Kỳ thi tuyển sinh Lớp 10 Trung học phổ thông chuyên năm học 2010-2011 môn Toán

Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Trung tâm gia sư VIP – hotline: 0989189380 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÌNH THỨC KHÓA NGÀY 21/06/2010 Môn thi: TOÁN ( chuyên) Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) 1) Giải hệ phương trình      1 + y = 1 x +1 2 + 5y = 3 x +1 2) Giải phương trình :  22 22x - x + 2x - x -12 = 0 Câu 2: ( 3 điểm) Cho phương trình x2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m2 + 4 m – 3 = 0 ( x là ẩn số ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt  1 2 1 2,x x x x thỏa 21 2x = x Câu 3: (2 điểm ) Thu gọn biểu thức: A= 7 + 5 + 7 - 5 - 3 - 2 2 7 + 2 11 Câu 4: ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng : a)  ABP = AMB b)MA.MP =BA.BM Câu 5 : ( 3 điểm ) a) Cho phương trình 22x + mx + 2n + 8 = 0 ( x là ẩn số và m, n là các số nguyên).Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng 2 2m + n là hợp số b) Cho hai số dương a,b thỏa 100 100 101 101 102 102a + b = a + b = a + b .Tính P= 2010 2010a + b Câu 6 : ( 2 điểm ) Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất Câu 7: ( 2 điểm) Cho a , b là các số dương thỏa 2 2 2a + 2b 3c .Chứng minh 1 2 3+ a b c HẾT Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Trung tâm gia sư VIP – hotline: 0989189380 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2010-2011 KHÓA NGÀY 21/06/2010 Môn thi: TOÁN ( chuyên) Câu Hướng dẫn chấm Điểm Câu 1 ( 4 đ) Câu:1: ( 4 điểm 1) Giải hệ phương trình      1 + y = 1 x +1 2 + 5y = 3 x +1      1 + y = 1 x +1 2 + 5y = 3 x +1  2 2y = 2 x +1 2 + 5y = 3 x +1        3y = 1 2 + 5y = 3 x +1      1 x = 2 1y = 3       0,5 x4 đ 2) Giải phương trình :  22 22x - x + 2x - x -12 = 0 Đặt 22t x x  , pt trở thành: t2 + t - 12 = 0  t=3 hay t=-4 t =3 => 2 32 3 1 2 x x x hay x      t= -4 => 22 4x x   ( vô nghiệm) Vậy pt có hai nghiệm là x =- 1 , x =3/2 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Câu 2 (3 đ) Câu 2 : (3 điểm ) Cho phương trình x2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m2 + 4 m – 3 = 0 ( x là ẩn số ) (*) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt  1 2 1 2,x x x x thỏa 21 2x = x ’=    2 22 1 4 4 3 4 0m m m      , với mọi 1 Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 0,5 đ 1x =2m-1 ; 2x =2m+3 21 2x = x  2m 1 2 2m 3        7 2 1 2 2 3 2 52 1 2 2 3 6 mm m m m m                0.5 đ 0,5 đ 1,5 đ Câu 3 Câu 3 : ( 2 điểm) Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Trung tâm gia sư VIP – hotline: 0989189380 ( 2 đ) Câu 4 ( 4 đ) Thu gọn biểu thức: A= 7 + 5 + 7 - 5 - 3 - 2 2 7 + 2 11 Xét M = 7 + 5 + 7 - 5 7 + 2 11 Ta có M > 0 và 2 14 2 44 2 7 2 11 M     , suy ra M = 2 A= 2 -( 2 -1)=1 1 đ 1 đ Câu 4 : ( 4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng : a)  ABP = AMB b)MA.MP =BA.BM x x == M P O CB A a)  1 2 AMB  ( s đ AB  s đPC ) = 1 2 ( s đ AC  s đPC )= 1 2 s đ AP =ABP 2 đ b)     PA PC CAP ABP AMB CM AC AB       1 đ MAC MBP (g-g) . . .MA MC MA MP MB MC MB AB MB MP      1 đ Câu 5 Câu 5: ( 3 điểm) a)Cho phương trình 22x + mx + 2n + 8 = 0 ( x là ẩn số và m, n là các số nguyên).Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng 2 2m + n là hợp số Gọi 1 2,x x là 2 nghiệm của phương trình  1 2 2 mx x   , 1 2. 4x x n  0,5 đ Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Trung tâm gia sư VIP – hotline: 0989189380 ( 3 đ) 2 2m + n =    2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 12 2 4 4 4 16x x x x x x x x x       =    2 21 24 . 4x x  0,5 đ 2 2 1 24, 4x x  là các số nguyên lớn hơn 1 nên 2 2m + n là hợp số 0,5 đ b)Cho hai số dương a,b thỏa 100 100 101 101 102 102a + b = a + b = a + b .Tính P= 2010 2010a + b Ta có    0 0 101 101 101 101 0 00      a b a b10 10 10 10a + b a + b         100 100 101 1011 1 1 1a a b b a a b b        a=b=1 1 đ  P= 2010 2010a + b =2 0,5 đ Câu 6 ( 2 đ) Câu 6: ( 2 điểm) Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D, với C là trung điểm của OA.Gọi E là trung điểm của OC *Trường hợp M không trùng với C vá D Hai tam giác OEM và OMA đồng dạng ( do   1, 2 OM OEMOE AOM OA OM    ) 1 2. 2 ME OM MA EM AM OA      1 đ * Trường hợp M trùng với C : MA=CA=2.EC=2.EM * Trường hợp M trùng với D: MA=DA=2.ED=2.EM Vậy ta luôn có MA=2.EM 0,5 đ MA+2.MB=2(EM+MB)  2.EB = hằng số Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đoạn BE với đường tròn (O) Vậy MA +2.MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn BE với đường tròn 0,5 đ Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Trung tâm gia sư VIP – hotline: 0989189380 (O) Câu 7 ( 2 đ) Câu 7 : ( 2 điểm) Cho a , b là các số dương thỏa 2 2 2a + 2b 3 c .Chứng minh 1 2 3+ a b c 0,5 đ Ta có:     1 2 9 1 2 2 9 2 a b b a ab a b a b         2 22 4 2 0 2 0a ab b a b       ( đúng) a+2b        22 2 2 23 2 2 2 3 2a b a b a b       22 22 4 2 0 2 0a ab b a b       ( đúng) 0,5 đ Từ (1) và (2) suy ra  2 2 1 2 9 9 3 2 3 2a b a b ca b       ( do 2 2 22 3a b c  ) 1 đ