Lời giải một số bài toán sóng nước dùng phép biến đổi miền và phương pháp phần tử hữu hạn

TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 14, SOÁ T5 2011 Trang 5 L
I GII S BÀI TOÁN SÓNG NƯC DÙNG PHÉP BIN ĐI MI N VÀ PHƯƠNG PHÁP PHN T H U HN Trnh Anh Ngc, Huỳnh Thân Phúc Trưng Đi hc Khoa hc T nhiên, ĐHQG-HCM (Bài nh
n ngày 21 tháng 03 năm 2011, hoàn chnh sa cha ngày 03 tháng 04 năm 2012) TÓM TT: Trong bài này, phương pháp bin ñ i min kt hp v i phương pháp phn t hu hn ñ gii s bài toán sóng nư c. Mt thí d s ñưc trình bày ñ minh chng hiu qu ca phương pháp. T
khóa : phương pháp phn t hu hn, gii s bài toán sóng nư c. M ĐU Bài toán sóng nưc có nhiu ng d ng quan trng trong nhiu ngành k thut và trong ñi sng. Vì th, vic mô hình hóa và gii s cho bài toán này ñã và ñang ñưc quan tâm, nghiên c u rng rãi. Đã có nhiu gii pháp ñưc ñ ngh nhm gii quyt bài toán này. Có th k ra ñây hai trong s các ñ ngh ñó: - Phương pháp Lagrange-Euler tùy ý [1,2,4]). - Phương pháp bin ñi min, min vt lý ñưc ñưa v min tính toán c ñnh. Trong [6], A. Pawell và các ñng s ñã dùng phương pháp bin ñi min, áp d ng phương pháp sai phân hu hn và phương pháp s cho phương trình vi phân ñ gii quyt bài toán sóng mt t do. Trong bài báo này, cũng da trên phương pháp bin ñi min, nhưng áp d ng phương pháp phn t hu hn và các phương pháp Euler ñ gii s. Cũng cn nhn mnh ñây, trong [6], các tác gi ch! bin ñi ta ñ theo phương X, còn phương Y v"n gi nguyên. Như vy, min c#a bài toán v"n b thay ñi theo thi gian do s chuyn ñng c#a mt t do. Trong bài này, chúng tôi bin ñi min theo c hai phương X và Y. PHƯƠNG PHÁP Bài báo ñưc t ch c như sau M c 2 gii thiu mô hình bài toán, và cách bin ñi bài toán v bài toán có min xác ñnh c ñnh. M c 3 trình bày lưc ñ tính toán, gii bài toán bng phương pháp lp theo bưc thi gian. $ m%i bưc lp, gii tun t hai bài toán: (1) bài toán biên cho phương trình ño hàm riêng cp 2 theo hai bin không gian (x, y); (2) bài toán biên-giá tr ñu cho phương trình ño hàm riêng phi tuyn cp 1 theo mt bin không và thi gian (x, t). Tip theo, gii thiu phương pháp ri rc hóa cho hai bài toán, bài toán (1) dùng phương pháp phn t hu hn (phn t t giác 4-nút), bài toán (2) dùng phương pháp ñưng (line method) d"n v bài toán Cauchy cho h phương trình vi phân vectơ cp 1, có th gii bng các phương pháp s thông d ng như phương pháp Euler, phương pháp Euler ci tin. M c 4 cho mt thí d s ñ minh ch ng Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 6 tính hiu qu c#a phương pháp. Cui cùng là kt lun và hưng phát trin. KT QU Bài toán Thùng hình hp ch nht ch a ñy cht l&ng (nưc), ñáy nm ngang, mt trên là mt thoáng, các mt bên vuông góc vi ñáy. Mt mt bên có th chuyn ñng tnh tin song song vi mt ñi din. $ trng thái tĩnh khi cht l&ng có ñ sâu h (Hình 1). Bài toán ñt ra là tìm chuyn ñng c#a khi cht l&ng, ñc bit, chuyn ñng c#a mt thoáng khi bit chuyn ñng c#a mt bên. Gi thit chuyn ñng c#a cht l&ng không thay ñi theo phương Z. Mt bên chuyn ñng theo phương OX, phương trình: ( )X a t= . Mt thoáng có phương trình: ( , )Y X tη= . Min vt lý c#a bài toán ti thi ñim t (Hình 2): ( ){ }, ( ) , ( , )t X Y a t X K h Y X tηΩ = ≤ ≤ − ≤ ≤ , vi biên: : ( ) ,b a t X K Y hΓ ≤ ≤ = − ; : ( ) , ( , )f a t X K Y X tηΓ ≤ ≤ = ; : ( ), ( ( ), )l X a t h Y a t tηΓ = − ≤ ≤ ; : , ( , )r X K h Y K tηΓ = − ≤ ≤ . Hình 1. Mô hình bài toán sóng nưc 2-chiu Hình 2. Min vt lý Phương trình ch ño Gi thit: cht l&ng không nén ñưc, không nht, không xoáy, nên tn ti hàm th vn tc ( , , )X Y tΦ = Φ . Phương trình không nén ñưc cho phương trình xác ñnh hàm th: 0∆Φ = . (1) Điu kin biên Dùng gi thit không thm trên hai biên c ng c ñnh ,b rΓ Γ và biên c ng di ñng lΓ vi vn tc ( )( ),0a t& , ta có: 0 Y ∂Φ = ∂ trên bΓ , (2) 0 X ∂Φ = ∂ trên rΓ , (3) TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 14, SOÁ T5 2011 Trang 7 ( )a t X ∂Φ = ∂ & trên lΓ . (4) Trên mt thoáng fΓ s d ng hai ñiu kin: - Điu kin ñng hc liên quan ñn hình hc c#a biên, ; η η∂ ∂Φ ∂Φ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂t Y X X (5) - Điu kin ñng lc hc mô t chuyn ñng c#a mt thoáng, thu ñưc t( phương trình Bernoulli, 2 ( , ) 0, 2 η∇Φ∂Φ + + = ∂ g X t t (6) Trong ñó g là gia tc trng trưng. Như [6], ñưa vào hàm ( , ) ( , ( , ), )W X t X X t tη= Φ là hình chiu c#a hàm th vn tc lên mt thoáng c#a cht l&ng. T( (5), (6) ta thu ñưc: 2 1 ,η η η  ∂ ∂ ∂ ∂Φ ∂  = − + +  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    W t X X Y X (7) 2 2 21 1 1 . 2 2 η η  ∂ ∂ ∂Φ ∂      = − + + −      ∂ ∂ ∂ ∂        W W g t X Y X (8) Như vy, ñiu kin biên c#a hàm Φ trên fΓ có th ly là WΦ = trên .Γ f (9) Điu kin ñu Lúc ñu cht l&ng ñ ng yên, nên ñiu kin ñu cho hàm W: ( ,0) 0.=W X (10) Mt thoáng nm ngang nên ( ,0) 0.η =X (11) Bin ñi bài toán Dùng phép bin ñi ta ñ ( , ) ( , )X Y x ya , ( ) ,( ) − = − X a t x K a t .( , )η + = + Y hy X t h (12) Khi ñó, min tΩ thành min c ñnh [0,1] [0,1]Q = × . Các biên , , ,b r f lΓ Γ Γ Γ ln lưt thành 1 2 3 4, , ,C C C C c#a Q (Hình 3). Hình 3. Phép bin ñi min Ký hiu: ( , , ) ( , , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , )x y t X Y t wx t W X t s x t X tϕ η=Φ = = Ma trn Jacobi c#a phép bin ñi: 1 ( )11 12 1 21 22 [ ( , ) ][ ( )] ( , ) 0 . − − ∂ + − ∂ +    = =         K a t y s s x t h K a t x s x t h G G G G G (13) Bin ñ i phương trình và ñiu kin Phương trình (1) thành 2 2 2 2 22 0. ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A B C D x x y y y (14) trong ñó Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 8 2 2 2 21 21 11 11 21 21 22 11 21, , , . ∂ ∂ = = = + = + ∂ ∂ G GA G B G G C G G D G G x y (15) Phương trình (7)-(8) thành: 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1( ) (1 ) 1 , ϕ  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  = − + + −  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    & s s s w s a t x G G G G t x y x x x (16) 22 22 2 211 22 11 11( )(1 ) 1 .2 2 ϕ   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    = − − + + −     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂        & G Gw w w s a t x G G gs t x x y x (17) Điu kin biên: ( ,0, ) 0ϕ∂ = ∂ x t y trên 1C , (18) 11 21(1, , ) (1, , ) 0 ϕ ϕ∂ ∂ + = ∂ ∂ G y t G y t x y trên 2C ,(19) ( ,1, ) ( , )ϕ =x t w x t trên 3C , (20) 11 21(0, , ) (0, , ) ( ) ϕ ϕ∂ ∂ + = ∂ ∂ &G y t G y t a t x y trên 4C .(21) Điu kin ñu: ( ,0) 0, ( ,0) 0w x s x= = . (22) Phương pháp tính Lưc ñ tính toán Bài toán bin ñi ch a hai bài toán con: (a) bài toán gm phương trình (14) vi ñiu kin biên (18)-(21), và (b) bài toán gm h phương trình (16)-(17) vi ñiu kin ñu (22). Vic gii ñng thi hai bài toán này gp rt nhiu khó khăn do các h s c#a phương trình ño hàm riêng (14) không phi là hng s mà ph thuc vào các d liu cho trưc , , ( )K h a t và hàm ( , )s x t chưa bit. Cũng vy, phương trình xác ñnh ( , )s x t có mt hàm cn tìm ( , , )x y tϕ và mt d"n xut c#a nó, ( , )w x t . Đ vưt qua khó khăn này ta dùng phương pháp lp gii liên tip (a) và (b). Phân hoch khong thi gian kho sát [0, ]T thành N khong con 1[ , ]m mt t− , vi 0 1 2 10 N Nt t t t t T−= < < < < < =L . Kh i ñu, bit 0 0( ) : ( ,0) 0, ( ) : ( ,0) 0w x w x s x s x= ≡ = ≡ Bưc th m ( 1m ≥ ), ñã bit 1 1 1 1( ) : ( , ), ( ) : ( , )m m m mw x w x t s x s x t− − − −= = (*) TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 14, SOÁ T5 2011 Trang 9 (1) Gii bài toán ( )ma Tìm 1 1( , ) : ( , , )m mx y x y tϕ ϕ− −= nghim bài toán (a), trong ñó các h s A, B, C, D trong phương trình (14), các ñiu kin biên (18)-(21) ñưc tính vi ( ), ( , )a t s x t ñưc thay bng 1 1( ), ( )m ma t s x− − . (2) Gii bài toán ( )mb Tìm ( , ), ( , )w x t s x t nghim bài toán (b) trong min 1[0,1] [ , ]m mt t−× , vi ñiu kin ñu 1 1 1 1( , ) ( ), ( , ) ( )m m m mw x t w x s x t s x− − − −= = $ ñây các thành phn ma trn Jacobi, 11 22, ,G G yϕ∂ ∂ ñưc tính vi ( ), ( , )a t s x t ñưc thay bng 1 1( ), ( )m ma t s x− − và ϕ ñưc thay bng 1( , )m x yϕ − . (3)Tính ( ): ( , ), ( ): ( , )m m m mw x w x t s x s x t= = . Nu 1+ <m N tr li (1), ngưc li thì d(ng. Lưu ý, t( nay v sau khi thit lp các công th c liên quan ñn các bài toán bên trong vòng lp: các h s A, B, C, D, các ñiu kin biên c#a bài toán ( )ma ; các thành phn ma trn Jacobi, 11 22, ,G G yϕ∂ ∂ c#a bài toán ( )mb s* ñưc tính theo các qui ñnh k trên dù v"n gi nguyên ký hiu cũ. Ri r c hóa bài toán ( )ma Công thc bin phân na yu Đưa vào không gian hàm { }1( ) ( ,1) 0V H Q xψ ψ= ∈ = Ly Vψ ∈ tùy ý, tích vô hưng vi hai v phương trình (14), ta ñưc sau mt s bin ñi ( ) ( ) ( )21 21 11Q Q Q C G G A dQ dQ G dQ x x y y x y y x ψ ψ ψψ ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ 1 1 11 11 210 0 0 ( ) (0, ) 0 Q y D dQ a t G y dy G G dx y x ϕ ϕψ ψ ψ = ∂ ∂ + + − = ∂ ∂∫ ∫ ∫ & . (23) Lưu ý ñn nhn xét v các h s A, B, C, D và các ñiu kin biên. Gi 1( )H Qϕ ∈% là hàm th&a ñiu kin biên không thun nht trên 3, ( ,1, ) ( , )C x t w x tϕ =% . Đt φ ϕ ϕ= − % thì Vφ ∈ th&a (rút ra t( phương trình (23)) ( ) ( ) ( )21 21 11Q Q Q Q G G C A dQ G dQ dQ D dQ x x x y y x y y y ψ ψ ψψ φ φ φ φ φψ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 11 21 11 11 210 0 0 0 0 ( ) (0, ) y y G G dx a t G y dy G G dx F x x φ ϕψ ψ = = ∂ ∂ + = − + ∂ ∂∫ ∫ ∫ % & , (24) trong ñó Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 10 ( ) ( )21 21 11Q Q G G F A dQ G dQ x x x y y x ψ ψψ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ % % % ( ) Q Q C dQ D dQ y y y ψ ϕ ϕψ∂ ∂ ∂− + ∂ ∂ ∂∫ ∫ % % . Ký hiu v trái và v phi (24) ln lưt là ( , )a φ ψ và ( )l ψ . Bài toán bin phân: vi 0t > (c ñnh), tìm Vφ ∈ th&a ( , ) ( )a lφ ψ ψ= vi mi Vψ ∈ . Công thc phn t hu hn Dùng phn t 4Q t giác 4-nút. Trong phn t e bt kỳ, xp x! 4 1 N de e e e ek k k Nφ φ = = =∑ , trong ñó 1 2 3 4[ , , , ]Ne e e e eN N N N= là ma trn hàm dng, 1 2 3 4[ , , , ]de e e e e Tφ φ φ φ= là vectơ chuyn dch phn t. Các hàm 21, ,C D G cũng ñưc xp x! bng cùng mt cách như hàm φ : 4 4 4 21 1 1 1 , , e e e e e e e e e k k k k k k k k k C C N D D N G G N = = = = = =∑ ∑ ∑ trong ñó , ,e e ek k kC D G ln lưt là giá tr c#a 21, ,C D G ti nút th k c#a phn t e. + Ma trn ñ c ng phn t: [ ]k e eijk= , trong ñó ( )e ee ee ij je i ij e e C NN NNk A dxdy dxdy x x y y ∂∂ ∂∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ( ) ( )21 21 11 e e e ee e e i ij j je e i e e G N G NN N N G dxdy D N dxdy x y y x y  ∂ ∂∂ ∂ ∂  + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ∫ ∫ (25) nu phn t không có cnh nm trên biên 1C . Nu có thì phi thêm vào t( liên quan ñn ñiu kin biên, 1 11 210 0y G G dx x ϕψ = ∂ ∂∫ % . Trong thc hành, vic thêm vào này ñưc thc hin giai ñon áp ñt ñiu kin biên. + Vector ti phn t gm ba t(. T( liên quan ñn hàm ϕ% ñưc tính vi ϕ% ñưc xp x! như hàm ϕ , 4 1 e e e k k k Nϕ ϕ = = ∑% % . Trong thc hành, ta chn hàm ϕ% ch! khác không trong các phn t có mt cnh nm trên 3C nên TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 14, SOÁ T5 2011 Trang 11 1 11 210 0y G G dx y ϕψ = ∂ = ∂∫ % 0, T( liên quan ñn F có dng ging như ( , )a ϕ ψ% nhưng sai khác du tr( nên 1 2 3 4[ , , , ]p ke e Tϕ ϕ ϕ ϕ= − % % % % T( còn li liên h ñn 1 11 0 ( ) (0, )a t G y dyψ∫& ch! ñưc thêm khi phn t có cnh nm trên 4C . Vic thêm vào này cũng ñưc thc hin giai ñon áp ñt ñiu kin biên. Sau khi l,p ghép ta nhn ñưc phương trình phn t hu hn. KD P= , (26) trong ñó K, P, D ln lưt là ma trn ñ c ng, vector ti và chuyn dch toàn c c. Ri r c hóa bài toán ( )mb Khong thi gian 1[ , ]m mt t− . Chn các ñim ix trên ñon [0,1] trùng vi các nút trên tr c x . Dùng phương pháp ñng v (collocation) ri rc hóa theo bin không gian. Các phương trình c#a bài toán ( )mb ri rc thành: ( )221 11 1 1 22 1 1 11 1 1( , ) ( )(1 ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( , )i m i m i i m i m m is x t a t x G t s x t G x t x t G t s x tt y ϕ − − − − − ∂ ∂  = − Σ + + Σ  ∂ ∂ & 2 11 1 1 1( ) ( , ) ( , )m i iG t w x t s x t−− Σ Σ , (27) ( ) 2 211 1 1 11 1 1 1 ( )( , ) ( )(1 ) ( ) ( , ) ( , ) 2 m i m i m i i G tw x t a t x G t w x t w x t t − − − ∂ = − Σ − Σ ∂ & ( ) 22 2222 1 1 11 1 1 ( , ) ( , ) 1 ( ) ( , ) ( , ) 2 i m i m m i i G x t x t G t s x t gs x t y ϕ − − −  ∂  + + Σ −   ∂  , (28) trong ñó 1Σ là toán t sai phân hu hn, xp x! ña hàm cp mt theo bin x. Ngoài ra, khi gii bài toán ( )ma , ta còn dùng ñn sai phân hu hn ñ xp x! ño hàm cp hai, ký hiu 2Σ . Vi bưc thi gian chn ñ# bé phép xp x! dùng ñây là chp nhn ñưc. Điu kin ñu: 1 1( , ) ( ), ( , ) ( )i m b i i m b is x t s x w x t w x− −= = (29) trong ñó ( ), ( )b i b is x w x là giá tr ñu hoc giá tr nhn ñưc t( bưc tính trưc. Ký hiu: 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , )( ) ( , ) ( , ) ( , ) n n s x t s x t s x t S t w x t w x t w x t   =     L L trong ñó n là s nút trên ñon [0,1] . Bài toán ri rc (27)-(28) vi ñiu kin ñu (29) có th vit dưi dng vector: ( , )dS S t dt = Η , (30) Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 12 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) b b b n m b b b n s x s x s x S t w x w x w x −   =     L L (31) trong ñó 1 2[ , ]H HΗ = vi 1 2,H H ln lưt là v phi c#a (27), (28). Bài toán (30)-(31) có th gii xp x! bng các phương pháp s quen thuc như phương pháp Euler, phương pháp Euler ci tin. Áp dng s Mt chương trình tính ñưc vit bng Matlab ñ gii s bài toán vi d liu ñưc cho như sau: 29.81 ( / )g m s= , 10 ( )K m= , 2 ( )T s= , 20.25 ( 0.5) 0 0.5( ) ( ) 0.25 t t a t s  − − < < =  ≥ neáu neáu t 0.5 Th nghim cho thy chương trình tính toán n ñnh vi bưc thi gian dt dưc chn ñ# bé so vi dx, dy. Kt qu tính toán vi: 0.1 ( )dx dy m= = , 0.05 ( )dt s= , ñưc cho trên hình 4. Ta thy có s di chuyn c#a sóng t( mt kích ñng v phía b bên trái cũng như s phn x sóng b này. Vic b& qua hiu ng c#a s c căng b mt cùng vi th# t c làm trơn nghim nh hư ng không nh& ñn nghim vùng k sát hai b. Kt qu tính toán thu ñưc có th d- dàng x lý bng các th# t c hu nghim cho phép xác ñnh vn tc truyn kích ñng trên b mt. KT LUN Trong bài này, phương pháp bin ñi min ñưc áp d ng ñ ñưa bài toán xác ñnh trên min thay ñi (theo thi gian) v bài toán xác ñnh trên min c ñnh. Phương trình ño hàm riêng c#a bài toán d"n xut, vì th, không còn có dng ñi x ng ñơn gin như phương trình gc. Tuy nhiên, vì min c ñnh nên lưi phn t hu hn ch! cn chn mt ln cho tt c; ñiu này cho phép tit kim ñáng k thi gian tính toán so vi phương pháp Lagrange – Euler tùy ý. Kt qu tính thu ñưc trong bài này ñã ñưc so sánh (phù hp) vi kt qu tính bng phương pháp Lagrange – Euler tùy ý c#a tác gi ñu và L.T. Khuyên [5]. V mt ñnh tính kt qu cũng cho thy phù hp vi kt qu c#a Goring tìm ñưc da trên mô hình nưc nông [3], c#a A. Huerta và W.K. Liu [4] bng phương pháp Lagrange – Euler tùy ý. Trưng hp bài toán vi ñáy di ñng có th thit lp hoàn toàn tương t. Như ñã bit hin tưng sóng thn di-n ra trong t nhiên thưng là do ñáy ñi dương bin ñi ñt ngt, do ñó, vic ñt bài toán như vy rt có ý nghĩa. Tt nhiên, vic m rng phương pháp ñây nhm mô ph&ng s hin tưng sóng thn ñòi h&i phi nghiên c u thêm v nh hư ng c#a phép bin ñi min lên ñ chính xác c#a phương pháp tính do mt kích thưc (phương ngang) ln so vi kích thưc còn li (ñ sâu). TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 14, SOÁ T5 2011 Trang 13 (a) Biên t do lúc t=0s (b) Biên t do lúc t=0.2s (c) Biên t do lúc t=0.4s (d) Biên t do lúc t=0.6s (e) Biên t do lúc t=0.8s (f) Biên t do lúc t=1s Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 14 (g) Biên t do lúc t=1.2s (h) Biên t do lúc t=1.4s (i) Biên t do lúc t=1.6s (j) Biên t do lúc t=1.8s (k) Biên t do lúc t=2s Hình 4. Kt qu bng hình nh sau khi chy chương trình. TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 14, SOÁ T5 2011 Trang 15 THE NUMMERICAL SOLUTION OF WATER WAVE PROBLEMS USING DOMAIN TRANSFORMATION AND FINITE ELEMENT METHOD Trinh Anh Ngoc, Huynh Than Phuc University of Science, VNU-HCM ABSTRACT: In this paper, the domain transform method associated with finite element method is used in order to solve water wave problems. A numerical example is presented to show the effect of method. Key words: finite element method, water wave problems. TÀI LIU THAM KHO [1]. K. J. Bai, S.M. Choo, S.K. Chung, D.Y. Kim, Numerical slutions for nonlinear free surface flows by finite element methods, Appl. Math. Comput, 163, 941-959 (2005). [2]. J. Donea, A. Huerta, Finite Element Methods for Flow Problems, Wiley, Chichester, (2003). [3]. D. G. Goring, Tsunamis - The Propagation of long waves onto a shelf (thesis), California Institute of technology Pasadena, California, (1979). [4]. A. Huerta, W.K. Liu, Viscous flow with large free surface motion, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 69, 277-324 (1988). [5]. T. A. Ngc, L. T. Khuyên, Tính toán dòng chy có mt t do bng phương pháp phn t hu hn Lagrange – Euler tùy ý (báo cáo ti Hi ngh khoa hc ln th 7, 26/11/2010, Trưng Đi hc Khoa hc T nhiên, ĐHQG-HCM. [6]. A. Pawell, R. B. Guenther, A nummerical solution to afree surface wave problem, Topological methods in Nonlinear Analysis, Journal of the Juliusz Schauder Center, Vol. 6, 399-416 (1995).