Lý thuyết thông tin - Chương 1: Giới thiệu về tín hiệu và hệ thống

biên độ không đổi. Thí dụ, tín hiệu sin tăng theo dạng mủ )5cos(2 te t có thể xem là tổng của hai hàm mủ tje )52(  và tje )52(  với các tần số phức lần lượt là (2 + j5) và (2 – j5) và nằm bên phải mặt phẳng phức. Tín hiệu sin giảm theo dạng mủ )5cos(2  te t có thể xem là tổng của hai hàm mủ tje )52(  và tje )52(  với các tần số phức lần lượt là (- 2 + j5) và (- 2 – j5) và nằm bên phải mặt phẳng phức. Tín hiệu sin với biên độ không đổi )5cos( t có thể xem là tổng của hai hàm mủ tje 5 và tje 5 với các tần số phức lần lượt là 5j và nằm trên trục phức. Ta thấy là hàm mủ đơn điệu te 2 là tín hiệu sin tổng quát với tần số phức là 2 . 1.5 Các hàm đối xứng chẵn và đối xứng lẻ. Hàm )(tfe được gọi là hàm chẵn theo t nếu )()( tftf ee  (1.31) Hàm )(tfo được gọi là hàm lẻ theo t nếu )()( tftf oo  (1.32) Hàm chẵn có cùng giá trị tại các thời điểm t và –t, tức là đối xứng qua trục dọc, như vẽ ở hình 1.23a. Mặt khác, Hàm lẻ có giá trị ngược dấu nhau tại các tại thời điểm t và –t, còn gọi là phản đối xứng theo trục dọc, như vẽ ở hình 1.23b. 1.5-1 Các đặc tính của hàm đối xứng chẵn và đối xứng lẻ. Hàm chẵn và hàm lẻ có các đặc tính sau: hàm chẵn x hàm lẻ = hàm lẻ hàm lẻ x hàm lẻ = hàm chẵn hàm chẵn x hàm chẵn = hàm chẵn Có thể chứng minh các đặc tính này từ định nghĩa hàm chẵn và hàm lẻ [(phương trình (1.31) và (1.32)]. Diện tích Do )(tfe đối xứng theo trục dọc, theo hình 1.23a thì    a a a ee dttfdttf 0 )(2)( (1.33a) Và theo hình 1.23b thì   a a o dttf 0)( (1.33b) Chứng minh: dùng các định nghĩa trong các phương trình (1.31) và (1.32) và xem như bài tập. 1.5-2 Thành phần chẵn và thành phần lẻ của tín hiệu. Tín hiệu )(tf có thể biểu diễn thành tổng hai thành phần chẵn và lẻ, do: )]()([)]()([)( 2 1 2 1 tftftftftf  (1.34) = thành phần chẵn + thành phần lẻ Tử định nghĩa của phương trình (1.31) và (1.32), ta thấy thừa số thứ nhất của vế phải là hàm chẵn và thừa số thứ hai là hàm lẻ Xét hàm )()( tuetf at , phân tích thành phần chẵn )(tfe và lẻ )(tfo , ta có: )()()( tftftf oe  Từ phương trình (1.34) )]()([)( 2 1 tuetuetf atate   (1.35a) )]()([)( 2 1 tuetuetf atato   (1.35b) Hình 1.24 vẽ tín hiệu )(tue at cùng các thành phần chẵn và thành phần lẻ. ■ Thí dụ 1.8: Tìm thành phần chẵn và lẻ của tín hiệu jte . Từ phương trình (1.34) )()( tftfe oe jt  Với ]cos][)( 2 1 teetf jtjte   Và ]sin][)( 2 1 teetf jtjto   ■ 1.6 Hệ thống. Theo phần 1.1, ta thấy hệ thống được dùng xử lý tín hiệu nhằm thay đổi hay rút thông tin từ tín hiệu. Một hệ thống có thể gồm các phần tử vật lý (phần cứng) hay có thể gồm thuật toán để tính toán tín hiệu ngõ ra từ tín hiệu ngõ vào (phần mềm). Hệ thống được đặc trưng bởi các ngõ vào, các ngõ ra (hay đáp ứng) và luật hoạt động (hay luật) đủ để mô tả hoạt động của hệ thống. Thí dụ, trong hệ thống điện, luật hoạt động là các quan hệ dòng – áp quen thuộc của điện trở, tụ điện, cuộn dây, biến áp, transistor, v.v,, cùng các quan hệ liên kết (thí dụ luật Kirchoff). Dùng các luật này, tìm được phương trình toán học mô tả quan hệ giữa các ngõ vào và các ngõ ra. Các phương trình này được gọi là mô hình toán học của hệ thống. Vậy, hệ thống được đặc trưng từ các ngõ vào, các ngõ ra và mô hònh toán học. Một hệ thống có thể được mô tả dùng “hộp đen” với một tập các điểm vào của các biến vào )(,),(),( 21 tftftf j và một tập các điểm để quan sát các biến ra )(,),(),( 21 tytyty k . Chú ý, chiều mủi tên trong các biến trong hình 1.25 chỉ thị chiều của tác động . Việc nghiên cứu hệ thống có ba lĩnh vực: mô hình toán học, phân tích và thiết kế. Tuy đã đề cập đến mô hình toán học, nhưng ta quan tâm nhiều đến quá trình phân tích và thiết kế. Phần lớn nội dung trong sách này trình bày về bài toán phân tích, tức là phương thức xác định ngõ ra của hệ thống dưới tác động của các ngõ vào và mô hình toán học của hệ thống (hay luật điều khiểun hệ thống). Ngoài ra, ta còn khảo sát bài toán thiết kế hệ thống, là phương thức tạo hệ thống đẻ có ngõ ra mong muốn khi có tác động của các ngõ vào. Dữ liệu cần thiết để tính toán đáp ứng hệ thống. Để hiểu thêm về dữ liệu cần thiết khi tính toán đáp ứng hệ thống, xét mạch RC đơn giãn (hình 1.26) với ngõ vào là nguồn dòng )(tf . Điện áp ngõ ra cho bởi:   t df C tRfty  )( 1 )()( (1.36a) Cận của tích phân ở vế phải là từ  đến t do tích phân biểu diễn diện tích mà tụ nạp từ nguồn dòng )(tf , và điện tích này là kết quả của dòng điện qua tụ từ  . Viết lại phương trình (1.36a)    t df C df C tRfty 0 0 )( 1 )( 1 )()(  (1.36b) Thừa số thứ hai trong vế phải là điện áp tụ tại t = 0, điện áp )0(Cv , vậy  t C df C tRfvty 0 )( 1 )()0()(  (1.36c) Phương trình này có thể được tổng quát hóa là:  t t C df C tRftvty 0 )( 1 )()()( 0  (1.36d) Phương trình (1.36a) cho phép tính điện áp ngõ ra tại thời điểm t khi biết được dòng điện vào qua tụ trong suốt thời gian qua khứ (từ  đến t ). Mặt khác, khi ta biết được dòng điện vào )(tf tại thời điểm 0t , phương trình (1.26d) cho phép tính )(ty với 0tt  . Như thế, đáp ứng của hệ thống tại 0tt  được xác định từ các ngõ vào trong khoảng từ t0 đến t và các điều kiện đầu tại 0tt  . Trong thí dụ trên, ta chỉ có một điều kiện đầu. Tuy nhiên, các hệ thống phức tạp hơn cần có nhiều điều kiện đầu hơn. Thí dụ, trong mạch thụ động RCL, cần có các giá trị dòng điện qua cuộn dây và điện áp qua tụ để xác định các ngõ ra tại 0tt  khi các ngõ vào trong trong tầm ],0[ t . 1.7 Phân loại hệ thống. Hệ thống được phân loại thành: 1. Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến; 2. Hệ thống có tham số không đổi và hệ thống có tham số thay đổi theo thời gian; 3. Hệ thống tĩnh (không nhớ) và hệ thống động (có nhớ); 4. Hệ thống nhân quả và hệ thống không nhân quả; 5. Hệ thống có tham số tập trung và hệ thống có tham số phân bố 6. Hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc theo thời gian; 7. Hệ thống tương tự và hệ thống số; 1.7-1 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến Ý niệm về tính tuyến tính Hệ thống có ngõ ra tỉ lệ với các ngõ vào là một thí dụ về hệ thống tuyến tính. Tuy nhiên, tính tuyến tính còn bao hàm cả đặc tính cộng. Đặc tính này có thể được trình bày như sau: Hệ thống là tuyến tính nếu nguyên nhân 1c khi tác động riêng lẻ, tạo ảnh hưởng 1e , và nếu nếu nguyên nhân 2c khi tác động riêng lẻ, tạo ảnh hưởng 2e , thì khi tác động cả hai nguyên nhân này vào hệ thống, sẽ tạo ra ảnh hưởng chung 21 ee  . Vậy, nếu: 11 ec  và 22 ec  (1.37) Thì với cả c1 và c2: eecc  121 (1.38) Ngoài ra, hệ thống tuyến tính còn thỏa mãn tính đồng nhất hay tính tỉ lệ, tức là: ec  Thì với mọi k thực hay ảo kekc (1.39) Vậy, tuyến tính có hai đặc tính: tính đồng nhất (tỉ lệ) và tính cộng. Các đặc tính này được tổ hợp thành một đặc tính gọi là tính xếp chồng, có thể được biểu diễn như sau: Nếu 11 ec  và 22 ec  Thì với mọi giá trị hằng số k1 và k2. 22112211 ekekckck  (1.40) Đúng với mọi c1 và c2. Có vẽ như tính cộng đa bào hàm tính đồng nhất, tuy nhiên trong một số trường hợp, điều này không đúng, xem bài tập E1.11 dưới đây.  Bài tập E 1.11 Chứng tõ là hệ thống có ngõ vào (nguyên nhân) c(t) và ngõ ra (ảnh hưởng) e(t) với quan hệ e(t) = Re{c(t)} thỏa đặc tính cộng nhưng vi phạm tính đồng nhất. Vậy, tín hiệu là không tuyến tính: Hướng dẫn: chứng tõ phương trình (1.39) không thỏa khi k là số phức .  Đáp ứng của hệ thống tuyến tính Để đơn giãn, ta chỉ khảo sát hệ một ngõ và, một ngõ ra (hệ SISO), tuy nhiên còn mở rộng được cho trường hợp hệ nhiều ngõ vào, nhiều ngõ ra (hệ MIMO). Đáp ứng ra của hệ thống khi 0t là kết quả của hai nguyên nhân độc lập: điều kiện đầu của hệ thống (hay trạng thái hệ thống) tại 0t và ngõ vào )(tf tại 0t . Nếu hệ thống tuyến tính, thì ngõ ra phải là tổng của hai thành phần do hai nguyên nhân trên: thành phân đáp ứng khi ngõ vào là zêrô chỉ phụ thuộc vào điều kiện đầu tại 0t và ngõ vào 0)( tf tại 0t và thành phần đáp ứng trạng thái zêrô chỉ phụ thuộc ngõ vào )(tf tại 0t với điều kiện đầu được giả sử là zêrô. Khi mọi điều kiện đầu thích hợp đều là zêrô, thì hệ thống là trạng thái zêrô. Ngõ ra của hệ thống chỉ là zêrô khi ngõ vào là zêrô nếu hệ thống ở trạng thái zêrô. Tóm lại, đáp ứng của hệ tuyến tính được diễn tả thành tổng của thành phần ngõ vào zêrô và thành phần trạng thái zêrô. Đáp ứng tổng= đáp ứng ngõ vào zêrô + đáp ứng trạng thái zêrô (1.41) Đặc tính của hệ tuyến tính cho phép phân chia ngõ ra thành các thành phần tử điều kiện đầu và từ ngõ vào được gọi là đặc tính phân giải (decomposition property). Trường hợp mạch RC trong hình 1.26, đáp ứng )(ty được tính từ phương trình (1.36c). )0()( Cvty  +  t df C tRf 0 )( 1 )(  (1.42) = Thành phần ngõ vào-zêrô + thành phần trạng thái zêrô Phương trình (1.42) cho thấy: nếu 0)( tf tại 0t , ngõ ra )()( tvty C , thì ngõ ra )0()( Cvty  ; Do đó, )0(Cv là thành phần ngõ vào zêrô của đáp ứng )(ty . Tương tự, nếu trạng thái của hệ thống (trường hợp này là )(tvC ) là zêrô tại t = 0, ngõ ra là thành phần thứ hai của vế phải (1.42) và chính là thành phần trạng thái zêrô của đáp ứng )(ty . Hơn nữa, theo đặc tính phân giải, tính tuyến tính đòi hỏi các thành phần ngõ vào zêrô và thành phẩn trạng thái zêrô đều phải tuân thủ nguyên lý xếp chồng theo từng nguyên nhân tác động. Thí dụ, nếu ta tăng điều kiện đầu k lần, thành phần đáp ứng ngõ vào zêrô cũng phải tăng k lần. Tương tự, nếu tăng ngõ vào k lần, thì thành phần đáp ứng trạng thái zêrô cũng phải tăng k lần. Điều này đã được chứng minh ở phương trình (1.42) cho trường hợp mạch RC ở hình 1.26. Thí dụ, nếu ta tăng đôi điều kiện đầu )0(Cv , thì thành phần đáp ứng ngõ vào zêrô cũng tăng đôi; nếu ta tăng đôi ngõ vào, thì thành phần đáp ứng trạng thái zêrô cũng tăng đôi. ■ Thí dụ 1.9: Chứng tõ hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân: )()(3 tfty dt dy  (1.43) là hệ thống tuyến tính. Gọi )(1 ty và )(2 ty lần lượt là đáp ứng của hệ thống đối với các ngõ vào )(1 tf và )(2 tf , thì: )()(3 11 1 tfty dt dy  )()(3 22 2 tfty dt dy  Nhân phương trình đầu với k1, và phương trình thứ hai với k2, rồi cộng lại, có: )()()]()([3)]()([ 221122112211 tfktfktyktyktyktyk dt d  Với: )()()( 2211 tfktfktf  Và: )()()( 2211 tyktykty  Vậy khi ngõ vào là )()( 2211 tfktfk  , thì đáp ứng của hệ thống là )()( 2211 tyktyk  , nên là hệ thống là tuyến tính. Từ đây, ta có thể tổng quát hóa kết quả để chứng minh hệ thống mô tả phởi phương trình vi phân có dạng fb dt df b dt fd bya dt yd a dt yd m m mn n nn n 0101 1 1      (1.44) Là hệ thống tuyến tính. Các hệ số ai và bi trong phương trình có thể là hằng số hay là hàm theo thời gian. ■  Bài tập E 1.12 Chứng tõ hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân sau là hệ tuyến tính: )()32()(2 tfttyt dt dy  .   Bài tập E 1.13 Chứng tõ là hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân sau là hệ phi tuyến: )()(3)( tfty dt dy ty  .  Nhận xét thêm về hệ thống tuyến tính Hầu hết các hệ thống quan sát được trong thực tế đều trở thành phi tuyến khi áp tín hiệu vào đủ lớn. Tuy nhiên, nhiều hệ thống cũng phi tuyến đối với tín hiệu vào nhỏ. Phân tích các hệ này thường khó khăn. Tính phi tuyến có thể xuất hiện với nhiều dạng, nên thường không thể mô tả chúng theo dạng toán học thông thường được. Các hệ thống không chỉ được xếp theo lớp, mà trong từng hệ thống, khi thay đổi điều kiện đầu hay biên độ tín hiệu vào cũng làm thay đổi bản chất của vấn đề. Nói cách khác, đặc tính xếp chồng của hệ thống tuyến tính là nguyên lý độc nhất đủ mạnh để tìm nghiệm tổng quát. Đặc tính xếp chồng (tuyến tính ) đơn giản hóa rất nhiều việc phân tích hệ tuyến tính. Đặc tính phân giải cho phép ước lượng riêng biệt hai thành phần của ngõ ra. Thành phần ngõ vào zêrô có thể được tính với giả sử ngõ vào là zêrô, và thành phần trạng thái zêrô được tính với giả sử với điều kiện đầu là zêrô. Tuy nhiên, khi biểu diễn )(tf thành tổng những hàm đơn giãn hơn. )()()()( 2211 tfatfatfatf mm  Do tính tuyến tính, đáp ứng )(ty được viết thành )()()()( 2211 tyatyatyaty mm  (1.45) Với )(tyk là đáp ứng trạng thái zêrô của ngõ vào )(tfk . Điều này đưa đến nhiều hàm ý quan trọng, được nhắc tới nhiều trong các chương kế, cho thấy tính cực kỳ hữu dụng và mở ra hướng mới trong phân tích hệ thống tuyến tính. Thí dụ, xét hàm )(tf bất kỳ vẽ ở hình 1.27a. Có thể xấp xỉ )(tf dùng tổng của xung vuông có độ rộng t và độ cao thay đổi. Quá trình xấp xỉ được cải thiện khi 0t , tức là khi các xung vuông biến thành các xung cách nhau t giây (với 0t ). Như thế, ngõ vào bất kỳ có thể được thay bằng tổng trọng các xung cách nhau t giây (với 0t ). Do đó, nếu ta biết được đáp ứng của hệ thống với xung đơn vị, thì có thể xác định ngay được đáp ứng hệ thống với ngõ vào bất kỳ )(tf bằng cách cộng các đáp ứng hệ thống của từng thành phần xung của )(tf . Tương tự, trong hình 1.27b, thì )(tf được xấp xỉ dùng phép tổng nhiều hàm bước có biên độ khác nhau và cách khoảng nhau t . Phép xấp xỉ được cải thiện khi t giảm nhỏ dần. Như thế, nếu biết được đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào là hàm bước đơn vị, thì có thể tính được dễ dàng đáp ứng hệ thống với ngõ vào )(tf bất kỳ. Xu hướng này được dùng trong chương 2 khi phân tích hệ thống tuyến tính trong miền thời gian. Trong các chương 4, 6, 10 và 11 xu hướng này cũng được dùng với các tín hiệu cơ bản có dạng hàm sin hay hàm mủ. Khi đó, ta chứng minh là tín hiệu vào bất kỳ có thể được xem là tổng trọng của hàm sin (hay hàm mủ) với nhiều tần số khác nhau. Hiểu biết về đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào sin cho phép ta xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào )(tf bất kỳ. 1.7-2 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến Hệ thống có tham số không đổi theo thời gian là hệ thống bất biến (hay hệ có tham số hằng). Trong các hệ thống này, khi ngõ vào được làm trể T giây, thì ngõ ra vẫn như củ nhưng được trễ đi T giây (với giả sử có cùng điều kiện đầu). Đặc tính này được vẽ trong hình 2.28 Có thể chứng tõ được là hệ thống trong hình 1.26 là hệ bất biến theo thời gian. Mạch điện gồm các phần tử RCL và các phần tử tích cực thường dùng như transistor là hệ thống bất biến theo thời gian. Một hệ thống có quan hệ vào –ra mô tả dùng phương trình vi phân có dạng (1.44) là hệ thống tuyến tính - bất biến (LTI) khi các hệ số ai và bi của phương trình là hằng số. Khi các hệ số này là hàm theo thời gian, thì hệ thống là tuyến tính – thay đổi theo thời gian. Hệ thống mô tả trong bài tập E1.12 là hệ tuyến tính – thay đổi theo thời gian. Thí dụ khác của hệ tuyến tính – thay đổi theo thời gian là micrô than, trong đó giá trị điện trở R là hàm theo theo áp suất cơ học do âm thanh tác động lên các hạt than của micrô. Mạch tương được của micrô được vẽ ở hình 1.29. Đáp ứng là dòng điện i(t) và phương trình mô tả mạch là: )()()( )( tftitR dt tdi L  Phương trình có hệ số R(t) thay đổi theo thời gian, nên là hệ thay đổi theo thời gian.  Bài tập E 1.14 Chứng tõ hệ thống mô tả bằng phương trình sau là hệ có tham số thay đổi theo thời gian: )2()(sin)(  tftty . Hướng dẫn: Chứng tõ là hệ thống không có được đặc tính bất biến theo thời gian.  1.7-3 Hệ thống tức thời (tĩnh) và hệ thống động Từ quan sát trước, ta thấy ngõ ra của hệ thống tại thời điểm t thường phụ thuộc vào toàn bộ ngõ vào trước đó. Tuy nhiên, có một dạng đặc biệt mà ngõ ra tại thời điểm t chỉ phụ thuộc các ngõ vào tại thời điểm này. Thí dụ, trong mạng thuần trở, ngõ ra của mạng tại thời điểm t nào đó chỉ phụ thuộc ngõ vào tại thời điểm t này. Trong các hệ thống dạng này, không cần thông tin quá khứ khi xác định đáp ứng. Các hệ thống này được gọi là hệ thống tức thời (không có tính nhớ hay hệ thống tĩnh). Nói rõ hơn thì, hệ thống là hệ tức thời (hay không có tính nhớ) nếu ngõ ra tại thời điểm t, chỉ phụ thuộc vào cường độ của các tín hiệu vào tại thời điểm này, không phụ thuộc vào các giá trị quá khứ hay tương lai của các ngõ vào. Ngược lại là hệ thống động (hệ thống có nhớ). Hệ thống có đáp ứng tại t được xác định hoàn toàn bởi tín hiệu vào trong khoảng T giây trước đó [khoảng thời gian từ (t - T) đến T] được gọi là hệ thống có nhớ hữu hạn (finite-memory) trong T giây. Mạng chứa phần tử cảm và điện dung thường là nhớ hữu hạn do đáp ứng của các mạng này tại thời điểm t, thì được xác định từ các ngõ vào trong suốt quá khứ (-, t). Điều này đúng với mạch RC trong hình 1.26. Trong tài liệu này, ta chủ yếu khảo sát hệ thống động. Hệ thống tức thời được xem là trường hợp đặc biệt của hệ thống động. 1.7-4 Hệ thống nhân quả và hệ thống không nhân quả. Hệ nhân quả (còn gọi là hệ vật lý hay hệ không dự đoán trƣớc (non- anticipative)) là hệ có ngõ ra tại thời điểm bất kỳ t0 chỉ phụ thuộc vào giá trị của ngõ vào f(t) tại 0t . Nói cách khác, giá trị của ngõ ra hiện tại chỉ phụ thuộc vào các giá trị quá khứ và hiện tại của f(t), không phụ thuộc vào giá trị tương lai của f(t). Đơn giãn hơn thì trong hệ nhân quả, ngõ ra không thể bắt đầu trước khi áp tín hiệu vào. Nếu đáp ứng bắt đầu trước khi có ngõ vào, tức là hệ thống biết được trị của tương lai trong tương lai và tác động dựa theo kiến thức này trước khi có tín hiệu vào. Hệ thống vi phạm điều kiện nhân quả thì được gọi là không nhân quả (hay hệ dự đoán trƣớc). Các hệ thống thực tế vận hành trong thời gian thực thì nhất thiết phải là hệ nhân quả. Ta vẫn chưa biết cách nào để xây dựng hệ thống đáp ứng được với các ngõ vào tương lai (các ngõ vào chưa được áp vào hệ thống. Hệ thống không nhân quả là hệ thống tiên tri, đáp ứng được với các ngõ vào tương lai và đáp ứng với chúng trong thời gian hiện tại. Vậy, nếu ta áp vào một tín hiệu tại t = 0 vào hệ thống không nhân quả, thì ngõ ra có thể bắt đầu trước cả khi t = 0. Thí dụ, xét hệ thống đặc trưng bởi )2()2()(  tftfty (1.46) Tín hiệu vào f(t) trong hình 1.30a, tạo ngõ ra y(t), tính từ phương trình 1.46 (vẽ ở hình 1.40b), bắt đầu trước khi áp tín hiệu ngõ vào. Phương trình (1.46) cho thấy ngõ ra y(t) tại thời điểm t, được cho bởi tổng của giá trị vào trước t hai giây và ngõ vào sau t hai giây (tại t – 2 và t + 2). Nhưng nếu ta vận hành hệ thống theo thời gian thực của t, ta sẽ không biết được giá trị của ngõ sau sau t hai giây. Tức là không thể thiết lập được hệ thống này trong thời gian thực. Do đó, không thực hiện được hệ không nhân quả trong thời gian thực. Tại sao cần nghiên cứu hệ không nhân quả? Từ thảo luận nói trên, có vẽ như là hệ không nhân quả không có mục đích thực tế. Điều này chưa đúng, việc nghiên cứu hệ không nhân quả có giá trị do nhiều nguyên nhân. Thứ nhất, hệ không nhân quả thực hiện được khi biến độc lập không phải là thời gian (thí dụ là biến không gian). Thí dụ, xét điện tích có mật độ q(x) đặt theo trục x với 0x . Mật độ điện tích này tạo điện trường )(xE hiện diện tại mỗi điểm trên trục x từ x đến  . Trong trường hợp ngõ vào [thí dụ điện tích q(x)] bắt đầu từ x = 0. Rõ ràng, hệ điện tích không gian này là không nhân quả. Phần thảo luận này cho thấy là chỉ có hệ có biến thời gian độc lập cần phải là nhân quả để có thể thực hiện được. Các hệ không dùng biến thời gian độc lập, như các hệ quang học, thực hiện được dù không là hệ nhân quả. Tuy nhiên, ngay cả với các hệ dùng biến thời gian độc lập dùng trong xử lý tín hiệu thì việc nghiên cứu hệ không nhân quả vẫn quan trọng. Trong các hệ không nhân quả này, ta có thể có được dữ liệu đã được ghi nhận trước đó (thường xuất hiện trong các tín hiệu tiếng nói, địa vật lý, và khí tượng dùng các đầu dò không gian). Trong các trường hợp này, ta đã có được các giá trị tương lai của tín hiệu (so với thời điểm khảo sát t). Thí dụ, giả sử ta đã có tập ghi giá trị các tín hiệu vào của hệ thống mô tả bởi phương trình (1.46). Từ đó, tính được y(t), do tại từng thời điểm t, chỉ cần tìm trong tập dữ liệu đã có để biết được các giá trị ngõ vào tại các thời điểm trước hai giây hay sau hai giây so với t. Vậy là thực hiện được hệ không nhân quả, dù không tại thời gian thực. Ta có thể thực hiện được hệ không nhân quả, với điều kiện chấp nhận ngõ ra với thời gian trễ. Xét hệ thống có ngõ ra )(ˆ ty là tín hiệu )(ty trong phương trình (1.46) được làm trễ hai giây (hình 1.30c), nên: )()4()2()(ˆ tftftyty  Với giá trị của ngõ ra )(ˆ ty tại các thời điểm t là tổng các giá trị của ngõ vào f và t tại thời điểm sớm hơn t bốn giây [tại (t – 4)]. Trường hợp này, ngõ ra tại thời điểm t không phụ thuộc vào giá trị tương lai của ngõ vào, nên hệ thống là nhân quả. Ngõ ra )(ˆ ty của hệ, giống với phương trình (1.46) hay hình 1.30 trừ yếu tố trễ hai giây. Như thế, hệ không nhân quả có thể thực hiện được hay thỏa một cách xấp xỉ trong thời gian thực dùng hệ nhân quả có trễ. Lý do thứ ba để nghiên cứu hệ không nhân quả do hệ cung cấp biên trên của tính năng hệ nhân quả. Thí dụ nếu muốn thiết kế mạch lọc để tách tín hiệu khỏi nhiễu, thì bộ lọc tối ưu rõ ràng là hệ không nhân quả. Dù không thực hiện được, tính năng của hệ không nhân quả hoạt động như giới hạn trên phần hiệu năng thực hiện được và cung cấp chuẩn để ước lượng tính năng của mạch lọc nhân quả. Thoáng nhìn thì hệ không nhân quả có vẽ bí hiểm. Thực ra, hệ không có gì là bí mật và có thể thực hiện xấp xỉ dùng hệ vật lý với khâu trễ. Nếu ta muốn biết việc sắp xảy ra trong năm tới, thì có hai lựa chọn: đến gặp nhà tiên tri (nhân vật không thực hiện được) cho ta kết quả tức thời, hay tìm gặp một nhà thông thái, và cho ông ta một thời gian trễ là một năm để cho ta kết quả. Nếu nhà thông thái này thực sự là thông thái, ông ta có thể đoán được tương lai trong thời gian trễ ít hơn một năm thông các xu hướng phát triển. Đó chính là trường hợp của hệ không nhân quả, không hơn không kém.  Bài tập E 1.15 Chứng tõ hệ thống mô tả bởi phương trình sau là không nhân quả     5 5 )()( t t dfty  Chứng tõ là có thể thực hiện được hệ nếu ta chấp nhận ngõ ra với khâu trễ 5 giây .  1.7-5 Hệ thống có tham số tập trung và hệ tham số phân bố Khi nghiên cứu hệ thống điện, ta thường dùng quan hệ dòng – áp cho nhiều linh kiện khác nhau (thí dụ, do luật Ohm). Khi thực hiện, ta thường giả sử là dòng qua các linh kiện (điện trở, tụ, v.v,) là như nhau tại mọi vị trí của linh kiện. Như thế, ta đã giả sử tín hiệu điện lan truyền tức thời qua linh kiện, Tuy nhiên, thực tế thì tín hiệu điện là sóng không gian điện từ đòi hỏi thời gian lan truyền hữu hạn. Thí dụ, dòng điện lan truyền qua linh kiện với vận tốc hữu hạn và có thể có các giá trị khác nhau tại các vị trí khác nhau trong cùng linh kiện. Như thế, dòng điện là hàm không chỉ theo thời gian mà còn theo không gian. Tuy nhiên, khi kích thước thật của linh kiện nhỏ so với bước sóng của tín hiệu truyền, ta có thể giả sử dòng điện qua linh kiện là không đổi. Giả sử này tạo ra hệ có tham số tập trung, trong đó từng linh kiện được xem là có giá trị tập trung tại một điểm trong không gian. Giả sử này thường đúng ở tần số thấp (bước sóng dài). Như thế, trong mô hình tham số tập trung, tín hiệu được xem là chỉ phụ thuộc vào biến thời gian, nên phương trình hệ thống chỉ cần một biến độc lập (biến thời gian), và là phương trình vi phân thông thường. Ngược lại, trong hệ thống tham số phân bố như đường dây dài, ống dẫn sóng, anten, và đèn ở tần số vi ba, thì các giả sử về tham số tập trung không còn giá trị. Các tín hiệu này làm hàm của cả không gian và thời gian, nên mô hình toán học phải có dạng phương trình vi phân riêng phần. Tài liệu này chỉ thảo luận về hệ có tham số tập trung. 1.7-6 Hệ thống liên tục và hệ rời rạc theo thời gian. Phần 1.2-1 đã phân biệt rõ giữa tín hiệu rời rạc và liên tục theo thời gian. Hệ thống có các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu liên tục theo thời gian được gọi là hệ thống liên tục. Mặt khác, hệ có các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu rời rạc theo thời gian được gọi là hệ thống rời rạc. Khi lấy mẩu tín hiệu liên tục, ta có tín hiệu rời rạc. Có thể xử lý tín hiệu liên tục thông qua xử lý các mẩu này dùng hệ thống rời rạc. 1.7-7 Hệ thống analog và hệ thống số (digital) Các tín hiệu analog và số đã được thảo luận trong phần 1.2-2. . Hệ thống có các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu analog được gọi là hệ thống analog. Mặt khác, hệ có các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu số được gọi là hệ thống số. Máy tính số là một thí dụ về hệ thống số (hệ nhị phân), và ta thấy rằng máy tính cũng đồng thời là hệ thống số và là hệ thống rời rạc theo thời gian. Các phƣơng pháp khác dùng xếp loại hệ thống Còn có nhiều dạng hệ thống khác, như hệ thống khả nghịch (invertible) và hệ thống không khả nghịch (noninvertible). Một hệ thống S thực hiện một số tác động lên tín hiệu vào, nếu có thể dùng ngõ ra y(t) để tái tạo tín hiệu ngõ vào f(t), hệ thống S được gọi là hệ thống khả nghịch. Hệ thống không khả nghịch, thì nhiều ngõ vào khác nhau có thể tạo ra cùng ngõ ra (thí dụ bộ nắn điện), nên không thể xác định được tín hiệu vào từ ngõ ra đã biết. Như thế, trong hệ thống khả nghịch, mỗi tín hiệu vào riêng biệt sẽ tạo ra được tín hiệu ra riêng biệt tương ứng, tức là phép áp một-một giữa ngõ vào và ngõ ra tương ứng, đảo bảo là mỗi ngõ ra chỉ có một ngõ vào độc nhất. Hệ thống nhằm tạo tác động nghịch nhằm khôi phục tín hiệu vào từ tín hiệu ra được gọi là hệ thống nghịch của S. Thí dụ, hệ thống có ngõ ra quan hệ với ngõ vào theo phương trình btafty  )()( là hệ thống khả nghịch. Nhưng bộ nắn điện, đặc trưng bởi phương trình )()( tfty  là hệ thống không khả nghịch vì không tái tạo được ngõ ra từ hệ thống dạng này. Bộ vi phân lý tưởng là không khả nghịch do khi lấy tích phân ngõ ra ta không khôi phục lại được tín hiệu gốc, trừ khi biết được một phần thông tin về tín hiệu. Thí dụ, nếu 53)(  ttf , ngõ ra của bộ vi phân là 3)( ty . Nếu ngõ ra này được áp vào bộ tích phân, thì ngõ ra là ct 3 , với c là hằng số bất kỳ. Nếu ta biết một phần thông tin về )(tf , thí dụ 5)0( f , ta có thể xác định được ngõ vào là 53)(  ttf . Như thế, bộ vi phân có biết một phần thông tin (được gọi là thông tin phụ) là hệ thống khả nghịch. Tương tự, hệ thống gồm hai bộ vi phân nối đuôi nhau là hệ thống khả nghịch, nếu ta biết được hai thông tin phụ về tín hiệu vào. Ngoài ra, hệ thống còn có thể là hệ thống ổn định và hệ thống không ổn định. Các chương tiếp sẽ thảo luận kỹ hơn về ý niệm ổn định.  Bài tập E 1.1 Chứng tõ hệ thống mô tả bởi phương trình )()( 2 tfty  là không khả nghịch.  1.8 Mô hình hệ thống: Mô tả vào – ra. Như đã nói, lý thuyết hệ thống liên quan đến nhiều dạng hệ thống, như điện, cơ, thủy lực, âm học cơ – điện, và hóa học cùng các hệ xã hội, kinh tế, và sinh học. Bước đầu trong phân tích bất kỳ hệ thống nào là kiến tạo mô hình hệ thống, là biểu thức toán học hay luật nhằm thỏa mãn một cách xấp xỉ đặc tính động của hệ thống. Chương này chỉ xem xét hệ thống liên tục theo thời gian. (Chương 8 thảo luận về hệ thống rời rạc theo thời gian.) Để kiến tạo mô hình hệ thống, ta cần nghiên cứu quan hệ giữa nhiều biến trong hệ thống. Thí dụ trong hệ thống điện, ta cần xác định mô hình thỏa quan hệ dòng – áp của từng phần tử, như luật Ohm cho điện trở. Hơn nữa, ta còn phải xác định nhiều dạng ràng buộc về điện áp và dòng điện khi kết nối nhiều linh kiện điện lại với nhau. Các luật về kết nối như luật Kirchoff về điện áp và dòng điện. Từ các phương trình này, ta lượt bớt các biến không mong muốn, để có được quan hệ giữa biến ra theo biến vào. Thí dụ sau đây trình bày phương pháp tìm quan hệ vào – ra của một số hệ tuyến tính – bất biến dạng điện. ■ Thí dụ 1.10: Trong mạch RCL hình 1.31, tìm phương trình vào – ra giữa điện áp vào )(tf và dòng điện ta y(t). Dùng luật Kirchoff về điện áp qua vòng kín, ta có: )()()()( tftvtvtv CRL  (1.47) Áp dụng luật dòng – áp cho từng thành phần mạch (cuộn dây, trở và tụ), ta viết được phương trình có dạng: )()(2)(3 tfdyty dt dy t     (1.48) Lấy vi phân hai vế của phương trình dt df ty dt dy dt yd  )(23 2 2 (1.49) Phương trình vi phần này là quan hệ vào – ra giữa ngõ ra y(t) và ngõ vào f(t). ■ Thực tế cho thấy nên dùng ý niệm D thay cho dt d , với )(tDy dt dy  (1.50) )( 2 2 tDy dt yd  (1.51) Và tiếp tục, từ đó phương trình (1.49) được viết lại thành )()()23( 2 tDftyDD  (1.52) Toán tử vi phân là nghịch của toán tử tích phân, nên có thể dùng toán tử 1/D để biểu diễn tích phân.    t ty D dy )( 1 )(  (1.53) Phương trình (1.48) cũng được viết lại thành )()( 2 3 tfty D D        (1.54) Do đó, phương trình (1.48) được viết lại thành: )()()23( 2 tDftyDD  (1.55) Đây chính là phương trình (1.52) Nhắc lại là phương trình (1.55) không phải là phương trình đại số, và 232  DD không phải là thừa số đại số nhân với y(t); mà là toán tử tác động lên y(t). Tức là ta phải thực hiện các phép tính sau lên y(t). Lấy đạo hàm bậc hai lên y(t) và cộng với 3 lần đạo hàm bậc nhất của y(t) và 2 lần y(t). Rõ ràng, đa thức chứa D nhân với y(t) biểu diễn một số toán tử vi phân tác động lên y(t). ■ Thí dụ 1.11: Tìm phương trình quan hệ vào – ra của mạch RC nối tiếp trong hỉnh 1.32 khi điện áp ngõ vào f(t) và ngõ ra lần lượt là: (a) dòng điện vòng x(t) (b) điện áp ra trên tụ y(t). (a) Phương trình vòng của mạch là    t tfdx C tRx )()( 1 )(  (1.56) Hay    t tfdxtx )()(5)(15  (1.57) Dùng ý niệm toán tử, viết lại phương trình )()( 5 )(15 tftx D tx  (1.58) Nhân hai vế của phương trình với D, (tức là lấy vi phân hai vế), ta có )()()515( tDftxD  (1.59a) hay dt df tx dt dx  )(515 (1.59b) (b) Hơn nữa, do )( 5 1 )( tDy dt dy Ctx  Thế vào phương trình (1.59a) )()()13( tftyD  (1.60) Hay )()(3 tfty dt dy  (1.61) ■  Bài tập E 1.7 Từ mạch hình 1.31, tìm quan hệ vào – ra khi ngõ ra là điện áp qua cuộn dây )(tvL . Hướng dẫn: )()()( tDytLDytvL  . Đáp số )()()23( 22 tfDtvDD L  .   Bài tập E 1.8 Từ mạch hình 1.31, tìm quan hệ vào – ra khi ngõ ra là điện áp qua tụ )(tvC . Hướng dẫn: )( 2 )( 1 )( ty D ty CD tvL  . Đáp số )(2)()23( 2 tftvDD C  .  ■ Thí dụ 1.12: Hệ chuyển động quay có phương trình chuyển động tương tự như trong trường hợp hệ dịch chuyển. Thay vì lực F, ta có momen xoắn T . Thay vì khối lượng M, ta có momen quán tính J, thay vì gia tốc tuyến tính x , ta có gia tốc góc  . Phương trình chuyển động cho hệ quay là JT  (thay vì là xMF  ). Rất nhiều hệ thống điện cơ chuyển đổi năng lượng điện thành chuyển động cơ học và ngược lại. Hảy xem xét thí dụ đơn giản về hệ thống điều khiển phần ứng (với dòng điện phần cảm fi không đổi) của động cơ DC, như vẽ ở hình 1.33a. Gọi à vị trí góc quay của rôto, momen )(tT do rôto tạo ra tỉ lệ với dòng điện phần ứng )(tf , vậy: )()( tfKtT T (1.62) Với TK là hằng số của động cơ. Momen này truyền động một tải cơ khí được vẽ ở hình 1.33b. Hệ số nhờn đàn hồi (có hệ số B), tỉ lệ với vận tốc quay  , tạo momen tiêu hao B . Với J là momen quá tính của tải (bao gồm cả rôto của động cơ) thì momen )()( tBtT  phải bằng với )(tJ ; vậy )()()( tBtTtJ    (1.63) Nên )()()()( 2 tfKtTtBDJD T  (1.64) Có thể viết thành )()()( 1 tfKtaDD   Với JBa / và JKK T /1  . ■ 1.8-1 Mô tả nội tại và mô tả bên ngoài của hệ thống Từ kiến thức về cấu trúc nội tại của hệ thống, ta viết được phương trình hệ thống dùng mô tả nội tại của hệ thống. Ngược lại, khi mô tả hệ thống từ ngõ vào và đầu ra của hệ thống thì gọi là mô tả bên ngoài. Để hiểu được mô tả bên ngoài, giả sử hệ thống được đặt trong một “hộp đen” chỉ quan sát được các ngõ vào và các đầu ra mà thôi. Để mô tả đặc tính của hệ thống dạng này, ta cần thực hiện một số đo lường tại các điểm trên. Thí dụ, ta có thể áp vào một tín hiệu đã biết, thí dụ hàm xung hay hàm bước, rồi đo lường tại ngõ ra của hệ thống. Mô tả có được từ phép đo này cho ta mô tả bên ngoài của hệ thống. Giả sử mạch trong hỉnh 1.34a có ngõ vào f(t) và ngõ ra y(t) được được gói gọn trong “hộp đen” và chỉ truy cập được từ các đầu vào và đầu ra. Trong điều kiện này thì chỉ có một phương pháp để mô tả hay đặc trưng hệ thống là dùng pháp đo lường bên ngoài. Thí dụ ta có thể áp nguồn điện áp đã biết f(t) tại đầu vào và đo ngõ ra tương ứng y(t). Từ thông tin này, ta có thể mô tả hay đặc trưng được hệ thống. Đây là phương pháp mô tả bên ngoài. Giả sử điện áp ban đầu của tụ là zêrô, điện áp vào f(t) tạo dòng điện ra i (hình 1.34a), được chia đều giữa hai nhánh do bản chất cân bằng của mạch điện. Do đó, điện áp qua tụ tiếp tục được giữ ở zêrô. Như thế, khi tính dòng điện i, có thể gở bỏ tụ hay thay thế bằng ngắn mạch. Mạch tương được được vẽ lại ở hình 1.34b. Như thế theo hình 1.34b thì f(t) nhìn thấy trở 5 , và )( 5 1 )( tfti  Đồng thời, do ,)2/(2)( iixty  )( 5 1 )( tfty  (1.66) Mạch tương đương nhìn từ đầu bên ngoài của hệ thống được vẽ ở hình 1.34b. Rõ ràng là trong mô tả bên ngoài, tụ không tồn tại. Trong hầu hết các hệ thống thì mô tả nội tại và mô tả bên ngoài giống nhau, nhưng cũng có một ít ngọai trừ, thí dụ như trường hợp vừa nêu, theo đó mô tả bên ngoài chưa mô tả đúng hình ảnh của hệ thống. Điều này xuất hiện khi hệ thống là không điều khiển đƣợc và/hay không quan sát đƣợc. Hình 1.35a và 1.35b cho thấy biểu diễn cấu trúc của một hệ thống đơn giản lần lượt có tính chất không điều khiển được và không quan sát được. Trong hình 1.35a, ta ghi nhận là phần của hệ thống (hệ con S2) nằm bên torng hộp không thể điều khiển được từ ngõ vào f(t). Trong hình 1.35b một số ngõ ra của hệ thống (nằm trong hệ con S2) không thể quan sát được từ các đầu ra. Nếu muốn mô tả một trong các hệ thống này dùng phép áp tín hiệu bên ngoài )(tf rồi đo ngõ ra )(ty , thì đo lường không đặc trưng được toàn bộ hệ thống mà chỉ đặc trưng một phần của hệ (trường hợp này là hệ con S1) là hệ có cả tính quan sát được và điêu khiển được (kết nói được được cả ngõ vào và ngõ ra). Hệ thống loại này thường không mong muốn trong thực tế và cần tránh trong các thiết kế hệ thống. 1.9 Tóm tắt Tín hiệu là tập thông tin hay dữ liệu. Hệ thống xử lý tín hiệu vào, biến đổi hay rút thêm thông tin từ chúng để tại tín hiệu ra (đáp ứng). Hệ thống có thể thực hiện dùng phần tử vật lý (phần cứng) hay dùng thuật toán để tính tín hiệu ra từ tính hiệu vào (phần mềm) Đo lường thích hợp kích thước của tín hiệu là năng lượng khi tín hiệu là vô hạn. Nếu năng lượng tín hiệu là vô hạn, thì đo lường thích hợp là công suất, nếu tồn tại. Công suất tín hiệu là trung bình theo thời gian của năng lượng tín hiệu (trung bình trong toàn bộ thời gian từ  đến  . Đối với tín hiệu tuần hoàn, thì phép trung bình chỉ thực hiện trong một chu kỳ, do tính lặp lại có chu kỳ của tín hiệu). Công suất tín hiệu là trị trung bình – bình phương của tín hiệu (lấy trung bình trong toàn thời gian từ  đến  . Tín hiệu có thể được phân loại theo: 1. Tín hiệu liên tục theo thời gian xác định tại giá trị liên tục của biến độc lập (thường là biến thời gian t). Tín hiệu rời rạc theo thời gian chỉ xác định với tập các thời điểm hữu hạn hay đếm được. 2. Tín hiệu analog là tín hiệu có giá trị biên độ là liên tục. Mặt khác, tín hiệu có biên độ chỉ có số hữu hạn giá trị là tín hiệu số. Thuật ngữ rời rạc theo thời gian hay liên tục theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu dọc theo trục thời gian (truc ngang), Thuật ngữ analog hay số , thì cho thấy bản chất của biên độ tín hiệu (trục dọc) 3. Tín hiệu tuần hoàn được định nghĩa với )()( 0Ttftf  với trịc bé nhất của 0T thỏa hệ thức trên được gọi là chu kỳ. Tín hiệu tuần hoàn giữ nguyên giá trị khi được dời đi các khoảng là bội số của chu kỳ. Tín hiệu tuần hoàn còn được tạo ra từ bằng cách mở rộng theo chu kỳ các đoạn của )(tf với độ rộng là 0T . Cuối cùng, theo định nghĩa thì tín hiệu tuần hoàn phải tồn tại trong suối thời gian  t . Tín hiệu là không tuần hoàn khi không có chu kỳ. Tín hiệu không dừng bắt đầu bắt đầu từ t đến t . Tín hiệu nhân quả là tín hiệu là zêrô khi 0t . Do đó, tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu không dừng. 4. Tín hiệu có năng lượng hữu hạn bắt đầu từ t đến t . 5. Tín hiệu đã biết được hoàn toàn mô tả vật lý dạng toán học hay dạng đồ thị được gọi là tín hiệu xác định. Tín hiệu ngẫu nhiên là tín hiệu chỉ biết được các thừa số củ mô tả ngẫu nhiên như trị trung bình, trị trung bình bình phương, v. v,, thay vì dạng mô tả toán học hay dạng đồ thị. Tín hiệu f(t) được làm trễ T giây (dời phảỉ) được viết thành f( t- T) ; mặt khác, f(t) được làm sớm (dời trái) được viết thành f(t + T . Tín hiệu f(t) được nén theo theo thời gian với tỉ lệ a (a>1) viết thành f(at), mặt khác, tín hiệu giãn theo thời gian được viết thành )( 1 a f . Tín hiệu nghịch theo thời gian viết thành f( - t). Hàm bước đơn vị u(t) rất hữu dụng để biểu diễn tín hiệu nhân quả và tín hiệu có nhiều dạng mô tả toán học tại các thời khoảng khác nhau. Theo định nghĩa truyền thống, hàm xung đơn vị )(t được đặc trưng bằng diện tích đơn vị, và tín hiệu tập trung chỉ tại một thời điểm t = 0. Hàm xung có đặc tính lấy mẩu (hay đặc tính dời), theo đó phần diện tích của tích một hàm với xung đơn vị thì bằng với giá trị hàm này tại thời điểm tồn tại xung đơn vị (với giả sử là hàm liên tục tại vị trí tồn tại của xung). Theo xu hướng hiện đại, hàm xung được xem là hàm tổng quát và được định nghĩa từ đặc tính lấy mẩu. Hàm mủ est, trong đó s là số phức, liên quan đến nhiều loại tín hiệu bao gồm từ hằng số, hàm mủ đơn điệu, hàm sin, và hàm sin thay đổi theo dạng mủ. Tín hiệu đối xứng theo trục dọc (t = 0) là hàm chẵn theo thời gian và phản đối xứng theo trục dọc là hàm lẻ theo thời gian. Tích của hàm chẵn với hàm lẻ là hàm lẽ theo thời gian. Tuy nhiên, tích của hàm chẵn với hàm chẵn hay tích của hàm lẻ với hàm lẻ là một hàm chẳn. Diện tích của hàm lẻ từ t = - a đến a luôn luôn là zêrô, bất chấp giá trị của a. Mặt khác, diện tích của phần chẵn từ t = - a đến a luôn là hai lần phần diện tích của tích hiệu lấy từ t =0 đến a (hay từ t =-a đến 0). Các tín hiệu đều có thể viết thành tổng của hàm chẵn và hàm lẻ theo thời gian. Hệ thống xử lý các tín hiệu ngõ vào để tạo các tín hiệu ngõ ra (đáp ứng). Ngõ vào là nguyên nhân còn ngõ ra là hậu quả. Thông thường, ngõ ra bị tác động bởi hai nguyên nhân: điều kiện nội tại của hệ thống (như các điều kiện đầu) và tín hiệu tác động bên ngoài. Có nhiều phương pháp phân loại hệ thống: 1. Hệ thống tuyến tính được đặc trưng từ tính tuyến tính, bao hàm tính xếp chồng; nếu có nhiều nguyên nhân (thí dụ như có nhiều ngõ vào và nhiều điều kiện đầu) tác động vào hệ thống tuyến tính, thì đáp ứng tổng là tổng của đáp ứng do từng nguyên nhân, với điều kiện các tác động khác là không tồn tại. Hệ phi tuyến là hệ không tuyến tính. 2. Hệ bất biến theo thời gian được đặc trưng từ các tham số của hệ thống là không đổi theo thời gian. Tham số của hệ không bất biến thì thay đổi theo thời gian. 3. Trong hệ thống không có tính nhớ (hệ tức thời), đáp ứng ra tại thời điểm t chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại của ngõ vào (tại thời điểm t). Trong hệ có tính nhớ (còn gọi là hệ thống động), đáp ứng của hệ thống tại thời điểm bất kỳ t không chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại của ngõ vào, mà còn phụ thuộc trị quá khứ của ngõ vào (trị trước thời gian t). 4. Ngược lại, nếu đáp ứng của hệ thống tại t chỉ phụ thuộc vào các giá trị tương lai của ngõ vào (giá trị của ngõ vào sau t), thì hệ thống là không nhân quả. Trong hệ nhân quả, đáp ứng không phụ thuộc vào trị tương lai của ngõ vào. Ngõ ra hệ không nhân quả phụ thuộc vào các giá trị tương lai của ngõ vào, nên đáp ứng ra xuất hiện trước khi có nguyên nhân. Khi hệ không nhân quả có biến độc lập là thời gian (hệ thời gian), thì hệ là hệ dự báo, nên không thể thực hiện được hệ thống trong thực tế, dù cho có được phép xấp xỉ gần đúng với một số khâu trễ tại ngõ ra. Hệ không nhân quả có biến độc lập khác biến thời gian (thí dụ có biến không gian) thì thực hiện được. 5. Nếu các phẩn tử trong hệ thống có kích thước bé so với độ dài sóng của tín hiệu, ta có thể giả sử là mỗi phần tử là có tham số tập trung, và hệ thống được xem là hệ có tham số tập trung. Trong giả sử này thì các tín hiệu chỉ là hàm theo thời gian. Khi giả sử này không đúng thì tín hiệu là hàm theo không gian và thời gian; và còn được gọi là hệ có tham số phân bố. 6. Hệ thống có các ngõ vào và các ngõ ra liên tục theo thời gian là hệ liên tục theo thời gian; hệ thống có các tín hiệu vào và ngõ ra là rơòi rạc theo thời gian là hệ rời rạc theo thời gian. Khi lấy mẩu tín hiệu liên tục theo thời gian, ta có tín hiệu rời rạc theo thời gian. Có thể xử lý tín hiẹu liên tục theo thời gian dùng hệ rời rạc xử lý các mẩu của tín hiệu này. 7. Hệ thống có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu analog là hệ thống analog; còn hệ có tín hiệu các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu số được gọi là hệ thống số. 8. Nếu có thể khôi phục tín hiệu vào f(t) từ ngõ ra y(t) của hệ thống S thông qua một số phép tính, thì hệ thống S được gọi là hệ khả nghịch, ngược lại là hệ không khả nghịch. Hệ thống có mô hình tìm được từ kiến thức của cấu trúc bên trong của hệ thống được gọi là mô tả nội tại. Ngược lại, mô tả bên ngoài của hệ thống có mô tả được nhìn từ các đầu ngõ vào và ngõ ra của hệ thống; mô tả này có được từ bằng cách đưa vào hệ thống một ngõ vào đã biết rồi đo lường ngõ ra. Trong hầu hết các hệ thống thực tế, thì mô tả nội tại thường tương đương với mô tả từ bên ngoài. Tuy nhiên, trong một số trường hợp mô tả bên ngoài không cung cấp đủ thông tin về hệ thống, trường hợp này, hệ được gọi là hệ không điều khiểun được hay không quan sát được. Tài liệu tham khảo 1. Papoulis, A., The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill, New York, 1962. 2. Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980. 3. Lathi, B.P., Signals, Systems and Communications, Viley, New York, 1965. 4. Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, California, 1987. Bài tập 1.1-1 Tìm năng lượng của tín hiệu trong hình P1.1-1. Nhận xét về năng lượng khi tín hiệu đổi dấu. Nhận xét về năng lượng khi tín hiệu được nhân với k. 1.1-2 Làm lại bài tập 1.1-1 dùng hình P1.1-2. 1.1-3 (a) Tìm năng lượng của cặp tín hiệu x(t) và y(t) được vẽ ở hình P1.1-3a và P1.1-3b. Vẽ và tìm năng lượng của tín hiệu x(t) + y(t) và x(t) + y(t). Nhận xét gỉ tử các kết quả ? (b) Làm lại phần (a) dùng hình P1.1-3, cho biết nhận xét trong phần (a) còn có giá trị không? 1.1-4 Tìm công suất của tín hiệu tuần hoàn f(t) trong hình P1.1-4. Tìm tiếp công suất và trị rms của (a) – f(t) (b) 2 f(t) (c) c f(t). Nhận xét. 1.1-5 Chứng minh là công suất của tín hiệu tj n mk k keDtf   )( là 2    n mk kf DP Với giả sử các tần số là phân biệt, với ki   với mọi ki  1.1-6 Tìm công suất và trị rms của từng tín hiệu sau (a)        3 100cos10  t (b)              5 150sin16 3 100cos10  tt (c)   tt 10cossin210 (d) tt 10cos5cos10 (e) tsn 10cos10 (f) te tj 0cos  1.3-1 Trong hình P1.3-1, tín hiệu )()(1 tftf  . Biểu diễn các tín hiệu )(2 tf , )(3 tf , )(4 tf và )(5 tf theo )(tf , )(1 tf và các tính chất: dời theo thời gian, tỉ lệ theo thời gian và tính khả nghịch theo thời gian. Thí dụ )()()( 12 TtfTtftf  . 1.3-2 Từ tín hiệu )(tf ở hình P1.3-2, vẽ các tín hiệu (a) )( tf  (b) )6( tf (c) )3( tf (d) )2/(tf 1.3-3 Từ tín hiệu )(tf ở hình P1.3-3, vẽ các tín hiệu (a) )4( tf (b) )5,1/(tf (c) )( tf  (d) )42( tf (e) )2( tf  1.4-1 Vẽ các tín hiệu (a) )7()5(  tutu (b) )7()5(  tutu (c) )]2()1([2  tutut (d) )]4()2()[4(  tutut 1.4-2 Biểu diễn các tín hiệu trong hình P1.4-2 dùng biểu thức xác định với mọi t. 1.4-3 Tín hiệu )(tf có năng lượng fE , chứng tõ là năng lượng của các tín hiệu )(tf , )( tf  và )( Ttf  đều có giá trị fE . Chứng tõ là năng lượng của tín hiệu )(atf cùng tín hiệu )( batf  là aE f / . Điều này cho thấy phép dời và phép nghịch theo thời gian không ảnh hưởng lên năng lượng tín hiệu. Mặt khác, phép nén theo thời gian (a > 1) giảm năng lượng và phép giãn theo thởi gian (a < 1) làm tăng năng lượng. Cho biết năng lượng thay đổi ra sao khi nhân tín hiệu với hằng số a. 1.4-4 Đơn giãn các biểu thức sau: (a) )( 2 sin 2 t t t        (b) )( 9 2 2           j (c) )()]603cos([ 0 tte t  (d)   )1( 4 )2(sin 2 2         t t t   (e) )3( 2 1         j (f) )( sin          k 1.4-5 Tính các tích phân sau: (a)      dtf )()( (e)     dtet t)3( (b)      dtf )()( (f)     dttt )1()4( 3  (c)       det tj)( (g)     dtttf )3()2(  (d)     tdtt  sin)2( (h)       dxxxe x )3()5(cos 2 )1(  Hướng dẫn: )(x tồn tại tại x = 0. Thí dụ )1( t tồn tại tại 1 – t = 0 và tính tiếp. 1.4-6 (a) Tìm và vẽ dtdf / của tín hiệu )(tf ở hình P1.3-3 (b) Tìm và vẽ 22 / dtfd của tín hiệu )(tf ở hình P1.4-2a 1.4-7 Tìm và vẽ giá trị   t dxxf )( của tín hiệu )(tf trong hình P1.4-7 1.4-8 Dùng định nghĩa hàm tổng quát, chứng tỏ )(t là hàm chẵn theo t. Hướng dẫn: Dùng phương trình (1.24a) để định nghĩa )(t . Thay biến t = - x để chứng minh     )0()()(  dttt 1.4-9 Chứng minh là )( 1 )( t a at   Hướng dẫn: chứng minh     )0( 1 )()(  a dtatt 1.4-10 Chứng minh     )0()()(   dttt trong đó )(t và )(t liên tục tại t = 0, và 0)( t khi t . Tích phân nhằm định nghĩa )(t là hàm tổng quát. Hướng dẫn: dùng phương pháp tích phân từng phần. 1.4-11 Tín hiệu tt  cos có thể được xem là tổng của hàm mủ ste và ste (phương trình (1.30c) dùng tần số phức  js  và  js  . Xác định các tín hiệu sin sau trong mặt phẳng phức: (a) cos3t (b) e-3tcos3t (c) e2tcos3t (d) e -2t (d) e 2t (f) 5. 1.5-1 Tìm và vẽ các thành phần chẵn và lẻ của (a) u(t) (b) tu(t) (c) )(sin 0 ttu (d) )(cos 0 ttu (e) t0sin (f) t0cos 1.6-1 Tìm quan hệ vào-ra của bộ tích phân lý tưởng. Xác định thành phần đáp ứng với ngõ vào zêrô và đáp ứng trạng thái zêrô. 1.7-1 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác định hệ tuyến tính và hệ phi tuyến. (a) )()(2 2 tfty dt dy  (c) )(2)(3 tfty  (b) )()(3 2 tfttty dt dy  (f) )(2)()(sin tf dt df tyt dt dy  (e) )()(2 2 tfty dt dy       (g) dt df tfty dt dy )()(2  (d) )()(2 tfty dt dy  (h)   t dfty  )()( 1.7-2 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác định hệ bất biến và hệ thay đổi theo thời gian. (a) )2()(  tfty (d) )2()(  tfty (b) )()( tfty  (e)  5 5 )()(  dfty (c) )()( atfty  (f) 2 )(        dt df ty 1.7-3 Hệ thống tuyến tính bất biến (TT-BB) có ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , và hai điều kiện đầu )0(1x và )0(2x , ta ghi nhận được quan sát sau: Tìm )(ty khi cả hai ngõ vào đều bằng zêrô và ngõ vào )(tf có dạng hình P1.7-3. Hướng dẫn: Có ba nguyên nhân: ngõ vào và từng điều kiện đầu. Từ tính tuyến tính, khi nguyên nhân tăng giá trị k, thì đáp ứng cũng tăng với cùng giá trị k. Tuy nhiên, khi cộng thêm nguyên nhân một giá trị, thì đáp ứng cũng được cộng thêm một giá trị tương ứng. 1.7-4 Hệ thống được đặc trưng bởi quan hệ vào-ra là dt df tf ty )( )( 2  . Chứng minh là hệ thống thỏa tính đồng nhất nhưng không thỏa tính cộng. 1.7-5 Chứng minh là trong mạch hình P1.5-7 là hệ tuyến tính trạng thái zêrô, nhưng phi tuyến với ngõ vào zêrô. Giả sử các điốt có đặc tính giống nhau. Hướng dẫn: trong trạng thái (khi điện áp đầu của tụ 0)0( Cv ) thì mạch là tuyến tính. Nếu ngõ vào 0)( tf , và )0(Cv khác zêrô, dòng điện )(ty không có tính tuyến tính theo nguyên nhân )0(Cv . 1.7-6 Cuộn L và tụ C trong hình P1.7-6 là linh kiện phi tuyến, nên là mạch không tuyến tính. Ba phần tử còn lại là tuyến tính. Chứng tõ là ngõ ra )(ty của mạch phi tuyến thỏa điều kiện tuyến tính theo ngõ vào )(tf và các điều kiên đầu (tất cả các dỏng điện ban đầu qua cuộn dây và điện áp ban đầu qua tụ). Chú ý là nguồn dòng là hở mạch khi dòng điện là zêrô. 1.7-7 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác định hệ nhân quả và hệ không nhân quả. (a) )2()(  tfty (c) )()( atfty  1a (b) )()( tfty  (d) )()( atfty  1a 1.7-8 Hệ thống được mô tả từ các phương trình sau, với ngõ vảo )(tf , ngõ ra )(ty , xác định hệ khả nghịch và hệ không khả nghịch. Trường hợp hệ khả nghịch, tìm quan hệ vào-ra của hệ khả nghịch. (a)   t dfty  )()( (c) )()( tfty n n: số nguyên (b) )63()(  tfty (d) )](cos[)( tfty  1.8-1 Cho mạch hình 1.8-1, tìm phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa những ngõ vào )(1 ty và )(2 ty với ngõ vào )(tf . 1.8-2 Làm lại bài tập 1.8-1 dùng hình 1.8-2. 1.8-3 Nước vào thùng chứa với lưu lượng iq đơn vị/giây và lưu lượng ra khỏi vòi là 0q đơn vị/giây (hình P1.8-3). Tìm phương trình của quan hệ giữa ngõ ra 0q và ngõ vào iq . Lưu tốc tỉ lệ với h. Nên Rhq 0 với R là lực cản của vòi. Xác định phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa h và ngõ vào iq . Hướng dẫn: lưu tốc thực của nước tại thời điểm t là tqqi  )( 0 , còn có giá trị là hA vớ A là diện tích mặt cắt của thùng chứa.