệu đầu vào. Phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp ba chiều là sự kết hợp đồng thời phương pháp Monte Carlo tập hợp với việc giải phương trình Poisson trong ba chiều không gian. Trong quá trình mô phỏng, việc giải phương trình Poisson ba chiều là công việc quan trọng nhất và cũng khó khăn nhất. Có nhiều phương pháp để giải phương trình Poisson, sau đây chúng tôi sẽ trình bày phương pháp sai phân hữu hạn. Phương trình Poisson cho vật liệu là đồng nhất có dạng: ∇2ϕ = − ρ s , (1) với ϕ là điện thế, ρ là mật độ điện tích, s là hằng số điện môi của vật liệu. Trong trường hợp ba chiều phương trình trên được viết tường minh như sau: ∂2ϕ ∂x2 + ∂2ϕ ∂y2 + ∂2ϕ ∂z2 = − ρ s . (2) Sau khi thực hiện phép sai phân hữu hạn, ta nhận được hệ phương trình sau (với i, j, k là các chỉ số chạy) ϕi−1,j,k − 2ϕi,j,k + ϕi+1,j,k ∆x2 + ϕi,j−1,k − 2ϕi,j,k + ϕi,j+1,k ∆y2 + ϕi,j,k−1 − 2ϕi,j,k + ϕi,j,k+1 ∆z2 = −ρi,j,k s . (3) 36 ĐINH NHƯ THẢO - NGUYỄN TIẾN NGỌC Nếu ta chọn kích thước không gian mắt lưới đồng nhất: ∆x = ∆y = ∆z thì hệ phương trình (3) trở thành: ϕi−1,j,k + ϕi,j−1,k + ϕi,j,k−1 − 6ϕi,j,k + ϕi,j,k+1 + ϕi+1,j,k + ϕi,j+1,k = −ρi,j,k s ∆x2. (4) Hệ phương trình (4) là một hệ phương trình đại số tuyến tính và có thể được viết lại dưới dạng một phương trình ma trận: Aϕ = b, (5) trong đó A là ma trận vuông cấp MNP ×MNP , B và ϕ là các ma trận cột cấp MNP với M , N , P lần lượt là số điểm lưới theo các phương x, y, z. Như vậy, bằng phương pháp sai phân hữu hạn chúng ta đã biến đổi phương trình Poisson ba chiều thành một hệ phương trình đại số tuyến tính. Các phương trình này sẽ được giải bằng thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện với tiền điều kiện Jacobi. Thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện được phát triển từ thuật toán BICGSTAB nhằm tăng cường tốc độ hội tụ, theo đó giảm thời gian tính toán. Thuật toán này gồm các bước sau [1], [7]: 1. Chọn xˆ1, s1 bất kỳ; tính r˜1 = Axˆ1 − b và đặt u˜1 = r˜1, i = 1. 2. Bắt đầu vòng lặp: trong khi chưa hội tụ nghiệm. - Tính uˆ từ Puˆ = u˜i - Tính w˜i = Auˆ và αi = sT1 r˜i sT1 w˜i - Tính z˜i = r˜i − αiw˜i - Tính zˆ từ Pzˆ = z˜i và q˜i = Azˆ - Tính ωi = z˜Ti q˜i q˜Ti q˜i và r˜i+1 = z˜i − ωiq˜i - Tính βi+1 = αis T 1 r˜i+1 ωisT1 r˜i - Tính u˜i+1 = r˜i+1 + βi+1(u˜i − ωiw˜i) - Tính xˆi+1 = xˆi − (αiuˆ+ ωizˆ) - Đặt i = i+ 1 3. Kết thúc vòng lặp. 4. Kết thúc thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện. MÔ PHỎNG BA CHIỀU LINH KIỆN BÁN DẪN SỬ DỤNG THUẬT TOÁN... 37 So với thuật toán BICGSTAB thì thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện có chứa thêm một số bước tính toán làm cho thời gian tính toán của mỗi vòng lặp tăng lên nhưng số vòng lặp cũng được giảm đáng kể. Kết quả là tổng thời gian tính toán được rút ngắn so với thuật toán BICGSTAB, đó là ưu điểm chính của thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện. Ma trận P trong thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện ở trên được gọi là ma trận tiền điều kiện. Ma trận tiền điều kiện P được chọn sao cho xấp xỉ với ma trận A hay P−1A xấp xỉ ma trận đơn vị. Tuy nhiên, người ta chưa đưa ra một lý thuyết chung nào cho việc xây dựng một ma trận tiền điều kiện tối ưu [7]. Có rất nhiều kĩ thuật xây dựng ma trận tiền điều kiện, các tiền điều kiện được sử dụng phổ biến là: Jacobi, SSOR, ILU, MILU, AMG [3], [4], [9]. Hiệu quả của chúng phụ thuộc vào dạng cụ thể của A và chỉ có thể kiểm tra bằng kết quả áp dụng. Trong nhiều kĩ thuật kể trên, tiền điều kiện Jacobi (còn gọi là tiền điều kiện đường chéo) có ưu điểm là việc xây dựng và áp dụng đơn giản, thuận tiện. Cụ thể tiền điều kiện Jacobi được xây dựng như sau [8]: Pij = { Aij nếu i bằng j 0 nếu i khác j (6) Trong đó Pij và Aij lần lượt là phần tử thứ ij của ma trận P và A. Nghĩa là ma trận tiền điều kiện P ở đây sẽ là ma trận đường chéo của A. 3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG VÀ THẢO LUẬN ON OON ON Q J Hình 1. Mô hình đi-ốt p-i-n GaAs. Trong bài báo này chúng tôi sử dụng mô hình đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs được chỉ ra ở Hình 1. Mật độ điện tử và lỗ trống thuần lần lượt là 1011cm−3 và 3× 1014cm−3, mật độ pha tạp phần p và n tương ứng là 0.5 × 1017cm−3 và 2.5 × 1017cm−3. ở đây, chúng tôi sử dụng mô hình ba thung lũng là thung lũng Γ, thung lũng L và thung lũng X. Bằng phương pháp Monte Carlo tập hợp tự hợp ba chiều, chúng tôi tiến hành mô phỏng động lực học của 580 hạt tải trong đi-ốt cho hai trường hợp cường độ điện trường bằng 100 kV/cm và 150 kV/cm, mật độ hạt tải được kích thích quang khoảng 1017cm−3. Sau khi thực hiện mô phỏng động lực học ba chiều của hạt tải trong đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs với cường độ điện trường lần lượt là 100 kV /cm và 150 kV /cm, chúng tôi thu được vận tốc trôi dạt của điện tử và phân bố điện thế trong mô hình linh kiện. Các kết quả này được thể hiện trên các đồ thị tương ứng. 38 ĐINH NHƯ THẢO - NGUYỄN TIẾN NGỌC Hình 2. Vận tốc trôi dạt toàn phần và theo phương x, y, z của điện tử theo thời gian ứng với E = 100 kV/cm. Hình 3.Vận tốc trôi dạt toàn phần của điện tử theo thời gian ứng với E = 100 kV/cm, 150 kV/cm. Đồ thị vận tốc trong Hình 2 cho thấy vận tốc các hạt tăng nhanh vượt qua giá trị bão hòa và sau đó mới giảm mạnh về giá trị bão hòa. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng vượt quá vận tốc. Vì trường ngoài đặt theo phương x nên trên Hình 2, ta cũng thấy rằng vận tốc trôi dạt của điện tử theo phương y và vận tốc trôi dạt của điện tử theo phương z biến thiên nhỏ. Vận tốc trôi dạt của điện tử theo hai phương này ảnh hưởng không nhiều đến vận tốc toàn phần nên vận tốc toàn phần gần như bằng vận tốc theo phương x. Hình 6. Giản đồ điện thế 3D ứng với cường độ điện trường bằng 100 kV/cm và 150 kV/cm. Hình 3 cho thấy vận tốc trôi dạt toàn phần của điện tử ứng với các giá trị điện trường ngoài là 100 kV/cm và 150 kV/cm. Chúng tôi thấy rằng ứng với điện trường càng cao thì hiện tượng vượt quá vận tốc của các hạt xảy ra càng nhanh và sau đó giảm nhanh về giá trị bão hòa. Nguyên nhân của hiện tượng này là do sự dịch chuyển liên thung lũng của điện tử từ thung lũng Γ đến thung lũng L. Khi điện trường càng cao thì các điện tử được gia tốc càng mạnh nên sẽ có rất nhiều điện tử tham gia vào quá trình dịch chuyển liên thung lũng này. Bởi vì khối lượng hiệu dụng của điện tử MÔ PHỎNG BA CHIỀU LINH KIỆN BÁN DẪN SỬ DỤNG THUẬT TOÁN... 39 Hình 4. Vận tốc trôi dạt của điện tử ứng với ba thuật toán BICGSTAB, P-BICGSTAB và BICGSTAB(3) với E = 100 kV/cm. Hình 5. Giản đồ điện thế 1D ứng với ba thuật toán BICGSTAB, P-BICGSTAB và BICGSTAB(3) (E = 100 kV/cm). trong thung lũng Γ nhỏ hơn khối lượng hiệu dụng trong thung lũng L nên điện trường càng cao thì vận tốc của điện tử giảm càng nhanh và sớm đạt giá trị bão hòa [6]. Hình 5 chỉ ra sự phân bố điện thế ba chiều theo mặt cắt z = 50nm ứng với điện trường ngoài bằng 100 kV/cm và 150 kV/cm. Chúng ta thấy rằng điện thế trong mô phỏng ba chiều phân bố có dạng mặt lưới, điện thế biến thiên nhỏ xung quanh các điểm lưới. Hình 4 và Hình 6 lần lượt cho thấy rằng vận tốc trôi dạt toàn phần của điện tử và điện thế ứng với E = 100 kV/cm thu được từ ba chương trình mô phỏng tương ứng sử dụng ba thuật toán: BICGSTAB tiền điều kiện với tiền điều kiện Jacobi (P- BICGSTAB), BICGSTAB và BICGSTAB(3) gần như hoàn toàn trùng nhau. Tuy nhiên, thời gian mô phỏng khi sử dụng thuật toán P-BICGSTAB được rút ngắn khá nhiều so với sử dụng thuật toán BICGSTAB. Cụ thể chương trình của chúng tôi khi chạy trên máy tính cá nhân có cấu hình Intel(R) Pentium(R) Dual, CPU T2330 1.60GHz, 1GB DDR II với sai số 10−12 thì mất khoảng 2.4s cho một vòng lặp. Nếu chạy 723 vòng thì mất khoảng hơn 28 phút so với khoảng 33 phút khi dùng thuật toán BICGSTAB, điều này khẳng định ưu thế của thuật toán P-BICGSTAB so với thuật toán BICGSTAB trong việc giải phương trình Poisson ba chiều. 4. KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã thực hiện mô phỏng Monte Carlo tập hợp tự hợp ba chiều đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs với lời giải phương trình Poisson bằng thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện với tiền điều kiện Jacobi. Kết quả mô phỏng cho thấy 40 ĐINH NHƯ THẢO - NGUYỄN TIẾN NGỌC vận tốc trôi dạt của điện tử và sự phân bố điện thế trong linh kiện phù hợp với các kết quả thu được khi sử dụng thuật toán BICGSTAB và BICGSTAB(3). Tuy nhiên, chương trình mô phỏng mới chạy nhanh hơn khá nhiều so với chương trình sử dụng thuật toán BICGSTAB. Điều này khẳng định sự vượt trội của thuật toán BICGSTAB tiền điều kiện với tiền điều kiện Jacobi so với thuật toán BICGSTAB. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hoài Linh (2009), Mô phỏng động lực học ba chiều của hạt tải trong Đi-ốt p-i-n bán dẫn GaAs bằng phương pháp Monte Carlo, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Huế. [2] Dinh Nhu Thao (2004). Study on Monte Carlo technique for applying to high density carrier system in device structure. The Subtheme Ph.D. thesis, School of Materials Science, Japan Advanced Institute of Science and Technology, Japan. [3] Mori H. and Iizuka F. (2001). An ILU(p)-Preconditoner Bi-CGStab Method for Power Flow Calculation. Meiji University, Kawasaki. [4] Pommerell C. and Fichtne Wr. (1991). New Developments in Iterative Methods for De- vice Simulation. Integrated Systems Laboratory, ETH-Zentrum, 8092 Zurich, Switzer- land. [5] Speyer G., Vasileska D. and Goodnick S. M. (2001). “Efficient Poisson Equation Solvers for Large Scale 3D Simulations”. Modeling and Simulation of microsystems, 4, pp.23- 26. [6] Tomizawa K. (1993). Numerical simulation of submicron semiconductor devices. Artech House, Boston London. [7] Vorst Henk van der (2003). Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems. Cam- bridge University Press, Newyork. [8] [9] preconditioning with BICGSTAB MÔ PHỎNG BA CHIỀU LINH KIỆN BÁN DẪN SỬ DỤNG THUẬT TOÁN... 41 Title: 3D SIMULATIONOF SEMICONDUCTORDEVICES USING PRECONDITIONED BICGSTAB ALGORITHM WITH JACOBI PRECONDITIONER FOR THE SOLUTION OF POISSON’S EQUATION Abstract: This paper presents simulation results of three-dimensional carrier dynamics in GaAs p-i-n diodes by means of self-consistent ensemble Monte Carlo method using Jacobi-preconditioned BICGSTAB algorithm to solve 3D Poisson’s equation. We calculate electron drift velocities as well as electrical potential distribution in the devices with the external electric fields are 100 kV/cm and 150 kV/cm, respectively. The calculated results show that the algorithm provides not only good results but also shorter simulation time compared to BICGSTAB algorithm. TS. ĐINH NHƯ THẢO Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế. Email: dnthao@gmail.com ThS. NGUYỄN TIẾN NGỌC Giáo viên Trường THPT Tây Trà, Quảng Ngãi. ĐT: 0972.371.983. Email: nguyentienngoc.vlltk17 @ gmail.com