Kỳ thi tuyển sinh đại học liên thông 2013 môn Toán - Đề 1

1 TRƯỜNG ĐH CNTP TP.HCM ĐỀ THI – 01 KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG 2013 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2đ). Cho hàm số 3 3( 2) 1y x m x m 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên với 3m 2. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Tìm điểm cực tiểu tương ứng? Hướng dẫn 1. Khi 3m ta có 3 3 2u x x (tự làm). Đồ thị như hình vẽ. 2. Miền xác định R, 2' 3 3( 2)y x m . Để hàm số có một cực đại và một cực tiểu, ta phải có ' 0y có 2 nghiệm phân biệt 23 3( 2) 0x m có 2 nghiệm phân biệt 4( 3)3( 2) 0m 2m . Câu 2 (2đ). 1. Giải phương trình cos2 (2 3sin )sin 4x x x 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 11 ( ) 180 x xy y x y xy Hướng dẫn 1. Ta có 2 21 2sin 2sin 3sin 4 0pt x x x 2sin 2sin 3 0x x . Đặt sint x thì 1 1t và phương trình trở thành 2 2 3 0t t . Giải phương trình này ta có nghiệm 1t (nhận) và 3t (loại). Vậy 2 sin 1 2x x k . 2. Hệ 2 2 2 2 ( ) 11 ( ) 180 x y xy x y xy . Đặt 2 2,S x y P xy thì hệ phương trình trở thành 2 1111 11 180 ( 11) 180 11 180 0 S PS P S P SP P P P P . Giải hệ này ta có 2 nghiệm 9 20 20 9 S S P P 2  Với 2 2 2 2 4 2400 20 20 9 9 9 9 400 0 20 20 x x x S x y x x x P xy y y . Giải hệ này ta có 2 20 5 525 4 4 x x xx y yy  Với 2 2 2 2 4 218 9 9 20 20 20 20 18 0 9 9 x x x S x y x x x P xy y y . Giải hệ này ta có 2 20 472 2 9 10 118 x x y nghiệm sẽ là 9 9 10 118 10 118 10 118 10 118x x y y Câu 3 (2đ). Thầy giải trên lớp rồi 1. Tính tích phân 3 2 1 ( 2) ( 1) x x I dx x 2. Gọi 1 2 ,z z là hai nghiệm phức của phương trình 2 8 20 0z z . Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 2 A z z Câu 4 (3đ). 1. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 3AB a , 4AC a và mặt bên SBC là tam giác đều vuông góc với mặt đáy ABC . Tính thể tích khối chóp .S ABC . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm (0;1;1)A , ( 1;1;0)B và mặt phẳng : 2 2 1 0P x y z . a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng P b. Viết phương trình mặt phẳng Q qua ,A B và vuông góc với mặt phẳng P Hướng dẫn a. Đường thẳng AB qua A, có vector chỉ phương ( 1;0; 1)AB nên có phương trình là : 1 1 x t AB y z t . Gọi M là giao điểm của AB và P, khi đó tọa độ M thỏa hệ sau đây 1 2 2 4 ( ;1; ) 1 3 3 3 2 2 1 0 x t y t M z t x y z b. Mặt phẳng Q qua A có cặp vector chỉ phương ( 1;0; 1)AB và (2; 2;1) P n nên có vector pháp tuyến ( 2; 1;2) Q n . c. Vậy : 2( 0) ( 1) 2( 1) 0Q x y z hay : 2 2 1 0Q x y z 3 Câu 5 (1đ). Cho hai số thực ,x y thay đổi và thỏa điều kiện 2(1 ) 1x y y x . Tìm giá trị nhỏ nhất của x A y . Hướng dẫn Điều kiện 1 1x , 0, 0x y . Khi đó 2 2(1 ) 1 1 x x y y x x x y . Để tìm GTNN của A ta chỉ cần tìm GTNN của 2( ) 1f x x x trên [ 1;1] 2 2 2 2 0 2 '( ) 1 0 1 1 21 xx f x x x x x xx Mà 2 2 ( 1) 1; (1) 1, ( ) 2f f f . Vậy GTNN của A là 1 .