Mặt tịnh tiến kiểu không gian f- Cực đại trong không gian

MẶT TỊNH TIẾN KIỂU KHÔNG GIAN f -CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI TRẦN LÊ NAM Trường Đại học Đồng Tháp Tóm tắt: Mặt cực đại là một trong các đối tượng nghiên cứu chính của hình học vi phân trong không gian Lorentz-Minkowski. Gần đây, một số nhà nghiên cứu đề cập đến việc khảo sát các mặt cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski với mật độ. Bài báo giới thiệu khái niệm mặt f -cực đại đã được đề xuất trong [1]. Sau đó, chúng tôi phân loại các mặt tịnh tiến kiểu không gian f -cực đại trong hai không gian G2×R1 và R31 với mật độ ez. Từ khóa: mặt tịnh tiến, f -độ cong trung bình, mặt f -cực đại, không gian với mật độ, không gian Lorentz-Minkowski. 1 GIỚI THIỆU Các mặt có độ cong trung bình hằng, độ cong Gauss hằng là một trong những đối tượng nghiên cứu chính của hình học vi phân. Đặc biệt, việc nghiên cứu các mặt cực tiểu tròn xoay, mặt kẻ, mặt tịnh tiến trong một số không gian đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà Toán học. Trên không gian Ơclít R3, một mặt tịnh tiến là đồ thị của hàm z(x, y) = f(x) + g(y) với f(x), g(y) là 2 hàm khả vi trên R. Năm 1835, H. F. Scherk chứng minh rằng, ngoài mặt phẳng, các mặt cực tiểu tịnh tiến chỉ được tham số hóa bởi z(x, y) = 1 λ ln ∣∣∣∣cos(λy + a)cos(λx+ b) ∣∣∣∣ , λ, a, b ∈ R, λ 6= 0. Sau đó, H. Liu khảo sát các mặt tịnh tiến Σ có độ cong trung bình H là một hằng số và đã chứng minh được nếu H khác 0 thì Σ là một mặt trụ đứng (xem [4]). Kết quả phân loại các mặt kiểu không gian cực đại tịnh tiến trong không gian Lorentz - Minkowski R31 là tương tự như kết quả phân loại trong không gian Ơclít, được mô tả cụ thể trong [6]. Một số kết quả khác về mặt cực tiểu tịnh tiến trong các không gian hyperbolic, không gian Galilean đã được trình bày trong [5] và [8]. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(39)/2016: tr. 30-39 Nghiên cứu này được hỗ trợ bởi các đề tài mã số CS2015.01.31. MẶT f -CỰC ĐẠI TỊNH TIẾN . . . 31 Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu và sự quan tâm đến đa tạp với mật độ được gia tăng rất nhanh do các ứng dụng của nó trong Toán học và Vật lý. Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (Mn, g) với một hàm trơn, dương, thường được dùng là e−f , được sử dụng làm trọng số cho thể tích k-chiều, 1 ≤ k ≤ n, (xem [7]). Trên không gian Ơclít R3 với mật độ log-tuyến tính, Hieu-Hoang đã phân loại các mặt kẻ và đưa ra tham số của mặt f -cực tiểu tịnh tiến (xem [3]). Không gian Gauss n-chiều, ký hiệu Gn, là không gian Ơclit Rn với mật độ Gauss (2pi)−n/2e− ∑n i=1 x 2 i 2 . Do mật độ Gauss có nhiều ứng dụng trong Toán học và tính chất tốt nên nó thường được lựa chọn để mở rộng một số kết quả từ không gian Ơclít sang không gian với mật độ. Mục 2.2 của bài báo giới thiệu khái niệm f -độ cong trung bình, mặt f -cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski với mật độ e−f , được đề xuất trong [1]. Sau đó, chúng tôi đưa ra phân loại các mặt kiểu không gian f -cực đại tịnh tiến trong không gian Lorentz-Minkowski G2 × R1 và không gian R3 với mật độ ez, ở đó G2 × R1 là tích của mặt phẳng Gauss với đường thẳng thực và được trang bị tích Lorentz. 2 NỘI DUNG 2.1 Mặt cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski (xem [6]) Không gian Lorentz-Minkowski, ký hiệu R31, là một không gian véc-tơ 3-chiều R3 được trang bị dạng song tuyến tính đối xứng và không suy biến 〈x,y〉 = x1y1 + x2y2 − x3y3, (1) ở đó x = (x1, x2, x3),y = (y1, y2, y3) ∈ R3. Do 〈, 〉 là không xác định dương nên 〈x,x〉 có thể bằng 0 hoặc âm. Một véc-tơ x ∈ R31 \ {(0, 0, 0)} được gọi là kiểu không gian (tương ứng kiểu ánh sáng hoặc kiểu thời gian) nếu 〈x,x〉 > 0 (tương ứng 〈x,x〉 = 0 hoặc 〈x,x〉 < 0). Nếu 〈x,y〉 = 0 thì ta nói 2 véc-tơ x,y là giả trực giao. Chuẩn của một véc-tơ x được xác định bởi ‖x‖ = √|〈x,x〉|. Một mặt chính qui Σ ⊂ R31 được gọi là mặt kiểu không gian nếu hạn chế 〈 , 〉|Σ là xác định dương. Điều này tương đương với các véc-tơ tiếp xúc của Σ là kiểu không gian. Một mặt kiểu không gian được gọi là cực đại (maximal) nếu độ cong trung bình H hay divN của nó bằng 0 tại mọi điểm, ở đó N là trường pháp véc-tơ kiểu thời gian đơn vị của Σ. Hơn nữa, nếu mặt Σ là đồ thị của hàm u : R2 → R có |∇u|2 < 1 thì Σ là cực đại khi và chỉ khi hàm u thỏa mãn phương trình vi phân 32 TRẦN LÊ NAM divN = div ( ∇u√ 1− |∇u|2 ) = 0. 2.2 Mặt cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski với mật độ ([1]) Xét không gian R31 với hàm mật độ e−f làm trọng số cho cả diện tích và thể tích. Tức là phần tử thể tích và diện tích đơn vị theo mật độ e−f , ký hiệu dVf và dAf , lần lượt được tính bởi dVf = e −fdV và dAf = e−fdA, ở đó dV và dA lần lượt là phần tử thể tích và diện tích đơn vị trên R31. Khi đó (R31, e−f ) được gọi là không gian Lorentz-Minkowski với mật độ e−f . Cho Σ là một mặt chính qui trong không gian R31 với mật độ e−f . Độ cong trung bình theo mật độ hay f -độ cong trung bình của Σ, ký hiệu Hf , được định nghĩa bởi Hf = H − 1 2 〈∇f,N〉, ở đó N là trường pháp véc-tơ đơn vị của Σ. Trong [2], f -độ cong trên đa tạp Riemann với mật độ được chứng minh thỏa mãn biến phân thứ I của phiếm hàm f -diện tích. Lý luận tương tự, chúng ta được bổ đề sau. Bổ đề 2.1. Trong không gian Lorentz-Minkowski R31 với mật độ e−f , cho Σ là một mặt kiểu không gian compact có trường vectơ pháp đơn vị N . Xét biến phân chuẩn tắc uN của Σ. Khi đó, biến phân thứ nhất δ1(u) của phiếm hàm f -diện tích thỏa δ1(u) = −2 ∫ HfudAf , (2) ở đó dAf là vi phân theo mật độ của phần tử diện tích. Mặt Σ được gọi là f -cực đại nếu Hf bằng 0 tại mọi điểm. Điều này tương đương với 2H = 〈∇f,N〉. Giả sử Σ là đồ thị của hàm u : R2 → R thỏa |∇u| < 1. Mặt Σ là f -cực đại khi và chỉ khi u thỏa mãn phương trình f -cực đại divN − 〈∇f,N〉 = div ( ∇u√ 1− |∇u|2 ) − 〈∇f,N〉 = 0. MẶT f -CỰC ĐẠI TỊNH TIẾN . . . 33 Ví dụ 2.1. Xét hàm u : G2 −→ R, (x, y) 7−→ c, với c là một hằng số thực. Gọi Σ là đồ thị của hàm u trong không gian G2 × R1. Khi đó, chúng ta có N = (0, 0, 1) và ∇f(x, y, c) = (x, y, 0). Do đó, Hf = 0 hay Σ là một mặt f -cực đại. 2.3 Mặt tịnh tiến kiểu không gian f-cực đại trong không gian G2 × R1 Định lý 2.1. Trong không gian Lorentz-Minkowski G2×R1, mặt tịnh tiến kiểu không gian Σ, có tham số hóa dạng X(u, v) = ( u, v, h(u) + g(v) ) , u ∈ I ⊂ R, v ∈ J ⊂ R sao cho 0 ∈ I ∩ J, (3) với h, g lần lượt là 2 hàm khả vi trên I và J, là f -cực đại khi và chỉ khi h(u) = c1, g(v) = ± ∫ v v0 √ c2e τ2 1 + c2eτ 2 dτ, (4) hoặc  h(u) = ± ∫ u u0 √ c2e τ2 1 + c2eτ 2 dτ, g(v) = c1, (5) ở đó u0 ∈ I, v0 ∈ J và c1, c2 ∈ R, c2 > 0. Chứng minh. Chúng ta có Xu = (1, 0, h ′), Xv = (0, 1, g′), Xu ∧Xv = (−h′,−g′,−1), N = −1√ 1− h′2 − g′2 (h ′, g′, 1). Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của Σ. E = 1− h′2, F = −h′g′, G = 1− g′2, e = h′′√ 1− h′2 − g′2 , f = 0, g = g′′√ 1− h′2 − g′2 , df dN = −uh′ − vg′√ 1− h′2 − g′2 . 34 TRẦN LÊ NAM Ta suy ra H = −1 2 (1− h′2)g′′ + (1− g′2)h′′ (1− h′2 − g′2)3/2 , −2Hf = (1− h ′2)g′′ + (1− g′2)h′′ (1− h′2 − g′2)3/2 + uh′ + vg′√ 1− h′2 − g′2 . Do đó, mặt Σ là f -cực đại khi và chỉ khi (1− h′2)g′′ + (1− g′2)h′′ − (1− h′2 − g′2)(uh′ + vg′) = 0. (6) Đặt k(u) = h′(u),r(v) = g′(v). Khi đó, phương trình (6) được viết thành (1− k2)r′ + (1− r2)k′ − (1− k2 − r2)(uk + vr) = 0. (7) Chúng ta sẽ chứng minh 1 trong 2 hàm k và r bằng 0 bằng cách xét 2 trường hợp sau. Trường hợp 1: k(u) = c là một hàm hằng. Thay k = c vào (7) ta được (1− c2)r′ − (1− c2 − r2)vr − (1− c2 − r2)cu = 0, ∀u. Vì 1− c2 − r2 > 0 nên c = 0. Trường hợp 2: k(u) không phải là hàm hằng. Lần lượt thay u = v = 0, u = 0, v = 0 vào phương trình (7), chúng ta được( 1− k2(0))r′(0) + (1− r2(0))k′(0) = 0, (8)( 1− k2(0))r′ + (1− r2)k′(0)− (1− k2(0)− r2)vr = 0, (9) (1− k2)r′(0) + (1− r2(0))k′ − (1− k2 − r2(0))uk = 0. (10) Từ đó, ta suy ra được r′ = − k ′(0) 1− k2(0)(1− r 2)− vr 3 1− k2(0) + vr, (11) k′ = − r ′(0) 1− r2(0)(1− k 2)− uk 3 1− r2(0) + uk = k′(0) 1− k2(0)(1− k 2)− uk 3 1− r2(0) + uk. (do (8)) (12) MẶT f -CỰC ĐẠI TỊNH TIẾN . . . 35 Thay (11) và (12) vào (7), chúng ta có −(1− k2) vr 3 1− k2(0) − (1− r 2) uk3 1− r2(0) + uk 3 + vr3 = 0. Do đó, [ 1− 1− k 2 1− k2(0) ] vr3 + [ 1− 1− r 2 1− r2(0) ] uk3 = 0. Do k không phải là một hàm hằng nên tồn tại u0 sao cho 1− 1− k 2(u0) 1− k2(0) 6= 0. Thay u = u0 vào phương trình trên chúng ta được vr3 = Ar2 +B, A,B ∈ R. (13) Lấy đạo hàm 2 vế của (13), ta được r′r = 0 hoặc 3vr = 2A. + Nếu r′ = 0 thì r là một hằng số. Do đó, vr3 = Ar2 +B = 0.r3 = 0. Ta suy ra được r3 = 0 hay r = 0. + Nếu 3vr = 2A thì A = 0. Khi đó, r = 0. Tóm lại, chúng ta đượck = 0,r′ = (1− r2)vr, (I) hoặc r = 0,k′ = (1− k2)uk. (II) Giải hệ phương trình (I). Thay k = h′ và r = g′ vào (I), ta đượch′ = 0,g′′ = (1− g′2)vg′. Từ phương trình g′′ = (1− g′2)vg′, ta có d(g′2) g′2(1− g′2) = 2vdv. 36 TRẦN LÊ NAM Do đó, ln ( g′2 1− g′2 ) = v2 + c, c ∈ R (do g′2 < 1) hay g′2 = c1e v2 1 + c1ev 2 , c1 = e c > 0. Lấy tích phân hai vế, chúng ta được g(v) = ± ∫ v v0 √ c1e t2 1 + c1et 2 dt∓ g(v0), v0 ∈ J. (14) Khi đó, X(u, v) = u, v,±∫ v v0 √ c1e τ2 1 + c1eτ 2 dτ + c2  , c1, c2 ∈ R, c1 > 0, v0 ∈ J. Hoàn toàn tương tự, ta giải hệ phương trình (II) sẽ được Σ có tham số (5).  2.4 Mặt tịnh tiến kiểu không gian f-cực đại trong không gian R2×(R1, ez) Trong mục này, chúng tôi khảo sát các mặt tịnh tiến kiểu không gian f -cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} với tích Lorentz (1) và mật độ ez, ký hiệu R2 × (R1, ez). Định lý sau cho thấy chúng chỉ là các mặt kẻ. Định lý 2.2. Trong không gian R2 × (R1, ez), mặt tịnh tiến kiểu không gian Σ, có tham số hóa dạng X(u, v) = ( u, v, h(u) + g(v) ) , u ∈ I ⊂ R, v ∈ J ⊂ R, (15) với h, g lần lượt là 2 hàm khả vi trên I và J, là f -cực đại khi và chỉ khih(u) = au+ b,g(v) = A ln cosh v + c√ A , (16) hoặc h(u) = A ln cosh u+ c√ A , g(v) = av + b, (17) ở đó a, b, c ∈ R và 0 < A < 1. MẶT f -CỰC ĐẠI TỊNH TIẾN . . . 37 Chứng minh. Theo mục 2.3, ta có N = −1√ 1− h′2 − g′2 (h ′, g′, 1), df dN = −1√ 1− h′2 − g′2 , H = −1 2 (1− h′2)g′′ + (1− g′2)h′′ (1− h′2 − g′2)3/2 . Từ đó, chúng ta suy ra − 2Hf = (1− h ′2)g′′ + (1− g′2)h′′ (1− h′2 − g′2)3/2 − 1√ 1− h′2 − g′2 . Do đó, mặt Σ là f -cực đại khi và chỉ khi (1− h′2)g′′ + (1− g′2)h′′ − (1− h′2 − g′2) = 0. (18) Giả sử g′ không phải là hằng số. Chúng ta sẽ chứng minh h′ là hằng số. Thật vậy, với u0 ∈ I nào đó, ta đặt A = 1 − h′(u0)2 > 0, B = 1 − h′′(u0) và C = 1− h′(u0)2 − h′′(u0). Khi đó, chúng ta có Ag′′ +Bg′2 = C hay g′′ = −Bg′2 + C A . (19) Thay g′′ từ (19) vào (18), chúng ta được[ 1− (1− h′2) B A − h′′ ] g′2 = 1− (1− h′2) C A − h′2 − h′′. Do g′ khác hằng số nên 1− (1− h′2) BA − h′′ = 01− (1− h′2) C A − h′2 − h′′ = 0 Từ đó, chúng ta suy ra h′2 + ( 1− h′2)(C A − B A ) = 0 Do C −B = A− 1 nên h′2 = 1− A = h′2(u0) hay h′ = h′(u0). 38 TRẦN LÊ NAM Tìm hàm g trong trường hợp hàm h′2 là hằng số 1− A. Thay h′′ = 0 và h′2 = 1− A vào (18), ta được Ag′′ + g′2 = A. Phương trình trên tương đương với Adg′ A− g′2 = dv. Giải phương trình trên theo g′, chúng ta được √ A 2 ln √ A+ y√ A− y = v + c1, c1 ∈ R hay g′ = √ A tanh v + c1√ A . Do đó, g(v) = A ln cosh v + c1√ A + c2. Tương tự, nếu g′ là một hằng số thì f, g thỏa mãn hệ phương trình (17).  3 KẾT LUẬN Bài báo đã giới thiệu các khái niệm mặt kiểu không gian trong không gian Lorentz- Minkowski, f -độ cong trung bình và mặt f -cực đại ở các mục 2.1 và 2.2. Sau đó, chúng tôi phân loại các mặt tịnh tiến kiểu không gian f -cực đại trong không gian R31 với các mật độ e− x2+y2 2 và ez lần lượt ở các mục 2.3 và 2.4. Kết quả cho thấy rằng chúng là các mặt kẻ. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H. V. Q. An, D. V. Cuong, N. T. M. Duyen, D. T. Hieu and T. L. Nam (2015) Entire f -maximal graphs in the lorentzian product Gn×R1, [2] R. Corwin, N. Hoffman, S. Hurder, V. Sesum and Y. Xu (2006), Differential geometry of manifolds with density, Rose - Hulman Und. Math. J., 7(1), 1–15. [3] D. T. Hieu and N. M. Hoang (2009), Ruled minimal surfaces in R3 with density ez, Pacific J. Math., 243(2), 277–285. MẶT f -CỰC ĐẠI TỊNH TIẾN . . . 39 [4] H. Liu (1999), Translation surfaces with constant mean curvature in 3-dimensional spaces, J. Geom, 64, 141–149. [5] R. López (2011), Minimal translation surfaces in hyperbolic space, Contributions to Algebra and Geometry, 52(1), 105–112. [6] R. López (2016) Differential geometry of curves and surfaces in lorentz-minkowski space, [7] F. Morgan (2005), Manifolds with density, Notices of the AMS, 853–858. [8] Z. M. Sipus and B. Divjak (2011), Translation surfaces in the Galilean space, Glasnik Matematicki, 46, 457–471. Title: SPACELIKE f -MAXIMAL TRANSLATION SURFACES IN THE LORENTZ - MINKOWSKI SPACE Abstract: Maximal surfaces are one of main objects in differiential geometry of surface in Lorentz-Minkowski space. Recenly, some researchers study hypersurfaces of contant f -mean curvature in Lorentz-Minkowski space with density. After intro- ducing definition of f -maximal surface which is proposed in [1], we classify spacelike f -maximal translation surfaces in both G2 × R1 and R31 with density ez. Keywords: translation surface, f -mean curvature, f -maximal surface, space with density, Lorentz-Minkowski space. TS. TRẦN LÊ NAM Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp (Ngày nhận bài: 04/6/2016; Hoàn thành phản biện: 13/6/2016; Ngày nhận đăng: 15/8/2016)