Luyện thi THPT quốc gia năm 2016 - Mai Nguyễn Minh Hoàng

Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi LUYỆN THI THPT QUỐC GIANĂM 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng MÔN TOÁN Quyển 1 " CÓ CÔNG MÀI SẮT, CÓ NGÀY NÊN KIM " Đà Nẵng, tháng 8 năm 2015 Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi LỜI MỞ ĐẦU Các bạn thân mến! Khi các bạn cầm quyển tài liệu này trên tay thì ắc hẳn các bạn đã chuẩn bị bước vào năm lớp 12 - năm kết thúc của cấp 3 cũng là năm đánh dấu sự trưởng thành của các bạn sau 12 năm cắp sách đến trường. Mình nghĩ rằng ai trong các bạn trong năm này đều quyết tâm học hành chăm chỉ để có một chỗ ngồi tốt nhất trong trường Đại học mà mình mong muốn. Hiểu được sự cố gắng của các bạn, mình đã viết tập tài liệu này để nhằm giúp cho các bạn nắm được các kiến thức cơ bản của môn Toán và các dạng Toán thường gặp trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia của các bạn sắp tới. Mình hy vọng các bạn sẽ cố gắng rèn luyện, đọc thật kĩ tài liệu và làm các bài tập trong tài liệu một cách kĩ càng và cẩn thận. Việc làm này sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong các giờ học trên trường, các bài kiểm tra 15 phút, 1 tiết, học kỳ và hơn thế là bài thi THPT Quốc Gia sắp tới. Các bạn à, các bạn nghĩ rằng một năm lâu lắm phải không? Mình cũng đồng ý là một năm lâu thật nhưng theo mình các bạn cứ cố gắng học tập chăm chỉ, vì đó cũng là cơ hội 1 năm quý báu. Các bạn cứ thử nghĩ xem rồi sẽ đến tết khi ấy 1 năm đã còn có nửa năm rồi đến giỗ tổ Hùng Vương, 30/4, 1/5 rồi đến ngày bế giảng các bạn à. Sau bế giảng chỉ còn 1 tháng cuối để ôn tập lại và lên đường, đến lúc đó các bạn sẽ cảm nhận được 1 tháng giống như 1 tuần thôi, nhanh lắm các bạn. Đây là cảm nhận thật mà mình rút ra, mình xin chia sẻ với các bạn. Hè năm ngoái lên 12 mình sợ Hình không gian lắm, nên mình đã hạ quyết tâm trong 3 tháng hè lên 12 phải cố học cho xong hình không gian. Nhưng với suy nghĩ : " Thôi để mai học ", cứ như thế ngày qua ngày mình chẳng học được gì cả. Rồi đến ngày khai giảng, mình cũng quyết tâm học cho xong hình trong học kì I nhưng rồi cũng với suy nghĩ: " Thời gian còn dài mà, học chi cho sớm, thôi để mai học ". Thế là học kì I trôi qua mà trong đầu mình chẳng có chữ hình không gian nào cả. Rồi có một người thầy đã nói với tụi mình: " Em nào có suy nghĩ cứ để mai làm thì bỏ đi nhé, nó sẽ giết chết các em đó ". Thế là sợ qua, sang học kì II mình đã cố gắng học hình không gian và bỏ đi suy nghĩ đó, ngày nào làm việc ngày đó, nhờ vậy mình đã chinh phục thành công câu Hình không Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi gian trong đề thi. Mình nghĩ rằng nhiều bạn cũng có suy nghĩ : "Thôi để mai học, để mai làm". Mình khuyên các bạn hãy cố gắng bỏ suy nghĩ ấy đi và quyết tâm làm việc gì thì hãy làm ngay trong ngày hôm nay, cố gắng học hành chăm chỉ để sau khi mình làm xong việc gì thì luôn cảm thấy mãn nguyện vì mình đã hoàn thành hết sức mình, đừng bao giờ hối hận vì việc mình chưa làm mà hãy cố gắng hơn ở tương lai các bạn nhé. Mình khuyên các bạn khi đọc tài liệu này thì hãy giữ một sự tự tin vào bản thân, đừng sợ hãi kiến thức và luôn nghĩ rằng mình luôn đồng hành cùng với các bạn trên mỗi dòng viết. Các bạn cứ nghĩ rằng các bạn học không phải là cho ai cả mà là cho chính mình và làm vui lòng cha mẹ, thầy cô và mọi người, nghĩ như vậy các bạn sẽ cảm thấy việc học sẽ nhẹ nhàng hơn nhiều. Chúc các bạn sẽ thành công và đạt kết quả tốt nhất trong kì thi THPT Quốc Gia sắp tới. Hãy luôn vững tin vào sức mạnh của bản thân, các bạn nhé! Có gì thắc mắc các bạn có thể inbox mình thông qua facebook: Minh Hoang Mai. Mình hứa sẽ tận tình giải đáp thắc mắc của các bạn một cách chu đáo nhất. Xin cảm ơn các bạn! Mình cũng muốn soạn tài liệu Lý, Hóa cho các bạn. Nếu các bạn ủng hộ mình sẽ bắt đầu thực hiện. Xin chân thành cảm ơn các bạn! Đà Nẵng tháng 8 năm 2015 Người viết Mai Nguyễn Minh Hoàng Nội dung của quyển 1: Phần I: Khảo sát, vẽ đồ thị và các vấn đề liên quan cơ bản về hàm số Phần II: Lượng giác Phần III: Hình học không gian *Ghi chú: Mỗi quyển sẽ học trong 1 tháng. Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi PHẦN I: HÀM SỐ Các bạn thân mến! Hàm số là phần kiến thức quan trọng, thường xuất hiện chủ yếu trong các đề thi học kì, học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, Tốt nghiệp và THPT Quốc Gia. Trong phần I này, mình xin đề cập đến mảng kiến thức khảo sát, vẽ đồ thị hàm số và các vấn đề liên quan. Đây là kiến thức mới thuộc chương trình 12, vì vậy mình mong các bạn sẽ nghiên cứu cẩn thận, đọc kĩ lý thuyết, bài tập minh họa và rèn luyện bằng việc làm các bài tập áp dụng. Đây là phần kiến thức không quá khó, chỉ cần đọc kĩ phần cơ bản là có thể làm tốt 2 điểm trong đề thi THPT Quốc Gia sắp tới. Mình đã trình bày phương pháp cụ thể với những bài tập minh họa sát với chương trình để giúp cho các bạn thuận lợi hơn trong việc học. Mình hy vọng phần này sẽ giúp ích cho các bạn trong việc học toán trên trường và luyện thi. Chúc các bạn thành công và đạt được những kết quả tốt sau khi học xong phần này. Hãy luôn vững tin vào sức mạnh của bản thân, các bạn nhé! Có gì thắc mắc có thể inbox mình thông qua facebook: Minh Hoang Mai. Mình hứa sẽ tận tình giải đáp thắc mắc của các bạn một cách chu đáo nhất. Xin cảm ơn các bạn! MỘT SỐ KÍ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT TRONG TÀI LIỆU 1) TXĐ : Tập xác định 2) CĐ : Cực đại; CT: Cực tiểu 3) // : Song song ;⊥ : Vuông góc 4) ∠ : Góc 5) d(SA, BC) : Khoảng cách giữa SA và BC 6) VS.ABC : Thể tích khối chóp S.ABC 7) TCĐ: Tiệm cận đứng; TCN: Tiệm cận ngang Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi BÀI 1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC 3 y = f(x) = ax3+ bx2+ cx + d, a ≠ 0 I) Phương pháp giải: •Bước 1: Tìm TXĐ: Tất cả các bài toán dạng này TXĐ đều thuộc R (D=R) •Bước 2: Sự biến thiên: a) Giới hạn: + Nếu a > 0 thì: +∞= +∞→x ylim ; −∞= −∞→x ylim + Nếu a < 0 thì: +∞= −∞→x ylim ; −∞= +∞→x ylim b) Chiều biến thiên: Tính y': y' = 3ax2 + 2bx + c Tìm nghiệm của y' = 0 nếu có. Còn nếu y' = 0 không có nghiệm (tức là ∆ < 0) thì ta thực hiện như sau: Nếu a > 0 thì y' > 0 => Hàm số đã cho đồng biến trên R Nếu a Hàm số đã cho nghịch biến trên R c) Bảng biến thiên: x -∞ +∞ y' Dấu của y' y Chiều biến thiên của y' •Bước 3: Điểm uốn: Ta có: y'' = 6ax + 2b y'' = 0 6ax + 2b = 0 x = ..... => y = ... Suy ra đồ thị đã cho có điểm uốn là I( ...; ...) •Bước 4: Tìm điểm đặc biệt: x=0 => y = ... y=0 => x = ... •Bước 5: Vẽ đồ thị Vẽ hệ trục Ghi điểm CĐ, CT ( nếu có ) và điểm uốn Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi Ghi điểm đặc biệt Vẽ đồ thị theo các điểm trên * Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua điểm uốn II) Bài tập minh họa: Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 - 3x2 + 6x Giải •TXĐ: D=R •Sự biến thiên: + Giới hạn: +∞= +∞→x ylim ; −∞= −∞→x ylim + Chiều biến thiên: Ta có: y' = 3x2 - 6x + 6 = 3 (x2 - 2x + 2) = 3(x-1)2 + 3 > 0 => Hàm số đồng biến trên R + Bảng biến thiên: •Điểm uốn: + Ta có: y'' = 6x - 6 y'' = 0 x = 1 => y(1) = 4 => Đồ thị có điểm uốn là I(1; 4) •Điểm đặc biệt: x = 0 => y = 0 x = 2 => y = 8 •Đồ thị: x -∞ +∞ y' + y +∞ -∞ Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi Bài 2: (Đề thi THPT QG năm 2015) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 - 3x Giải Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = 2x3 - 3x2 + 1 (HD trực tiếp) Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = -x3+ 2x2 - x (HD trực tiếp) Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi III) Bài tập áp dụng: Bài 1.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x3+ 3x2 + 3x +1 b) y = (x - 1)3 c) y = - x3 - 3x + 2 d) y = - x3+ 3x2 - 3x - 1 Bài 1.2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x3+3x2 - 9x + 5 b) y = 132 3 1 23 ++− xxx c) y = 132 3 1 23 +−−− xxx d) y = - 2x3+ 9x2 - 12x + 4 e) y = )593( 8 1 23 −−− xxx g) y = 243 23 +−+− xxx Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi BÀI 2 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG y = f(x) = ax4+ bx2+ c, a ≠ 0 I) Phương pháp giải: •Bước 1: Tìm TXĐ: Tất cả các bài toán dạng này TXĐ đều thuộc R (D=R) •Bước 2: Sự biến thiên: a) Giới hạn: + Nếu a > 0 thì: +∞= +∞→x ylim ; +∞= −∞→x ylim + Nếu a < 0 thì: −∞= −∞→x ylim ; −∞= +∞→x ylim b) Chiều biến thiên: Tính y': y' = 4ax3 + 2bx Tìm nghiệm của y' = 0 c) Bảng biến thiên: x -∞ +∞ y' Dấu của y' y Chiều biến thiên của y' •Bước 3: Điểm uốn: Ta có: y'' = 12ax2 + 2b y'' = 0 12ax2 + 2b = 0 x = ± ..... => y = ... Suy ra đồ thị đã cho có điểm uốn là I1( - ...; ...) , I2( + ...; ...) •Bước 4: Tìm điểm đặc biệt: y=c => x = ... •Bước 5: Vẽ đồ thị Vẽ hệ trục Ghi điểm CĐ, CT ( nếu có ) và điểm uốn Ghi điểm đặc biệt Vẽ đồ thị theo các điểm trên * Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua điểm trục tung Oy II) Bài tập minh họa: Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4+ x2 - 2 Giải •TXĐ: D=R •Sự biến thiên: + Giới hạn: +∞= +∞→x ylim ; +∞= −∞→x ylim + Chiều biến thiên: Ta có: y' = 4x3 + 2x = 2x(2x2 + 1) Vì 2x2 + 1 > 0 nên y' = 0 2x = 0 x = 0 => y(0) = - 2 + Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên trên suy ra: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; 0) đồng biến trên khoảng (0 ; +∞ ) đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ = -2 •Điểm uốn: + Ta có: y'' = 12x2 + 2 > 0 , Rx∈∀ => Đồ thị hàm số lõm trên R •Điểm đặc biệt: x = ± 1 => y = 0 x -∞ 0 +∞ y' - 0 + y -∞ +∞ -2 Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi •Đồ thị: Bài 2:(Đề thi ĐH khối A năm 2012) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 - 2x2 Giải Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x4 - 2x2 + 2 (HD trực tiếp) Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = -x4+ 10x2 - 9 (HD trực tiếp) III) Bài tập áp dụng: Bài 2.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 2 1 x4+ x2 + 2 1 b) y = - 4 1 x4 - x2 + 4 1 c) y = -x4 - 2x2 + 3 d) y = 2 1 x4 - x2 - 2 3 e) y = -x4+2x2 f) y= (x-1)2(x+1)2 g) y = x4 - 3x2 +2 h) y= -x4 - 2x2+ 1 Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi BÀI 3 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT y = f(x) = dcx bax + + , c ≠ 0 và ad - bc ≠ 0 I) Phương pháp giải: •Bước 1: Tìm TXĐ: Vì đây là bài toán có mẫu thức nên mẫu thức cx + d phải khác 0 Do đó TXĐ: D=R\{- c d } •Bước 2: Sự biến thiên: a) Giới hạn và tiệm cận: + Ta có: )(lim )( +∞−∞= −−→ c d x y , )(lim )( −∞+∞= +−→ c d x y => Đồ thị có tiệm cận đứng là : x = c d − Và c a y x = ±∞→ lim => Đồ thị có tiệm cận ngang là : y = c a b) Chiều biến thiên: Tính y': y' = 2)( dcx bcad + − + Nếu ad - bc < 0 thì y' < 0, Dx∈∀ => Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng của D + Nếu ad - bc > 0 thì y' > 0, Dx∈∀ => Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng của D c) Bảng biến thiên: + Nếu y' < 0 x -∞ -d/c +∞ y' - - y c a -∞ +∞ c a Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi + Nếu y' > 0 x -∞ -d/c +∞ y' + + y +∞ c a c a -∞ •Bước 3: Tìm điểm đặc biệt: x = 0 => y = d b , nếu d ≠ 0 y = 0 => x = - a b , nếu a ≠ 0 Ngoài 2 điểm giao với trục hoành và trục tung ở trên ta nên tìm thêm 2 điểm khác trên đồ thị có hoành độ đối xứng qua O để vẽ cho dễ. * Chú ý: Nên kẻ bảng giá trị và lấy 4 cặp giá trị thì việc vẽ sẽ thuận tiện hơn •Bước 4: Vẽ đồ thị Vẽ hệ trục Vẽ các đường tiệm cận Ghi điểm đặc biệt Vẽ đồ thị theo các điểm trên * Chú ý: Hình vẽ sẽ đối xứng qua giao điểm của TCĐ và TCN. II) Bài tập minh họa: Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = 1 3 + + x x Giải •TXĐ: D=R\{-1} •Sự biến thiên: + Giới hạn và tiệm cận: Ta có: +∞= +−→ )1( lim x y ; −∞= −−→ )1( lim x y => Đồ thị có tiệm cân đứng là : x = -1 Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi Và 1lim = ±∞→x y => Đồ thị có tiệm cận ngang là : y = 1 + Chiều biến thiên: Ta có: y' = 0 1 2 < + − x , Dx∈∀ => Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞ ;-1) , (-1;+∞ ) + Bảng biến thiên: x -∞ -1 +∞ y' - - y 1 -∞ +∞ 1 •Điểm đặc biệt: x -3 -2 -1 0 1 y 0 -1 3 2 •Đồ thị: Bài 2:(Đề thi minh họa THPTQG năm 2015) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = 1 12 + − x x Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi Giải Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = 2 23 + + x x (HD trực tiếp) Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = 2 4 − − x x (HD trực tiếp) III) Bài tập áp dụng: Bài 3.1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 42 21 − − x x b) y = 2 1 + +− x x c) y = 12 2 +− + x x d) y = 22 13 + + x x Bài 3.2)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 1 12 − − x x b) y = 12 2 + − x x c) y = 1 1 − + x x d) y = x x 31 12 − + e) y = 2 1 − + x x f ) y = 1 1 1 + +− x Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi BÀI 4 NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ * Nhận xét: Bài toán về sự tương giao và tiếp tuyến của đồ thị là hai dạng toán thường gặp trong các đề thi nên trong tập tài liệu này mình xin đưa ra các dạng toán xoay quanh 2 vấn đề này. Hy vọng các bạn sẽ nghiên cứu, rèn luyện kĩ lưỡng để hoàn thành tốt các dạng toán liên quan tới hai dạng này. Còn các bài toán khác về hàm số mình sẽ đưa vào các tập tài liệu tiếp theo, bạn nào có nhu cầu thì theo dõi các tập tiếp theo nhé. A) VẤN ĐỀ 1: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ: I) Bài toán tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số : 1) Phương pháp giải: Cho hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x). Để tìm giao điểm của hai đồ thị này ta làm như sau: Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho. Sau đó giải phương trình để tìm ra giá trị của x (nếu có) Nếu phương trình vô nghiệm thì 2 đồ thị đã cho không cách nhau. Nếu phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm, ... thì 2 đồ thị cắt nhạu tại 1 điểm, 2 điểm, 3 điểm. Bước 2: Thay các giá trị x vừa tìm được vào 1 trong 2 biểu thức f(x) hoặc g(x). Sau đó suy ra tọa độ giao điểm của các đồ thị đã cho. 2) Bài tập minh họa: Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây: xxxy 32 3 1 23 ++= và y = x Giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị đã cho là: xxx 32 3 1 23 ++ = x 066 23 =++ xxx 3333 3333 00 +−=⇒+−= −−=⇒−−= =⇒= yx yx yx Vậy 2 đồ thị đã cho giao nhau tại các điểm là: A(0;0), B(-3- 3 ;-3- 3 ), C(-3+ 3 ;-3- 3 ) Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây: 1 122 − ++ = x xx y và y = 2x + 1 Giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị đã cho là: 1 122 − ++ x xx = 2x + 1 1212 22 −−=++ xxxx , x≠ 1 0232 =−− xx , x≠ 1 174 2 173 174 2 173 −=⇒ − = +=⇒ + = yx yx Vậy 2 đồ thị đã cho giao nhau tại các điểm là: A( 174; 2 173 + + ), B( 174; 2 173 − − ) Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây: 24 2xxy += và 14 2 −= xy (HD trực tiếp) Bài 4: Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m - x cắt đồ thị của hàm số 1 12 2 − +− = x xx y tại 2 điểm phân biệt (HD trực tiếp) 3) Bài tập áp dụng: Bài 4.1: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây: 133 23 −−+= xxxy và y = 0 Bài 4.2: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số sau đây: 132 23 ++= xxy và 12 2 += xy Bài 4.3: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x - m luôn cắt đường cong 1 22 − +− = x xx y tại 2 điểm phân biệt. Bài 4.4: Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m cắt đường cong 32 24 −−= xxy tại 4 điểm phân biệt. Hướng dẫn: Lập phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường đã cho. Sau đó đặt t Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi PHẦN II: LƯỢNG GIÁC Các bạn thân mến! Lượng giác là phần kiến thức thường xuất hiện trong đề thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia. Câu hỏi này thường không quá khó để giải nhưng để giải nó các bạn cần phải nắm vững một số kiến thức cơ bản. Vì thế trong phần II này, các bạn sẽ nắm được phần cơ bản của lượng giác mà bấy lâu nay được học nhưng vì lâu quá nên quên mất thì bây giờ được củng cố và rèn luyện. Mình hy vọng sau khi học xong phần này thì câu hỏi lượng giác sẽ trở nên đơn giản và nằm trong tầm tay của các bạn. Chúc các bạn thành công! Hãy luôn vững tin vào sức mạnh của bản thân, các bạn nhé! Có gì thắc mắc có thể inbox mình thông qua facebook: Minh Hoang Mai. Mình hứa sẽ tận tình giải đáp thắc mắc của các bạn một cách chu đáo nhất. Xin cảm ơn các bạn! Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi BÀI 1 BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I) Vòng tròn lượng giác: * Ghi chú: Chiều quay lượng giác giống chiều mở nắp chai nước, ... II) Một số công thức liên hệ giữa các góc: * Thần chú: "cos đối sin bù phụ chéo khác pi là tan, cot " 1) Hai góc đối nhau: " cos đối " cos(-x) = cos x Còn đối với sin, tan, cot thì: sin(-x) = - sin x ; tan(-x) = - tan x ; cot(-x) = - cot x 2) Hai góc bù nhau: " sin bù " sin ( π - x ) = sin x ; cos ( π - x ) = - cos x tan ( π - x ) = - tan x ; cot ( π - x ) = - cot x 3) Hai góc phụ nhau : "phụ chéo - nghĩa là sin đi với cos, tan đi với cot " sin ( 2 π - x ) = cos x ; cos ( 2 π - x ) = sin x O Trục Cos T r ụ c S i n Chiều quay lượng giác Cos > 0 Sin < 0Cos < 0 Sin < 0 Cos > 0 Sin > 0 Cos < 0 Sin > 0 VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi tan ( 2 π - x ) = cot x ; cot ( 2 π - x ) = tan x 4) Hai góc hơn kém nhau π : " khác pi là tan , cot " sin ( π + x ) = - sin x ; cos ( π + x ) = - cos x tan ( π + x ) = tan x ; cot ( π + x ) = cot x 5) Hai góc hơn kém nhau 2 π : sin ( 2 π + x ) = cos x ; cos ( 2 π + x ) = - sin x tan ( 2 π + x ) = - cot x ; cot ( 2 π + x ) = - tan x III) Một số công thức cơ bản: 1) sin2x + cos2x = 1 2) 1 + tan2x = x 2cos 1 3) 1 + cot2x = x 2sin 1 4) tan x . cot x = 1 5) Công thức tổng hiệu: ba ba ba bababa abbaba tantan1 tantan )tan( sinsincoscos)cos( cossincossin)sin( m m ± =± =± ±=± 6) Công thức nhân đôi, nhân ba: a) Sin2x = 2sinx.cosx b) Cos2x = cos2x - sin2x = 2cos2x - 1 = 1 - 2sin2x c) Sin3x = 3sinx - 4sin3x d) Cos3x = 4cos3x - 3cosx e) tan2x = x x 2tan1 tan2 − ; tan3x = x xx 2 3 tan31 tantan3 − − 7) Công thức biến đổi tổng thành tích: * Thần chú: sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin, cos cộng cos Thần chú: sin thì 3,4 cos thì 4,3 Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin. 2 cos 2 cos2coscos 2 cos 2 sin2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin baba ba baba ba baba ba −+ =+ +− =− −+ =+ ) 4 cos(2) 4 sin(2cossin ) 4 cos(2) 4 sin(2cossin 2 sin 2 sin2coscos ππ ππ +−=−=− −=+=+ −+ −=− aaaa aaaa baba ba BÀI 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN VỀ LƯỢNG GIÁC * Nhận xét: Đây là dạng toán đã học ở lớp 10, nhưng nhiều bạn theo thời gian đã quên mất nên sau đây mình xin tóm tắt một số kiến thức cơ bản trọng tâm và các dạng bài tập chủ yếu. Các bạn cần chú ý đây là dạng toán mới xuất hiện vào đề thi THPT Quốc gia năm 2015 và những năm trước chưa có, vì thế các bạn cần nghiên cứu cẩn thận và rèn luyện các bài tập để vững hơn, tự tin hơn trong kì thi THPT Quốc Gia sắp tới. I) Một số phép tính lượng giác: 1) Một số lưu ý: . Cần chú ý các công thức sau: + Nếu bài toán cho giá trị của sin hay cos thì sử dụng công thức sin2x + cos2x = 1 để tìm giá trị còn lại + Nếu cần tìm tanx, cotx, sin2x, cos2x, sin3x, cos3x thì nhớ sử dụng các công thức đã được nêu ở bài 1 + Nếu bài toán cho x thuộc khoảng nào thì sử dụng vòng tròn lượng giác để tính chính xác giá trị dương âm của sinx, cosx 0cos;0sin)0; 2 (_)2; 2 3 ( 0cos;0sin) 2 ;(_) 2 3 ;( 0cos;0sin); 2 ( 0cos;0sin) 2 ;0( >−∈∈ −−∈∈ =>∈ >>=>∈ xxxhayx xxxhayx xxx xxx π π π π π π π π π π 2) Bài tập minh họa: Bài 1: (Đề thi THPTQG năm 2015) Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi Tìm giá trị của biểu thức: P = )2cos32)(2cos31( αα +− , biết 3 2 sin =α Giải Ta có: 9 1 ) 3 2 .(21sin212cos 22 =−=−= αα Suy ra: P = 9 14 3 7 . 3 2 ) 9 1 .32)( 9 1 .31( ==+− Bài 2: Cho góc ) 2 ;( π πα −−∈ thoả mãn: 5 1 sin =α . Tính A = ) 2 sin( tan2cot π α αα − + Giải Ta có: 5 4 5 1 1sin1cos 22 =−=−= αα Do ) 2 ;( π πα −−∈ nên 0cos 5 2 cos −=α => 2 1 cos sin tan −== α α α Ta có: 5 2 cos) 2 sin( =−=− α π α và 4 3 )2/1.(2 4/11 tan2 tan1 2cot 2 −= − − = − = α α α Suy ra: A = 8 55 5/2 2/14/3 ) 2 sin( tan2cot −= −− = − + π α αα Bài 3: Cho góc α thỏa mãn 2 1 tan =α . Tính A = α π α 3cos ) 4 sin(2 + Giải Ta có: A = ααα α α αα α π α 2233 cos 1 cos 1 . cos sin cos cossin cos ) 4 sin(2 += + = + 8 15 2 3 . 4 5 ) 2 1 1)( 4 1 1( )1)(tantan1(tan1)tan1(tan 222 ==++= ++=+++= ααααα Bài 4: Cho góc ); 2 ( π π α ∈ thoả mãn: 3 5 sin =α . Tính A = α αα 3sin sintan − ĐS: 2 9 − ; ( HD trực tiếp ) Bài 5: Cho góc ) 2 3 ;( π πα ∈ thoả mãn: 3 22 cos =α . Tính A = ααα 366 sincossin ++ Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi ĐS: 3 2 ; ( HD trực tiếp ) III) Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho góc ); 2 ( π π α ∈ thoả mãn: 5 4 cos −=α . Tính A = α απ α sin1 cos ) 4 tan( + ++ ĐS: 14 5 − Bài 2: Cho góc )2; 2 3 ( π π α ∈ thoả mãn: 10 1 sin −=α . Tính A = α α cot1 2tan + ĐS: 8 3 − Bài 3: Cho góc )0; 2 ( π α −∈ thoả mãn: 5 3 2cos −=α . Tính A = αα ααα 3 33 sincos2 cossin2cos8 − +− ĐS: 18 29 Bài 4: ( Đề thi minh họa THPTQG năm 2015) Cho góc ); 2 ( π π α ∈ thoả mãn: 5 3 sin =α . Tính A = α α 2tan1 tan + ĐS: 25 12 − II) Một số hệ thức lượng giác trong tam giác: 1) Phương pháp giải: + Để giải tốt phần này, cần nắm vững các công thức biến đổi tổng thành tích. Để đơn giản hãy nhớ câu thần chú sau: * Thần chú: sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin, cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin. 2 cos 2 cos2coscos 2 cos 2 sin2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin baba ba baba ba baba ba −+ =+ +− =− −+ =+ ) 4 cos(2) 4 sin(2cossin ) 4 cos(2) 4 sin(2cossin 2 sin 2 sin2coscos ππ ππ +−=−=− −=+=+ −+ −=− aaaa aaaa baba ba *Chú ý: Khi gặp bài toán biến đổi có liên quan đến 3 góc A, B, C trong tam giác thì Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi PHẦN III: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Các bạn thân mến! Hình học không gian là phần kiến thức quan trọng, không thể thiếu trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Gia. Trong những năm gần đây, trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng thì hình học không gian không còn quá khó và đặc biệt trong năm 2015 vừa qua, với xu thế ra đề chung vừa xét tốt nghiệp và tuyển sinh đại học, cao đẳng thì phần hình học KG trở nên câu hỏi trung bình, không quá khó để giải, chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản thì cũng có thể làm được câu này. Nhưng theo mình được biết, nhiều bạn lại rất sợ phần này, bởi vì cách vẽ hình và tìm lời giải cho câu hình học KG. Mình nghĩ rằng các bạn chỉ cần nắm vững kiến thức hình KG của lớp 11 kết hợp với phần kiến thức của lớp 12 thì các bạn có thể giải câu này một cách đơn giản. Trong phần 3 này, mình sẽ tóm tắt cơ bản kiến thức hình lớp 11, phân tích và đưa ra cách vẽ hình và lời giải cụ thể để các bạn có thể tiếp thu dễ dàng hơn. Mình hy vọng sau khi học xong, các bạn có thể tự tin nói rằng: " A, Hình học Không gian thật dễ !" để các bạn có thể hoàn thành tốt kì thi sắp tới với số điểm như các bạn mong muốn. Chúc các bạn thành công và sẽ tự tin hơn sau khi học xong phần này. Hãy luôn vững tin vào sức mạnh của bản thân, các bạn nhé! Có gì thắc mắc các bạn có thể inbox mình thông qua facebook: Minh Hoang Mai. Mình hứa sẽ tận tình giải đáp thắc mắc của các bạn một cách chu đáo nhất. Xin cảm ơn các bạn! Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi BÀI 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH KHÔNG GIAN I) Công thức tính chu vi, diện tích một số hình phẳng: 1) Tam giác: Cho ∆ ABC có độ dài 3 canh là a, b, c. Gọi p là nửa chu vi của tam giác và R, r lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác. Ta có: a) Chu vi: CV = 2p = a + b + c b) Diện tích: Có 5 công thức tính diện tích tam giác: S = cba hchbha . 2 1 . 2 1 . 2 1 == với cba hhh ,, lần lượt là đường cao kẻ từ đỉnh A,B,C AbcBacCab sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 === ))()(( cpbpapp −−−= với p = 2 cba ++ , (công thức này là công thức Hê-rông) rp R abc . 4 == * Cần chú ý những trường hợp đặc biệt sau: • Cho∆ABC vuông tại A. Ta có diện tích tam giác là: S = a hBCACAB . 2 1 . 2 1 = Và đường cao h kẻ từ đỉnh A được tính bằng công thức: 222 111 cbh += • Định lý sin: R C c B b A a 2 sinsinsin === • Định lý hàm số cos: Cabbac Baccab Abccba cos.2 cos.2 cos.2 222 222 222 −+= −+= −+= 2) Tứ giác: a) Hình vuông có cạnh là a: Chu vi: CV = 4a; Diện tích: S = a2 ; Đường chéo: d = a 2 b) Hình chữ nhật có cạnh là a, b: Chu vi: CV = 2(a+b); Diện tích: S = ab c) Hình bình hành cạnh a,b: Chu vi: CV = 2(a+b); S = absinA = aha = bhb d) Hình thoi cạnh a: Chu vi: CV = 4a ; Diện tích: S = 2 1 .tích của 2 đường chéo Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi e) Hình thang: Chu vi: CV = tổng của 4 cạnh; Diện tích: S = 2 1 .(tổng 2 đáy).chiều cao 3) Đường tròn bán kính R: Chu vi: CV = 2 π R; Diện tích: S = π .R2 II) Công thức tính Sxq, Stp, V của các hình không gian: 1) Hình lăng trụ: Cho hình lăng trụ có đường cao h. Ta có các công thức sau: a) Diện tích xung quanh: Sxq = Tổng diện tích các mặt bên b) Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2.Sđáy c) Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy . Chiều cao h 2) Hình chóp: Cho hình chóp có đường cao h. Ta có các công thức sau: a) Diện tích xung quanh: Sxq = Tổng diện tích các mặt bên b) Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + Sđáy c) Thể tích khối lăng trụ: V = 3 1 .Sđáy . Chiều cao h * Chú ý: Khi một hình chóp bị cắt bởi một mặt phẳng thì ta có công thức tính tỉ số thể tích như sau: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên đoạn SA, SB, SC lấy 3 điểm M, N, P ( không trùng S ) . Khi đó ta có: SC SP SB SN SA SM V V ABCS MNPS .. . . = * Ghi chú: Hình lăng trụ và hình chóp là 2 hình quan trọng, thường xuất hiện chính S A B C M N P Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi trong các đề thi học kì, học sinh giỏi và kì thi tuyển sinh đại học, tốt nghiệp và THPT Quốc Gia. Còn những hình khác như hình nón, hình chóp cụt, hình cầu sẽ ít gặp hơn và sẽ được học trong những tháng tiếp theo. III) Quan hệ song song, vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: 1) Quan hệ song song: a) Đường thẳng song song đường thẳng: )()( // // βα β α ∩=b mpb mpa => a//b )()( )()( // γβ γα βα ∩= ∩= b a mpmp => a//b a//c, b//c a, b không có điểm chung αα mpbmpa ⊥⊥ , a, b không có điểm chung )()( ,// βα βα ∩= ⊂ b mpampa b) Đường thẳng song song mặt phẳng: )( //// α α ∉⇒∈ MaM mpba => a//mp α )( // α α ∉⇒∈ ⊂ MaM mpba => a//mp α )( , α α ∉⇒∈ ⊥⊥ MaM mpbba => a//mp α c) Mặt phẳng song song mặt phẳng: α ββ mpba mpbmpa ⊂, //,// => βα mpmp // βα βα mpMmpM mpampa ∉⇒∈ ⊥⊥ , => βα mpmp // βα βγγα mpMmpM mpmpmpmp ∉⇒∈ //,// => βα mpmp // => a//b => a//b => a//b Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi BÀI 2 MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ HÌNH KHÔNG GIAN I) Phương pháp giải: Để tìm thể tích, diện tích, khoảng cách ta sẽ xác định chính xác các yếu tố liên quan và sử dụng các công thức ở bài 1 để tính. Một số bài toán phức tạp chúng ta nên vẽ riêng các phần hình có liên quan ra giấy ( nhìn dưới góc độ mặt phẳng, không còn là không gian ) để dễ phát hiện tính chất và việc giải sẽ đơn giản hơn II) Bài tập minh họa: Bài 1: (Đề thi THPTQG năm 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC Phân tích và định hướng cách giải * Về cách vẽ hình: _ Trước tiên ta cần vẽ đáy trước. Theo đề, đáy ABCD là hình vuông nhưng trong không gian thì tất cả các tứ giác ta đều vẽ hình bình hành và đây là hình vuông nên ta sẽ kí hiệu góc vuông và kí hiệu bằng nhau đối với 4 cạnh. Lưu ý cạnh nào nhìn thấy sẽ vẽ nét liền, còn không nhìn thấy sẽ vẽ nét đứt, _ Tiếp theo, ta sẽ vẽ đường cao SA. Vì SA⊥ (ABCD) nên từ A ta sẽ kẻ 1 đường thẳng vuông góc với cạnh nằm ngang AD. Theo tính chất của đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì SA sẽ vuông góc với tất cả các cạnh của mp (ABCD). _ Sau khi vẽ xong SA ta sẽ nối SB, SC, SD. Tiếp theo ta sẽ xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Vì AC là hình chiếu của SC lên đáy nên góc SCA là góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD). _ Nên kí hiệu các giả thiết vào hình để dễ theo dõi. _ Sau đây là hình vẽ: Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi * Hướng dẫn giải: • Tính VS.ABCD : Vì SA⊥ (ABCD) nên SA là đường cao của khối chóp S.ABCD. Do đó ta có: VS.ABCD = ABCD SSA. 3 1 (1) Vì ABCD là hình vuông cạnh bằng a => SABCD = a2 (2) và AC = a 2 Vì SA⊥ (ABCD) =>AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD). Do đó: °=∠=∠ 45))(,( ABCDSCSCA ∆ SCA vuông tại A có °=∠ 45SCA nên ta có: SA = AC.tanSCA = a 2 .tan45o = a 2 (3) Từ (1),(2) và (3) suy ra: VS.ABCD = 3 2 .2 3 1 32 a aa = (đvtt) • Tính d(SB,AC): Để tính khoảng cách giữa SB và AC ta làm như sau: Vì SB và AC là 2 đường thẳng chéo nhau nên để tính khoảng cách này ta cần dựng 1 mp chứa SB và AC. Khi đó khoảng cách giữa SB và AC chính là khoảng cách từ A đến mp vừa dựng Sau đây là lời giải: Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC. Kẻ AM⊥ d tại M. AH⊥SM tại H. Vì BM//AC => d( BM, AC ) = d( AC, (SBM) ) = d( A, (SBM) ) (4) Ta có: SA⊥BM ( vì SA⊥ (ABCD) và BM⊂ (ABCD) ) Và AM⊥BM ( theo cách dựng ) => BM⊥ (SAM) 45o a a Tài liệu luyện thi Trung học Phổ Thông Quốc Gia Môn Toán Năm 2016 Mai Nguyễn Minh Hoàng Quyển 1 - Tháng 8 năm 2015 Học, học nữa, học mãi THỜI GIAN BIỂU Thứ 2 3 4 5 6 7 CN Sáng Chiều Tối * Các bạn nên sắp xếp thời gian học tập hợp lý, ghi vào thời gian biểu đã kẻ sẵn ở trên để học tập và làm việc hiệu quả các bạn nhé. Mỗi ngày nên dành ra thời gian để học tập và nghỉ ngơi hợp lý, có như vậy hiệu quả mới cao được. Đừng thức quá khuya sẽ có hại cho sức khỏe. " Học, học nữa, học mãi " Lê-nin " Có công mài sắt, có ngày nên kim " Tục ngữ Việt Nam " Sự học như một con thuyền đi trên dòng nước ngược, không tiến ắt sẽ lùi " Danh ngôn " Thiên tài chỉ do 1% bẩm sinh, 99% còn lại là chuyên cần " Edison Hãy luôn vững tin vào sức mạnh của bản thân, các bạn nhé!