Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về hàm số bậc nhất hướng tới áp dụng giải quyết các vấn đề thực tế trong chương trình Trung học Cơ sở - Hồ Thị Minh Phương

Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(41) /2017: tr. 5-13 Ngày nhận bài: 06/9/2016; Hoàn thành phản biện: 10/10/2016; Ngày nhận đăng: 12/02/2017 KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT HƯỚNG TỚI ÁP DỤNG GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ HỒ THỊ MINH PHƯƠNG Khoa Toán học, Trường Đại học Quy Nhơn ĐT: 0129 375 8492, Email: homphuong@yahoo.com Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu lý thuyết về kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm được đưa ra lần đầu tiên trong cuốn sách của Hiebert và Leferve (1986, [4]). Bài báo tập trung nghiên cứu hai loại kiến thức này đối với hàm số bậc nhất, từ đó áp dụng giải quyết các vấn đề thực tế có nội dung phù hợp với độ tuổi 15, vận dụng các quá trình giải quyết vấn đề của OECD/PISA. Từ khóa: Kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm, hàm số bậc nhất, OECD/PISA, giải quyết vấn đề. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Theo Dubinsky và Harel (1992, [2]), khái niệm hàm số là khái niệm quan trọng nhất từ lúc học mẫu giáo cho đến khi tốt nghiệp trung học phổ thông. Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán hiện hành ở bậc Trung học cơ sở, khái niệm hàm số được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán 7 và Toán 9, tập trung vào khái niệm hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Tuy nhiên, rất nhiều vấn đề có nội dung thực tiễn phù hợp với độ tuổi 15 gắn với khái niệm hàm số bậc nhất. Vì thế chúng tôi lựa chọn nghiên cứu việc dạy-học khái niệm hàm số bậc nhất ở bậc Trung học cơ sở nhằm tìm hiểu tình hình giảng dạy, học tập và khả năng áp dụng hàm số bậc nhất trong việc giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế của học sinh ở độ tuổi 15, từ đó có những đề xuất phù hợp để nâng cao chất lượng việc dạy-học khái niệm quan trọng này. Bên cạnh đó, nghiên cứu việc dạy-học khái niệm hàm số bậc nhất cho đối tượng học sinh ở độ tuổi 15 xuất phát từ Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) do Tổ chức Hợp tác và Phát triển (OECD, 2003, [5]) khởi xướng và chỉ đạo, nhằm tìm kiếm các chỉ số đánh giá tính hiệu quả - chất lượng hệ thống giáo dục của mỗi nước tham gia, qua đó rút ra các bài học về các chính sách đối với giáo dục phổ thông. Một trong những nội dung đánh giá của PISA trong lĩnh vực Toán học là Năng lực toán học (Mathematical literacy), là năng lực của một cá nhân có thể nhận biết về mặt ý nghĩa, vai trò của toán học trong cuộc sống; là khả năng lập luận và giải toán; biết học toán, vận dụng toán theo cách nhằm đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt. Có 3 mức trong đánh giá năng lực toán học của PISA: - Mức 1: Ghi nhớ, tái hiện: Học sinh có thể nhớ lại các đối tượng, định nghĩa và tính chất toán học; thực hiện được một cách làm quen thuộc; áp dụng một thuật toán đặc trưng. 6 HỒ THỊ MINH PHƯƠNG - Mức 2: Kết nối và tích hợp: Học sinh có thể kết nối, tích hợp thông tin để giải quyết các vấn đề đơn giản; tạo một kết nối trong các cách biểu đạt khác nhau; đọc và giải thích được các ký hiệu và ngôn ngữ hình thức (toán học) và hiểu mối quan hệ của chúng với ngôn ngữ tự nhiên. - Mức 3: Khái quát hóa, toán học hóa: Học sinh có thể nhận biết nội dung toán học trong tình huống có vấn đề phải giải quyết; sử dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề; biết phân tích, lập luận, chứng minh toán học (BGD&ĐT, 2011, [1]; OECD, 2003, [5]). Nội dung các bài toán trong PISA đề cao tính ứng dụng của toán học vào thực tiễn, vừa giúp học sinh thấy được vai trò của toán học trong cuộc sống, vừa hấp dẫn, kích thích được ham muốn tìm tòi, khám phá của các em. Hàm số bậc nhất là một trong những kiến thức có liên quan mật thiết đến nội dung các bài toán nói trên của PISA. Việc nghiên cứu một phương pháp hiệu quả để giảng dạy cho học sinh ở bậc Trung học cơ sở các kiến thức liên quan đến hàm số bậc nhất là rất cấp thiết, nhằm đáp ứng tốt yêu cầu đánh giá năng lực toán học của PISA. Có hai quan điểm dạy-học một kiến thức toán học. Quan điểm thứ nhất là dạy-học kiến thức theo hướng đề cao phát triển kỹ năng, nâng cao khả năng tính toán qua việc dạy-học một thuật toán liên quan đến kiến thức toán học. Quan điểm thứ hai là dạy–học kiến thức để hiểu nội hàm của kiến thức, vận dụng kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau. Quan điểm “thuật toán” liên quan đến “quy trình”, còn quan điểm “hiểu” liên quan đến sự “khái niệm hóa” của kiến thức. Trong phần tiếp theo chúng tôi tập trung nghiên cứu hai dạng này của kiến thức, đặc biệt hóa đối với kiến thức về hàm số bậc nhất. 2. KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT 2.1. Kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm và quan hệ giữa chúng Một quy trình là một chuỗi các bước hoặc các hoạt động, được thực hiện nhằm hoàn thành một mục tiêu; một quy trình cũng có thể xem là một thuật toán – một dãy các hành động có trình tự, nó sẽ đưa đến câu trả lời đúng khi được thực hiện đúng, hoặc những hành động có thể được tiếp nối nhau một cách phù hợp để giải quyết một vấn đề đặt ra. Kiến thức về các quy trình thường được gọi là kiến thức quy trình (KTQT). Một khái niệm là một ý tưởng trừu tượng hoặc đủ tổng quát, được khái quát hóa từ nhiều trường hợp riêng. Kiến thức về các khái niệm thường được gọi là kiến thức khái niệm (KTKN) (Hiebert & Leferve, 1986, [4]; Rittle-Johnson, Siegler & Alibali, 2001, [6]). Kiến thức toán học bao gồm cả hai dạng quy trình và khái niệm và “Sự kết hợp giữa KTKN và KTQT sẽ có nhiều thuận lợi trong việc tiếp thu và sử dụng KTQT” (Hiebert & Lefevre, 1986, [4]). Trong quá trình áp dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế, chỉ có KTKN hay chỉ có KTQT là chưa đủ, mà đòi hỏi học sinh phải vận dụng cả hai loại kiến thức. Điều này định hướng cho giáo viên phải có sự kết hợp nhuần nhuyễn hai loại kiến thức trong quá trình truyền thụ kiến thức cho học sinh. KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT 7 2.2. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về hàm số bậc nhất Dựa trên lý luận về KTQT và KTKN được trình bày ở phần trước, chúng tôi đưa ra định nghĩa cho hai loại kiến thức này đối với hàm số bậc nhất như sau. KTKN về hàm số bậc nhất biểu thị sự vận dụng khéo léo mạng lưới các mối quan hệ về hàm số bậc nhất, bao gồm mối quan hệ giữa các biến, mối quan hệ giữa các hình thức biểu diễn khác nhau của hàm số bậc nhất (đồ thị, biểu thức đại số, bảng, lời), mối quan hệ điểm-đồ thị, mối quan hệ giữa dạng đồ thị và sự biến thiên của hàm số, mối quan hệ giữa đồ thị của các hàm số bậc nhất khác nhau (trùng nhau, song song, cắt nhau) Ví dụ đơn giản sau đây minh họa cho việc vận dụng KTKN về hàm số bậc nhất: “Xác định biểu thức đại số của hàm số ( )y f x có đồ thị được cho ở Hình 1.” Trước tiên, với kiến thức về khái niệm hàm số, học sinh nhận xét được rằng đồ thị của hàm số đã cho là một đường thẳng, do đó ( )f x phải có dạng ( ) ,f x ax b  trong đó 0a  và b là các số cần tìm. Tiếp theo, với kiến thức về quan hệ điểm-đồ thị và giá trị của hàm số tại một giá trị của biến số, học sinh có thể đưa về giải một hệ phương trình bậc nhất hai biến số là a và b . KTQT về hàm số bậc nhất biểu thị sự vận dụng thành công và linh động các quy tắc, thuật toán hoặc các quy trình đặc biệt trên các hàm số bậc nhất. Các câu hỏi để kiểm tra KTQT về hàm số bậc nhất thường liên quan đến việc tính toán giá trị của một hàm số cho trước tại những giá trị khác nhau của biến số, vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất, tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến, xét sự tương giao của đồ thị hai hay nhiều số hàm số bậc nhất, Chẳng hạn, xét ví dụ: “Vẽ đồ thị của các hàm số 2 3y x  và 2 5y x   trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Từ đó xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho.” Để vẽ đồ thị của từng hàm số, học sinh áp dụng quy trình vẽ đồ thị hàm số bậc nhất được học trong sách giáo khoa Toán 9. Dựa vào hai đồ thị đã vẽ được, một cách trực quan học sinh dễ dàng tìm được tọa độ của giao điểm. 3. ÁP DỤNG KTQT VÀ KTKN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ THỰC TẾ Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ Nhiều vấn đề có nội dung thực tế dành cho học sinh ở độ tuổi 15 liên quan đến khái niệm hàm số bậc nhất. Việc nghiên cứu phương pháp và cách thức tổ chức dạy học KTQT và KTKN về hàm số bậc nhất cho học sinh ở độ tuổi này là một nhiệm vụ quan Hình 1 8 HỒ THỊ MINH PHƯƠNG trọng được đặt ra cho mỗi giáo viên, nhằm giúp các em có đủ kiến thức và đủ khả năng áp dụng giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế. Trong các lĩnh vực đánh giá của PISA, Giải quyết vấn đề là năng lực của một cá nhân trong việc vận dụng các quá trình nhận thức để đối mặt và giải quyết các tình huống thực tế xuyên suốt các môn học. Theo PISA (2003, [5]), quá trình giải quyết vấn đề gồm các bước cơ bản sau: Bước 1: Hiểu vấn đề. Học sinh có thể hiểu một văn bản, một công thức, một biểu đồ, hoặc một bảng như thế nào và rút ra các kết luận từ đó; liên kết thông tin từ các nguồn khác nhau. Bước 2: Phân tích vấn đề. Học sinh có thể nhận biết các biến số trong vấn đề và các mối liên quan giữa chúng; quyết định biến số nào là phù hợp và biến số nào là không phù hợp. Bước 3: Biểu diễn vấn đề. Học sinh xây dựng các biểu diễn dưới dạng bảng, đồ thị, ký hiệu hay lời, hoặc làm thế nào để các em học sinh áp dụng một dạng biểu diễn bên ngoài cho trước để giải quyết vấn đề. Bước 4: Giải quyết vấn đề. Học sinh đưa ra một quyết định; phân tích một hệ thống hoặc thiết kế một hệ thống để đạt được một mục tiêu nào đó, hoặc phát hiện và đề xuất một lời giải. Bước 5: Phản ánh về lời giải. Học sinh kiểm tra lời giải của mình; đánh giá lời giải của mình theo các quan điểm khác nhau nhằm điều chỉnh lại lời giải. Bước 6: Giao tiếp về lời giải. Học sinh lựa chọn phương tiện và cách thức thể hiện phù hợp để truyền đạt lời giải của các em đến những người quan tâm. Trong các bước trên đây của quá trình giải quyết vấn đề, các bước hiểu vấn đề, phân tích vấn đề, biểu diễn vấn đề đòi hỏi KTKN; bước giải quyết vấn đề đòi hỏi KTQT về các vấn đề đang đối mặt giải quyết; bước Phản ánh về lời giải đòi hỏi sự kết hợp của cả hai loại kiến thức. Các bước nêu trên của PISA cung cấp một quy trình tốt để giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế. Chúng tôi minh họa cho quy trình này thông qua ví dụ sau đây của OECD, vận dụng KTQT và KTKN về hàm số bậc nhất. Ví dụ 3.1. (Vấn đề tham quan, xem chi tiết OECD, 2003, [5] tr. 100) Một lớp học muốn thuê một chiếc xe khách đi tham quan. Có ba công ty được tiếp cận để tham khảo giá: Công ty A có giá khởi điểm là 3.750.000 đồng cộng thêm 5000 đồng cho mỗi km; Công ty B có giá khởi điểm là 2.500.000 đồng cộng thêm 7.500 đồng cho mỗi km; Công ty C có giá nền là 3.500.000 đồng nếu không quá 200 km, cộng thêm 10.200 đồng cho mỗi km chạy xe vượt quá 200 km. Theo bạn lớp đó nên chọn thuê xe của công ty nào nếu chuyến tham quan có tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng 400 km đến 600 km? KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT 9 Đối với vấn đề này, học sinh sẽ có những khó khăn nhất định trong việc xác định giá của từng công ty theo quãng đường di chuyển, và thậm chí còn lúng túng hơn khi quãng đường di chuyển không cố định mà thay đổi trong một khoảng cho trước. Tuy nhiên, nếu các em có thể bám chặt vào từng bước của quá trình giải quyết vấn đề nêu trên của PISA, vận dụng KTQT và KTKN về hàm số bậc nhất, khả năng giải quyết vấn đề sẽ tốt hơn. Bước 1: Hiểu vấn đề Lớp học có 3 phương án để lựa chọn đi tham quan. Tùy thuộc vào quãng đường cần di chuyển và giá cả tương ứng của từng phương án mà lựa chọn một phương án với chi phí thấp nhất. Bước 2: Phân tích vấn đề Học sinh nhận ra được hai biến số phụ thuộc nhau trong vấn đề: giá và quãng đường di chuyển. Nếu giá được tính theo đơn vị chục ngàn đồng thì đối với Công ty A, giá = giá khởi điểm + 0,5quãng đường di chuyển; đối với Công ty B, giá = giá khởi điểm + 0,75 quãng đường di chuyển; đối với Công ty C, giá = giá nền nếu quãng đường di chuyển không quá 200 km, còn nếu quãng đường di chuyển vượt quá 200 km thì giá = giá nền + 1,02quãng đường vượt quá 200 km. Bằng cách so sánh giá của từng công ty với nhau tương ứng với quãng đường di chuyển trên, học sinh đưa ra lời giải cho vấn đề. Bước 3: Biểu diễn vấn đề Học sinh cần biết cách dùng ký hiệu để biểu diễn quan hệ phụ thuộc giữa giá và quãng đường di chuyển. Ký hiệu x cho quãng đường di chuyển, ( )f x cho giá của Công ty A, ( )g x cho giá của Công ty B, ( )h x cho giá của Công ty C. Khi đó, từ bước phân tích vấn đề, học sinh có thể biểu diễn được giá của từng công ty theo quãng đường di chuyển bằng các công thức sau đây:   350, khi 200 ( ) ( ) 350 1,02( 200), khi 200 375 0,5 , 250 0,75 . , x x g x xf x h x x x            Bằng KTKN về hàm số bậc nhất, học sinh sẽ nhận ra rằng , ,f g h là các hàm số bậc nhất theo biến số x . Các em có thể biểu diễn các hàm số này bằng đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ để dễ dàng so sánh giá trị của từng hàm số tại một điểm, vận dụng KTQT về vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất (xem Hình 2). Với 400 600,x  so sánh giá trị của ( ), ( ), ( )f x g x h x để xác định giá trị nhỏ nhất của 3 giá trị này, từ đó lựa chọn phương án tối ưu nhất. Việc so sánh này có thể quan sát trực tiếp dựa trên đồ thị hàm số. Dựa vào KTKN về giá trị của hàm số tại một giá trị của biến số, học sinh có thể tìm được giá trị nhỏ nhất bằng Hình 2. Đồ thị của các hàm số f(x), g(x), h(x) 10 HỒ THỊ MINH PHƯƠNG cách tìm điểm thấp nhất trong 3 điểm tương ứng trên đồ thị của 3 hàm số. Bước 4: Giải quyết vấn đề Dựa vào phân tích và biểu diễn trên đây của vấn đề, quan sát trên đồ thị của các hàm số, học sinh sẽ nhận ra rằng với x nhận các giá trị từ 400 đến hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số ( )f x và ( )g x , phần đồ thị của ( )g x là thấp nhất trong 3 đồ thị. Hơn nữa, với x nhận các giá trị từ hoành độ của giao điểm nói trên đến 600, phần đồ thị của ( )f x là thấp nhất. Học sinh cần có một kiến thức quy trình về sự tương giao của đồ thị các hàm số để có thể tìm được tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số ( )f x và ( )g x . Từ đó học sinh đưa ra kết luận: Nếu quãng đường di chuyển từ 400 km đến 500 km thì lớp học nên chọn Công ty B; nếu quãng đường di chuyển từ 500 km đến 600 km thì lớp học nên chọn Công ty A. Bước 5: Phản ánh về lời giải Trong lời giải trên của vấn đề, tại giá trị đặc biệt 500x  (hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số ( )f x và ( )g x ), các giá trị (500)f và (500)g bằng nhau. Do đó, nếu quãng đường di chuyển đúng bằng 500 km thì lớp học có thể chọn Công ty A hoặc Công ty B. Bước 6: Giao tiếp về lời giải Học sinh trình bày lời giải nêu trên của vấn đề với giáo viên và bạn học bằng nhiều cách khác nhau, chẳng hạn bằng cách trình bày trên bảng hay trên giấy, giải thích cho mọi người hiểu lời giải của mình. 4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM Để có cơ sở đánh giá thực tế dạy–học KTQT và KTKN về hàm số bậc nhất, đồng thời để hiểu được mức độ kết hợp hai loại kiến thức này của học sinh trung học cơ sở trong việc giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế, chúng tôi tiến hành khảo sát N = 79 học sinh lớp 9 tại Trường THCS Quang Trung, thành phố Quy Nhơn, tỉnh Bình Định. Chúng tôi sử dụng phiếu thăm dò gồm 4 câu hỏi về hàm số bậc nhất, được học sinh thực hiện trong thời gian 45 phút với nội dung như sau: Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số bậc nhất (1 2) 3.y x   a) Tính giá trị của y với 1 2;x   b) Tính giá trị của x với 2.y  Hình 3 KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT 11 Câu 2 (2 điểm). Xác định biểu thức đại số của hàm số ( )y f x có đồ thị được cho như ở Hình 3. Câu 3 (2 điểm). Cho hai hàm số bậc nhất ( 3)y m x m   và 2 1y mx   , với m là tham số. a) Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số trên cắt nhau; b) Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số trên song song với nhau. Câu 4 (4 điểm). Giá tiền dịch vụ (ngàn/km) của hai hãng taxi A và B tương ứng với số quãng đường đi (km) được minh họa bằng hai đồ thị trong cùng một hệ trục tọa độ như ở Hình 4. a) Tìm quãng đường khách hàng cần phải đi để số tiền trả cho mỗi hãng taxi là như nhau. b) Nếu đi 4 km thì số tiền khách hàng của từng hãng taxi phải trả là bao nhiêu? c) Nếu cần đi 10 km thì khách hàng nên lựa chọn hãng taxi nào? Hình 4 Trong các câu hỏi trên, Câu 1, Câu 4a) chú trọng đến KTQT về hàm số bậc nhất; Câu 2, Câu 3, Câu 4c) chú trọng đến KTKN cũng như sự kết hợp giữa hai loại kiến thức để giải các bài tập về đồ thị của hàm số bậc nhất. Riêng Câu 4b) chú trọng đến sự kết hợp của hai loại kiến thức nhằm giải quyết vấn đề có nội dung thực tế. Kết quả bài làm của học sinh được chúng tôi tổng hợp trong Bảng 1 dưới đây. Nhìn vào bảng ta thấy rằng tỉ lệ học sinh đạt điểm tối đa ở Câu 1, Câu 4a) là rất cao; tỉ lệ học sinh đạt điểm tối đa ở Câu 2, Câu 3, Câu 4c) thấp hơn một ít so với các câu nêu trên; riêng đối với Câu 4b), một số học sinh làm đúng kết quả cho hãng taxi B, tuy nhiên tỉ lệ học sinh đạt điểm tối đa là rất thấp. Bảng 1. Kết quả đánh giá phiếu thăm dò việc dạy-học KTQT và KTKN về hàm số bậc nhất Câu 1 2 (2đ) 3 4 a) (1đ) b) (1đ) a) (1đ) b) (1đ) a) (1đ) b) (2đ) c) (1đ) Mức điểm Tỉ lệ phần trăm (%) học sinh hoàn thành theo các câu 0 0 2,5 8,9 11,4 11,4 3,8 50,8 12,7 1 100 97,5 10,1 88,6 88,6 96,2 35,3 87,3 2 0 0 81 0 0 0 13,9 0 12 HỒ THỊ MINH PHƯƠNG Kết quả trên cho thấy học sinh được trang bị tốt các quy trình liên quan đến hàm số bậc nhất. Đối với các vấn đề liên quan đến việc áp dụng KTKN cũng như sự kết hợp hai loại kiến thức về phương trình hoặc đồ thị của hàm số bậc nhất để giải quyết các vấn đề toán học thuần túy, học sinh gặp lúng túng hơn, nhưng kết quả đạt được vẫn còn khả quan. Tuy nhiên khả năng kết hợp hai loại kiến thức để giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế thực sự còn yếu. Để khảo sát khả năng áp dụng KTQT và KTKN về hàm số bậc nhất của học sinh trong việc giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế, chúng tôi tiến hành đánh giá lời giải của học sinh cho Câu 4 của phiếu thăm dò, đối chiếu với 6 bước giải quyết vấn đề của PISA được trình bày ở phần trước. Để tiện đánh giá, chúng tôi tạm phân chia thang điểm cho từng bước như sau: Bước 1: 1 điểm; Bước 2, Bước 3 và Bước 4: mỗi bước 2 điểm; Bước 5: 2 điểm; Bước 6: 1 điểm. Kết quả đánh giá về mức độ hoàn thành các bước được chúng tôi tổng hợp trong Bảng 2 dưới đây. Bảng 2. Kết quả đánh giá các bước giải quyết vấn đề của PISA đối với Câu 4 Bước 1 2 3 4 5 6 Câu Tỉ lệ phần trăm (%) học sinh hoàn thành theo các bước 4a) 100 96,2 96,2 100 96,2 100 4b) 100 13,9 13,9 84,8 13,9 84,8 4c) 100 87,3 87,3 100 87,3 100 Nhìn vào Bảng 2 ta thấy rằng toàn bộ học sinh đều hiểu được vấn đề, đồng thời, khi các em giải quyết xong vấn đề (có thể đúng hoặc sai) thì việc giao tiếp lời giải vấn đề luôn được thực hiện tốt. Khi các em phân tích được và biểu diễn đúng vấn đề thì toàn bộ các em đều giải quyết được vấn đề, từ đó phản ánh và giao tiếp đúng lời giải của mình. Tuy nhiên, khi các em phân tích sai hoặc biểu diễn vấn đề không đúng thì dù rằng các em có thể giải quyết được dựa trên phân tích của mình, phản ánh về lời giải của các em cũng không chính xác. Tỉ lệ học sinh hoàn thành được 2 bước phân tích và biểu diễn vấn đề trong Câu 4b) rất thấp. Điều này phản ánh việc áp dụng KTKN về phương trình và đồ thị của hàm số bậc nhất vào việc giải quyết các vấn đề vẫn còn chưa tốt. 5. KẾT LUẬN Những phân tích và kết quả khảo sát nêu trên về việc dạy–học KTKN và KTQT về hàm số bậc nhất cho thấy một thực tế đang tồn tại là học sinh ở trung học cơ sở có thế mạnh trong việc áp dụng các KTQT, nhưng lúng túng khi vận dụng KTKN, và còn yếu trong việc kết hợp cả hai loại kiến thức trong việc giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế. Nguyên nhân mấu chốt của vấn đề này, theo chúng tôi, đó là chương trình toán trung học đã quá chú trọng đến kiến thức quy trình mang tính thuật toán, người dạy và người học chưa có cơ hội để thực sự quan tâm đúng mức đến tầm quan trọng của sự hiểu biết sâu sắc ý nghĩa của khái niệm, dẫn đến khó khăn trong việc phân tích, biểu diễn vấn đề thực tế, đưa vấn đề thực tế về bài toán thuần túy quen thuộc. Mặt khác, các vấn đề có nội dung KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT 13 thực tế liên quan trực tiếp đến các kiến thức ở trung học cơ sở vẫn chưa được đưa nhiều vào trong chương trình sách giáo khoa cũng như trong bài giảng của giáo viên. Vì vậy, để có thể giúp các em học sinh có một kiến thức đủ tốt giải quyết các vấn đề quen thuộc trong chương trình học tập, cũng như áp dụng tốt kiến thức đã được học để giải quyết các vấn đề thực tế phù hợp, chúng tôi nghĩ rằng cần có một sự thay đổi triệt để trong tư duy dạy–học các loại kiến thức, đặt nặng sự hiểu biết sâu về khái niệm, kết hợp tốt với các quy trình liên quan; đưa thêm vào trong bài giảng cũng như trong sách giáo khoa hệ thống các bài toán thực tế gắn chặt với từng nội dung kiến thức các em đang được học. Đồng thời, trang bị cho các em quy trình giải quyết vấn đề nêu trên của PISA để các em có thể vận dụng một cách chủ động trong quá trình giải quyết các vấn đề có nội dung thực tế, đáp ứng tốt hơn sự đánh giá của PISA trong thời gian sắp đến. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2011). Sổ tay PISA dành cho cán bộ quản lý giáo dục và giáo viên trung học, (Tài liệu lưu hành nội bộ), Hà Nội. [2] Dubinsky, E. & Harel, G. (1992). The nature of the process conception of function0. In Harel, G. & Dubinsky, E. (Ed.), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy (Vol. 25). Washington: Mathematical Association of America. [3] Haapasalo, L. & Kadijevich, D. (2000). Two types of mathematical knowledge and their relation, Journal for Mathematics Teaching, 21(2), pp. 139-157. [4] Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In Hiebert, J. (Ed.), "Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics" (pp. 1-27). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. [5] OECD (2003). The PISA 2003 assessment framework: Mathematics, reading, science and problem solving knowledge and skills, Paris: OECD. [6] Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S. & Alibali, M. W. (2001). “Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: an iterative process”, Journal of Educational Psychology, 93, pp. 346–362. Title: CONCEPTUAL AND PROCEDURAL KNOWLEDGE OF LINEAR FUNCTIONS TOWARD APPLYING TO SOLVE REALISTIC PROBLEMS IN LOWER SECONDARY SCHOOL CURRICULUM Abstract: In this paper we study a theory of conceptual and procedural knowledge which appeared for the first time in the book of Hiebert and Leferve (1986, [4]). The paper concentrates on studying these types of knowledge for linear functions, then applying to solve realistic problems whose content agrees with 15-year-old pupils, using problem solving processes of OECD/PISA. Keywords: Procedural knowledge, conceptual knowledge, linear function, OECD/PISA, problem solving