Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về hàm số ở trung học phổ thông

Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(35)/2015: tr. 15-21 KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG PHẠM XUÂN THẾ Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế Tóm tắt: Nghiên cứu này nhằm mục đích tìm hiểu hai dạng kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về hàm số của học sinh trung học phổ thông, qua đó làm rõ mối quan hệ và đề xuất một phương pháp đo hai dạng kiến thức này. Nghiên cứu được thực hiện trên đối tượng 113 học sinh lớp 12 trên địa bàn tỉnh Quảng Trị. Phương pháp mô hình phương trình cấu trúc (SEM) được sử dụng để kiểm định các mối quan hệ giả thiết nghiên cứu. Kết quả cho thấy kiến thức quy trình là điều kiện cần để phát triển kiến thức khái niệm của học sinh, hơn nữa, kiến thức khái niệm cũng ảnh hưởng đến khả năng áp dụng hàm số vào giải quyết các bài toán của học sinh. Từ khóa: Kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm, hàm số, mô hình phương trình cấu trúc. 1. GIỚI THIỆU Theo một nghiên cứu của Trung tâm Quốc gia về Đánh giá Tiến triển Giáo dục, Hoa Kỳ (National Assessment of Educational Progress: NAEP), chín trong số mười học sinh đồng ý với câu phát biểu “luôn luôn có một quy tắc để làm theo trong việc giải quyết các bài toán”. Lý do cho suy nghĩ này có thể là do học sinh được tiếp xúc với cách giải các bài toán theo thuật toán hướng dẫn của giáo viên trong quá trình học. Trong các kì thi, hầu như các bài toán về hàm số thường tập trung vào các kỹ năng, nên có thể che dấu sự vắng mặt của kiến thức khái niệm. Thông thường, nếu học sinh nắm vững các phương pháp thì có thể tìm đúng đáp án. Điều này vô tình tạo ra một lý do để giáo viên tin rằng học sinh hiểu được khái niệm toán học, nhưng có lẽ điều này không đúng. Vậy nếu có một sự quan tâm nhiều hơn cho việc giảng dạy kiến thức khái niệm (KTKN) trong trường học, thì liệu rằng kiến thức quy trình (KTQT) có bị bỏ qua, hay là ít được quan tâm hơn? Điều này có thể không xảy ra, nhiều lập luận chỉ ra rằng, KTQT là một điều kiện cần thiết cho KTKN. Hơn nữa, việc đo hai loại kiến thức này như thế nào cũng rất quan trọng để giải thích bằng chứng về mối liên hệ giữa chúng. Trong bài báo này, chúng tôi cố gắng tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi: Thứ nhất, chúng ta sẽ đo KTKN và KTQT của học sinh về hàm số ở bậc học THPT như thế nào? Thứ hai, các kiến thức có tính quy trình và kiến thức có tính khái niệm về hàm số của học sinh ở bậc học THPT có quan hệ với nhau như thế nào? Thứ ba, khả năng để giáo viên có thể vận dụng kiến thức khái niệm trong việc định hướng cho học sinh giải quyết các bài toán về hàm số như thế nào? 16 PHẠM XUÂN THẾ 2. KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KHÁI NIỆM Thuật ngữ quy trình và khái niệm của toán học xuất hiện và trở nên phổ biến giữa những năm 1980, đặc biệt sau khi Hiebert (1986, [6]) biên tập cuốn sách “Kiến thức khái niệm và quy trình: Trường hợp của toán học”, các thuật ngữ này được phổ biến và nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà giáo dục toán. Sự phân biệt giữa kiến thức quy trình và khái niệm đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định những kiến thức mà học sinh thu nhận được. Piaget (1978, [5]) phân biệt giữa sự hiểu biết về khái niệm và hoạt động thành công; Schefller (1965, [5]) phân biệt giữa "biết tại sao" và "biết làm thế nào"; Tulving (1983, [5]) phân biệt giữa bộ nhớ ngữ nghĩa và bộ nhớ phân đoạn; Anderson (1983, [5]) phân biệt giữa kiến thức mô tả và quy trình; Nesher (1986, [5]) phân biệt giữa học thuật toán và học để hiểu; Hiebert (1986, [6]) nhấn mạnh rằng, KTQT có hầu hết trong các thuật toán, nhưng còn thiếu các mối quan hệ, trong khi KTKN rất giàu các mối quan hệ nhưng còn thiếu trong các thuật toán; Sfard (1994, [10]) phân biệt giữa “tư duy hoạt động” và “tư duy cấu trúc”. Haapasalo và Kadijevich (2000, [4]) đã đưa ra những đặc trưng cho hai loại kiến thức: - Kiến thức quy trình biểu thị cách thức thực hiện các thuật toán, quy trình cụ thể. Điều này thường đòi hỏi không chỉ kiến thức của các đối tượng toán học được sử dụng, mà còn kiến thức về định dạng và cú pháp cần thiết để biểu diễn chúng. - Kiến thức khái niệm biểu thị kiến thức về khả năng kết nối và vận dụng khéo léo các yếu tố trong các mạng lưới riêng biệt, các yếu tố trong mạng này có thể là các khái niệm, quy tắc (thuật toán, quy trình), và thậm chí cả các vấn đề được đưa ra với những hình thức biểu diễn khác nhau. Mối quan hệ giữa KTQT và KTKN hiện nay vẫn còn khá nhiều ý kiến khác nhau, xoay quanh bốn quan điểm. Quan điểm kế thừa cho rằng KTQT là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho KTKN (Kline (1980, [9]), Kitcher (1983, [9]),Vergnaud (1990, [9]), Gray & Tall (1993, [9]) và Sfard (1994, [10])). Quan điểm tương tác động cho rằng KTKN là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho KTQT (Byrnes & Wasik (1991, [9])). Quan điểm đồng hoạt hóa ủng hộ việc xem KTQT là điều kiện cần và đủ cho KTKN (Byrnes & Wasik (1991, [9]) và Haapasalo (1993, [9])). Quan điểm bất hoạt hóa lại cho rằng KTQT và KTKN không liên quan (Nesher (1986, [9]) và Resnick & Omanson (1987, [9])). Hiebert và Lefevre (1986, [6]) kết luận rằng, trong mối quan hệ giữa kiến thức quy trình và khái niệm thì quy trình "giữ chìa khóa" để cải thiện sự hiểu biết toán học: “... mặc dù có thể xem xét các quy trình mà không có các khái niệm, tuy nhiên không phải là dễ dàng như vậy để hình dung kiến thức khái niệm mà không được liên kết với một số quy trình. Điều này một phần là do thực tế rằng các quy trình biến kiến thức khái niệm thành một cái gì đó quan sát được. Nếu không có các quy trình để tiếp cận và tác động lên những kiến thức khái niệm, chúng ta sẽ không biết nó đã có”. Caroline Long (2005, [2]) cho thấy rằng, không phải luôn luôn phân biệt được các khái niệm từ các quy trình bởi vì việc hiểu và thực hiện được kết nối theo những cách phức tạp. Nghiên cứu của Isleyen và Işik (2003, [7]) chỉ ra sự khác biệt rất lớn về điểm số của KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM... 17 học sinh trong các bài kiểm tra về kiến thức quy trình và khái niệm. Tuy nhiên, nghiên cứu này cũng như một số khác của Rittle-Johnson và cộng sự (2012, [1]), Tseng (2012, [3]) đã không đề cập đến một mô hình đo lường cụ thể và có độ tin cậy cao về hai loại kiến thức này. Lauritzen (2012, [9]) đã khám phá cách đo kiến thức quy trình và khái niệm, mối quan hệ giữa chúng là gì và khả năng áp dụng hàm số trong phạm vi các bài toán kinh tế. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đối tượng thực nghiệm: nghiên cứu này được thực hiện trên đối tượng là 113 học sinh lớp 12 ở trường THPT Thị xã Quảng Trị, THPT Vĩnh Định và THPT Bùi Dục Tài, tỉnh Quảng Trị. Phân tích tiên nghiệm được thực hiện vào tháng 1và bài kiểm tra chính được thực hiện từ tháng 2 đến tháng 3 năm 2015, sau khi học sinh đã học xong các phần về hàm số. Các lớp được lựa chọn một cách ngẫu nhiên, bao gồm cả ban Cơ bản và Nâng cao. Bài kiểm tra chính: bao gồm tổng cộng 24 nhiệm vụ, các nhiệm vụ được đánh giá theo thang điểm 10, đo lường ba biến tiềm ẩn là KTQT, KTKN và khả năng áp dụng hàm số, số lượng nhiệm vụ để đo các biến được thể hiện trên bảng 1. Bài kiểm tra chính được chia nhỏ vì lý do nhiều câu hỏi. Học sinh làm bài trong giờ học rãnh, hoặc ở lại làm tại Quy trình Khái niệm Đồ thị (QT1) Đại số (QT2) Giải tích (QT3) Mối liên hệ (*) (KN1) Giải thích đồ thị (KN2) Giải thích đại số (KN3) Giải thích giải tích (KN4) Áp dụng Bài toán thực tế (AD1) Đạo hàm (AD2) Đồ thị đạo hàm (AD3) (*): Mối liên hệ giữa đồ thị và biểu thức đại số Hình 1. Mô hình nghiên cứu đề xuất 18 PHẠM XUÂN THẾ lớp sau giờ học với sự giúp đỡ của giáo viên đứng lớp. Các bài kiểm tra được thu thập sau đó loại bỏ các bài không đạt yêu cầu. Phân tích kết quả: Kiểm định độ tin cậy Cronbach’s Alpha được sử dụng để đánh giá độ tin cậy của thang đo. Các biến có hệ số tương quan biến - tổng nhỏ hơn 0.3 sẽ bị loại. Nếu Cronbach’s Alpha tổng lớn hơn hoặc bằng 0,60 là thang đo có thể chấp nhận được về mặt tin cậy (Nunnally, J. và Berstein, I.H., 1994, [8]). Mô hình phương trình cấu trúc (Tiếng Anh: SEM) cho phép tích hợp các yếu tố phân tích và phân tích hồi quy thành một mô hình thống kê để nghiên cứu các mối quan hệ đề xuất trong mô hình. Phần mềm SPSS 21 và AMOS 22 được sử dụng trong nghiên cứu này như một công cụ cho việc xử lý và phân tích số liệu. 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Có tất cả 24 nhiệm vụ được sử dụng trong nghiên cứu để đo các mục KTQT, KTKN và khả năng áp dụng hàm số. Điểm trung bình và độ lệch chuẩn của các mục đo thể hiện qua bảng sau: Bảng 1. Kết quả cho các nhiệm vụ đo Thành phần QT1 QT2 QT3 KN1 KN2 KN3 KN4 AD1 AD2 AD3 Số nhiệm vụ 2 2 2 4 3 2 2 4 1 2 Trung bình 8.07 7.12 7.98 6.82 6.74 6.47 4.91 5.90 6.10 5.49 Độ lệch chuẩn 1.89 1.88 1.89 1.80 2.22 2.59 2.58 1.72 3.67 2.11 Đánh giá thang đo bằng hệ số tin cậy Cronbach’s Alpha: kết quả kiểm định độ tin cậy thang đo với hệ số Cronbach’s Alpha, các thành phần của thang đo kiến thức quy trình, khái niệm và khả năng áp dụng hàm số đều đạt yêu cầu (lớn hơn mức yêu cầu 0.6), các hệ số tương quan biến - tổng đều đạt yêu cầu lớn hơn 0.3. Hình 2. Biểu đồ phân tán tổng điểm khái niệm và quy trình KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM... 19 Kết quả phân tích mô hình SEM: Kết quả ước lượng của mô hình đề xuất được thể hiện trên hình 3. Giá trị Chi-square/df = 1.571 và p=0.024 có ý nghĩa thống kê (nhỏ hơn 0.05); các chỉ tiêu CFI=0.951, GFI=0.932 đều đạt yêu cầu (lớn hơn 0.9) cho thấy mô hình xây dựng phù hợp với dữ liệu nghiên cứu. Dựa vào kết quả trọng số hồi quy giữa các nhân tố ta thấy KTQT có tác động mạnh, cùng chiều đến KTQT về hàm số của học sinh với trọng số 0.92, đồng thời KTKN cũng tác động mạnh đến khả năng áp dụng hàm số với trọng số 0.78. Tuy nhiên, trọng số hồi quy giữa KTQT và khả năng áp dụng hàm số chỉ 0.06, như vậy KTQT không ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng áp dụng hàm số của học sinh mà tác động gián tiếp thông qua KTKN. 5. THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN Nghiên cứu này được tiến hành để xem xét ba câu hỏi nghiên cứu đề ra ban đầu. Liên quan đến câu hỏi đầu tiên, chúng tôi có thể nói rằng, kiến thức quy trình và khái niệm về hàm số trong nhóm đối tượng học sinh thực nghiệm có thể được đo bởi mô hình nghiên cứu đề xuất. Các thành phần của thang đo đều đạt được giá trị hội tụ với trọng số hồi quy từ 0.56-0.72, các tham số ước lượng đều có ý nghĩa thống kê (p<5%).Bảng 1 cho thấy điểm trung bình trong các nhiệm vụ đo KTQT khá cao, từ 7.12 – 8.07. Điều này chỉ ra rằng KTQT của học sinh là khá tốt. Tuy nhiên điểm trung bình trong các nhiệm vụ đo KTKN thấp hơn khá nhiều, từ 4.91 – 6.82. Hơn nữa, số học sinh không trả lời được các câu hỏi cũng chiếm số lượng đáng kể. Điều này cũng hợp lý, bởi thực tế rằng học sinh đã được tiếp xúc quá nhiều với tư tưởng dạy học chú trọng về phát triển Hình 3. Kết quả mô hình SEM đề xuất ban đầu 20 PHẠM XUÂN THẾ kỹ năng về quy trình. Đa số các bài tập trong sách giáo khoa về hàm số học sinh đã được làm quen về quy trình giải, thậm chí rất nhiều dạng bài được giáo viên cho học sinh luyện tập đến mức thành thục kỹ năng giải. Để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai, chúng tôi xem KTQT và KTKN như là các biến tiền ẩn và tìm hiểu mối tương quan giữa chúng. Kết quả từ mô hình SEM với trọng số hồi quy 0.92 cho thấy KTQT đóng vai trò quan trọng, quyết định đến KTKN về hàm số của học sinh. Như vậy, kết quả nghiên cứu ủng hộ quan điểm kế thừa cho rằng KTQT là điều kiện cần cho KTKN. Biểu đồ phân tán tổng điểm ở Hình 2 cho thấy một sự chênh lệch khá lớn, khi mà điểm số phân bố về phía KTQT. Phương pháp giáo dục của chúng ta hiện nay quá chú trọng đến các kỹ thuật giải toán, theo những khuôn mẫu có sẵn mà chưa dành nhiều quan tâm đến khả năng kết nối, vận dụng các khái niệm, quy tắc. Đối với câu hỏi nghiên cứu thứ ba, kết quả phân tích của mô hình nghiên cứu nói lên rằng, KTKN là điều kiện cần thiết cho khả năng áp dụng hàm số. Trọng số hồi quy 0.78 cho thấy mối liên hệ này là rất mạnh mẽ. Mối liên hệ giữa KTQT và khả năng áp dụng hàm số trong nghiên cứu này là rất yếu, trọng số chỉ đạt 0.06. Nói một cách khác, KTQT một mình dường như là không đủ để áp dụng vào việc giải quyết các bài toán về hàm số. KTQT không tác động trực tiếp lên khả năng áp dụng, mà tác động gián tiếp thông qua KTKN của học sinh. Một suy diễn từ kết quả này có thể là chúng ta cần phải có KTKN về một đối tượng toán học ở mức độ nhất định thì mới có thể áp dụng nó, việc hiểu biết các kĩ thuật là chưa đủ. Những khó khăn của học sinh trong việc giải quyết nhiều vấn đề thực tế là biểu hiện của một trong những điểm yếu của trọng tâm giảng dạy hiện nay, khi mà mục đích giảng dạy nhằm thúc đẩy sự hiểu biết về KTQT, giải quyết các bài toán quen thuộc, luyện tập đến mức độ thuần thục các kỹ năng thực hiện thuật toán nhằm đạt điểm cao trong các kì thi. Nếu chỉ đặt nặng rèn luyện KTQT thì học sinh không có năng lực vận dụng kiến thức toán trong giải quyết các bài toán mới lạ, không quen thuộc. Việc dạy học cần được đẩy mạnh với trọng tâm hiểu khái niệm toán học để giải quyết các vấn đề thực tế, phát triển tư duy trong khám phá tự nghiệm các bài toán kết thúc mở. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bethany Rittle-Johnson, Michael Schneider (2012). Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics, The Oxford Handbook of Numerical Cognition, Oxford University Press. [2] Caroline Long (2005). Maths concepts in teaching: procedural and conceptual knowledge, Pythagoras, Issue 62 (2005), 59-65. [3] David H. Tseng (2012). Conceptual and procedural knowledge in Mathematics education in the case of law of exponents, Polygon Spring 2012, Vol. 4, 1-23. [4] Haapasalo Lenni, Djordje Kadijevich (2000). Two Types of Mathematical Knowledge and Their Relation, Journal for Mathematics Teaching,21 (2), 139-157, Springer-Verlag. [5] Haapasalo, L. & Sormunen, K. (Ed.) (2003). Towards Meaningful Mathematics and Science Education, Proceedings on the IXX Symposium of the Finnish Mathematics KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM... 21 and Science Education Research Association, University of Joensuu. Bulletins of the Faculty of Education 86. [6] Hiebert, J., & Lefevre, P. (1986). Conceptual and Procedural Knowledge in Mathematics: An Introductory Analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics, Hillsdale, NJ: Erlbaum, 1‑27. [7] Isleyen, Tevfik & Işik, Ahmet (2003). Conceptual and Procedural Learning in Mathematics, Journal of the Korea Society of Mathematical Education Series D: Research in Mathematical Education, Vol. 7, No. 2, 91-99. [8] Nunnally, J. & Berstein, I.H. (1994). Pschychometric Theory, 3rd ed., New York: McGraw-Hill. [9] PÅL Lauritzen (2012). Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematical Functions, Dissertations in Education, Humanities, and Theology, University of Eastern Finland. [10] Sfard, A. (1994). Reification as a birth of a metaphor. For the Learning of Mathematics, 14(1), 44‑55. Title: CONCEPTUAL AND PROCEDURAL KNOWLEDGE OF FUNCTIONS IN HIGH SCHOOLS Abstract: The purpose of this article is to study the procedural knowledge and conceptual knowledge of functions in high school, thereby clarifying the relationship and find an instrument to measure these knowledge types. The study was performed on 113 students of 12th graders in the Quang Tri province. Structural Equation Modeling (SEM) was employed to check the hypothesis of the research. The results show that procedural knowledge is necessary to develop conceptual knowledge of students, moreover, conceptual knowledge also affect the ability to apply functions to solve the problems of students. Keywords: Conceptual knowledge, function, procedural knowledge, structural equation modeling. PHẠM XUÂN THẾ Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ĐT: 0982 477 369, Email: xuanthe2010@gmail.com