Ma sát và bài toán cân bằng của vật khi có ma sát

-37- Ch−ơng 3 Ma sát và bài toán cân bằng của vật khi có ma sát 3.1. Ma sát tr−ợt và bài toán cân bằng của vật khi có ma sát tr−ợt 3.1.1. Ma sát tr−ợt và các tính chất của ma sát tr−ợt Thực tiễn cho thấy bất kỳ vật nào chuyển động tr−ợt trên bề mặt không nhẵn của vật khác đều xuất hiện một lực cản lại sự tr−ợt của vật gọi là lực ma sát tr−ợt ký hiệu F r ms. Làm thí nghiệm biểu diễn trên hình 3.1. Vật A đặt trên mặt tr−ợt nằm ngang và chịu tác dụng của lực P r hợp với ph−ơng thẳng đứng một góc α. Phân tích thành hai thành phần Pr Pr 1 và Pr 2 nh− hình vẽ. Nhận thấy rằng Pr 1 luôn luôn cân bằng với phản lực pháp tuyến N r . Còn lực P r 2 là lực cần để đẩy vật A tr−ợt trên mặt. Khi không đổi ta nhận thấy góc α tăng thì Pr P r 2 tăng. Trong giai đoạn đầu vật A đứng yên trên mặt B. Từ điều kiện cân bằng của vật A cho thấy N r P r P r 2 bằng lực ma sát nh−ng ng−ợc chiều. Nếu tiếp tục tăng góc α đến một trị số ϕ thì vật A bắt đầu tr−ợt. Lực ma sát lúc đó cũng tiến tới giới hạn F r n. α Pr 1 Pr 2 Fr ms Hình 3.1 Trị số Fn = Ntgϕ (3.1) ở đây N = P1 là phản lực pháp tuyến của mặt tr−ợt. Góc ϕ gọi là góc ma sát; tgϕ = f gọi là hệ số ma sát. Từ (3.1) có thể kết luận: lực ma sát tr−ợt luôn luôn cùng ph−ơng nh−ng ng−ợc chiều với chuyển động tr−ợt, có trị số tỷ lệ thuận với phản lực pháp tuyến (áp lực) của mặt tr−ợt. Hệ số ma sát f đ−ợc xác định bằng thực nghiệm, nó phụ thuộc vào vật liệu và tính chất của bề mặt tiếp xúc. Bảng (3-1) cho ta trị số của hệ số ma sát tr−ợt đối với một vài vật liệu th−ờng gặp -38- Bảng 3-1 Tên vật liệu Hệ số ma sát Đá tr−ợt trên gỗ Gỗ tr−ợt trên gỗ Kim loại tr−ợt trên gỗ Đồng tr−ợt trên gang Đồng tr−ợt trên sắt Thép tr−ợt trên thép 0,46 ữ 0,6 0,62 0,62 0,16 0,19 0,15 Lực ma sát xuất hiện trong giai đoạn vật ở trạng thái tĩnh gọi là ma sát tĩnh. Lực ma sát tĩnh tăng từ không đến trị số giới hạn Fn = f0N. Lực ma sát xuất hiện trong giai đoạn vật chuyển động tr−ợt ta gọi là lực ma sát động. Trong trạng thái tĩnh lực kéo (đẩy) vật luôn cân bằng với lực ma sát tĩnh còn trong trạng thái chuyển động lực kéo (đẩy) P2 vừa phải thắng ma sát động vừa phải d− một phần để tạo ra chuyển động của vật. Nếu gọi lực ma sát động của vật là Fmssd thì Fmsd = fdN, trong đó fd gọi là hệ số ma sát động. Qua nhiều thực nghiệm thấy rằng lực ma sát động th−ờng nhỏ hơn một chút so với ma sát tĩnh giới hạn. Hệ số ma sát động không những phụ thuộc vào vật liệu và tính chất bề mặt tiếp xúc của vật mà còn phụ thuộc vào vận tốc tr−ợt của vật. Trong phần lớn các tr−ờng hợp cho thấy khi vận tốc tăng thì hệ số ma sát động giảm và ng−ợc lại. Thí dụ hệ số ma sát động giữa bánh đai làm bằng gang với dây đai phanh bằng thép có thể xác định theo công thức: fd = v006,01 v0112,01 + + ft Trong đó v là vận tốc tr−ợt tính bằng km/h còn ft = 0,45 khi mặt tiếp xúc khô và ft = 0,25 khi mặt tiếp xúc −ớt. Trong tĩnh học vì chỉ xét bài toán cân bằng nên ma sát phải là ma sát tĩnh. -39- 3.1.2. Bài toán cân bằng của vật khi chịu ma sát tr−ợt Xét vật rắn đặt trên mặt tựa (mặt tr−ợt). Giả thiết vật chịu tác dụng của các lực F r 1, 2F r , ... nF r . Các lực liên kết bao gồm phản lực pháp tuyến N r j và lực ma sát F r msj. Khi vật cân bằng ta có hệ lực sau: (F r 1, , ... 2F r nF r , N r j, F r msj) ∼ 0 j = 1 ....s là số bề mặt tiếp xúc Để vật cân bằng phải có các ph−ơng trình cân bằng nh− đã xét ở ch−ơng 2. Ngoài các ph−ơng trình cân bằng ra để đảm bảo vật không tr−ợt phải có các điều kiện: Fnj ≤ foNj. Fnj là lực đẩy tổng hợp. Trở lại sơ đồ (3.1) ta thấy khi không có tr−ợt thì tgα = N Fms ≤ fo = tgϕ Ta có thể phát biểu điều kiện không tr−ợt nh− sau: Điều kiện để vật không tr−ợt là hợp lực P r tác dụng lên vật nằm trong mặt nón có góc đỉnh 2ϕ ( ta gọi nón này là nón ma sát).Khi P nằm trên nón ma sát là lúc sắp xảy ra sự tr−ợt của vật A. Thí dụ 3.1: Xác định điều kiện để cho vật A có trọng l−ợng P nằm cân bằng trên mặt nghiêng so với ph−ơng ngang một góc β. Hệ số ma sát tĩnh là fo (hình 3.2) N r F r ms β Bài giải: Xét vật A nằm cân bằng trên mặt nghiêng d−ới tác dụng của các lực ( , P r N r , F r ms) Vì vật có xu h−ớng tr−ợt xuống nên lực ma sát F r ms luôn luôn h−ớng về phía trên nh− hình vẽ. Hình 3.2 Để vật cân bằng phải có: -40- ( , P r N r , F r ms) ∼ 0 và FN ≤ foN. Giả thiết rằng vị trí đang xét là vị trí giới hạn giữa cân bằng và tr−ợt thì lực ma sát Fms = Fn = foN. Điều kiện để hệ lực tác dụng lên hệ vật cân bằng là: Fn = Ntgβ Mặt khác vì Fn ≤ Nf0. Suy ra tgβ ≤ fo. Nh− vậy điều kiện để cho vật cân bằng phải là tgβ ≤ fo. Trị số của góc β = βo với tagβo = fo chính bằng góc ma sát ϕ. Thí dụ 3.2: Giá treo vật nặng có sơ đồ nh− hình vẽ 3-3. Vật treo có trọng l−ợng P, hệ số ma sát tr−ợt tại các điểm tựa A và B là fo. Kích th−ớc cho theo hình vẽ. Xác định điều kiện cân bằng cho giá. Bài giải: Khảo sát sự cân bằng của giá. Lực tác dụng lên giá ngoài trọng l−ợng của vật A còn có phản lực pháp tuyến và lực ma sát ở điểm tựa A và B là: P r N r ,N r ', , ' F r F r Nếu khoảng cách l là không đổi, điều kiện cân bằng của giá là: y B P r P r ϕo ϕo A B h l R r B R r A A y ' F r N r ' F r h N r l x a) b) Hình 3.3 ( ,P r N r ,N r ', F r , ') ∼ 0 Fr và F ≤ foN; F' ≤ foN' Tại vị trí giới hạn nghĩa là lúc sắp xẩy ra sự tr−ợt của giá trên các điểm tựa ta có ph−ơng trình cân bằng nh− sau: N- N' = 0; (1) F=foN (4) F + F' -P = 0 (2) F' = foN' (5) -41- N.h - F.dgh - P = 0; (3) ở đây dgh là khoảng cách giới hạn của hai điểm tựa A và B cho phép ứng với lúc bắt đầu tr−ợt. Giải hệ ph−ơng trình trên ta đ−ợc: N = N' F = F'; P = 2foN; h = fodgh + 2fol hay dgh = of h - 2l Khoảng cách d càng lớn áp lực N càng lớn và ma sát càng lớn, điều kiện cân bằng của giá viết đ−ợc: dgh ≥ of h - 2l Thí dụ 3.3: Tìm điều kiện không tr−ợt của dây đai quấn trên bánh đai tròn có kể đến ma sát tr−ợt với hệ số fo (hình 3-4) , bỏ qua tính đàn hồi của dây đai. Bài giải: Tìm điều kiện không tr−ợt của dây đai có nghĩa là tìm điều kiện cân bằng của đoạn đai AB của đai d−ới tác dụng các lực T r 1, T r 2 (T2 > T1) các phản lực pháp tuyến N và các lực ma sát tr−ợt F phân bố liên tục trên cung AB. Khi dây đai sắp tr−ợt ta xét một cung nhỏ ED trên dây đai. Bên nhánh chủ động có lực tác dụng là + ∆TTr r còn bên nhánh phụ động lực tác dụng là . Gọi phản lực pháp tuyến lên cung đai này là T r N r và lực ma sát tr−ợt lên cung này là F ta sẽ có ph−ơng trình cân bằng: T r R D y d N r (T r +dT r ) dθ dF r T r dθ B T r 1 2 A α θ dθ - T cos 2 dθ + (T+dT)cos 2 dθ - F = 0 - N - Tsin 2 dθ - (T- dT) = 0 Hình 3.4 Trong đó F = fN. Bỏ qua các vô cùng bé -42- bậc hai trở lên ta đ−ợc: F = dT và N = Tdθ. Thay giá trị trên vào biểu thức F =fN ta có dT = f.T.dθ. Tích phân hai vế t−ơng ứng với cận từ A đến B ta đ−ợc lnT B A = foθ B A hay ln 1 2 T T = f.α α là góc chắn cung AB gọi là góc bao của đai. Suy ra: T2 = T1.e fα Lực kéo bên nhánh chủ động T2 càng lớn hơn bên nhánh bị động thì khả năng tr−ợt càng nhiều do đó điều kiện để dây không tr−ợt phải là: T2 ≤ T1.efα Công thức này đ−ợc gọi là công thức ơle 3.2. Ma sát lăn và bài toán cân bằng của vật rắn khi có ma sát lăn Ma sát lăn là mô men cản chuyển động lăn của vật thể này trên vật thể khác. Xét một con lăn hình trụ bán kính R trọng l−ợng P lăn trên một mặt phẳng ngang, nhờ lực Q r đặt vào trục con lăn (xem hình 3.5). Trong tr−ờng hợp này con lăn chịu tác dụng của các lực: P r , Q r , N r , F r ms. Trong các lực đó hai lực Q r vàF r ms tạo thành một ngẫu lực có tác dụng làm cho con lăn chuyển động lăn. Còn lại hai lực và P r N r trong tr−ờng hợp con lăn và mặt lăn là rắn tuyệt đối thì chúng trùng ph−ơng.Trong thực tế con lăn và mặt lăn là những vật biến dạng hai lực P và N không trùng ph−ơng luôn song song và cách nhau một khoảng cách k. Hai lực này tạo thành một ngẫu lực có tác dụng cản lại sự lăn của con lăn. Mô men của ngẫu ( , P r N r ) đ−ợc gọi là mô men ma sát lăn. Nếu ký hiệu mô men ma sát lăn là Mms thì Mms = kN. Gọi k là hệ số ma sát lăn. Khác với hệ số ma sát tr−ợt hệ số ma sát lăn k có thứ nguyên là độ dài. -43- Hệ số ma sát lăn đ−ợc xác định bằng thực nghiệm, nó cũng phụ thuộc vào tính chất vật liệu và bề mặt lăn, không phụ thuộc vào lực N. Sau đây là hệ số ma sát lăn của một vài vật th−ờng gặp. Vật liệu Hệ số k (cm) Gỗ lăn trên gỗ Thép lăn trên thép Gỗ lăn trên thép Con lăn thép trên mặt thép 0,05 ữ 0,08 0,005 0,03 ữ 0,04 0,001 Q r C A P r N r F r F r C A P r Q B k N r r a) b) Hình 3.5 Bài toán cân bằng của vật khi có ma sát lăn ngoài điều kiện hệ lực tác dụng lên hệ kể cả các phản lực và lực ma sát cân bằng còn phải thêm điều kiện không có lăn biểu diễn bởi ph−ơng trình: P r C N r F r 1 P r 2 P rα Mms ≥ Q.R Thí dụ 3.4: Tìm điều kiện cân bằng của con lăn trọng l−ợng P, bán kính R nằm trên mặt phẳng nghiêng một góc α. Cho hệ số ma sát lăn là k. (xem hình 3-6) Bài giải: Xét con lăn ở vị trí cân bằng. Phân tích P r thành hai lực P r 1, P r 2 nh− hình vẽ (3-6). Hình 3.6 Ta có điều kiện để con lăn không lăn là:P1.R = R.P.sinα ≤ P2.k = P cosα Hay R.P.sinα ≤ P.cosα. tgα ≤ R k -44- Nh− vậy điều kiện để con lăn cân bằng là: tgα ≤ R k Thí dụ 3.5: Vật hình trụ có trọng l−ợng P bán kính R nằm trên mặt phẳng nghiêng một góc α. Khối trụ chịu tác dụng lực đẩy Q song song với mặt phẳng nghiêng. Tìm điều kiện khối trụ đứng yên trên mặt phẳng nghiêng và điều kiện để nó lăn không tr−ợt lên phía trên. Hệ số ma sát lăn là k và hệ số ma sát tr−ợt là f. y x α M A F r ms N r P r O Q r y x M A O P r Fmα s r N r Q r a) b) Hình 3.7 Bài giải: Điêù kiện để khối trụ cân bằng trên mặt phẳng nghiêng là : ( , ,P r Q r N r , F r ms, M r ms) ∼ 0 Mặt khác để khối trụ không lăn (hình3.7a ) không tr−ợt xuống phải có thêm điều kiện: Mms ≤ k.N; Fms ≤ f.N Nh− vậy phải thoả mãn các ph−ơng trình sau: ∑Xi = Q - Psinα + Fms = 0; (1) ∑Yi = - Pcosα +N = 0; (2) ∑mA = P.R.sinα - Q.R - Mms = 0 (3) Fms ≤ f.N (4) M ms≤ k.N (5) -45- Từ ba ph−ơng trình đầu tìm đ−ợc: N = Pcosα ; Fms = Psinα - Q ; Mms = R(Psinα - Q) Thay các kết quả vào hai bất ph−ơng trình cuối đ−ợc: P.sinα - Q ≤ f.Pcosα ; R(Psinα-Q) ≤ k.Pcosα Hay: Q ≥ P(sinα - f.cosα) Q ≥ P(sinα - R k cosα) Th−ờng thì R k < f do đó điều kiện tổng quát là: P Q ≥ sinα - R k cosα ≥ sinα - f.cosα Để vật lăn không tr−ợt lên ( hình3.7b ) phải có các điều kiện: ∑xi = Q-Psinα + Fms = 0; (1') ∑yi =- Pcosα +N = 0; (2') ∑mA = P.sinα - Q.R + Mms = 0; (3') Fms ≤ f.N (4') M ms≥ k.N (5') Bất ph−ơng trình (4') đảm bảo cho vật chuyển động có tr−ợt lên. Còn bất ph−ơng trình (5') đảm bảo cho con lăn có khả năng lăn lên trên. Từ 3 ph−ơng trình đầu ta đ−ợc: N = Pcosα; Fms = Q - Psinα ; Mms = R(Q-Psinα) Thay thế vào hai ph−ơng trình cuối ta đ−ợc: Q - Psinα ≤ f.P.cosα; R(Q-Psinα) ≥ kPcosα. Vậy điều kiện để khối trụ lăn không tr−ợt lên trên là: sinα + R k cosα ≤ P Q < sinα + f cosα. Điều này nói chung có thể đ−ợc nghiệm vì R k th−ờng nhỏ hơn f.s