Chẩn đoán và điều trị một số khó khăn trong học toán của học sinh Trung học Phổ thông - Trần Thúy Hiền

Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(22)/2012: tr. 132-141 CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG HỌC TOÁN CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN THÚY HIỀN Trường Đại học Y Dược – Đại học Huế Tóm tắt: Thực trạng dạy học toán ở các trường phổ thông cho thấy có một bộ phận học sinh học toán rất dễ dàng, đạt được những thành công trong học toán, nhưng đối với phần lớn học sinh, môn toán lại là môn học khó và nhiều em có xu thế ngày càng ít đam mê môn toán. Tiến hành chẩn đoán một số khó khăn và đề xuất biện pháp điều trị là việc làm cần thiết và hữu ích nhằm giúp học sinh tiến bộ hơn trong học toán. Trong bài báo này, chúng tôi muốn đề xuất một phương pháp chẩn đoán khó khăn, thiết kế công cụ chẩn đoán, đưa ra một số nhận định về những khó khăn, phân tích kết quả điều tra và phát hiện ra được một số nguồn gốc của những khó khăn trong học toán. Các ví dụ minh họa trong bài báo được trích dẫn từ nghiên cứu của chúng tôi về chẩn đoán khó khăn của học sinh khi học đạo hàm. 1. GIỚI THIỆU Những sai lầm của học sinh thể hiện trong học toán có thể bộc lộ những khó khăn của các em. Ở đây, chúng tôi quan tâm đến những sai lầm về khái niệm, về nhận thức, có tính bản chất, thể hiện một sự hiểu sai trong toán học. Một trong những nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh là các em có những khó khăn, cản trở về nhận thức trong quá trình học. Những khó khăn trong quá trình học toán thể hiện bản chất của hiện tượng học sinh không đủ khả năng để xây dựng được lời giải cho một bài toán, mà nguyên nhân không phải bắt nguồn từ bất kỳ một sự phát triển chậm về trí tuệ hay do có sự tổn thương ở phần nào đó của bộ não và cũng không phải bắt nguồn từ một bệnh lý. Trong bài báo này, chúng tôi muốn đề xuất một phương pháp chẩn đoán khó khăn trong học toán của học sinh. 2. CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ Trong lĩnh vực y học, bác sĩ chẩn đoán cho bệnh nhân trước khi kê đơn thuốc điều trị. Khi một bệnh nhân nói với bác sĩ rằng tôi bị đau ở dạ dày, công việc của bác sĩ là phải tìm xem bệnh nhân bị đau ở phần nào của dạ dày và nguyên nhân của sự đau đớn đó là do đâu. Công việc thực sự mà bác sĩ cần phải làm là tìm ra nguyên nhân và loại bệnh mà bệnh nhân mắc phải, sau đó sẽ kê đơn thuốc để điều trị. Như vậy, chẩn đoán là tìm ra nguyên nhân, phân loại tính chất của sự vật, hiện tượng, nói cách khác là đi xác định bản chất của vấn đề. Trong giáo dục toán, trước khi bắt đầu chẩn đoán, công việc phải làm là đi tìm những sai lầm, những lỗi mà học sinh thường mắc phải, thông tin thu thập được càng nhiều, càng chân thực càng tốt và chẩn đoán là quá trình phân tích để tìm ra nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó. Chẩn đoán khó khăn trong học toán là một quá trình xuất phát từ CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG HỌC TOÁN 133 những sai lầm mắc phải của học sinh, phân tích làm rõ xem có phải sai lầm đó là biểu lộ của khó khăn về mặt nhận thức và xác định loại khó khăn đã gây trở ngại cho học sinh trong quá trình học toán. Sau đó, đề xuất các biện pháp điều trị giúp học sinh vượt qua những khó khăn đó. 3. THIẾT KẾ CÔNG CỤ CHẨN ĐOÁN Chúng tôi xây dựng một bài kiểm tra chẩn đoán với sự kết hợp những câu hỏi có kết thúc đóng (close – ended question) và những câu hỏi có kết thúc mở (open – ended question). Những câu hỏi kết thúc đóng được dùng là những câu hỏi có nhiều lựa chọn, thiết kế dựa trên sự hoài nghi những khó khăn về nhận thức với những câu hỏi được làm thành công thức để có thể tạo ra sự hiểu sai và các lỗi; những câu hỏi có kết thúc mở tạo cơ hội cho học sinh bày tỏ sự hiểu biết của mình về toán học. Mỗi câu hỏi được biên soạn dựa trên các mức độ nhận thức của Bloom: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và khả năng bậc cao (KNBC). Quá trình phân tích đánh giá công cụ chẩn đoán: Tính khách quan và tính hiệu quả của đề trắc nghiệm chẩn đoán được kiểm định bằng cách kiểm chứng chỉ số độ khó P và độ phân biệt D theo quy trình “phân tích câu hỏi” của Ebel R.L (1965, [1]) như sau: (1) Sắp bài làm của học sinh theo danh sách thứ tự điểm từ cao xuống thấp. (2) Theo danh sách thứ tự điểm bài làm, chọn ra 2 nhóm: nhóm trên (H) gồm 27% số bài làm ở đầu danh sách và nhóm dưới (L) gồm 27% số bài làm ở cuối danh sách theo thứ tự. (3) Với mỗi câu hỏi trắc nghiệm khách quan, chỉ số P là một đại lượng để đo lường độ khó dễ của một câu hỏi: P = (H) (L) N n n+ , trong đó n(H), n(L): số học sinh trả lời đúng ở mỗi nhóm, N: tổng số học sinh của hai nhóm. Chỉ số D biểu thị mức ý nghĩa của một câu hỏi trắc nghiệm trong việc phân loại học sinh “giỏi” và học sinh “yếu”: D = (H) - (L)2. N n n . Chúng tôi tiến hành phân tích những câu hỏi xem là đáng tin cậy (0,3 ≤ P ≤ 0,7 và D≥ 0,3). 4. QUÁ TRÌNH CHẨN ĐOÁN KHÓ KHĂN Chúng tôi sẽ phân tích những lỗi nổi trội trong sự thể hiện của học sinh nhóm (L) để tìm ra một số khó khăn trong quá trình tư duy của các em. 4.1. Phân tích các lỗi nổi trội (1) Khái niệm hàm và khái niệm đạo hàm sinx nếu 0x ≠ Câu hỏi 1. Cho hàm số f(x) = 1 nếu 0x = , đạo hàm của f(x) là: TRẦN THÚY HIỀN 134 A. ( )f xʹ′ =cosx nếu 0x ≠ và ( )f xʹ′ = −∞ nếu 0x = B. ( )f xʹ′ =cosx nếu 0x ≠ và hàm số không có đạo hàm tại điểm 0x = cosx nếu 0x ≠ - cosx nếu 0x ≠ C. ( )f xʹ′ = D. ( )f xʹ′ = 0 nếu 0x = 0 nếu 0x = Phân tích Dự kiến khi xây dựng câu hỏi: Học sinh phải hiểu bản chất đạo hàm của một hàm số tại mỗi điểm chính là một quá trình lấy giới hạn và vận dụng việc hiểu đó để tìm đạo hàm của một hàm số được cho dưới dạng không quen thuộc. Học sinh phải biết trường hợp nào có thể dùng công thức, trường hợp nào phải dùng định nghĩa. Tại mọi điểm 0x ≠ , ( ) s inf x x= , áp dụng công thức tính đạo hàm cho hàm số lượng giác này ta có ( ) (s in ) = cosf x x xʹ′ ʹ′= . Tại điểm 0x = , áp dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có 0 ( ) (0)lim 0x f x f x+→ − − = 0 s in - 1lim x x x+→ = −∞ và 0 ( ) (0)lim 0x f x f x−→ − − = 0 s in - 1lim x x x−→ = +∞ , suy ra hàm số không có đạo hàm tại 0x = nên đáp án đúng là B. Bảng 1. Kết quả tương ứng của câu hỏi 1 Kỳ vọng mức độ thể hiện (Vận dụng) Áp dụng việc hiểu khái niệm và các kỹ năng vào các tình huống không quen thuộc: Kiểm tra sự tồn tại đạo hàm của một hàm số tại mỗi điểm Các phương án lựa chọn A B* C D Bỏ trống Nhóm (H) 0 20 3 0 0 Nhóm (L) 5 2 14 2 0 Chỉ số P = 0,48 (chấp nhận), D = 0,78 (rất tốt, chấp nhận) Chỉ số P = 0,48 có thể xem câu hỏi là tương đối khó đối với học sinh. Câu hỏi ở mức độ vận dụng nhằm đánh giá việc hiểu của học sinh về bản chất của khái niệm đạo hàm, thể hiện qua việc xét sự tồn tại đạo hàm của một hàm số tại mỗi điểm. Có 91% nhóm (L) mắc phải sai lầm khi xét đạo hàm của hàm số ( )f x cho bởi hai biểu thức. Trong số đó có đến 61% chọn C, điều đó chứng tỏ đa số các em có hướng tin rằng các hàm thường được xác định bởi một công thức đại số đơn nên với hàm số ( )f x đã cho được xem như hai hàm tách biệt và có thể áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cho mỗi hàm. Những sai lầm đó biểu hiện khó khăn của các em trong việc hiểu khái niệm đạo hàm của một hàm số. Xét về bản chất toán học ta thấy khái niệm đạo hàm được định nghĩa dựa vào một khái niệm trừu tượng đã biết, đó là khái niệm giới hạn, ẩn chứa dưới khái niệm đạo hàm là một quá trình lấy giới hạn của một tỷ số đặc biệt 0 0 0 ( ) ( )lim x f x x f x xΔ → +Δ − Δ hay CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG HỌC TOÁN 135 0 0 0 ( ) ( )lim x x f x f x x x→ − − . Ở các lớp dưới, học sinh đã quen với việc cho một khái niệm nghĩa là một mặt ta có thể mô tả được khái niệm đó (chẳng hạn, một hình vuông là một đa giác có bốn cạnh bằng nhau và một góc trong là góc vuông), mặt khác có thể cố gắng đề ra được các quy tắc (chẳng hạn, “nếu chúng ta gặp một đa giác có bốn cạnh bằng nhau và một góc trong là góc vuông thì đó là một hình vuông”). Tuy nhiên, theo Tall (2000, [3]), những tư tưởng trong định nghĩa của một khái niệm toán tiên tiến lại gây ra những cản trở cho học sinh trong học toán, bởi những định nghĩa này thường khá dài và được công thức thành một dạng của một quá trình hơn là một sự mô tả trực tiếp về các bộ phận cấu thành nên đối tượng. (2) Ký hiệu và tính toán trên các ký hiệu Câu hỏi 2. (Nhận biết) Cho hàm số 2 5y x= − , tại 0 1x = cho số gia xΔ , khi đó số gia yΔ tương ứng của hàm số là: A. 2 xΔ B. 2 xΔ 1− C. 2 xΔ 2− D. 2 xΔ 5− Phân tích Dự kiến khi xây dựng câu hỏi: Học sinh nhớ được các ký hiệu xΔ , yΔ quan hệ với nhau bởi công thức 0 0( ) ( )y f x x f xΔ = +Δ − và tính toán đúng, lựa chọn đáp án A. Chỉ số P = 0,69, D = 0,35 cho thấy câu hỏi tương đối dễ với học sinh nhưng khả năng phân biệt là tốt. Câu hỏi ở mức độ nhận biết, tuy nhiên đã có tới 48% nhóm (L) sai lầm với các ký hiệu xΔ , yΔ và tính toán trên các ký hiệu đó. Chứng tỏ các em không thể nhớ được mối liên quan giữa các ký hiệu xΔ , yΔ hoặc các em đã nhớ công thức một cách máy móc 0 0( ) ( )y f x x f xΔ = +Δ − cho nên khi tính toán với các ký hiệu đó đã đưa đến những kết quả sai. Trong số đó có 35% chọn B, các em đã cho rằng tìm (1 )f x+ Δ nghĩa là bằng cách cộng thêm 1 vào biểu thức của ( )f xΔ mà không phải xem 1 x+Δ như là một giá trị vào của hàm f. Để có thể thao tác chuẩn xác với các ký hiệu xΔ , yΔ , đòi hỏi học sinh phải nắm được ý nghĩa tối thiểu của các ký hiệu này (ký hiệu yΔ biểu diễn bởi một công thức) và ý nghĩa của các ký hiệu trong công thức đó lại liên quan đến cách tính giá trị ra của một hàm. Các ký hiệu toán học là hình thức, ký hiệu này được biểu diễn qua ký hiệu khác, việc xử lý các ký hiệu đó trong một chuỗi các phép toán đã gây ra những khó khăn cho học sinh. (3) Sử dụng các công thức, quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số Câu hỏi 3. (Vận dụng) Cho hàm số ( ) cos2f x x= , đạo hàm ( )f xʹ′ của ( )f x là: A. sin 2 2 cos2 x x B. sin 2 2 cos2 x x − C. sin 2 cos2 x x − D. sin 2 cos2 x x . Phân tích TRẦN THÚY HIỀN 136 Dự kiến khi xây dựng câu hỏi: Học sinh nhớ được công thức tính đạo hàm các hàm quen thuộc, áp dụng việc hiểu các quy tắc đó để tính đạo hàm hàm số hợp nhiều lần, đáp án là C. Câu hỏi có chỉ số P = 0,52, D = 0,57. Quan tâm đến sự thể hiện của nhóm (L) cho thấy có đến 57% đã chọn B, chứng tỏ rằng mặc dù các em đã biết trật tự áp dụng các quy tắc: Đầu tiên, tính đạo hàm của hàm căn bậc 2, sau đó tính đạo hàm của hàm cos , nhưng do nắm không vững khái niệm hàm số hợp nên các em đã xem 2u x= như là một đối số độc lập và do vậy, không nhân sin 2x− với đạo hàm của u. Xem xét sự thể hiện của học sinh với một bài toán có phần phức tạp hơn, liên quan đến tính đạo hàm của hàm số yêu cầu vận dụng các công thức tính đạo hàm các hàm số quen thuộc, các quy tắc đạo hàm của một tổng, hiệu, tích, thương, hàm số hợp theo đúng trật tự, chúng tôi nhận thấy rằng rõ ràng nhóm (L) kém xa nhóm (H) trong việc xử lý bài toán đòi hỏi vận dụng nhiều quy tắc. Nhóm (L) thực sự gặp khó khăn khi cần thiết phải phối hợp nhiều quy tắc, nhiều công thức để giải quyết bài toán. (4) Lập luận và chứng minh Câu hỏi 4. (KNBC) Chứng minh rằng với mọi số lẻ n, ta luôn có ( ) . n n xx n x ʹ′ = ( )0x ≠ . Phân tích Dự kiến khi xây dựng câu hỏi: Học sinh có khả năng phân chia trường hợp để đảm bảo điều kiện có thể viết hàm số đã cho dưới dạng lũy thừa và áp dụng đúng định lý đạo hàm của hàm lũy thừa. Nếu 0x > : n x = 1 nx với mọi n nên ( )n x ʹ′ = 1 ( )nx ʹ′ = 1 n 1 1 nx − = . n x n x , suy ra ( )n x ʹ′ = . n x n x với mọi n lẻ và 0x > (*). Nếu 0x < : n x chỉ có nghĩa với mọi n lẻ; do 0x− > nên n x− = 1 ( )nx− với mọi n và ( )n x ʹ′− = .( ) n x n x − − . ( )x ʹ′− = . n x n x − , nên với mọi n lẻ và 0x < ta có ( )n x ʹ′ = ( )n x ʹ′− − = . n x n x (**). Từ (*) và (**) ta có điều phải chứng minh. Xây dựng câu hỏi nhằm phát hiện những sai lầm của học sinh khi vận dụng định lý đạo hàm của hàm số lũy thừa để chứng minh công thức đạo hàm của hàm số đã cho. Nắm bắt việc hiểu về khái niệm chứng minh cũng như quá trình tư duy của học sinh qua những lời giải thích, những lập luận trình bày trong chứng minh của các em. Không có học sinh nào của nhóm (L) hoàn thành được chứng minh, chỉ có 30% nhóm (H) có được một chứng minh đúng, nghĩa là các em đã có những lập luận chắc chắn, lôgic. Phần lớn học sinh sai lầm ở chỗ sử dụng luận cứ không đúng hay làm sai lệch CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG HỌC TOÁN 137 mệnh đề cần chứng minh và có một số học sinh thì không biết phải bắt đầu chứng minh như thế nào. Trả lời 1. (Sai lầm về luận cứ không đúng) Học sinh này đã biết nên sử dụng định lý về đạo hàm của hàm số lũy thừa để chứng minh mệnh đề, nhưng do không chú ý đến điều kiện trong định lý nên đã đưa ra một luận cứ không chính xác n x = 1 nx làm cơ sở cho sự suy luận của mình. Hình 1. Bài làm của học sinh 1 Trả lời 2. (Sai lầm về đánh tráo luận đề) Sai lầm rõ nhất của học sinh này là đã đánh tráo mệnh đề cần chứng minh: “chứng minh đẳng thức đúng với mọi n lẻ” thành “chứng minh đẳng thức đúng với một vài trường hợp n lẻ”. Bên cạnh đó, học sinh này còn vấp phải một sai lầm giống như học sinh trước, đó là không biết phân chia trường hợp 0x > , 0x < để có được những luận cứ chính xác. Hình 2. Bài làm của học sinh 2 4.2. Nhận định về một số khó khăn của học sinh Chúng tôi đã phân tích một số lỗi nổi trội của học sinh từ bài kiểm tra chẩn đoán và rõ ràng nhóm (L) không đủ khả năng để làm tốt các câu hỏi khó. Bản chất của vấn đề là gì? theo chúng tôi, có một sự khác nhau trong quá trình tư duy của học sinh nhóm (L) và nhóm (H) và các em nhóm (L) đã gặp phải một số khó khăn trong quá trình học toán. Theo Tall & Razali (1993, [2]), nếu giả thiết rằng những đối tượng toán học mà học sinh đang học là những cơ sở lập luận và những kỹ năng toán học thì những cái học sinh TRẦN THÚY HIỀN 138 cần phải học là cơ sở lập luận và các thuật toán (cộng, nhân, tính toán các phân số, thao tác đại số, giải phương trình, chứng minh các định lý hình học, công thức tính đạo hàm, vi phân, tính toán xác suất...). Thông thường, học sinh sẽ được thấy cách để có một thuật toán và thực hành cho đến khi nó được “chương trình hóa” và hầu như có thể mang ra sử dụng một cách tự động. Chương trình này sẽ được kết tinh vào trong một khái niệm toán học. Hệ ký hiệu có thể chỉ ra một hoặc cả hai, chẳng hạn, (1 )f x+ Δ biểu diễn quá trình thay x trong biểu thức hàm f(x) bởi 1 x+Δ và cho ra kết quả tính toán, đồng thời cũng thể hiện khái niệm giá trị ra của hàm f với giá trị vào là 1 x+Δ . Theo cách này, thì một quá trình động sẽ được kết tinh vào trong một khái niệm cố định. Những người có tư duy linh hoạt có thể chuyển đổi dễ dàng từ quá trình đến khái niệm và ngược lại, hơn nữa theo một cách thông thạo đến mức rất khó có thể phân biệt được giữa hai hình thức tư duy, khái niệm được kết tinh có thể được thao tác trong đầu và được sử dụng ở tư duy bậc cao hơn. Nhóm (H) có khả năng tốt hơn nhóm (L) trong việc kết tinh một quá trình vào trong một khái niệm và có thể thao tác dựa trên khái niệm một cách thông thạo hơn, trong khi đó nhóm (L) chỉ dừng lại ở mức thao tác theo kiểu quá trình. Những quá trình xuất hiện cùng một thời điểm là khó khăn để hình thành, tưởng tượng trong đầu hơn là những khái niệm và nhóm (L) phải đối diện với một nhiệm vụ nặng nề hơn, do đó sẽ có xu hướng ngày càng yếu hơn. Những khó khăn trong học toán rất đa dạng và biểu hiện theo nhiều cách khác nhau, chúng tôi có thể nhận định một số loại khó khăn mà học sinh thường gặp phải như sau: - Khó khăn của học sinh liên quan đến các khái niệm toán học: Hiểu rất ít về khái niệm của các đối tượng toán học có trong nội dung bài toán. - Khó khăn của học sinh liên quan đến ngôn ngữ toán học: Hiểu sai hoặc không đầy đủ ý nghĩa của các ký hiệu toán, lúng túng bởi ngôn ngữ trong phát biểu của bài toán. - Khó khăn của học sinh khi vận dụng các quy tắc phức hợp vào giải toán: Gợi nhớ không chính xác các công thức, quy tắc áp dụng giải toán do đã ghi nhớ một cách máy móc; không hiểu bản chất, cách xây dựng công thức, quy tắc có thể dẫn đến một sự vận dụng sai. - Khó khăn của học sinh với sự suy luận, chứng minh và tư duy toán học: Hiểu không đầy đủ về khái niệm và các bộ phận cấu thành nên một chứng minh toán học; xây dựng chứng minh không hiệu quả (suy luận thiếu lôgic, sử dụng luận cứ không chính xác). 4.3. Nguồn gốc của những khó khăn Học toán là một hoạt động phức hợp trong đó cần thiết phải có sự nỗ lực của bản thân học sinh, sự nỗ lực được xem như là sự huy động các hành vi, các hoạt động nhận thức. Tuy nhiên, nếu những khó khăn nhận thức của học sinh gây ra sự thất bại trong học toán thì tất cả những thất bại của học sinh không thể được giải thích là hoàn toàn do sự chậm CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG HỌC TOÁN 139 phát triển về trí tuệ. Nghiên cứu về các nguyên nhân dẫn đến khó khăn trong học toán, nhiều tác giả đã đưa ra những giải thích dựa trên những cách tiếp cận khác nhau, ở đây chúng tôi sẽ đề cập đến những tác động theo ba chiều hướng để làm sáng tỏ cho những khó khăn của học sinh. (1) Nguyên nhân xuất phát từ đặc thù môn toán Theo Taurisson (1993, [4]), môn toán được cấu thành từ 3 yếu tố là đối tượng toán học, ngôn ngữ toán học và các thể hiện cụ thể đối tượng toán học. Muốn hiểu rõ được đối tượng toán học, học sinh cần phải sử dụng được hệ thống ngôn ngữ toán học liên quan đến đối tượng đó, nắm vững các thể hiện cụ thể đối tượng toán học để làm cơ sở cho việc hiểu bản chất của đối tượng toán học. Quan niệm về các yếu tố đó được xem xét như sau: - Các đối tượng toán học là đối tượng tinh thần, là những tư tưởng được hình thành, tồn tại trong đầu óc con người. Chẳng hạn, các con số là những đối tượng toán học, con số hình thành do nhu cầu của cuộc sống cần phải đếm, tính toán các đồ vật, các con số được hình thành trong đầu óc con người từ một sự khái quát trừu tượng chứ không phải là những cái có thật. Với một đối tượng học tập như vậy, việc tổ chức quá trình hình thành các khái niệm toán học cho học sinh tất yếu sẽ gặp những khó khăn. - Ngôn ngữ toán học là những hình thức diễn tả các đối tượng toán học, mối quan hệ giữa các đối tượng đó hoặc diễn đạt các algorit (một chuỗi các quy tắc, các bước tiến hành theo một thứ tự xác định để đưa lại một kết quả đúng). Ngôn ngữ toán học bao gồm: ngôn ngữ lời nói và ngôn ngữ viết. Ngôn ngữ viết của toán học dưới hình thức các ký hiệu, công thức rất tiện lợi cho việc diễn tả gọn gàng, đơn giản và chính xác các nội dung toán học. Học sinh muốn học toán tốt thì cần phải nắm vững đồng thời cả hai thứ ngôn ngữ nói và viết, điều này cũng gây nên khó khăn trong việc học toán của các em. - Các thể hiện cụ thể đối tượng toán học là cách diễn tả một cách cụ thể, trực quan một số mặt của các đối tượng toán học. Chúng được hình thành bằng ngôn ngữ toán học, những hình vẽ, sơ đồ chẳng hạn, con số 5 là một đối tượng toán học, diễn đạt bằng ngôn ngữ nói là “năm” bằng ngôn ngữ viết “5”, các thể hiện cụ thể của nó là 5 ngón tay, 5 que tính, 5 bông hoa Tùy theo từng trường hợp mà xác định đó là ngôn ngữ hay thể hiện cụ thể. Các thể hiện toán học có thể là một hình thức ngôn ngữ nhưng có thể không phải là ngôn ngữ toán học. Thể hiện toán học cũng có thể là vật thật hay những sự kiện thực tế. (2) Nguyên nhân xuất phát từ đặc điểm tâm lý nhận thức của học sinh Theo Taurisson (1993, [4]), hoạt động trí óc của mỗi người khác nhau không chỉ ở chỗ nhanh hơn hay chậm hơn, mà còn do thói quen làm việc trí óc khác nhau (thói quen gợi lại, lôgic, tưởng tượng, sáng tạo). Học toán là một hoạt động phức hợp trong đó huy động một tập hợp các khả năng “phản ánh” và “phản chiếu”. Nếu có bất kỳ một sự suy yếu nào trong sự hoạt động của một trong các khả năng này, chẳng hạn sự gợi nhớ hay TRẦN THÚY HIỀN 140 năng lực thiết lập một suy luận, đều có thể sinh ra khó khăn trong học toán. Nếu xem suy luận toán học với mục đích xây dựng một lời giải bài toán thì xây dựng một suy luận đòi hỏi phải huy động vô số các thao tác trí tuệ, bao gồm sự nối kết lại các phần nhỏ của kiến thức với nhau và gắn kết các kiến thức đó với bài toán bằng các hoạt động lôgic. Thiếu đi một trong các hoạt động này cũng có thể làm sai lệch kết cấu của suy luận. (3) Nguyên nhân xuất phát từ phương pháp dạy học không hiệu quả của giáo viên Nhiều giáo viên đã có quan niệm rằng việc học sinh học kém môn toán nguyên nhân chủ yếu là ở cách học của chính các em, chẳng hạn ở trên lớp các em không tập trung chú ý nghe thầy giáo giảng bài, ghi nhớ kiến thức, về nhà không chịu khó làm bài tập mà đã không nhận thấy được rằng những yếu kém của học sinh có thể biểu lộ khó khăn của các em trong học toán. Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải là một nguồn thông tin phản hồi quan trọng về tính hiệu quả trong việc giảng dạy của giáo viên, một câu trả lời không tốt của học sinh có thể là do việc giảng dạy hay việc chọn các đồ dùng dạy học không phù hợp. Nếu giáo viên không quan tâm hay không tìm ra được những khó khăn của học sinh, không có được những cải tiến kịp thời về phương pháp dạy học hay phương tiện dạy học cũng sẽ góp phần tác động không nhỏ đến việc làm gia tăng những khó khăn của học sinh. 5. KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã giải thích sự cần thiết của việc chẩn đoán và điều trị khó khăn trong học toán của học sinh. Rõ ràng chẩn đoán khó khăn không phải dừng lại ở việc xác định những sai lầm mà học sinh mắc phải. Chúng tôi cũng đã đề xuất một phương pháp giúp chẩn đoán khó khăn, từ khâu thiết kế công cụ chẩn đoán, phân tích các lỗi nổi trội đến nhận định một số khó khăn. Việc đi tìm hiểu các nguyên nhân có thể gây ra những khó khăn cho học sinh trong học toán đã góp phần làm sáng tỏ hơn nữa những nhận định đưa ra trước đó. Chẩn đoán một số khó khăn, xác định nguồn gốc của những khó khăn là cơ sở quan trọng để từ đó xây dựng những biện pháp điều trị phù hợp giúp học sinh vượt qua những khó khăn, tự tin hơn và tiến bộ hơn trong học toán. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ebel, R.L. (1965). Measuring educational achievement, Prentice Hall, pp. 348 – 349. [2] Tall, D.O. & Razali, M.R. (1993), Diagnosing Students’ Difficulties in Learning Mathematics. International Journal of Mathematics Education in Science & Technology, pp. 1–19. [3] Tall, D.O. (2000). Cognitive Difficulties in Learning Analysis. Mathematical Association Committee on Teaching Undergraduate Mathematics, pp. 1–7. [4] Taurisson, A. (1993). Pensée Mathématique et Gestion Mentale. Bayard Editions, Paris. CHẨN ĐOÁN VÀ ĐIỀU TRỊ MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG HỌC TOÁN 141 Title: DIAGNOSIS AND REMEDIATION OF HIGH SCHOOL STUDENTS’ DIFFICULTIES IN LEARNING MATHEMATICS Abstract: In fact, some students are easy to achieve success in mathematics, but for most students, the mathematics is difficult and they becomes to be less and less interest in mathematics. Diagnosing the difficulties in learning mathematics and proposing appropriate remediation are necessary, useful to help students have more progress, more success in learning mathematics. In this paper, we propose a method to diagnose the difficulties, design diagnostic tools, provide some comments on the difficulties, analyze survey results and discovered some sources of students’ difficulties in learning mathematics. The examples cited in the article from our research on diagnosis of students’ difficulties when learning the derivative. ThS. TRẦN THÚY HIỀN Trường Đại học Y Dược – Đại học Huế Email: thuyhien.ydhue@gmail.com. ĐT: 0946.346.988 • Ebel, R.L. Measuring educational achievement, Prentice Hall 1965, pp. 348 - 349. • Kelley T.L. The selection of upper and lower groups for the validation of test items. Journal of Educational Psychology, 1939:30(1), 17-24. • Guilbert JJ. Educational handbook for health personnel. WHO Offset Publ. 1987;(35):330 p. Revisions 1992, 1998.