Lý thuyết xác suất - Chương 1: Xác suất

ăng thì định nghĩa cổ điển của xác suất không còn dùng được. Chẳng hạn, khi một xạ thủ bắn một phát súng vào bia và quan sát xem đạn có trúng bia không. Có hai kết quả sơ cấp, nhưng chúng ta không thể nói rằng xác suất cho mỗi trường hợp là 0,5. Như vậy, làm thế nào để xác định xác suất bắn trúng bia của xạ thủ này? Ngay cả việc gieo một đồng tiền, dựa vào đâu để khẳng định rằng khả năng xuất hiện của hai “mặt sấp” và “mặt ngửa” là như nhau?. Suy nghĩ về vấn đề này, các nhà toán học đã khám phá ra điều thú vị sau: Giả sử khi thực hiện một phép thử, người ta quan tâm đến sự xuất hiện một biến cố A. Bây giờ nếu chúng ta lặp lại phép thử trên N lần trong các điều kiện như nhau, và thấy A xuất hiện nA lần thì nA được gọi là Tần số xuất hiện của biến cố A, và tỉ số AnN được gọi là Tần suất (hay Tần số tương đối ) xuất hiện của biến cố A trong một dãy N phép thử. Chng 1 XÁC SUT 7 Bằng thực nghiệm, người ta nhận thấy rằng: Qua nhiều dãy phép thử, có nhiều dãy tần suất khác nhau xuất hiện. Quan sát dãy tần suất này, người ta nhận thấy có một đặc điểm, mang tính qui luật. Đó là sự ổn định khi số phép thử N khá lớn. Chúng có khuynh hướng tiến đến một giá trị nào đó khi N tăng lên vô hạn. Các số liệu sau đây minh họa điều trên: Các kết quả gieo đồng tiền của Buffon và Pearson. Người thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất Buffon Pearson Pearson 4040 12000 24000 2048 6019 12012 0,5080 0,5016 0,5005 Từ sự ổn định của tần suất, người ta đưa ra: 2.2. Định nghĩa. (theo tần suất) Giả sử một biến cố A xuất hiện nA lần trong một dãy phép thử được lặp lại N lần. Khi đó, xác suất để A xảy ra, ký hiệu P(A), là giới hạn của tỉ số AnN khi số phép thử tăng lên vô hạn: P ( ) lim AnNN A →∞ = Trong thực tế, người ta dùng A n N , với N đủ lớn, để chỉ P(A). Thí dụ. Để kết luận rằng một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia là 80%, người ta đã ghi tần suất bắn trúng bia của xạ thủ này trong một loạt bắn với khá nhiều viên đạn. Cho xạ thủ này thực hiện nhiều loạt bắn trong cùng một điều kiện như trên, người ta có một dãy tần suất Giá trị trung bình của dãy tần suất này là 0,8. Định nghĩa xác suất bằng tần suất có một số nhược điểm như: Chỉ áp dụng được cho các phép thử ngẫu nhiên có thể lặp lại rất nhiều lần trong cùng một điều kiện. Điều này không dễ thực hiện trong thực tế. Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, chúng ta cũng không thể đánh giá số phép thử “ đủ lớn” để tạo ra xác suất theo tần suất. Hai định nghĩa trên của xác suất cho chúng ta giá trị xác suất khách quan. Khi các điều kiện khách quan không cho phép dùng chúng thì người ta dựa trên tính chủ quan để xác định xác suất. 2.3. Định nghĩa. (theo chủ quan) Xác suất chủ quan của một biến cố là mức độ tin tưởng của một cá nhân vào khả năng xảy ra của biến cố đó. Xác suất chủ quan của một biến cố được dùng khi biến cố đó chỉ có một cơ hội xảy ra, và nó có thể xảy ra hoặc không xảy ra ở một thời điểm khác. 8 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông Thí dụ. Một nhà đầu tư xác định rằng sẽ mua một số lô đất nếu có xác suất ít nhất 0,90 rằng giá đất sẽ tăng 50% hay nhiều hơn trong vòng 4 năm tới. Dựa trên sự nghiên cứu các dự án phát triển kinh tế và vị trí địa lý của vùng, ông ta cho rằng xác suất nói trên khoảng 0,75. Do đó, ông ta quyết dịnh không đầu tư vào các lô đất nói trên. ( Vẫn với dữ kiện trên, một nhà đầu tư khác, có thể đưa ra xác suất khác 0,75, theo chủ quan của ông ta). Sau đây, chúng ta trừu tượng hoá một chút khái niệm xác suất cho không gian mẫu rời rạc. 2.4. Định nghĩa. Giả sử M = {m1, m2, . . .} là một không gian mẫu rời rạc. Người ta gán cho mỗi điểm mi ∈ M một số thực ký hiệu P({mi}), gọi là xác suất của biến cố {mi}. Đó là các một số không âm và sao cho P({m1}) + P({m2}) + . . .= i i 1 P({m }) ∞ = ∑ = 1 (3) Xác suất P(A) của một biến cố A bất kỳ trong M được định nghĩa là tổng các xác suất của tất cả các {mi} với mi ∈ A. Để tiện việc ký hiệu, chúng ta viết P(mi) thay cho P({mi}). Rõ ràng Định nghĩa 2.1. là một trường hợp đăc biệt của Định nghĩa 2.4.; đó là trường hợp M = {m1, m2, . . ., mn} là hữu hạn và mỗi điểm trong M có cùng một xác suất (bằng 1/n). • Cho không gian mẫu M, trên đó có xác định hàm xác suất P: A  P(A) cho mọi biến cố A trong M. Cặp (M, P) được gọi là một Không gian xác suất. Thông thường, nếu không có sự lầm lẫn, người ta cũng viết M là một không gian xác suất. 3. TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT Giả sử M là một không gian xác suất cho trước; từ (3), chúng ta có ngay: P(M) = 1 và Nếu A1, A2, nA là các biến cố từng đôi xung khắc trong M thì 1 1 ( ) n n k k k k P A P A = =     =     ∑ ∑ Ngoài ra, chúng ta cũng có: 3.1. Định lý. Với mọi biến cố A và B trong không gian xác suất M, (i) P(∅) = 0; (ii) 1( ) ( )P A P A= − ; Chng 1 XÁC SUT 9 (iii) ( ) ( ) ( )P A B P A P AB− = − ; (iv) P A B P A P B P AB∪ = + −( ) ( ) ( ) ( ) ; (v) Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B); (vi) P(A) ≤ 1. Chứng minh. (i) Vì A = A + ∅ nên P(A) = P(A) + P(∅). Do đó, P(∅) = 0 (ii) Vì M = A + A nên 1 = P(M) = P( A ) + P(A). Vậy, P(A ) = 1 − P(A) (iii) Vì ( )A A B AB= − + nên ( ) ( ) ( )P A P A B P AB= − + Vậy, ( ) ( ) ( )P A B P A P AB− = − (iv) Vì ( )A B A B A∪ = + − nên ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB∪ = + − (v) Nếu A B⊂ thì ( )B A AB= + . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( )P B P A P AB P A= + ≥ (vi) Do A ⊂ M và (v).■ Bằng phương pháp qui nạp toán học, chúng ta chứng minh được công thức mở rộng của công thức cộng xác suất: 3.2. Hệ quả. Cho n biến cố A1, A2, ... , An (n > 1) trên cùng một không gian xác suất; ký hiệu: 1 2 3 , , , ( ); ( ); ( );...;i i j i j k i i j i j k S P A S P A A S P A A A= = =∑ ∑ ∑ , trong đó, 1 ≤ i < j < k ≤ n và trong mỗi tổng, mỗi nhóm chỉ số ( i, j, k, ...) chỉ xuất hiện một lần (Sr có Crn số hạng). Khi đó: 1 1 2 3 4 1 ( ) ... ( 1) n n k n k P A S S S S S− = = − + − + + −∪ . (4) Đặc biệt, với 3 biến cố A, B và C, chúng ta có: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) 3.3. Thí dụ. Từ một lớp có 8 nữ sinh viên và 12 nam sinh viên, người ta chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên để lập Ban cán bộ lớp (BCB). Tính xác suất để 10 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông (i) BCB gồm 3 nữ và 2 nam, (ii) BCB có ít nhất một nữ, (iii) BCB có ít nhất hai nam và hai nữ. Giải. Đặt Ak : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈ {0,1,2,3,4,5} ), chúng ta có: 5 12 8 5 20 . CC( ) C kk kP A − = (i) BCB gồm 3 nữ và 2 nam. Xác suất phải tính: 32 12 8 5 20 . 77 2 323( ) CCP A C = = (ii) Đặt N: “BCB có ít nhất một nữ”, thì 5N A= . Do đó, 05 12 8 5 20 5 5 . 33 613 646 646 ( ) ( ) 1 ( ) 1 P N P A P A CC C = = − = − = − = (iii) Đặt H: “BCB có ít nhất hai nam và hai nữ”, thì 2 3H A A= + Do đó, P(H) = P(A2) + P(A3) = 23 12 8 5 20 . 77 616 323 969 CC C + = 4. XÁC SUẤT ĐIÊU KIỆN - BIẾN CỐ ĐỘC LẬP Khi quan sát các hiện tượng trong đời sống, chúng ta thường gặp câu hỏi: Việc xảy ra một biến cố H có ảnh hưởng gì đến khả năng xảy ra của một biến cố A hay không? Thí dụ đơn giản nhất về mối quan hệ này là: “ Việc xảy ra biến cố H làm cho biến cố A nhất định phải xảy ra hay ngược lại, loại trừ khả năng khả năng xảy ra biến cố A “. Để trả lời câu hỏi này, người ta đưa vào lý thuyết xác suất khái niệm “ xác suất điều kiện và sự độc lập giữa các biến cố “. 4.1. Định nghĩa. Trong một không gian xác suất M, cho biến cố H với xác suất dương. Với mọi biến cố A trong M, người ta viết: Chng 1 XÁC SUT 11 ( ) ( )( / ) P PP A H HA H = (5) và gọi đại lượng đó là xác suất điều kiện của biến cố A với giả thiết H (hoặc khi H đã xảy ra). Tính xác suất có điều kiện của những biến cố khác nhau trên cùng một giả thiết H chẳng khác gì chọn H làm không gian mẫu mới. Do đó các công thức về xác suất ở các phần trên vẫn đúng cho xác suất có điều kiện. Chẳng hạn: * P ( / ) 1 P ( / )A H A H= − , * P ( / ) P ( / ) P ( / ) P ( / )A B H A H B H AB H∪ = + − . Từ công thức (5), chúng ta có 4.2. Định lý. Với mọi biến cố A và B trong một không gian xác suất, chúng ta có: ( ) ( ). ( / ) ( ) ( ). ( / ) = = AB B A B B AB A B A P P P neáu P( )> 0; P P P neáu P(A)> 0 (6) Người ta gọi (6) là Công thức nhân xác suất. Công thức (6) có thể được mở rộng bằng phép qui nạp như sau: 4.3. Hệ quả. Trong một không gian xác suất, cho các biến cố A1, A2, . . . , An (n ≥ 2) thỏa mãn điều kiện P(A1A2 An - 1) > 0. Khi đó, P(A1A2... An) = P(A1). P(A2 /A1). P(A3 /A1A2) . . . P(An /A1A2 ... An
1). (7) Với hai biến cố A và B, thường thì P(A/B) không bằng P(A). Trường hợp P(A / B) P(A)= , nghĩa là thông tin về sự xảy ra của biến cố B không làm thay đổi xác suất của biến cố A . Khi đó, người ta nói biến cố A độc lập với biến cố B. Với công thức (6), điều kiện P(A/B) = P(A) có thể viết dưới dạng P(AB) = P(A).P(B). Dạng này đối xứng đối với A và B, nghĩa là nếu A độc lập với B thì B cũng độc lập với A. 4.4. Định nghĩa. Hai biến cố A và B trong một không gian xác suất được gọi là độc lập nếu P(AB) = P(A).P(B) (8) Khái niệm độc lập cũng được mở rộng cho n (n > 2) biến cố. 4.5. Định nghĩa. Các biến cố A1, A2, ..., An được gọi là độc lập nếu với mọi số nguyên m từ 2 đến n và với mọi nhóm biến cố , ,..., 1 2 mk k kA A A ( 1 ≤ k1 < k2 < ...< km ≤ n), chúng ta có: ( . ... ) ( ). ( )... ( ) 1 2 1 2m mk k k k k kP A A A P A P A P A= . Thông thường, dựa vào bản chất của phép thử, chúng ta mặc nhiên công nhận rằng các biến cố độc lập mà không phải chứng minh. 12 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông 4.6. Định lý. Trong một không gian xác suất, xét ba biến cố A, B và C. (i) Nếu A và B độc lập thì mỗi nhóm 2 biến cố sau đây đều độc lập ( A và B), (A và B ) và ( A và B ) cũng độc lập. (ii) Nếu A, B và C độc lập thì mỗi nhóm 3 biến cố sau đây đều độc lập: ( A , B và C); (A, B và C); (A, B và C ); ( A , B và C); (A , B và C ); ( A , B và C ) và ( A , B và C ) Chứng minh. (i) ( ) ( ) ( )P AB P B P AB= − ( ) ( ). ( ) (1 ( )). ( )P B P A P B P A P B= − = − = P( )P( )A B Vậy, ( A và B) độc lập. Từ kết quả trên, dễ dàng suy ra ( A và B ) và (A và B ) độc lập. (ii) Dùng (i), để chứng minh ( A , B và C) độc lập, chúng ta chỉ cần chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ).P ABC P A P B P C= Tương tự cho các nhóm 3 biến cố khác. (Dành cho bạn đọc).■ 4.7. Thí dụ. 4.7.1. Từ một hộp chứa 8 viên bi đỏ và 5 viên bi trắng người ta lấy ngẫu nhiên 2 lần, mỗi lần 1 viên bi, không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được (a) 2 viên bi đỏ; (b) hai viên bi khác màu; (c) viên bi thứ hai là bi trắng. Giải. Với i ∈ {1, 2}, đăt: Ti : “viên bi lấy ra lần thứ i là bi trắng”, Di : “viên bi lấy ra lần thứ i là bi đỏ”. (a) Đặt A: “lấy được 2 viên bi đỏ”, chúng ta có: P(A) = P(D1D2) = P(D1).P(D2/D1) = 8 7 1413 12 39. = (b) Đặt B: “lấy được hai viên bi khác màu”, chúng ta có: P(B) = P(T1D2 + D1T2) = P(T1D2) + P(D1T2) = P(T1).P(D2/T1) + P(D1).P(T2/D1) Chng 1 XÁC SUT 13 P(B) = 5 8 8 5 2013 12 13 12 39+ = (c) T2 = T1T2 + D1T2, nên xác suất phải tính là: P(T2) = P(T1T2) + P(D1T2) = P(T1).P(T2/T1) + P(D1).P(D2/T1) P(T2) = 5 8 5 5413 12 13 12 13+ = 4.7.2 Giải lại Thí dụ 1.4.7.1, nhưng thay cụm từ “không hoàn lại” thành “có hoàn lại”. Giải. Với giả thiết này, các cặp biến cố (T1, T2); (T1, D2); (D1, T2) và (D1, D2) độc lập. Do đó, (a) P(A) = P(D1D2) = P(D1).P(D2) = 8 8 6413 13 169. = Tương tự cho các câu sau. Bạn đọc tự giải. 5. SỰ PHÂN HOẠCH KHÔNG GIAN MẪU - CÔNG THỨC BAYES Các biến cố H1, H2, . . ., Hn trong một không gian mẫu M được gọi là tạo thành một phân hoạch của M nếu: ( đặt I = {1,2, , n} ) ( , ) , ( )2 1= ∀ ∈ ≠ ⇒ = ∅   =  ∪ i j n i i i j I i j H H H M Có tài liệu gọi chúng là một Nhóm đầy đủ các biến cố. Với biến cố A bất kỳ trong M: A = MA = (H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn)A = (H1A) + (H2A) + . . . + (HnA) Vậy, 1 ( ) ( ). ( / ) = = ∑ n i i i P A P H P A H (9) (9) được gọi là công thức xác suất theo giả thiết. Các xác suất P(Hi) và P(A/ Hi) thường được biết trước khi thực hiện phép thử và được gọi là các xác suất tiền nghiệm, còn các xác suất P H Ai( / ), cho biết khả năng tham gia của Hi 14 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông vào việc xảy ra biến cố A, được gọi là xác suất hậu nghiệm. Chúng ta có thể tính xác suất hậu nghiệm từ các xác suất tiền nghiệm : ( ) ( ). ( / ) ( / ) ( ) ( ) = = i i i i P H A P H P A H P H A P A P A Dùng (9), chúng ta có 5.1. Định lý BAYES. Giả sử H1, H2, . . ., Hn là một phân hoạch của không gian xác suất M và A là một biến cố bất kỳ trong M. Khi đó, với mọi i ∈ {1, 2, ..., n }: 1 ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( / ) = = ∑ P P P P P i i n i i i H A H i H A H H A (10) 5.2. Thí dụ. 5.2.1. Ba người cùng vào một cửa hàng. Mỗi người muốn mua một cái Tivi, nhưng cửa hàng chỉ còn hai cái Tivi. Người bán hàng làm 3 lá thăm, trong đó có hai lá được đánh dấu. Mỗi người lần lượt rút một lá thăm. Nếu ai rút được lá có đánh dấu thì được mua Tivi. Chứng minh rằng cách làm trên là công bằng cho cả 3 người mua hàng. Giải. Đặt Ai : “người thứ i rút được lá thăm có đánh dấu” ( i ∈ {1,2,3} ), chúng ta có: • P(A1) = 23 , • Vì 2 1 2 1 2A A A A A= + nên 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 3 2 3 3 ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) . . 1 P A P A P A A P A P A A= + = + = • Vì 3 1 2 1( )A A A A= + , nên 3 1 2 1 1( ) ( ). ( / ) ( )P A P A P A A P A= + 2 1 1 2 3 2 3 3 .= + = Vì P(A1) = P(A2) = P(A3) = 23 nên cách làm trên là công bằng cho cả 3 người mua hàng. Thí dụ 5.2.1 có thể được mở rộng như sau: Trong một đợt xổ số, công ty phát hành N vé số, trong đó có k vé trúng thưởng (1 ≤ k ≤ N). n người (1 ≤ n ≤ N) lần lượt mua mỗi người một vé số. Chng 1 XÁC SUT 15 Chứng minh rằng n người đó đều có cơ hội trúng thưởng như nhau. ( xem như bài tập) 5.2.2. Một lô hạt giống gồm làm 3 loại để lẫn lộn. Loại 1 chiếm 2/3 số hạt, loại 2 chiếm 1/4, còn lại là loại 3. Tỉ lệ nẩy mầm của loại 1, loại 2 và loại 3, theo thứ tự, là 80%, 70% và 50%. Lấy ngẫu nhiên một hạt từ lô hạt giống . (a) Tính xác suất để hạt giống lấy ra là nẩy mầm được. Ý nghĩa của xác suất này đối với lô hạt giống là gì? (b) Giả sử hạt giống lấy ra là nẩy mầm được. Tính xác suất để hạt giống đó thuộc loại 2. (c) Giả sử hạt giống lấy ra là không nẩy mầm được. Nhiều khả năng nhất là hạt giống đó thuộc loại nào? Tại sao? Giải. (a) Gọi A: “hạt giống lấy ra là hạt nẩy mầm được” và Hi là biến cố " hạt giống lấy ra thuộc loại i" (i = 1, 2, 3), chúng ta có: P(H1) = 2/3, P (H2) = 1/4, P(H3) = 1/12, P(A/H1) = 0,8; P (A/H2) = 0,7 và P(A/H3) = 0,5. 3 1 ( ) ( ). ( / )i i i P A P H P A H = = ∑ = + + =2 1 1 3 4 12 .0,8 .0,7 .0,5 0,75. Xác suất P(A) chính là tỉ lệ nẩy mầm chung của lô hạt giống. (b) Giả sử hạt giống lấy ra là nẩy mầm được. Xác suất phải tính là P(H2 /A). Theo Định lý Bayes, 0,25 0,7 72 2 2 0,75 30 ( ). ( / )( / ) ( ) P H P A HP H A P A × = = = (c) Giả sử hạt giống lấy ra là không nẩy mầm được. So sánh giá trị các xác suất: 1 2( / ) , ( / )P H A P H A và 3( / )P H A ; sẽ thấy nhiều khả năng nhất là hạt giống đó thuộc loại 1. ( 1( / )P H A lớn nhất). Bạn đọc tự giải. 5.2.3. Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất có 2 bi trắng và 8 bi đỏ; hộp thứ hai có 3 bi trắng và 5 bi đỏ. 16 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông (a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi. Tính xác suất để lấy được 3 bi đỏ; lấy được 4 bi cùng màu. (b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 4 bi thì được 2 bi trắng. Tính xác suất để 4 bi đó thuôc hộp thứ nhất. Giải. (a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai viên bi: Với i ∈ {0,1, 2} và j ∈ {0,1, 2}, đăt tên các biến cố: Ai : “lấy được i bi đỏ từ hộp 1”, Bj : “lấy được j bi đỏ từ hộp 2”; K: “lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng”; và M: “lấy được 4 bi cùng màu”. Các cặp biến cố (Ai, Bj) độc lập. K = A1B2 + A2B1 nên P(K) = P(A1).P(B2) + P(A2).P( B1); P(K) = 1 1 2 1 12 58 2 5 8 3 2 2 2 2 10 8 10 8 C .C C C CC 29 63C C C C . .+ = . 2 2 2 2M A B A B= + nên 2 2 2 2P(M) P(A ).P(B ) P(A ).P(B )= + ; = + 2 2 22 8 5 2 3 2 2 2 2 10 8 10 8 C C CC C C C C P(M) . . (b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 4 bi: Đặt Hi : “lấy được hộp thứ i” ( i = 1, 2 ) và T : “lấy được 2 bi trắng”, chúng ta có: P(H1) = P(H2) = 12 ; P(T/H1) = 2 2C .C2 8 2 4 15C10 = và P(T/H2) = 2 2C .C53 3 4 7C8 = Chng 1 XÁC SUT 17 Xác suất phải tính là P(H1 / T). Vì T = H1T + H2T nên P(T) = P(H1).P(T/H1) + P(H2).P(T/H2) = 3 591 2 1 2 15 2 7 210. .+ = Vậy, 1 1( ). ( / ) 1 ( ) 2101 14 15 59 59 ( / ) . . P H P T H P TP H T = = = 6. QUÁ TRÌNH BERNOULLI 6.1. Định nghĩa. (a) Giả sử một phép thử chỉ có hai kết quả sơ cấp; một được gọi là "Thành công" ký hiệu là T, và kết quả kia được gọi là "Thất bại", ký hiệu là B. Nếu xác suất cho thành công là p thì xác suất cho thất bại là q = 1 − p. Một phép thử như thế được gọi là một phép thử Bernoulli, với xác suất cho thành công là p, ký hiệu là B(p). (b) Lặp lại phép thử B(p) n lần độc lập nhau, chúng ta có một phép thử được gọi là một Quá trình Bernoulli (n,p), ký hiệu là B(n,p). Không gian mẫu của B(n,p) chứa 2n điểm, mỗi điểm được biểu diễn bởi một dãy n ký tự gồm các chữ T và B. Theo định nghĩa, P(TTBT...BT) = ppqp...qp. Số lần thành công trong một quá trình B(n,p) có thể là 0, 1, 2, ..., n và bài toán đặt ra là: Tính xác suất để có x thành công trong quá trình (0 ≤ x ≤ n). Số trường hợp biến cố " có x thành công trong quá trình" có thể xảy ra bằng với số trường hợp phân phối x chữ T trong n vị trí; số đó là xnC . Nói cách khác, biến cố trên chứa xnC điểm, mỗi điểm có xác suất pxq n − x. Vậy, với mọi x ∈ {0,1,, n}, biến cố Tx : “có x thành công trong B(n, p)” có xác suất là ( ) ( ) −= −P C 1x x n xx nT p p (11) Đặc biệt, xác suất để không có lần thành công nào là qn và xác suất để có ít nhất một lần thành công là 1 − qn. ( với q = 1 − p) (11) được gọi là công thức Bernoulli. 18 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông • Nếu giữ n và p cố định thì xác suất P(Tx), ký hiệu là Pn(x), là một hàm theo x. Chúng ta khảo sát sự biến thiên của Pn(x) khi x tăng từ 0 đến n. Với mọi x  {1, 2, . . . , n }, ( ) ( 1) ( 1)1( 1) n n P x n x p n p x P x xq xq − + + − = = + − Do đó, Pn(x) > Pn(x −1) ⇔ x < (n + 1)p. Ký hiệu [(n + 1)p] là phần nguyên của (n + 1)p, chúng ta có 6.2. Định lý. Trong quá trình B(n,p), xác suất để có x thành công, x ∈ {0, 1,, n}, là: ) ( ) −= −C 1x x n xn nP x p p (14) Ngoài ra, khi x tăng dần từ 0 đến n thì Pn(x) tăng dần và đạt giá trị lớn nhất khi x = [(n + 1)p], sau đó Pn(x) giảm dần. Người ta gọi xo = [(n + 1)p] là Số thành công có xác suất lớn nhất hay còn gọi là Số thành công có khả năng nhất. Thực ra, khi n có giá trị lớn, tất cả các số hạng Pn(x) đều bé. 6.3. Thí dụ. 6.3.1. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8%. Khảo sát một lô hàng gồm 75 sản phẩm do máy đó sản xuất ra. (a) Tính xác suất để trong lô hàng, có 10 phế phẩm (b) Trong lô hàng, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu phế phẩm? Tính xác suất tương ứng. Giải. Nếu xem việc máy sản xuất ra một sản phẩm là một phép thử Bernoulli, với xác suất cho “thành công” là p = 0,08, thì khi máy đó sản xuất 75 sản phẩm, nó đã thực hiện quá trình B(75; 0,08). (a) Xác suất phải tính: P75(10) = 10 10 6575C 0 08 0 92 0 03941( , ) .( , ) ,= (b) Số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong lô hàng là: [(75 + 1). 0,08] = 6, với xác suất tương ứng: Chng 1 XÁC SUT 19 P75(6) = 6 6 6975C 0 08 0 92 0 16745( , ) .( , ) ,= 6.3.2. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ hạt lép là 3% để nghiên cứu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhất một hạt lép không bé hơn 95% ?. Giải. Gọi n là số hạt phải lấy, chúng ta có B(n; 0,03). Xác suất để có ít nhất một hạt lép là 1 − (1 − 0,03)n = 1 − (0,97)n . Theo giả thiết, chúng ta có: 1 − (0,97)n ≥ 0,95 ⇔ (0,97)n ≤ 0,05 ⇔ ln 0,05 ln 0,97n 98,3523≥ = Vậy, phải lấy ít nhất 99 hạt giống. 7. NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM Chúng ta đã biết, một trong những cơ sở của khái niệm xác suất của một biến cố là tính ổn định tần suất của biến cố đó. Như vậy quy luật xác suất sẽ xuất hiện khi có một số lớn các phép thử. Tuy nhiên, trong thực tế, khi chỉ tiến hành một phép thử, nguyên lý sau đây, gọi là Nguyên lý biến cố hiếm, sẽ được áp dụng. Một biến cố có xác suất rất bé là biến cố rất khó xảy ra. Khi chỉ tiến hành một phép thử về biến cố đó, trong thực hành, biến cố đó chắc chắn sẽ không xảy ra. Tùy theo mỗi lĩnh vực ứng dụng, người ta qui định một mức α khác nhau; xác suất dưới mức α đó được coi là rất bé. Mức α có thể là 5%, 1%, có khi là vài phần nghìn, e.g. trong sinh học, một biến cố có xác suất không quỏ 5% thường được xem là hiếm, gần như không thể có. Nếu chỉ thực hiện một phép thử đã thấy một biến cố A xảy ra thì xác suất của biến cố A phải lớn hơn α. Nguyên lý biến cố hiếm được dùng làm cơ sở lôgic cho nhiều phán đoán thống kê mà chúng ta sẽ gặp ở phần thứ hai của giáo trình. Thí dụ. Một lớp có mặt 50 học sinh. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 2 học sinh lên bảng, thấy cả hai đều không thuộc bài. Hãy dự đoán xem, hôm nay, lớp có bao nhiêu học sinh không thuộc bài? Giải. Giả sử trong lớp có x học sinh không thuộc bài, xác suất để hai học sinh, được gọi ngẫu nhiên, đều không thuộc bài là: 20 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông 2 2 50 C ( 1) 50. 49C x x x − = Biến cố “hai học sinh được gọi lên đều không thuộc bài” xảy ra ngay phép thử đầu tiên, nên không phải là một biến cố hiếm. Theo nguyên lý biến cố hỉếm, nếu lấy mức α = 5% thì chúng ta có: ( 1) 5 50. 49 100 x x− > ⇔ 2x2 − 2x − 245 > 0 Vậy, hôm nay, lớp có ít nhất 12 học sinh không thuộc bài. XS TK 2008 BÀI TẬP 1.1. Cho ba biến cố A, B và C. Hãy viết thành biểu thức theo A, B và C các biến cố sau: (a) cả A, B và C đều xảy ra; (b) ít nhất một trong các biến cố A, B hoặc C xảy ra; (c) chỉ có A xảy ra; Chng 1 XÁC SUT 21 (d) chỉ có một trong ba biến cố A, B hoặc C xảy ra. 1.2. Kiểm tra lần lượt 4 sản phẩm. Mỗi sản phẩm thuộc một trong hai loại: Chính phẩm hoặc phế phẩm. Đặt Ak : “Sản phẩm được kiểm tra lần thứ k là phế phẩm” (k ∈ {1, 2, 3, 4}). Hãy biểu diễn các biến cố sau đây qua các Ak: (a) cả 4 sản phẩm đều là phế phẩm, (b) cả 4 sản phẩm đều là chính phẩm; (c) có ít nhất một sản phẩm là phế phẩm; (d) chỉ có một chính phẩm. 1.3. Có 3 bình. Mỗi bình chứa một số viên bi xanh và viên bi đỏ. Từ mỗi bình lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Đặt Xi : “lấy được viên bi xanh từ bình thứ i”, (i ∈ {1,2,3}). Hãy biểu diễn các biến cố sau đây qua các Xi: (a) Lấy được 3 bi cùng màu; (b) Lấy được 2 bi xanh; (c) Lấy được ít nhất một bi đỏ. 1.4. Cho A và B là hai biến cố trong cùng một không gian xác suất, với 5 8( )P A = , 1 2( )P B = và 1 4( )P AB = . Tính: (a) P(A ∪ B); (b) P( A B∪ ); (c) P({cả A và B đều không xảy ra}); (d) P({A và B không xảy ra đồng thời}); (e) P({chỉ có A xảy ra}); (f) P({chỉ có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra}). 1.5. Một hệ thống bơm trong sản xuất nông nghiệp sẽ ngừng hoạt động khi máy bơm bị hỏng hoặc các chỗ nối bị rò rỉ. Có hai hệ thống bơm A và B được chào hàng với các thông số kỹ thuật được cho trong bảng sau: Hệ thống Xác suất hỏng bơm Xác suất rò rỉ Xác suất hỏng bơm và rò rỉ A B 0,07 0,09 0,10 0,12 0,00 0,06 Theo ý bạn, nên chọn hệ thống nào để việc sản xuất ít bị gián đoạn hơn? Nếu lắp đặt cả hai hệ thống A và B và chúng hoạt động độc lập, thì xác suất để cả hai cùng ngưng hoạt động là bao nhiêu? 1.6. Cho A và B là hai biến cố trong cùng một không gian xác suất, với 22 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông P(A) = 13 , P(B) = 1 4 và P(A ∪ B) = 1 2 . Tính xác suất để (a) A xảy ra, biết rằng B đã xảy ra; (b) B xảy ra, biết rằng A đã xảy ra; (c) cả A và B đều không xảy ra; (d) chỉ có A xảy ra; (e) A xảy ra, biết rằng B không xảy ra; (f) B không xảy ra, biết rằng A không xảy ra. 1.7. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ nạp đơn xin dự tuyển, và mỗi người đều có cơ hội được tuyển như nhau. Tính xác suất để trong 4 người được tuyển, (a) có duy nhất một nam; (b) có ít nhất một nữ; (c) có không quá hai nam; (d) có ba nữ, biết rằng có ít nhất một nữ đã được tuyển. 1.8. Một cửa hàng sách ước lượng rằng: Trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng, có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách thực hiện cả hai điều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính xác suất để người này (a) không thực hiện cả hai điều trên; (b) không mua sách, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng. 1.9. Cho ba biến cố A, B và C trong cùng một không gian xác suất, có xác suất tương ứng: P(A) = 0,7; P(B) = 0,6; P(C) = 0,5; P(AB) = 0,4; P(BC) = 0,2; P(AC) = 0,3 và P(ABC) = 0,1. Tính xác suất để (a) cả 3 biến cố A, B và C đều không xảy ra; (b) có đúng hai trong 3 biến cố A, B và C xảy ra; (c) có đúng một trong 3 biến cố A, B và C xảy ra. 1.10. Một cuộc điều tra cho thấy, ở một thành phố, có 20,7% dân số dùng loại sản phẩm X, 50% dùng loại sản phẩm Y và trong số những người dùng Y, có 36,5% dùng X. Phỏng vấn ngẫu nhiên một người dân trong thành phố đó, tính xác suất để người ấy (a) dùng cả X và Y; (b) không dùng X, cũng không dùng Y; (c) dùng Y, biết rằng người ấy không dùng X. 1.11. Cho hai biến cố A và B có xác suất dương và xung khắc. A và B có độc lập không? Tại sao? Chng 1 XÁC SUT 23 1.12. Theo một cuộc điều tra thì xác suất để một hộ gia đình có máy vi tính nếu thu nhập hàng năm trên 20 triệu (VNĐ) là 0,75. Trong số các hộ được điều tra thì 60% có thu nhập trên 20 triệu và 52% có máy vi tính. Tính xác suất để một hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên (a) có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 20 triệu; (b) có máy vi tính, nhưng không có thu nhập trên 20 triệu; (c) có thu nhập hàng năm trên 20 triệu, biết rằng hộ đó không có máy vi tính. 1.13. Trong một đội tuyển có hai vận động viên A và B thi đấu. A thi đấu trước và có hy vọng 80% thắng trận. Do ảnh hưởng tinh thần, nếu A thắng trận thì có 60% khả năng B thắng trận, còn nếu A thua thì khả năng này của B chỉ còn 30%. Tính xác suất của các biến cố sau: (a) Đội tuyển thắng hai trận; (b) B thắng trận; (c) Đội tuyển thắng ít nhất một trận; (d) Đội tuyển chỉ thắng có một trận. 1.14. Để thành lập đội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh đã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh đã qua vòng thứ hai. Để vào được đội tuyển, thí sinh phải vượt qua được cả 3 vòng thi Tính xác suất để một thí sinh bất kỳ (a) được vào đội tuyển; (b) bị loại ở vòng thứ ba; (c) bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại. 1.15. Một lô hàng có 9 sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lô hàng. Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm đều được kiểm tra. 1.16. Một lớp học của Trường Đại học AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là nữ sinh viên. Số sinh viên quê ở An Giang chiếm tỉ lệ 40% trong nữ sinh viên, và chiếm tỉ lệ 60% trong nam sinh viên. (a) Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tính xác suất để chọn được một sinh viên quê ở An Giang. Nếu biết rằng sinh viên vừa chọn quê ở An Giang thì xác suất để sinh viên đó là nam bằng bao nhiêu? (b) Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại hai sinh viên của lớp. Tính xác suất để có ít nhất một sinh viên quê ở An Giang, biết rằng lớp học có 60 sinh viên. 1.17. Có ba hộp A, B và C đựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng, hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng 24 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông (a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất để được 3 lọ cùng loại. (b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 3 lọ thuốc thì được 1 lọ tốt và 2 lọ hỏng. Tính xác suất để hộp A đã được chọn. (c) Lấy ngẫu nhiên hai lọ thuốc từ hộp B bỏ vào hộp C, rồi tiếp theo lấy ngẫu nhiên một lọ thuốc từ hộp C thì được lọ hỏng. Tính xác suất để (i) lọ hỏng đó là của hộp B bỏ sang; (ii) hai lọ thuốc bỏ từ hộp B vào hộp C đều là lọ hỏng. 1.18. Trong một đội tuyển có 3 vận động viên A, B và C thi đấu với xác suất chiến thắng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập nhau. Tính xác suất để: (a) đội tuyển thắng ít nhất một trận, (b) đội tuyển thắng 2 trận, (c) A thua trong trường hợp đội tuyển thắng 2 trận. 1.19. Trong năm học vừa qua, ở trường đại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt môn Toán là 34% , thi trượt môn Tâm lý là 20,5%, và trong số các sinh viên trượt môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý. (a) Gặp ngẫu nhiên một sinh viên của trường XYZ. Tính xác suất để anh ta trượt cả hai môn Toán và Tâm lý; đậu cả hai môn Toán và Tâm lý. Nếu biết rằng sinh viên này trượt môn Tâm lý thì xác suất để anh ta đậu môn Toán là bao nhiêu? (b) Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của trường XYZ. Nhiều khả năng nhất là sẽ có bao nhiêu sinh viên thi trượt cả hai môn Toán và Tâm lý. Tính xác suất tương ứng. (c) Phải chọn bao nhiêu sinh viên của trường XYZ sao cho, với xác suất không bé hơn 99%, trong số đó có ít nhất một sinh viên đậu cả hai môn Toán và Tâm lý. 1.20. Ba máy A, B và C của một xí nghiệp sản xuất, theo thứ tự, 60%, 30% và 10% tổng số sản phẩm của một xí nghiệp. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của các máy trên, theo thứ tự, là 2%, 3% và 4%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng của xí nghiệp, trong đó để lẫn lộn các sản phẩm do 3 máy sản xuất. (a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Ý nghĩa của xác suất đó đối với lô hàng là gì? (b) Nếu sản phẩm lấy được là phế phẩm, thì nhiều khả năng nhất là do máy nào sản xuất? 1.21. Chia ngẫu nhiên 9 tấm vé số, trong đó có 3 vé trúng thưởng, đều cho 3 người (mỗi người 3 tấm). Tính xác suất để cả 3 người đều được trúng thưởng. 1.22. Trong số các bệnh nhân đang được điều trị tại một bệnh viện, có 50% điều trị bệnh A, 30% điều trị bệnh B và 20% điều trị bệnh C. Tại bệnh viện này, Chng 1 XÁC SUT 25 xác suất để chữa khỏi các bệnh A, B và C, theo thứ tự, là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân được chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân đã được chữa khỏi bệnh trong bệnh viện. 1.23. Có hai bình như sau: Bình A chứa 5 bi đỏ, 3 bi trắng và 8 bi xanh; bình B chứa 3 bi đỏ và 5 bi trắng. (a) Gieo một con xúc xắc vô tư: Nếu mặt 3 hoặc mặt 5 xuất hiện thì chọn ngẫu nhiên một bi từ bình B; các trường hợp khác thì chọn ngẫu nhiên một bi từ bình A. Tính xác suất để chọn được viên bi đỏ. Nếu viên bi trắng được chọn, tính xác suất để mặt 5 của con xúc xắc xuất hiện. (b) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ bình A bỏ vào bình B, rồi từ bình B lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi đỏ. Theo ý bạn, viên bi đó vốn thuộc bình nào? 1.24. Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng thứ nhất có 1 con thỏ trắng và 5 con thỏ nâu; chuồng thứ hai có 9 con thỏ trắng và 1 con thỏ nâu. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con để nghiên cứu. Các con thỏ còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba. Từ chuồng thứ ba này lại bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Tính xác suất để con thỏ bắt ra sau cùng là một con thỏ nâu. 1.25. Đàng nào dễ thắng cuộc hơn, nếu đánh cuộc được ít nhất một mặt 6 khi gieo một lần 4 con xúc xắc vô tư, hay đánh cuộc được cặp (6, 6) ít nhất một lần khi gieo 24 lần một cặp xúc xắc vô tư? (Bài toán này do hiệp sĩ De Méré đặt ra cho nhà toán học Pascal). 1.26. (Bài toán của Samuel Pepys) Biến cố nào trong các biến cố sau đây có xác suất lớn nhất? (a) Có ít nhất một mặt 6 xuất hiện khi gieo 6 con xúc xắc vô tư; (b) Có ít nhất hai mặt 6 xuất hiện khi gieo 12 con xúc xắc vô tư; (c) Có ít nhất ba mặt 6 xuất hiện khi gieo 18 con xúc xắc vô tư; 1.27. Ban giám đốc một công ty liên doanh với nước ngoài đang xem xét khả năng đình công của công nhân để đòi tăng lương ở hai nhà máy A và B. Kinh nghiệm cho họ biết cuộc đình công ở nhà máy A và B xảy ra lần lượt với xác suất 0,75 và 0,65. Ngoài ra, họ cũng biết rằng nếu công nhân ở nhà máy B đình công thì có 90% khả năng để công nhân ở nhà máy A đình công ủng hộ. (a) Tính xác suất để công nhân ở cả hai nhà máy đình công. (b) Nếu công nhân ở nhà máy A đình công thì xác suất để công nhân ở nhà máy B đình công để ủng hộ bằng bao nhiêu? 1.28. Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% các bản cân đối thu chi chứa các sai lầm. Trong các bản chứa sai lầm, 60% được xem là các giá trị bất thường so với các số xuất phát từ gốc. Trong tất cả các bản cân đối thu chi thì 26 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông 20% là những giá trị bất thường. Nếu một con số ở một bảng cân đối tỏ ra bất thường thì xác suất để số ấy là một sai lầm là bao nhiêu? 1.29. Một hãng sản xuất một loại tủ lạnh X ước tính rằng khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có đọc quảng cáo tủ lạnh do hãng ấy sản xuất. Trong số những người đọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% không đọc quảng cáo cũng mua loại tủ lạnh X. Tính xác suất để một người tiêu dùng đã mua loại tủ lạnh X mà có đọc quảng cáo. 1.30. Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn độc lập. Hệ thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của mỗi bóng của mỗi hệ thống được xem như độc lập. Tính xác suất để (a) hệ thống I bị hỏng; (b) hệ thống II không bị hỏng; (c) cả hai hệ thống bị hỏng; (d) chỉ có một hệ thống bị hỏng. 1.31. Một lô hàng gồm rất nhiều bóng đèn, trong đó có 8% bóng đèn xấu. Một người đến mua hàng với qui định: Chọn ngẫu nhiên 10 bóng đèn đem kiểm tra và nếu có nhiều hơn một bóng đèn xấu thì không nhận lô hàng. Tính xác suất để lô hàng được chấp nhận. 1.32. Một nhóm nghiên cứu đang nghiên cứu về nguy cơ một sự cố tại một nhà máy điện nguyên tử sẽ gây ra sự rò rỉ phóng xạ. Nhóm nghiên cứu nhận thấy các loại sự cố chỉ có thể là: hoả hoạn, sự gãy đổ của vật liệu hoặc sai lầm của con người, và 2 hay nhiều hơn 2 sự cố không bao giờ cùng xảy ra. Nếu có hỏa hoạn thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 20% số lần. Nếu có sự gãy đổ của vật liệu thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 50% số lần, và nếu có sự sai lầm của con người thì sự rò rỉ sẽ xảy ra khoảng 10% số lần. Nhóm nghiên cứu cũng tìm được xác suất để: Hoả hoạn và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0010, gãy đổ vật liệu và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0015, sai lầm của con người và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0012. Tìm xác suất để (a) có hoả hoạn; có gãy đổ vật liệu và có sai lầm của con người; (b) có một sự rò rỉ phóng xạ; (c) một sự rò rỉ phóng xạ được gây ra bởi sự sai lầm của con người. 1.33. Một địa phương có tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá là 30%. Biết rằng tỉ lệ người bị viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60%, còn tỉ lệ đó trong số người không nghiện thuốc lá là 40%. Chọn ngẫu nhiên một người từ địa phương trên. Chng 1 XÁC SUT 27 (a) Nếu người đó bị viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc lá. (b) Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc lá. 1.34. Một nhà xuất bản gửi bản giới thiệu sách mới đến 80% giảng viên của một trường đại học. Sau một thời gian, nhà xuất bản nhận thấy: Có 30% giảng viên mua sách trong số những người nhận được bản giới thiệu, và trong số những giảng viên không nhận được bản giới thiệu, có 10% mua sách . Tìm tỉ lệ những giảng viên nhận được bản giới thiệu trong số những người mua sách. 1.35. Ba lô thuốc A, B và C chứa rất nhiều chai thuốc. Tỉ lệ chai thuốc hỏng ở mỗi lô, theo thứ tự, là 0,1, 0,08 và 0,05. (a) Lấy từ mỗi lô ra một chai thuốc. Tính xác suất để được 2 chai tốt và 1 chai hỏng. (b) Chọn ngẫu nhiên một trong 3 lô rồi từ đó lấy ra 3 chai. Tính xác suất để được 2 chai tốt và 1 chai hỏng. (c) Lấy ngẫu nhiên 10 chai thuốc từ lô A thì nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu chai hỏng? Tính xác suất để có nhiều nhất hai chai hỏng. (d) Kiểm tra từng chai thuốc ở lô B cho đến khi phát hiện được 2 lọ hỏng thì dừng. Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần lấy thứ 10. 1.36. (a) Xác suất để loại vi trùng S kháng mỗi loại thuốc A, B và C, theo thứ tự, là 5%, 10% và 20%. Nếu dùng cả 3 loại thuốc trên để diệt vi trùng S thì S sẽ bị diệt với xác suất là bao nhiêu? (giả sử tác dụng của 3 loại thuốc trên độc lập nhau). (b) Nếu dùng riêng rẽ 3 loại thuốc A, B và C để điều trị loại bệnh K thì tỉ lệ khỏi bệnh, theo thứ tự, là 90%, 80% và 70%. Nếu dùng phối hợp cả 3 loại thuốc trên thì khả năng khỏi bệnh là bao nhiêu? (bỏ qua sự tương tác giữa các loại thuốc) 1.37. Một công ty dự định tung vào thị trường một sản phẩm mới. Theo ước tính ban đầu của ban quản trị thì thị trường sẽ tốt với xác suất 0,55. Để có thêm thông tin, ban giám đốc thuê một công ty tư vấn nghiên cứu thị trường. Được biết, thành tích của công ty tư vấn này là: Cho kết quả đúng với thị trường tốt là 80%, và kết quả đúng với thị trường xấu là 85%. Vậy, xác suất để thị trường tốt, thị trường xấu sau khi thuê nghiên cứu là bao nhiêu? 1.38. Nhà trường muốn chọn một số học sinh từ một tổ gồm 7 nam sinh và 6 nữ.sinh. Lần đầu chọn ngẫu nhiên 2 học sinh; sau đó, chọn tiếp 1 học sinh nữa. (a) Tính xác suất để học sinh được chọn lần sau là nam sinh. (b) Biết rằng học sinh được chọn lần sau là nữ sinh, tính xác suất để cả hai học sinh được chọn lần đầu đều là nam sinh. 1.39. Số liệu thống kê về bệnh lao phổi tại một địa phương cho biết: Có 15% số người làm nghề đục đá (LNĐĐ) và bị lao phổi; có 50% số người không LNĐĐ và không bị lao phổi; có 25% số người LNĐĐ nhưng không bị lao phổi. 28 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông Ngoài ra, tỉ lệ những người không LNĐĐ nhưng bị lao phổi là 10%. Chúng ta có thể kết luận gì về mối quan hệ giữa nghề đục đá và bệnh lao phổi? 1.40. Giả sử một xét nghiệm X cho kết quả dương tính (+) đối với những người nhiễm HIV với xác suất 95% và cho kết quả (+) đối với những người không nhiễm HIV với xác suất 1%. Một người đến từ địa phương có tỉ lệ nhiễm HIV là 1% được làm xét nghiệm X và cho kết quả (+). Tính xác suất để người này thực sự nhiễm HIV. 1.41. Có hai lô sản phẩm. Lô thứ nhất có tỉ lệ sản phẩm loại 1 là 90%, lô thứ hai có tỉ lệ sản phẩm loại 1 là 70%. Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì được sản phẩm loại 1. Trả lại sản phẩm đó vào lô đã chọn, rồi cũng từ lô đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy lần thứ hai là loại 1. 1.42. Quan sát 3 kiện hàng, mỗi kiện chứa 10 sản phẩm. Kiện thứ nhất có 9 sản phẩm loại 1, kiện thứ hai có 8 sản phẩm loại 1 và kiện thứ ba có 6 sản phẩm loại 1. (a) Từ mỗi kiện lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Nếu cả 2 sản phẩm lấy ra đều là loại 1 thì mua kiện hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất một kiện hàng được mua. (b) Chọn ngẫu nhiên một kiện hàng rồi từ kiện hàng đã cnọn, lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra 2 sản phẩm thì được 2 sản phẩm loại 1. Nếu cũng từ kiện đó, lấy tiếp một sản phẩm thì xác suất để lấy được sản phẩm loại 1 là bao nhiêu? 1.43. Một hộp chứa 15 lọ thuốc, trong đó có 6 lọ hỏng. Lấy lần lượt từng lọ không hoàn lại để kiểm tra, cho đến khi gặp 3 lọ hỏng thì dừng. (a) Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ ba; ở lọ thứ sáu (b) Nếu việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ sáu, tính xác suất để lọ được kiểm ra đầu tiên là lọ hỏng. 1.44. Từ một lô hàng có rất nhiều quyển vở với tỉ lệ vở hỏng là 5%, người ta chọn ngẫu nhiên từng quyển vở để kiểm tra. (a) Hỏi phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu quyển vở để xác suất có ít nhất một quyển vở hỏng không bé hơn 90% ? (b) Giả sử việc kiểm tra sẽ dừng lại khi phát hiện 3 quyển vở hỏng. Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần kiểm tra thứ 10. 1.45. Một hộp có 10 sản phẩm hoàn toàn không biết chất lượng. Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp lúc đầu đều đồng khả năng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm (không hoàn lại) thì thấy cả 3 đều tốt. Nếu lấy tiếp một sản phẩm nữa thì theo ý bạn sẽ được sản phẩm tốt hay xấu? Tại sao? 1.46. Một người mua một thùng hàng gồm 6 sản phẩm. Giả sử rằng người đó hoàn toàn không biết thông tin nào về chất lượng của các sản phẩm trong thùng. Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong thùng đều đồng khả năng. Sau khi lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong thùng để kiểm tra thì thấy cả 3 sản phẩm đều Chng 1 XÁC SUT 29 tốt. Anh ta không kiểm tra nữa, vì tin rằng các sản phẩm còn lại đều là sản phẩm tốt. Bạn hãy dùng kiến thức về lý thuyết xác suất để chứng tỏ niềm tin của anh ta là có cơ sở. 1.47. Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B; hộp thứ hai có 5 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. (a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm. (i) Tính xác suất để được 3 sản phẩm loại A; (ii) Giả sử lấy được một sản phẩm loại B và 3 sản phẩm loại A. Nhiều khả năng là sản phẩm loại B thuộc hộp nào? Tại sao? (b) Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi lấy ngẫu nhiên từ đó ra 4 sản phẩm. Tính lại các câu (i) và (ii) ở phần (a). 1.48. Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử với 96% sản phẩm có chất lượng cao. Một qui trình kiểm tra chất lượng sản phẩm có đặc điểm: 2% sản phẩm có chất lượng cao lại không được công nhận và 5% sản phẩm không có chất lượng cao lại được công nhận. Hãy tính xác suất để sau khi kiểm tra, một sản phẩm được công nhận có chất lượng cao đúng là sản phẩm có chất lượng cao. 1.49. Một chiếc máy được cấu tạo bởi 3 loại linh kiện. Linh kiện loại 1 chiếm 35%, loại 2 chiểm 25% và loại 3 chiếm 40% tổng số linh kiện của máy. Xác suất hư hỏng của các loại linh kiện 1, 2 và 3 sau một tháng hoạt động lần lượt là 15%, 25% và 5%. Máy đang làm việc bỗng dừng lại. Hãy tính xác suất để từng loại linh kiện bị hỏng, biết rằng máy dừng lại vì có linh kiện bị hỏng, và các loại linh kiện không cùng hỏng đồng thời. 1.50. Một xưởng (bên A) ký kết hợp đồng với một công ty thương mại (bên B) sản xuất viết cho học sinh. Viết được xuất xưởng dưới dạng đóng gói thành từng hộp, mỗi hộp chứa 100 cây. Hộp nào có không quá một cây viết hỏng được coi là hộp tốt. Khi giao hàng, bên B sẽ mở từng hộp và lấy ngẫu nhiên trong mỗi hộp 5 cây viết để kiểm tra; nếu tất cả 5 cây đó đều tốt thì cả hộp được nhận, ngược lại, cả hộp bị trả lại. Tính xác suất để (a) bên B bác bỏ nhầm một hộp tốt; (b) bên B nhận nhầm một hộp không tốt trong đó có 2 cây viết hỏng. 1.51. Một cặp trẻ sinh đôi có thể là một cặp sinh đôi thật, do cùng một trứng sinh ra; trong trường hợp này, xảy ra với xác suất là p (0 < p < 1), chúng bao giờ cũng có cùng giới tính. Nếu chúng do các trứng khác nhau sinh ra thì xác suất để chúng có cùng giới tính là 0,5. Bây giờ, nếu gặp ngẫu nhiên một cặp sinh đôi có cùng giới tính thì xác suất để chúng là một cặp sinh đôi thật là bao nhiêu? 1.52. Một công ty bột giặt đưa ra loại bột giặt X. Sau một thời gian theo dõi thị trường, kết quả là: trong số những người đã dùng bột giặt X được một tháng thì có 75% tiếp tục dùng trong tháng kế tiếp, còn trong số những người dùng các loại bột giặt khác thì có 35% chuyển sang dùng bột giặt X trong tháng kế tiếp. 30 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông Hiện tại có 50% số người dùng bột giặt đang dùng bột giặt X. Tính xem sau 2 tháng sẽ có bao nhiêu phần trăm số người dùng bột giặt sử dụng bột giặt X. 1.53. Giả sử bạn đem giao một lô hàng, rất nhiều sản phẩm, mà bạn biết rằng nó có tỉ lệ phế phẩm là 10%. Người nhận hàng đề nghị lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm để kiểm tra, và nếu có quá k phế phẩm thì không nhận lô hàng. Bạn đề nghị k bằng bao nhiêu để vừa thuyết phục được người nhận, vừa hy vọng khả năng lô hàng không bị từ chối ít nhất là 95%? 1.54. Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất để người thứ nhất và thứ hai làm ra chính phẩm bằng 0,9; còn xác suất để người thứ ba làm ra chính phẩm bằng 0,8. Một người trong số đó làm ra 8 sản phẩm, thấy có 2 phế phẩm. Tìm xác suất để trong 8 sản phẩm tiếp theo, cũng do người đó sản xuất ra, có 6 chính phẩm. 1.55. Có hai lô sản phẩm: Lô 1: Có a chính phẩm và b phế phẩm (a > 0 và b > 0); lô 2: Có c chính phẩm và d phế phẩm (c > 0 và d > 0) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô 1 bỏ sang lô 2, sau đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô 2 bỏ sang lô 1, sau cùng lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô 1. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm. 1.56. Trong một kho rượu, số lượng rượu loại A và rựơu loại B bằng nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên một chai rượu trong kho và đưa cho 5 người sành rượu nếm thử để xác định xem đây là loại rượu nào. Giả sử mỗi người có khả năng đoán đúng là 75%. Có 4 người kết luận chai rượu thuộc loại A và 1 người kết luận chai rượu thuộc loại B. Vậy, chai rượu được chọn thuộc loại A với xác suất bằng bao nhiêu? 1.57. Có 10 cặp vợ chồng ngồi chờ trong phòng đợi. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để trong số đó (a) không có cặp vợ chồng nào; (b) có đúng hai cặp vợ chồng. 1.58. Một lô hàng, ban đầu, có m sản phẩm tốt và n sản phẩm xấu. Một sản phẩm bị mất mà không biết là loại tốt hay loại xấu. Bây giờ, người ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của lô hàng thì được sản phẩm tốt. Tính khả năng sản phẩm bị mất cũng là sản phẩm tốt. 1.59. Có ba hộp phấn. Hộp thứ nhất có 5 viên phấn trắng và 5 viên phấn vàng, hộp thứ hai có 5 viên phấn đỏ và 5 viên phấn vàng, và hộp thứ ba có 10 viên phấn trắng. Chọn ngẫu nhiên một viên phấn ở hộp thứ nhất, bỏ vào hộp thứ hai, sau đó, chọn ngẫu nhiên một viên ở hộp thứ hai, bỏ vào hộp thứ ba. Sau cùng, chọn ngẫu nhiên một viên ở hộp thứ ba, bỏ vào hộp thứ nhất. Tính xác suất để sau khi bỏ xong viên phấn vào hộp thứ nhất, thì hộp thứ nhất vẫn còn 5 viên phấn trắng và 5 viên phấn vàng. Chng 1 XÁC SUT 31 1.60. Một nhà máy có hai phân xưởng PX1 và PX2. Tỉ lệ phế phẩm của PX1 là 1%, của PX2 là 2%. Từ một lô sản phẩm gồm 40% sản phẩm của PX1 và 60% sản phẩm của PX2, người ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm để kiểm tra. (a) Tính xác suất để trong hai sản phẩm lấy ra, có ít nhất một sản phẩm tốt. (b) Giả sử 2 sản phẩm được kiểm tra đều là sản phẩm tốt. Nếu lấy tiếp 2 sản phẩm nữa từ lô hàng thì xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt là bao nhiêu? 1.61. Biết rằng một người có nhóm máu AB có thể nhận máu của bất kỳ nhóm nào.Nếu người đó có nhóm máu còn lại (A hoặc B hoặc O) thì chỉ có thể nhận máu của người cùng nhóm máu với mình hoặc người có nhóm máu O. Cho biết tỉ lệ người có nhóm máu A, B, AB và O, theo thứ tự, là 37,5%, 20,9%, 7,9% và 33,7%. (a) Chọn ngẫu nhiên một người cần tiếp máu và một người cho máu. Tính xác suất để sự truyền máu thực hiện được. (b) Chọn ngẫu nhiên một người cần tiếp máu và hai người cho máu. Tính xác suất để sự truyền máu thực hiện được. 1.62. Một người từ một địa phương có tỉ lệ bệnh B là 0,001 đền khám bệnh. Cho người này làm xét nghiệm T1, kết quả dương tính; cho làm tiếp xét nghiệm T2, cũng thấy kết quả dương tính. (T1 dùng để sàng lọc người có nguy cơ bị bệnh B; T2 dùng để chẩn đoán bệnh này trên những người mà T1 cho kết quả dương tính).Tính khả năng người này mắc bệnh B. Biết rằng T1 có khả năng cho kết quả dương tính đối với người mắc bệnh là 93% và cho kết quả sai 5% đối với người không mắc bệnh; T2 khả năng chẩn đoán đúng 95% đối với người mắc bệnh và có 7% người không có bệnh lại cho kết quả dương tính. 1.63. Một người bệnh được xác định là mắc một trong hai bệnh A hoặc B. số liệu thống kê cho thấy xác suất mắc bệnh A cao gấp đôi xác suất mắc bệnh B. Bệnh viện cho người bệnh làm hai xét nghiệm T1 và T2 độc lập nhau. Biết rằng nếu có bệnh A thì T1 cho kết quả dương tính với xác suất 0,9, còn T2 cho kết quả dương tính với xác suất 0,75. Nếu có bệnh B thì T1 cho kết quả dương tính với xác suất 0,05, còn T2 cho kết quả dương tính với xác suất 0,1. Giả sử cả hai xét nghiệm T1 và T2 đều cho kết quả dương tính. Tính xác suất để người bệnh mắc bệnh A. 1.64. Một người nghi ngờ bị bệnh B, với P(B) = 0,3, cho làm xét nghiệm T. Xét nghiệm T sẽ trả về hoặc dương tính (T+) hoặc âm tính (T−). Trong số những người (T+) chỉ có 80% là bị bệnh B; còn trong số những người (T−) có 90% không bị bệnh này. (a) Tính khả năng báo dương tính đối với người bị bệnh B và khả năng báo âm tính đối với người không bị bệnh B của xét nghiệm T. (b) Khả năng kết quả xét nghiệm là (T+) của người này là bao nhiêu? 32 Xác su
t − Thng kê
Phm Đc Thông 1.65. Phân phối đa thức Giả sử một không gian xác suất được phân hoạch bởi các biến cố A1, A2, . . ., Ar, với các xác suất tương ứng là p1, p2, . . ., pr. (dĩ nhiên p1 + p2 + . . . + pr = 1). Chứng minh rằng trong một dãy n phép thử độc lập tương ứng với không gian xác suất trên, xác suất p để A1 xảy ra k1 lần, A2 xảy ra k2 lần, . . ., và Ar xảy ra kr lần, được tính bởi: ! . . . . ! ! . . . ! = 1 2 1 2 1 2 rk k k r r np p p p k k k trong đó k1 + k2 + . . . + kr = n. Mô hình trên được gọi là mô hình Phân phối xác suất đa thức. (i) Một con xúc xắc vô tư được gieo 8 lần. Tính xác suất để mặt 5 và mặt 6 xuất hiện mỗi mặt 2 lần, và các mặt còn lại xuất hiện mỗi mặt 1 lần. (ii) Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 4 viên bi trắng và 6 viên bi xanh. Một viên bi được chọn ngẫu nhiên từ hộp, xem là bi màu gì, trả lại hộp, rồi lại chọn ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để trong 7 viên bi được chọn theo cách trên, có 2 bi màu đỏ, 3 bi màu trắng và 2 bi màu xanh.