Lý thuyết ước lượng

CHƯƠNG 6 Lí THUYẾT ƯỚC LƯỢNG 0. BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG Cho X là đại lượng ngẫu nhiờn cú luật phõn phối P(x, q). Giả thiết dạng của P đó biết, nhưng tham số q chưa biết và ta cần tỡm cỏch ước lượng q. Cú hai phương phỏp tiếp cận: ước lượng điểm và ước lượng khoảng. 1. Ước lượng điểm Ước lượng điểm là dựa trờn mẫu (x1, x2, …, xn) của X, ta tỡm đại lượng thống kờ (x1, x2, …, xn) thay cho q với độ chớnh xỏc nào đú. Đại lượng (x1, x2, …, xn) gọi là hàm ước lượng của q. 2. Ước lượng khoảng Ước lượng khoảng là dựa trờn mẫu (x1, x2, …, xn) của X, ta tỡm khoảng [1, 2 ] trong đú 1 = 1(x1, x2, …, xn) và 2 = 2(x1, x2, …, xn), sao cho cú thể coi 1 ≤ q ≤ 2 với độ tin cậy nào đú. 1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 1. Hàm ước lượng của một tham số Cho biến ngẫu nhiờn X với luật phõn phối P(x, q) và mẫu (x1, x2, …, xn) của X. ã Định nghĩa 1. Đại lượng thống kờ (x1, x2, …, xn) được chọn sử dụng thay cho q gọi là hàm ước lượng của q. + Vớ dụ 1. Giả sử E(X) = à và D(X) = s2. Ta cú thể coi là ước lượng của à và là ước lượng của s2. Ứng với mỗi tham số q cú thể cú nhiều hàm ước lượng khỏc nhau. Vấn đề đặt ra là phải chọn hàm ước lượng theo tiờu chuẩn nào để cú thể coi là tốt. ã Định nghĩa 2. Hàm ước lượng (x1, x2, …, xn) của q gọi là ước lượng khụng chệch nếu E[(x1, x2, …, xn)] = q với mọi q trong khoảng xỏc định H nào đú. Nếu coi (x1, x2, …, xn) − q là sai số của ước lượng thỡ điều kiện trờn chứng tỏ kỳ vọng sai số bằng 0. + Vớ dụ 2. Kỳ vọng mẫu là ước lượng khụng chệch của kỳ vọng à. Thật vậy, ta cú E() = = à + Vớ dụ 3. đại lượng thống kờ là ước lượng chệch của phương sai s2. Thật vậy, ta cú ị ị ị Ä Ghi chỳ. Vỡ (n−1)/n đ1 khi nđ+∞, nờn với n > 50 ta cú thể coi ằ s2 = ã Độ chớnh xỏc của cỏc ước lượng khụng chệch. Giả sử (x1, x2, …, xn) là ước lượng khụng chệch của q và D[(x1, x2, …, xn)] = d2 Khi đú, theo bất đẳng thức Trebưsep, với mọi e > 0, ta cú P{|(x1, x2, …, xn) − q | < e.d } ≥ 1 − Nếu chọn e = 3 thỡ P{|(x1, x2, …, xn) − q | < 3.d } ≥ 1 − 1/9 ằ 0.889 Cụng thức trờn đỳng với mọi phõn phối xỏc suất của X. Nếu (x1, x2, …, xn) cú phõn phối chuẩn N(q, d2) thỡ ta cú P{|(x1, x2, …, xn) − q | < 3.d } ằ 0.997 Trong thực tế người ta viết |(x1, x2, …, xn) − q | < 3.d và gọi đú là cụng thức 3d. Ở ước lượng khoảng ta sẽ nghiờn cứu độ chớnh xỏc triệt để hơn. ã Định nghĩa 3. Ước lượng khụng chệch (x1, x2, …, xn) của q gọi là ước lượng hiệu quả trờn khoảng H của q, nếu với mọi ước lượng khụng chệch T(x1, x2, …, xn) của q ta cú D[(x1, x2, …, xn)] ≤ D[T(x1, x2, …, xn)] " q ẻ H ã Định lý 1 (bất đẳng thức Cramer-Rao). Cho biến ngẫu nhiờn X cú mật độ f(x, q), (x1, x2, …, xn) là mẫu cỡ n của X thoả một số điều kiện nhất định và (x1, x2, …, xn) là hàm ước lượng khụng chệch của q. Khi đú D[(x1, x2, …, xn)] ≥ + Vớ dụ 4. Cho biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à, s2). Ta chỉ ra rằng là ước lượng hiệu quả của à. Thật vậy, vỡ nờn = Mặt khỏc ta biết rằng D() = . Suy ra thoả bất đẳng thức Cramer-Rao. Vậy là ước lượng hiệu quả của à. ã Định nghĩa 4. Hàm ước lượng (x1, x2, …, xn) của q gọi là ước lượng vững nếu "e > 0 " q ẻ H, limnđ+∞ P{ |(x1, x2, …, xn) − q| < e } = 1 trong đú xỏc suất P được tớnh theo q. ã Định lý 2. Cho (x1, x2, …, xn) là hàm ước lượng của q thoả (i) (x1, x2, …, xn) là ước lượng khụng chệch của q hoặc limnđ+∞ [E((x1, x2, …, xn)) − q] = 0 (ii) limnđ+∞D[(x1, x2, …, xn)] = 0 Khi đú (x1, x2, …, xn) là ước lượng vững của q. CM. Áp dụng bất đẳng thức Trebưsep ta cú " e > 0, P{|(x1, x2, …, xn) − E[(x1, x2, …, xn)] | < e } ≥ 1 − Từ đú, sử dụng (ii), suy ra " e > 0, limnđ+∞ P{|(x1, x2, …, xn) − E[(x1, x2, …, xn)] | < e } = 1 (*) Nếu (x1, x2, …, xn) là ước lượng khụng chệch, tức E[(x1, x2, …, xn)] = q, thỡ theo định nghĩa nú là ước lượng vững. Ta xột trường hợp limnđ+∞ [E((x1, x2, …, xn)) − q] = 0 Cho e > 0 bất kỳ. Tồn tại ne thoả |E((x1, x2, …, xn)) − q| < e/2, " n ≥ ne Mặt khỏc, từ bất đẳng thức |(x1, x2, …, xn) −q| ≤ |(x1, x2, …, xn) − E[(x1, x2, …, xn)]| +|E((x1, x2, …, xn)) − q| suy ra: Với mọi n ≥ ne , sự kiện |(x1, x2, …, xn) − E[(x1, x2, …, xn)] | < e/2 kộo theo sự kiện |(x1, x2, …, xn) −q| ≤ e/2 + e/2 = e Vậy P{|(x1, x2, …, xn) −q| < e } ≥ P{|(x1, x2, …, xn) − E[(x1, x2, …, xn)]| < e/2 } Từ đú, theo (*), suy ra limnđ+∞ P{|(x1, x2, …, xn) − q | < e } = 1 Vậy (x1, x2, …, xn) là ước lượng vững của q. + Vớ dụ 5. Xột ước lượng của à = E(X). Theo vớ dụ 1, là ước lượng khụng chệch của à. Tiếp theo D() = Vậy theo định lý trờn, là ước lượng vững của à. + Vớ dụ 6. Trong một lụ sản phẩm, cứ lấy 1 sản phẩm thỡ xỏc suất lấy phải phế phẩm là p. Người ta lấy n sản phẩm, thỡ cú m phế phẩm. Tỡm ước lượng khụng chệch của p. Giải. Gọi Xi , i=1, 2, …, n, là số phế phẩm xuất hiện trong lần lấy sản phẩm thứ i. Rừ ràng Xi là đại lượng ngẫu nhiờn cú luật phõn phối P(Xi = 1) = p và P(Xi = 0) = 1 − p Ta cú E(Xi) = p & D(Xi) = p(1−p) " i = 1, …, n Như vậy việc lấy n sản phẩm tương đương với việc lấy mẫu cú lặp (x1, x2, …, xn). Vậy theo vớ dụ 2, = là ước lượng khụng chệch của p. Theo vớ dụ 5, m/n cũng là ước lượng vững của p. Ä Ghi chỳ: m/n là ước lượng hiệu quả của p. + Vớ dụ 7. Trong một xớ nghiệp, để biết số đơn vị nguyờn liệu cần thiết sản xuất ra 1 thành phẩm người ta lấy mẫu cỡ 20: 3.0; 3.8; 3.1; 3.2; 3.5; 3.2; 3.5; 3.6; 3.3; 3.8 3.5; 3.2; 4.0; 3.6; 3.4; 3.5; 4.3; 3.5; 3.0; 4.0 Gọi X là đại lượng ngẫu nhiờn chỉ số lượng đơn vị nguyờn liệu cần thiết để sản xuất 1 thành phẩm. Ta cần ước lượng à = E(X). Theo vớ dụ 2 và vớ dụ 3, ta lấy = = 3.5 làm ước lượng của à và lấy s2 = làm ước lượng của s2 = D(X). Từ đú ta cú thể xấp xỉ phương sai của D() = s2/n ằ s2/n = d2. Ta cú d = = 0.8. Vậy theo cụng thức 3d ta được à = 3.5 ± 3*0.8 = 3.5 ± 0.24 với xỏc suất 0.889. ã Kết quả: Tham số Hàm ước lượng (x1, x2, …, xn) E(x1, x2, …, xn) D(x1, x2, …, xn) Tớnh chất của (x1, x2, …, xn) Kỳ vọng à = E(X) = à - khụng chệch - vững - hiệu quả, nếu X phõn phối chuẩn Xỏc suất p m/n p p(1−p)/n - khụng chệch - vững - hiệu quả Phương sai s2 s2 = s2 với à4=E(X-à)4 - khụng chệch - vững 2. Phương phỏp hợp lý cực đại (R.A.Fisher) Giả sử đại lượng ngẫu nhiờn X cú hàm mật độ f(x, q) với dạng của f đó biết, nhưng q chưa biết. Để ước lượng q ta lấy mẫu (x1, x2, …, xn) và lập hàm L(q) = f(x1, q) x . . . . .x f(xn, q) (1) L(q) gọi là hàm hợp lý của mẫu, nú phụ thuộc x1, … , xn và q nhưng coi x1, … , xn là hằng và q là biến. Vấn đề đặt ra là tỡm (x1, x2, …, xn) sao cho L((x1, x2, …, xn)) ≥ L(q) " q ẻ H (2) Đặt Y(q) = ln[L(q)], điều kiện trờn tương đương Y((x1, x2, …, xn)) ≥ Y(q) " q ẻ H (3) Ước lượng (x1, x2, …, xn) xỏc định bởi điều kiện trờn gọi là ước lượng hợp lý cực đại của q. Nếu Y(q) khả vi theo q thỡ tại (x1, x2, …, xn) ta cú (4) Phương trỡnh này gọi là phương trỡnh hợp lý và mọi nghiệm của nú, nếu thoả (2) hoặc (3) đều là ước lượng hợp lý cực đại của q. + Vớ dụ 1. Cho biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à, s2), s2 đó biết, à chưa biết và (x1, x2, …, xn) là mẫu cỡ n của X. Hóy tỡm ước lượng hợp lý cực đại của à. Giải. Ta cú L(à) = ị Y(à) = ln[L(à)] = − n. − ị = Vậy, phương trỡnh hợp lý là = 0 Giải phương trỡnh này ta được ước lượng hợp lý cực đại của à là (x1, x2, …, xn) = (vỡ = − < 0, nờn tại hàm Y(à) đạt giỏ trị lớn nhất). Ä Ghi chỳ: Lý thuyết trờn cú thể mở rộng cho trường hợp q = (q1, …, qk), trong đú hệ phương trỡnh hợp lý là = 0 , i=1, …, k + Vớ dụ 2. Cho biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à, s2), s2 và à đều chưa biết và (x1, x2, …, xn) là mẫu cỡ n của X. Hóy tỡm ước lượng hợp lý cực đại của à. Giải. Hệ phương trỡnh hợp lý là = = 0 = = 0 Giải ra ta cú = và Đạo hàm riờng cấp 2 là ; Thế à = và s2 = vào cỏc đạo hàm riờng ta cú A = ; B = = 0 C = ị B2 − A.C = và A < 0 Vậy ( , ) là ước lượng hợp lý cực đại. Ä Ghi chỳ: - Trường hợp X là biến ngẫu nhiờn rời rạc, ta cũng định nghĩa tương tự khỏi niệm ước lượng hợp lý cực đại. - Ước lượng hợp lý cực đại là ước lượng vững (CM). Khi n khỏ lớn, nú cú phõn phối tiệm cận chuẩn và khỏ gần ước lượng hiệu quả. - Khỏi niệm ước lượng hợp lý cực đại định nghĩa theo (2) hoặc (3) dựa trờn quan điểm “giỏ trị của q trong thực tế là giỏ trị ứng với xỏc suất xảy ra lớn nhất” (vỡ vậy nú là hợp lý nhất). 2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG ã Định nghĩa. Cho biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối phụ thuộc tham số q, q ẻ H, và mẫu (x1, x2, …, xn). Khoảng [1, 2 ], trong đú 1 = 1(x1, x2, …, xn) và 2 = 2(x1, x2, …, xn), gọi là khoảng ước lượng (tin cậy) của tham số q với độ tin cậy g, 0 < g < 1 , nếu P{1 ≤ q ≤ 2 } = g ã Bài toỏn 1. Cho biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à,s2) với s đó biết và à chưa biết. Cho mẫu (x1, x2, …, xn) và g, 0<g<1. Hóy xỏc định khoảng tin cậy của à với độ tin cậy g. Giải. Đại lượng cú phõn phối chuẩn N(0,1). Gọi F(u) là hàm phõn phối chuẩn N(0,1), tức F(u) = Ta tỡm ug > 0 thoả g = P{ − ug ≤ ≤ ug } = F(ug) − F(-ug) = F(ug) − [1 − F(ug)] = 2.F(ug) − 1 Từ đú suy ra ug = Với ug ta cú g = P{ ≤ à ≤ } Vậy [ , ] là khoảng ước lượng (tin cậy) của à với độ tin cậy g. + Vớ dụ. Đo 25 lần chi tiết mỏy. Giả sử khụng cú sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiờn cú phõn phối chuẩn N(à,s2) với s = 10. Biết = 100 , hóy tỡm khoảng tin cậy của chiều dài chi tiết mỏy với độ tin cậy g = 0.99. Giải. Ta cú u0.99 = F−1(0.5 + 0.99/2) = F−1(0.995) = 2.575 ị = 100 − = 100 − 5.15 = 94.85 ; = 100 + = 100 + 5.15 = 105.15 Vậy [94.85 ; 105.15] là khoảng tin cậy của à với độ tin cậy 0.99. ã Bài toỏn 2. Cho biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à,s2) với s đó biết và à chưa biết. Cho d > 0 và g ẻR, 0<g<1, phải lấy mẫu cỡ (n) nhỏ nhất là bao nhiờu để ước lượng của à khụng sai khỏc với à quỏ d đơn vị với độ tin cậy g (P{| − à| ≤ d} ≥ g) ? Giải. Với ug = ta cú g = P{ ≤ à ≤ } ị g = P{ | − à| ≤ } Vậy để P{| − à| ≤ d} ≥ g n phải thoả ≤ d ị n ≥ Suy ra n nhỏ nhất là n = trong đú ộxự ký hiệu số nguyờn nhỏ nhất ≥ x. + Vớ dụ. Cho biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à,s2) với s2 = 25. Phải lấy mẫu cỡ (n) nhỏ nhất là bao nhiờu để ước lượng của à khụng sai khỏc với à quỏ d = 1 đơn vị với độ tin cậy g = 0.95. Giải. Theo trờn n nhỏ nhất là n = = = ộ1.962.25ự = ộ96.04ự = 97 ã Bài toỏn 3. Cho biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à,s2) với s và à chưa biết. Cho mẫu (x1, x2, …, xn) và g, 0<g<1. Hóy xỏc định khoảng tin cậy của à với độ tin cậy g. Giải. Ta xột đại lượng thống kờ ( s2 = ) Đại lượng này cú hàm phõn phối Student với n−1 bậc tự do, ký hiệu là Tk(t). Tương tự như bài toỏn 1, với tn−1,g = ta cú g = P{ ≤ à ≤ } Vậy [ , ] là khoảng tin cậy của à với độ tin cậy g. + Vớ dụ. Một giống lỳa gieo trờn 10 miếng đất thớ nghiệm cú điều kiện giống nhau, cho sản lượng tớnh theo cựng đơn vị như sau 25.4; 28.0; 20.1; 27.4; 25.6; 23.9; 24.8; 26.4; 27.0; 25.4 Hóy xỏc định khoảng tin cậy của sản lượng giống lỳa với độ tin cậy g = 0.95, biết sản lượng lỳa là đại lượng ngẫu nhiờn cú phõn phối chuẩn N(à,s2) với g và s2 chưa biết. Giải. Ta tớnh được = 25.4 và s = 2.24. và tra bảng ta cú t9, 0.95 = 2.262. Từ đú ta tớnh cỏc cận của khoảng tin cậy à1 = 25.4 − 2.262 . = 23.8 và à1 = 25.4 + 2.262 . = 27 Vậy khoảng tin cậy của sản lượng giống lỳa với độ tin cậy g = 0.95 là [23.8; 27] ã Bài toỏn 4. Cho biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à,s2) với s và à chưa biết. Cho mẫu (x1, x2, …, xn) và g, 0<g<1. Hóy xỏc định khoảng tin cậy của s2 với độ tin cậy g. Giải. Theo Định lý 3, bài V, chương 5 (Thống kờ mụ tả), đại lượng thống kờ cú phõn phối c2 với n − 1 bậc tự do. Ký hiệu ck(u) là hàm phõn phối của phõn phối c2 với k bậc tự do. Ta tỡm 2 số dương u1 và u2 sao cho = g Trong cỏc số u1 và u2 thoả điều kiện trờn, người ta thường chọn sao cho ị u1 = và 1 − ị u2 = Suy ra = g Vậy khoảng tin cậy của s2 với độ tin cậy g là + Vớ dụ. Xột vớ dụ ở bài toỏn 3. Xỏc định khoảng tin cậy của phương sai sản lượng lỳa s2 với độ tin cậy g = 0.9. Giải. Ta cú s2 = 2.242 = 5.02. Tra bảng hàm phõn phối ta được u1 = = 3.33 và u2 = = 16.92 Từ đú suy ra = 2.67 và = 13.57 Vậy khoảng tin cậy của phương sai sản lượng lỳa s2 với độ tin cậy g = 0.9 là [2.67; 13.57] ã Bài toỏn 5. Ước lượng tham số với mẫu cỡ lớn. Trong cỏc bài toỏn trước ta giả thiết X cú phõn phối chuẩn và sử dụng hàm phõn phối chớnh xỏc của cỏc đại lượng thống kờ. Tuy nhiờn, nếu cỡ mẫu lớn, ta cú thể sử dụng phõn phối tiệm cận chuẩn để tỡm khoảng tin cậy cho đơn giản. + Vớ dụ 1. Giả sử sự kiện A của phộp thử α cú xỏc suất p. Thực hiện phộp thử α n lần với n khỏ lớn. Giả sử A xuất hiện m lần. Hóy tỡm khoảng tin cậy của p với độ tin cậy g, 0 < g < 1. Giải. Theo định lý 2, bài VI, chương 5 (Thống kờ mụ tả), ta cú thể coi đại lượng cú phõn phối tiệm cận chuẩn N(0,1). Để tỡm khoảng tin cậy của p ta xấp xỉ p(1−p) ằ Từ đú suy ra Û Vậy ta cú khoảng tin cậy của p với độ tin cậy g là Vớ dụ, cho n = 4000; m = 3200; g = 0.95 ta tớnh được m/n = 0.8; = 0.0063 Tra bảng ta cú u0.95 = 1.96 Vậy khoảng tin cậy là [0.8 − 1.96 x 0.0063; 0.8 + 1.96 x 0.0063] = [0.788 ; 0.812] + Vớ dụ 2. Giả thiết như ở vớ dụ 1 và cho d > 0. Hỏi phải thực hiện ớt nhất bao nhiờu lần để m/n khụng sai khỏc p quỏ d với độ tin cậy g, tức P(|m/n − p| ≤ d) = g. Giải. Với n lớn ta cú thể coi đại lượng cú phõn phối tiệm cận chuẩn N(0,1). Ta cú = g ị = g Vậy để P(|m/n − p| ≤ d) = g n cần thoả ị n ≥ Vỡ p(1 − p) ≤ ẳ, nờn ta chỉ cần lấy n nhỏ nhất ≥ , tức n = Chẳng hạn, cần ước lượng tỉ lệ phế phẩm p trong lụ hàng với độ tin cậy g = 0.95 và sai số khụng quỏ d = 0.01. Hỏi phải lấy cỡ mẫu ớt nhất là bao nhiờu. Ta cú u0.95 = 1.96. Vậy cỡ mẫu ớt nhất là n = = + Vớ dụ 3. Cho biến ngẫu nhiờn X cú phõn phối chuẩn N(à,s2) với s và à chưa biết. Cho mẫu (x1, x2, …, xn) với n khỏ lớn và g, 0<g<1. Hóy xỏc định khoảng tin cậy của à với độ tin cậy g. Giải. Với n lớn (n>30), đại lượng thống kờ ( s2 = ) cú phõn phối tiệm cận chuẩn N(0,1). Ta cú = g ị = g Vậy khoảng tin cậy của à với độ tin cậy g là Chẳng hạn, cho n = 1376; = 70.4; s = 0.37; g = 0.99. Tra bảng ta cú u0.99 = 2.58. Vậy khoảng tin cậy là = [70.375; 70.425] ã Bài toỏn 6. Ước lượng trong trường hợp tập tổng thể hữu hạn và mẫu khụng lặp. Cho N phần tử, trong đú cú M phần tử cú tớnh chất α. Hóy ước lượng tỉ lệ p = với độ tin cậy g. Giải. Chọn ngẫu nhiờn n phần tử, gọi m là số phần tử cú tớnh chất α. đại lượng ngẫu nhiờn m cú phõn phối siờu hỡnh học P(m = k) =, k=0, 1, …, k0 (k0 = min{n,M}) với = p và = Vậy là ước lượng khụng chệch của p. Nếu N và n đủ lớn thỡ cú phõn phối tiệm cận chuẩn N(0,1). Từ đú suy ra = g Û = g trong đú ug = = Vỡ tham số p ở hai cận trờn chưa biết nờn cú thể thay nú bằng giỏ trị , tức là = g Suy ra khoảng ước lượng [p1; p2 ] của p = với độ tin cậy g cú cận dưới p1 = và cận trờn p2 = (i) Trường hợp biết N, ước lượng M: Từ p1 ≤ ≤ p2 với độ tin cậy g suy ra p1.N ≤ M ≤ p2.N với độ tin cậy g + Vớ dụ. Trong lụ 3000 hộp thịt lấy ra 200 hộp thỡ cú 40 hộp kộm chất lượng. Tỡm khoảng ước lượng của số hộp kộm chất lượng với độ tin cậy g = 90%. Giải. Ta cú N = 3000; n = 200; m = 40; g = 90%; Suy ra m/n=40/200 = 0.2; ug = 1.65 ; p1 = 0.2 − 0.045 = 0.155; p2 = 0.2 + 0.045 = 0.245; và p1.N = 0.155 x 3000 = 465; p2.N = 0.245 x 3000 = 735; Vậy 465 ≤ M ≤ 735 với độ tin cậy 90%. (ii) Trường hợp biết M, n khụng đỏng kể so với N, ước lượng N: Cú thể coi . Suy ra khoảng ước lượng [p1; p2 ] của p = với độ tin cậy g cú cận dưới p1 = và cận trờn p2 = Từ p1 ≤ ≤ p2 với độ tin cậy g suy ra ≤ N ≤ với độ tin cậy g + Vớ dụ. Để ước lượng số cỏ trong hồ người ta bắt 1000 con đỏnh dấu rồi thả lại xuống hồ. Sau đú bắt lần thứ hai 1000 con thỡ thấy cú 100 con đỏnh dấu. Hóy tỡm khoảng ước lượng số cỏ trong hồ với độ tin cậy 0.9. Giải. Gọi N là số cỏ trong hồ M = 1000 là số cỏ đỏnh dấu n = 1000 là số cỏ bắt lần thứ hai m = 100 là số cỏ đỏnh dấu bắt được lần thứ hai. Ta cú m/n = 100/1000 = 0.1; g = 90% ; ug = 1.65 và = 0.0157 ị p1 = 0.1 − 0.0157 = 0.0843; p2 = 0.1 + 0.0157 = 0.1157; và = 1000/0.1157 = 8643 và = 1000/0.0843 = 11862 Vậy 8643 ≤ N ≤ 11862 với độ tin cậy 90%. ã Bài toỏn 7. Ứng dụng bất đẳng thức Trebưsep. Cho X là biến ngẫu nhiờn cú phõn phối bất kỳ với phương sai s2 đó biết, (x1, x2, …, xn) là mẫu của X. Tỡm khoảng ước lượng của kỳ vọng à = E(X) với độ tin cậy g (0 < g < 1). Giải. Ta đó biết đại lượng cú E() = à và D(X) = . Theo bất đẳng thức Trebưsep, với e > 0 ta cú P{| − à| ≤ e } ≥ 1 − Vậy với hệ số tin cậy g cho trước ta chỉ cần xỏc định eg > 0 thoả 1 − = g ị eg = Khi đú khoảng ước lượng của à với độ tin cậy g là [ − eg ; + eg ] + Vớ dụ. Cõn 100 em bộ 18 thỏng ta được trọng lượng trung bỡnh là 12.8 kg. Biết trọng lượng em bộ 18 thỏng là đại lượng ngẫu nhiờn cú độ lệch quõn phương s = 2.1. Hóy xỏc định khoảng ước lượng của kỳ vọng với độ tin cậy g = 0.95. Giải. Ta cú eg = = = 0.939 Vậy khoảng ước lượng là [12.8 − 0.939; 12.8 + 0.939] = [11.861 ; 13.739]