Kĩ thuật viễn thông - Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi laplace

hàm bước, thì sẽ có đáp ứng chấp nhận được với nhiều dạng tín hiệu vào khác. Tuy nhiên, sai số xác lập lại cần được xác định cho từng dạng ngõ vào. Đối với từng hệ thống, ta cần xem xét dạng tín hiệu vào (bước, dốc, v.v,) nào có thể xuất hiện, để định các yêu cầu về sai số xác lập của từng ngõ vào. 3. Độ nhạy Hệ thống cần thỏa mãn các đặc tính về độ nhạy đặc trưng khi tham số hệ thống thay đổi, hay với một số nhiễu loạn. Phân tích độ nhạy không được đề cập ở đây. 6.7–2 Phân tích hệ thống bậc hai Đáp ứng quá độ tùy thuộc vào vị trí các điểm cực và điểm zêrô của hàm truyền T(s). Thông thường, không có con đường ngắn để dự đoán các tham số của đáp ứng quá độ (PO, rt , st ) từ hiểu biết về cực và zêrô của T(s). Tuy nhiên với hệ bậc hai không có điểm zêrô, lại có quan hệ trực tiếp giữa vị trí cực và đáp ứng quá độ. Trong trường hợp này, vị trí cực có thể được xác định từ kiến thức về đặc tính của tham số quá độ. Ta sẽ thấy là việc nghiên cứu về hệ bậc hai có thể giúp nghiên cứu tố hơn về các hệ bậc cao hơn. Do đó, phần này ta nghiên cứu chi tiết về hệ bậc hai. Xét hệ bậc hai có hàm truyền 22 2 2 )( nn n ss sT     (6.81) Các cực của T(s) là 21   nn j , vẽ ở hình 6.37. Các cực là phức khi tỉ số giảm chấn 1 (trường hợp giảm chấn thiếu). và là thực khi 1 . Trường hợp 1 là trường hợp giảm chấn tới hạn, khi 1 là trường hợp giảm chấn lố. Giá trị  càng bé thì giảm chấn càng thấp, tạo độ vọt lố càng cao, và thời gian đáp ứng càng nhanh. Khi ngõ vào là hàm bước đơn vị ssF /1)(  và 2222 2 2 21 )2( )( nn n nn n ss s ssss sY          Tra bảng 6.1 (cặp 1 và 10c), ta có   )(cos1sin 1 1 1)( 12 2 tutety n tn                (6.82) Hình 6.38 cho thấy bản chất của trường hợp giảm chấn thiếu ( 1 ). Đáp ứng giảm. Đáp ứng giảm theo hàm mủ tne  . Do đó, hằng số thời gian của đáp ứng là n/1 . Cần bốn hằng số thời gian để hàm mủ giảm còn 2% so với giá trị đầu. Thời gian thiết lập st là: n st  4  (6.83) Để xác định phần trăm vọt lố PO, cần tìm thời gian đỉnh pt là thời gian có độ vọt lố lớn nhất. Tại ptt  , 0/ dtdy . Nghiệm của phương trình là: 21     n pt , và 21 100%100 1 1)(      ex ty PO p (6.84) Hình 6.39 vẽ PO là hàm theo . Trong hệ bậc hai, thì PO quan hệ trực tiếp với tỉ số giảm chấn . Dùng phương pháp tương tự, ta tìm rt và dt . Tuy nhiên, điều này đòi hỏi phải giải phương trình siêu việt, nên cần được giải trên máy tính số. Kết qua cho trong hình 6.39. Khi chưa tính chính xác, có thể dùng phương pháp xấp xỉ để tính rt và dt như sau: n d n r tt     22 469,0125,01,1917,24167,01     (6.85) Rõ ràng trong hệ bậc hai, vị trí cực xác định đáp ứng quá độ của hệ thống. Ta thấy các cực càng gần trục j , giá trị  càng bé, và giá trị vọt lố PO càng lớn. Nói chung thì, cực không nên quá gần trục j , là vị trí gần biên ổn định, làm hệ thống càng nhạy với sử thay đổi của tham số. Do đó, nên dùng giá trị  lớn (độ vọt lố PO nhỏ). Đề hệ thống đáp ứng nhanh thì cần có các giá trị psr ttt ,, và dt bé. Phần này cho thấy hệ bậc hai trong phương trình 6.81, có các tham số quá độ (PO, psr ttt ,, và dt ) có liên quan đến vị trí cực của T(s). Theo quan điểm thiết kế hệ thống. ta nên vẽ các đường đồng mức biểu diễn các giá trị khác nhau của tham số quá độ trên mặt phẳng – s . Thí dụ, mỗi đường viền đồng tâm trong mặt phẳng – s biểu diễn các đường giá trị hằng của  (xem hình 6.37). Do PQ có liên quan trực tiếp với  (hình 6.39), nên mỗi đường đồng tâm biểu diễn đường các giá trị hằng của PO, vẽ ở hình 6.40. Tương tự, mỗi đường dọc biểu diễn các giá trị hằng n (phương trình 6.37). Do nst /4 , các đưởng biểu diễn các giá trị hằng của thời gian thiết lập là đường dọc vẽ ở hình 6.40. Hình này còn cho thấy các đường đồng mức của hằng số rt . Các đường đồng mức cho phép ta xem xét để xác định các tham số quá độ quan trọng (PO, rt và st ) của hệ bậc hai khi biết vị trí các cực. Hơn nữa, nếu ta muốn tổng hợp hệ bậc hai nhằm đạt được một số đặc tính quá độ cho trước, ta có thể tìm được )(sT cần có từ hình này. Thí dụ, xét hệ thống điều khiển vị trí trong hình 6.36a. Cho các đặc tính quá độ của hệ thống là PO  16%, 5,0rt giây, 2st giây (6,86). Ta phát họa sơ các đường đồng mức trong hình 6.40 để có được các đặc trưng nói trên. Vùng tô bóng do giới hạn bởi các đường đồng mức trong hình 6.41 thỏa cả ba yêu cầu trên. Hàm truyền )(sT phải được chọn để tất cả các cực đều nằm trong vùng này, Hàm truyên cho hệ thống vòng kín trong hình 6.36a là Kss K sKG sKG sT     8)(1 )( )( 2 (6.87a) Điều này cho thấy vị trí các cực của )(sT có thể được chỉnh định bằng cách thay đổi độ lợi K. Ta cần chọn K để các cực nằm trong vùng tô bóng trong hình 6.41. Các cực của )(sT là nghiệm của phương trình đặc tính 082  Kss (8.87b) Nên các cực là Ks  1642,1 (8.87c) Các cực s1 và s2 (nghiệm của phương trình đặc tính) di chuyển dọc theo một đường trong mặt phẳng – s khi K thay đổi từ 0 đến . Khi 0K , các cực là - 8, 0. Khi 16K , các cực là thực là các cực di chuyển về giá trị - 4 khi K thay đổi từ 0 đến 16 (giảm chấn lố). Khi 16K , hai cực trùng lặp tại -4 (giảm chấn tới hạn). Khi 16K , các cực trở thành cực phức với giá trị 164  Kj (giảm chấn thiếu). Phần thực của cực là – 4 khi 16K , các cực di chuyển theo đường dọc như vẽ ở hình 6.41. Một cự di chuyển lên và cực còn lại (liên hợp) di chuyển xuống theo đường dọc qua - 4. Ta có thể dán nhản cho các giá trị K tại nhiều điểm dọc theo các đường này, như trong hình 6,41. Mỗi đường biểu diễn quĩ đạo cực của )(sT hay quĩ đạo nghiệm của phương trình đặc tính của )(sT khi K thay đổi từ 0 đến . Do đó, tập của đường này được gọi là quĩ đạo nghiệm. Quĩ đạo nghiệm cho ta thông tin về phương thức di chuyển của các cực trong hàm truyền vòng kín )(sT khi độ lợi K thay đổi từ 0 đến . Trong bài toán thiết kế của mình, ta phải chọn giá trị của K sao cho các cực của )(sT trong vùng được tô bóng như hình 6.41. Hình này cho thấy hệ thống đạt các tiêu chuẩn cho trước [phương trình (6.86)] khi 6425  K . Thí dụ khi 64K , ta có PO  16%, 2,0rt giây, 1 4 4 st giây (6.88) Hệ bậc cao Ta mới chỉ bàn về hàm truyền hệ bậc hai )(sT . Nếu )(sT có thêm các cực nằm xa về bên trái trục j , chúng chỉ ảnh hưởng không đáng kể lên đáp ứng quá độ của hệ thống. Lý do là các hằng số thời gian của các cực này rất nhỏ khi so với hằng số thời gian của các cực phức liên hợp ở gần trục j . Nên có hướng tăng dạng mủ do cực nằm gần trục j . Hơn nữa, hệ số của các thừa số trên còn nhỏ hơn đơn vị. Vậy, chúng tăng rất ít và giảm nhanh. Các cực nằm gần trục j được gọi là cực chủ yếu (dominant poles). Tiêu chuẩn thường dùng là khi cực cách xa trục j năm lần so với cực chủ yếu, thì đóng góp không đáng kể lên đáp ứng bước, và đáp ứng quá độ của hệ bậc cao giảm thành hệ bậc hai. Hơn nữa, cặp cực-zêrô gần nhau (dipole) ảnh hưởng không đáng kể lên đáp ứng quá độ. Do đó, nhiều cấu hình cực – zêrô trong thực tế rút gọn thành hai hay ba cực với một hay hai zêrô. Người ta đã chuẩn bị các biểu đồ về đáp ứng quá độ của các hệ thống dạng này với rất nhiều tổ hợp cực – zêrô, và được dùng trong thiết kế hầu hết các hệ thống bậc cao. 6.7–3 Quĩ đạo nghiệm Thí dụ trong phần 6.7-2 cho ta ý tưởng tốt về tiện ích của quĩ đạo nghiệm khi thiết kế hệ thống điều khiển. Bắt đầu với hệ phản hồi vẽ trong hình 6.42, tương tự hình 6.18d, trừ độ lợi K. Hệ thống trong hình 6.36a là trường hợp đặc biệt với 1)( sH . Hệ thống trong hình 6.42 có )()(1 )( )( sHsKG sKG sT   (6.89a) Phương trình đặc tính của hệ thống 0)()(1  sHsKG (6.89b) Xem xét đường đi của nghiệm của 0)()(1  sHsKG khi K thay đổi từ 0 đến . Khi vòng hở, hàm truyền là )()( sHsKG . Do đó, ta gọi )()( sHsKG là hàm truyền vòng hở. Qui tắc phác họa quĩ đạo nghiệm là: 1. Quĩ đạo nghiệm bắt đầu (K = 0) tại các cực của vòng hỡ và chấm dứt tại các đểm zêrô của vòng hở. Điều này có nghĩa là số cực chính xác bằng n, bậc của hàm truyền vòng hở. Đặt )(/)()()( sDsNsHsG  , với N(s) và D(s) lần lượt là các đa thức bậc m và bậc n. Do đó, 0)()(1  sHsKG đòi hỏi 0)()(  sKNsD . Nên 0)( sD khi K = 0. Trong trường hợp này, nghiệm là các cực của )()( sHsG tức là các cực của vòng hở. Tương tự, khi K , 0)()(  sKNsD , tức là 0)( sN , tức là nghiệm là các zêrô của vòng hở. Đối với hệ trong hình 6.36a, hàm truyền vòng hở là )8(/ ssK . Các cực vòng hở là 0 và – 8 và các zêrô (khi )8(/ ssK đều là . Có thể kiểm tra lại trên hình 6.41 là quị đạo nghiệm bắt đầu từ 0 và – 8 rồi chấm dứt tại . 2. Đoạn trục thực là phần của quĩ đạo nghiệm nếu tổng của các cực và zêrô trên trục thực là nằm bên phải của đoạn là lẻ. Hơn nữa, quĩ đạo nghiệm đối xứng qua trục thực. Ta đã kiểm tra trong hình 6.41 là đoạn trục thực nằm bên phải – 8 chỉ có một cực (và không có zêrô). Do đó, đoạn này là phần của quĩ đạo nghiệm. 3. Có n – m quĩ đạo chấm dứt tại  với góc )/( mnk  với ,...5,3,1k Chú ý là theo qui tắc 1, m quĩ đạ chấm dứt tại các zêrô của vòng hở, và (n – m ) quĩ đạo còn lại chấm dứt tại  theo qui tắc này. Trong hình 6.41, ta thấy (n – m ) = 3 quĩ đạo chấm dứt tại  với góc 2/k với k = 1 và 3. Ta tiếp tục với một quan sát thú vị. Nếu hàm truyền )(sG có m (hữu hạn) zêrô và n cực, thì mnsms sssG n    /1)(lim / . Do đó, )(sG có n – m zêrô tại . Điều này cho thấy là dù )(sG chỉ có m hữu hạn zêrô, thì cũng còn n – m zêrô tại . Theo qui tắc 1, m cực chấm dứt tại m hữu hạn zêrô, và theo qui tắc này thì còn có n – m cực còn lại chấm dứt tại , và đó cũng là các zêrô của )(sG . Kết quả này có nghĩa là mọi quĩ đạo bắt đầu tại cực của vòng hở và chấm dứt tại các zêrô vòng hở. 4. Trọng tâm của các tiệm cận (điểm hội tụ của các tiệm cận) của (n – m) quĩ đạo chấm dứt tại  là )( )()( 2121 mn zzzppp mn      Với nppp ,,, 21  là các cực và mzzz ,,, 21  là các zêrô của hàm truyền vòng hở. Hình 6.41 cho thấy là trọng tâm của quĩ đạo là 42/]0)08[(  5. Có thêm một số qui tắc, cho phép ta tính các điểm nới quĩ đạo nghiệm giao và cắt và đi qua trục j để va2o bên phải mặt phẳng phức. Các qui tắc này cho phép ta vẽ nhanh và phác họa sơ các quĩ đạo nghiệm. Tuy ngày nay đã có sẳn các chương trình và phần mềm cho phép vẽ nhanh các quĩ đạo nghiệm, nhưng bốn qui tắc đầu tiên này vẫn còn rất hữu ích khi phát họa nhanh quĩ đạo nghiệm. Hiểu biết về các qui tắc này rất hữu ích khi thiết kế hệ thống điều khiển, do chúng giúp ta xác định đâu là thay đổi cần thực hiện (dạng khâu bù nào phải thêm vào hệ thống) cho hàm truyền vòng hở nhằm giúp thiết kết đạt các tiêu chuẩn yêu cầu. ■ Thí dụ 6.21: Dùng bốn qui tắc của quĩ đạo nghiệm. vẽ quĩ đạo nghiệm của hệ thống có hàm truyền vòng hở )4)(2( )()(   sss k sHsKG 1. Qui tắc 1: Với 3),()( nsHsG , có ba quĩ đạo nghiệm, bắt đầu từ các cực của )()( sHsG ; tức là tại 0, - 2 và - 4 2. Qui tắc 2: Có tổng số cực lẻ bên phải đoạn trục thực 4s và 02  s . Do đó, các đoạn này là phần của quĩ đạo nghiệm. Nói cách khác, toàn bộ trục thực bên trái mặt phẳng phức, trừ đoạn giữa – 2 và – 4, là quĩ đạo nghiệm. 3. Qui tắc 3: 3mn . Do đó (cả) ba quĩ đạo nghiệm chấm dứt lại  theo tiệm cận với góc 3/k với k = 1, 3 và 5. Nên, góc các tiệm cận là 600, 1200 và 1800. 4. Qui tắc 4: Trọng tâm (giao điểm của ba tiệm cận) là (0 – 2 – 4)/3 = - 2. Ta vẽ ba tiệm cận bắt đầu từ - 2 với các góc là 600, 1200 và 1800, như vẽ ở hình 6.43. Thông tin này cho ta đủ ý tưởng về quĩ đạo nghiệm. Quĩ đạo nghiệm thực cũng được vẽ trong hình 6.43. Hai tiệm cận xuyên qua bên phải mặt phẳng phức, đáp ứng này với một số giá trị của K, có thể làm hệ thống không ổn định. ■  Bài tập dùng máy tính C6.5 Giải thí dụ 6.21 dùng MATLAB Các lệnh dùng tìm quĩ đạo nghiệm của MATLAB trong trường hợp này là: num=[0 0 0 1]; den=conv(conv[1 0],[1 2]),[1 4]); rlocus(num, den), grid  6.7–4 Các sai số xác lập Các đặc tính xác lập đặt ra thêm ràng cuộc cho hàm truyền vòng kín T(s). Sai số xác lập là sai biệt giữa ngõ ra mong muốn [tham chiếu )(tf ] với ngõ ra thực )(ty . Vậy )()()( tytfte  , và )](1)[( )( )( 1)()()()( sTsF sF sY sFsYsFsE        (6.90) Sai số xác lập là giá trị sse là giá trị của )(te khi t . Giá trị nàycó thể có dùng định lý giá trị cuối [phương trình (6.68)]: )](1)[(lim)(lim 00 sTssFssEe ss ss   (6.91) 1. Trường hợp tín hiệu vào là hàm bước đơn vị, sai số xác lập se là )0(1)](1[lim 0 TsTe s ss   (6.92) Khi T(0) = 1, sai số xác lập với ngõ vào bước đơn vị là zêrô. 2. Khi tín hiệu vào là hàm dốc, 2/1)( ssF  , và sai số xác lập re là s sT e s ss )(1 lim 0    (6.93) Nếu  reT ,1)0( . Như thế, điều kiện cần để sai số xác lập ngõ vào hàm dốc hữu hạn là 1)0( T , làm sai số xác lập với tín hiệu vào bước là zêrô. Giả sử 1)0( T , áp dụng qui tắc L‟Hopital vào phương trình (6.93), ta có: )0()]([lim 0 TsTe s ss    (6.94) 3. Tương tự, ta có thể chứng tõ là khi ngõ vào là hàm parabol )()2/( 2 tutt  với 3/1)( ssF  , và sai số xác lập pe là 2 )0(T ep   (6.95) Giả sử 0)0( T và 0)0( T . Trong thực tế, nhiều hệ thống dùng phản hồi đơn vị như vẽ ở hình 6.44. Trong các trường hợp này, việc phân tích sai số xác lập rất đơn giản. Định nghĩa hằng số sai số vị trí pK , hằng số sai số vận tốc vK , và hằng số sai số gia tốc aK là )],([lim)],([lim)],([lim 2 000 sKGsKsKGsKsKGK s p s p s p   (6.96) Do )),(1/()()( sKGsKGsT  phương trình (6.90) chi )( )(1 1 )( sF sKG sE   Các sai số xác lập được cho bởi: ps s s KsKGsKG s se         1 1 )]([lim1 1 )(1 /1 lim 0 0 (6.97a) vs s r KsKGssKG s se 1 )]([lim1 1 )(1 /1 lim 0 2 0        (6.97b) as s p KsKGssKG s se 1 )]([lim1 1 )(1 /1 lim 2 0 3 0        (6.97c) Trường hợp hình 6.36a )8( 1 )(   ss sG , từ phương trình (6.96) ta có: 0 8  avp K K KK (6.98) Thay các giá trị này vào phương trình (6.97) ,, 8 ,0  prs e K ee Hệ thống với )(sG có cực tại gốc (như trong trường hợp này) gọi là hệ loại 1. Các hệ dạng này có khả năng bám theo vị trí của đối tượng với sai số zerô ( 0se ), và có sai số hằng khi bám theo đối tượng di chuyển với vận tốc hằng ( re hằng số). Nhưng các hệ thống loại 1 không thích hợp khi bám theo các hệ thống có gia tốc hằng. Nếu )(sG không có cực tại gốc, thì pK là hữu hạn và 0 av KK , từ đó )10)(1( )2( )(    ss s sG 5/KK p  và 0 av KK . Nên )5/(5 Kes  và  pr ee . Các hệ thống dạng này được gọi là hệ thống loại 0. Các hệ thống này có se hữu hạn, nhưng  pr ee . Các hệ thống này có thể dùng với các ngõ vào hàm bước (điều khiển vị trí) nhưng không dùng được với các ngõ vào dốc hay parabol (bám theo tốc độ hay gia tốc). Nếu )(sG có hai cực tại gốc, hệ thống được gọi là hệ thống loại 2. Trường hợp này thì  vp KK và aK hữu hạn. Do đó, 0 rs ee và pe hữu hạn. Nếu )(sG có q cực tại gốc, hệ thống được gọi là hệ thống loại q. Rõ ràng, trong hệ phản hồi đơn vị, khi tăng số cực tại gốc của )(sG , ta cải thiện được tính năng xác lập của hệ thống. Tuy nhiên, phương pháp này làm tăng n và giảm biên độ của trọng tâm của các tiệm cận quĩ đạo nghiệm . Điều này làm dịch quĩ đạo nghiệm về hướng trục j nên làm xấu các đặc tính quá độ cùng với tính ổn định của hệ thống. Cần nhớ là các kết quả trong phương trình (6.96) và (6.97) chỉ dùng được cho các hệ phản hồi đơn vị (hình 6.44). Các đặc tính xac lập trong trường hợp này được lấy từ thừa số ràng buộc của hàm truyền vòng hở KG(s). Ngược lại, các kết quả từ phương trình (6,92) đến (6.95) áp dụng được cho hệ phản hồi đơn vị cũng như các hệ thống phản hồi khác, nên mang tính tổng quát hơn. Các đặc tính về sai số xác lập trong trường hợp này được lấy từ hàm truyền vòng kín T(s). Hệ thống phản hồi đơn vị trong hình 6.36a là hệ thống loại 1. Ta đã thiết kế được hệ thống đạt các tiêu chuẩn quá độ sau: 2,5,0%16  sr ttPO (6.99) Ta hảy xét thêm các tiêu chuẩn về xác lập: 15,00  rs ee Trường hợp này, ta đã có Kee rs /80  và pe [xem phương trình (6.98)]. Ta cần có 15,0re , nên 34,5315,0 8  K K (6.100) Trở lại hình 6.41, chú ý là các cực của )(sT nằm trong vùng chấp nhận được để đạt các tiêu chuẩn quá độ ( 6425  K ). Phương trình (6.100) cho thấy cần có 34,53K để thỏa các tiêu chuẩn xác lập. Để thỏa được cả các đặc tính về quá độ và xác lập ta cần đặt độ lợi ở 6434,53  K . Sai số xác lập bé nhất khi có tín hiệu dốc vào có được với 64K . Trong trường hợp này 125,0 64 88  K er Nên hệ thống thỏa được đặc tính quá độ trong phương trình (6.99( với sai số bé nhất 125,0re . Còn có thể làm tốt hơn, khi cho 125,0re mà vẫn giữ được tính năng quá độ bằng cách thêm vào một số dạng bù. 6.7–4 Bù Bài toán tổng hợp cho hệ thống điều khiển vị trí trong hình 6.36a là thí dụ rất đơn giản, khi đó các đặc tính quá độ và xác lập có thể đạt được chỉ cần chỉnh định độ lợi K. Trong nhiều trường hợp, không thể nào thỏa được đồng thời các tiêu chuẩn (quá độ hay xác lập) chỉ với cách chỉnh K. Thường ta chỉ có thể đạt một trong hai mà thôi. Xét lại hệ thống trong hình 6.36a, với các tiêu chuẩn sau: 05.0025,0%16  rssr eettPO Để thỏa các đặc tính xác lập, ta cần có 16005,0 8  K K Nhưng trong hình 6.41 cho thấy khi 64K , các cực của )(sT đi ra khỏi vùng chấp nhận được cho tiêu chuẩn quá độ. Rõ ràng, ta chỉ có thể thỏa được một trong hai tiêu chuẩn quá độ hay xác lập, chứ không phải cả hai. Trường hợp này, cần có thêm một số dạng bù, làm thay đổi quĩ đạo nghiệm để thỏa được tất cả các đặc tính cần thiết. Hiểu biết về kỹ thuật quĩ đạo nghiệm sẽ giúp ta chọn được khâu bù thích hợp nhất cho hàm truyền. Hình 6.41 cho thấy khi dịch chuyển quĩ đạo nghiệm về phía trái sẽ đạt được yêu cầu về tính năng. Ta có thể đặt khâu bù có hàm truyền )(sGc nối tiếp với )(sG như hình 6.45a và chọn lựa các cưc và zêrô của )(sGc để dịch chuyển trọng tâm quĩ đạo nghiệm về bên trái. Nếu )(sGc chỉ có một cực và một zêrô, ta nên chọn cực xa hơn về bên trái của zêrô để dịch chuyển được trọng tâm quĩ đạo nghiệm về trái theo qui tắc thứ tư của quĩ đạo nghiệm. Do đó, ta dùng      s s sGc )(  Khâu bù dạng này được gọi là khâu bù sớm, được thực hiện dùng mạch RC đơn giản như trong hình 6.45b. Ta có nhiều lựa chọn cho các giá trị của  và . Để đơn giản, chọn  = 8 và  = 30. Từ đó )30()8(30 8 )]()[(             ss K ss K s s sKGsGc Để đơn giản, ta đã chọn thì  = 8 nhằm loại bớt cực của G(s). Trong thực tế thì không nhất thiết phải lạoi cực của G(s). Trường hợp này,  = (-30 + 0)/2 = 15, và quĩ đạo nghiệm mới xuất hiện trong hình 6.46 Quan sát thấy tình hình đã được cải thiện đáng kể khi dịch trọng tâm từ – 4 đến – 15. Nếu chọn K = 600, ta có: 60030 600 )30(/6001 )30(/600 )( 2      ssss ss sT Trường hợp này, 5,24600 n , Đồng thời 15n . Do đó, 61,05,24/15  và 266,015/4/4  nst  . Từ phương trình (6.84), ta có %9,8PO . Hơn nữa, từ hình 6.39 [hay phương trình (6.85)], với 61,0 , tìm được 83,1rnt , nên 0747,05,24/83,1 rt , ta còn có: 05,0 20 1 020 30 600 30  rsvp ee K KK Hệ thống thỏa mọi đặc tính và còn có tính năng tốt hơn Ta bàn tiếp về khâu bù ban đầu được dùng để cải thiện các đặc tính xác lập. Đối với hệ phản hồi đơn vị, các đặc tính xác lập của hệ thống được cải thiện bằng cách đặt khâu tích phân trên đường truyền thẳng của )(sG . Phương pháp này làm tăng loại hệ thống, nên làm tăng ,,, avp KKK v.v,..Khâu bù trong trường hợp này là ssGc /1)(  . Trong sơ đồ này thì khâu bù là khâu tích phân lý tưởng. Do đó, dạng này còn được gọi là điều khiển tích phân. Thiết kế khâu tích phân lý tưởng cần nhiều công sức và các thiết bị đắc tiền. Do đó, các khâu này chỉ được dùng trong các hệ thống khi yếu tố chi phí không quan trọng. Thí dụ, bộ hồi chuyển tích phân (integrating gyroscope) được dùng trong các máy bay. Trong nhiều trường hợp khâu bù trễ (mô tả dưới đây) có đặc tính gần giống đáp ứng của bộ tích phân được dùng. Hàm truyền của khâu bù trễ là:        s s sGc )(   )0(cG Khâu bù trễ có thể được thực hiện dùng mạch RC đơn giản như hình 6,47. Trường hợp phản hồi đơn vị, khi thêm )(sGc làm mọi hằng số sai số ,,, avp KKK v.v,.. được nhân với )0(cG . Do đó, khâu bù trễ làm tăng ,,, avp KKK v.v,.. với thừa số (/), nên làm giảm sai số xác lập. Khâu bù trễ cải thiện các đặc tính xác lập, nhưng thông thường lại làm giảm các đặc tính quá độ. Do  > , biên độ của trong tâm quĩ đạo nghiệm  bị giảm đi. Yếu tố giảm này làm quĩ đạo nghiệm dịch về trục j, làm xấu các đặc tính quá độ. Tác động phụ này của khâu bù trễ có thể bỏ qua được khi chọn  và  sao cho  –  là rất bé, nhưng tỉ số /  lại cao. Các cặp cực và zêrô này hoạt động như một dipole bằng cách đặt cả cực và zêrô của )(sGc gần với gốc ( và  0). Thí dụ, nếu ta chọn  = 0,1 và  = 0,01, trọng tâm sẽ dịch đi một lượng rất bé (– )/(n – m), Tuy nhiên, do /  = 10, nên mọi hằng số sai số đều tăng lên với tỉ lệ 10. Ta có thể cải thiện đồng thời các đặc tính quá độ và xác lập bằng cách dùng tổ hợp các khâu sớm và trễ. 6.7- 6 Xét ổn định Trong thực tế, ta ít khi dùng phản hồi dương, do hệ thống có xu hướng mất ổn định và rất nhạy với sự thay đổi của tham số hệ thống hay môi trường. Như thế thì hệ phản hồi âm có làm hệ thống ổn định hơn và ít nhạy với các thay đổi ngoài ý muốn không? Không nhất thiết là thế! Lý do là nếu hệ thống thực sự là phản hồi âm thì hệ thống sẽ ổn định. Nhưng hệ thống thì phản hồi âm tại tần số này có thể lại có phản hồi dương ở một tần số khác do yếu tố dịch pha trên đường truyền. Nói cách khác, hệ phản hồi thì thường không thể nói rành mạch là phản hồi dương hay âm được. như thí dụ sau: Xét trường hợp )4)(2(/1)()(  ssssHsG . Quĩ đạo nghiệm của hệ thống cho ở phương trình 6.43. Hệ thống này là phản hồi âm tại các tần số thấp. Nhưng do có dịch pha tại tần số cao, phản hồi trở thành dương. Xét độ lợi vòng )()( sHsG tại tần số 83,2 (tại )83,2js  )4)(2( 1 )()(     jjj jHjG Tại  = 2,83 48 1 48 1 )483,2)(283,2(83,2 1 )83,2()83,2( 0180     je jjj jHjG Nhắc lại, hàm truyền chung là )(1 )( )( sKG sKG sT   Tại tần số 83,2js  ( 83,2 ), độ lợi là 48/1 )83,2( )83,2( K jKG jT   Khi K còn dưới mức 48, hệ thống ổn định, nhưng khi 48K , độ lợi hệ thống tiến về , và hệ thống trở nên không ổn định. Phản hồi là âm khi tần số thấp hơn 83,2 (do dịch pha chưa là - 1800), trở thành phản hồi dương. Nếu độ lợi đủ lớn ( 48K ) tại tần số này, thì tín hiệu phản hồi về bằng với tín hiệu vào, và tín hiệu tự duy trì mãi mãi. Nói cách khác, tín hiệu bắt đầu tự kích (dao động) tại tần số này, tức là làm mất ổn định. Chú ý là hệ thống vẫn không ổn định với mọi giá trị 48K . Điều này thấy rõ trong quĩ đạo nghiệm hình 6.43, cho thấy hai nhánh xuyên qua bên phải mặt phẳng phức khi 48K , giao điểm là s = j2,83. Phần trên cho thấy là với cùng hệ thống, có phản hồi âm tại tần số thấp cũng có khả năng là phản hồi dương ở tần số cao. Do đó, hệ thống phản hồi dễ nghiêng về mất ổn định, nên người thiết kế cần chú ý nhiều đến vấn đề này. Quĩ đạo nghiệm đã cho thấy vùng ổn định 6.8 Biến đổi Laplace hai bên Trường hợp này dùng cho tín hiệu không nhân quả và/hoăc không dùng đươc biến đổi Laplace (một bên). Các trường hợp này có thể được phân tích dùng biến đổi Laplace (hai bên) được định nghĩa theo:     dtetfsF st)()( (6.101a) Và biến đổi nghịch     jc jc stdsesF j tf )( 2 1 )(  (6.101b) Ta thấy là biến đổi Laplace một bên là một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai bên, khi đó tín hiệu bị giới hạn thành dạng nhân quả. Về cơ bản thì hai phép biến đổi này giống nhau. Do đó, ta dùng cùng các ký hiệu cho trường hợp biến đổi Laplace hai bên. Ta đã thấy được là biến đổi Laplace của )(tue at và )( tue at   là giống nhau, chỉ khác nhau vùng hội tụ. Vùng hội tụ của tín hiệu đầu là as Re và tín hiệu sau là as Re , như vẽ trong hình 6.2. Rõ ràng, biến đổi nghịch của F(s) là không độc nhất trừ khi xác định được vùng hội tụ. Khi ta giới hạn tín hiệu dạng nhân quả, thì điều này không cần thiết. Tiếp đến, ta chứng tõ là biến đổi hai bên có thể được viết thành hai biến đổi một bên. Từ đó, ta tìm được biến đổi nghịch bằng cách tra bảng của biến đổi một bên. Xét hàm )(tf của hình 6.48a. Ta chia )(tf thành hai hàm )(1 tf và )(2 tf , biểu diễn thành phần thời gian dương (nhân quả) và thành phần thời gian âm (phản nhân quả) của )(tf (hình 6.48b và 6.48c) )()()(1 tutftf  (6.102a) )()()(2 tutftf  (6.102b) Biến đổi Laplace hai bên của )(tf là )()()()()()( 12 0 1 0 2 sFsFdtetfdtetfdtetfsF ststst          (6.103) Trong đó )(1 sF là biến đổi Laplace của thành phần nhân quả )(1 tf và )(2 sF là biến đổi Laplace của thành phần phản nhân quả )(2 tf , do )(2 sF được tính từ     0 2 0 22 )()()( dtetfdtetfsF stst , và    0 22 )()( dtetfsF st (6.104) Rõ ràng thì )(2 sF  là biến đổi Laplace của )(2 tf  , là tín hiệu nhân quả (xem hình 6.48d), nên )(2 sF  có thể tìm từ bảng tra của biến đổi Laplace một bên. Đổi dấu của s trong )(2 sF  cho ta )(2 sF . Tóm tắt, biến đổi Laplace hai bên )(sF trong phương trình (6.103) có thể được tính từ biến đổi một bên theo hai bước: 1) Chia )(tf thành hai thành phần nhân quả )(1 tf và thành phần phản nhân quả )(2 tf 2) Các tín hiệu )(1 tf và )(2 tf  đều là tín hiệu nhân quả. Lấy biến đổi Laplace (một bên) của )(1 tf và cộng với biến đổi Laplace (một bên) của )(2 tf  , với s được thay thành – s . Phương pháp này cho ta biến đổi Laplace (hai bên ) của )(tf Do )(1 tf và )(2 tf  đều là tín hiệu hân quả, nên )(1 sF và )(2 sF  đều là biến đổi Laplace một bên. Gọi 1c và 2c là lần lượt là hoành độ hội tụ của )(1 sF và )(2 sF  . Điều này tức là )(1 sF tồn tại với mọi s khi 1Re cs  , )(2 sF  tồn tai với mọi s khi 2Re cs  . Do )()()( 21 sFsFsF  , nên )(sF tồn tại với mọi s sao cho 21 Re cc s   (6.105) Vùng hội tụ (tồn tại) của )(1 sF , )(2 sF và )(sF được vẽ trong hình 6.49. Do )(sF hữu hạn với mọi giá trị của s nằm trong dải hội tụ ( 21 Re cc s   ), nên các cực của )(sF phải nằm ngoải dải này. Các cực của )(sF xuất hiện do thành phần nhân quả )(1 tf nằm bên trái dải (vùng) hội tụ, còn các cực do thành thành phản nhân quả )(2 tf nằm bên phải dải (xem hình 6.49). Điều này là cực kỳ quan trọng để tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên) Thí dụ, xét )()()( tuetuetf atbt  (6.106) Ta đã có biến đổi Laplace của thành phần nhân quả as as tueat    Re 1 )( (6.107) Thành phần phản nhân quả )()(2 tuetf bt , thì bs bs tuetf bt     Re 1 )()(2 , nên bs bsbs sF       Re 11 )(2 , vậy bs bs tuebt     Re 1 )( (6.108) Và biến đổi Laplace của )(tf trong phương trình (6.106) là as asbs sF      Re 11 )( và bs Re bsa asbs ba     Re ))(( (6.109) Hình 6.50 vẽ )(tf và vùng hội tụ của )(sF với các giá trị khác nhau của a và b. Phương trình (6.109) cho thấy vùng hội tụ của )(sF không tồn tại nếu a > b, chính là trường hợp của hình 6.50g. Nhận thấy là các cực của )(sF ở bên ngoài (trên biên) của vùng hội tụ. Các cực của )(sF với thành phần phản nhân quả của )(tf nằm bên phải vùng hội tụ, còn các cực do thành phần nhân quả của )(tf thì nằm bên trái. ■ Thí dụ 6.22: Tìm biến đổi Laplace của )1)(2( 3 )(    ss sF Nếu vùng hội tụ là (a) 1Re2  s (b) 1Re s (c) 2Re s (a) 1 1 2 1 )(     ss sF Khi F(s) có cực tại - 2 và 1. Dải hội tụ là 1Re2  s . Cực tại – 2 nằm bên trái dải hội tụ, tương ứng với tín hiệu nhân quả. Cực tại 1, nằm bên phải dải hội tụ, tương ứng với tín hiệu phản nhân quả. Phương trình (6.107) và (6.108) cho )()()( 2 tuetuetf tt   (b) Hai cực nằm bên trái vùng hội tụ, nên hai cực tương ứng với tín hiệu nhân quả, nên: )()()( 2 tueetf tt   (c) Hai cực nằm bên phải vùng hội tụ, nên cả hai cực tương ứng với tín hiệu phản nhân quả, và: )()()( 2 tueetf tt   Hình 6.51 vẽ ba biến đổi nghịch tương ứng của )(sF với các vùng hội tụ khác nhau. ■ 6.8 - 1 Phân tích hệ thống tuyến tính dùng biến đổi Laplace hai bên. Biến đổi Laplace hai bên có thể xử lý các tín hiệu không nhân quả, nên có thể phân tích hệ LT – TT – BB không nhân quả dùng biến đổi Laplace hai bên. Ta biết ngõ ra (trạng thái – zêrô) cho bởi: y(t) = L – 1 [F(s)H(s)] (6.110) Biểu thức này chỉ đúng khi F(s)H(s) tồn tại. Vùng hội tụ của F(s)H(s) là vùng tồn tại của cả F(s) và H(s). Nói cách khác, vùng hội tụ của F(s)H(s) là vùng hội tụ chung của cả F(s) và H(s). ■ Thí dụ 6.23: Tìm dòng điện )(ty trong mạch hình 6.52a nếu điện áp )(tf là )()()( 2 tuetuetf tt  Hàm truyền của mạch là: 1 )(   s s sH Do )(th là hàm nhân quả, vùng hội tụ của )(sH là 1Re s . Biến đổi Laplace hai bên của )(tf là 2Re1 )2)(1( 1 2 1 1 1 )(         s ssss sF Đáp ứng )(ty là biến đổi nghịch của )()( sHsF )(ty L – 1         )2)(1)(1( sss s = L – 1            )2( 1 3 2 )1( 1 2 1 )1( 1 6 1 sss Vùng hội tụ của )()( sHsF là vùng hội tụ chung của cà )(sF và )(sH , tức là 2Re1  s . Các cực 1s nằm bên trái vùng hội tụ và tương ứng với tín hiệu nhân quả; các cực s = 2 nằm bên trái vùng hội tụ nên biểu diễn cho tín hiệu phản nhân quả, do đó: )( 3 2 )( 2 1 )( 6 1 )( 2 tuetuetuety ttt   Hình 6.52c vẽ )(ty , Chú ý trong thí dụ này, nếu )()()( 24 tuetuetf tt   thì vùng hội tụ của )(sF là 2Re4  s . Do đó, không có vùng hội tụ của )()( sHsF , và đáp ứng )(ty tiến về vô cùng. ■ ■ Thí dụ 6.24: Tìm đáp ứng )(ty của hệ thống không nhân quả với hàm truyền 1Re 1 1 )(     s s sH với ngõ vào )()( 2 tuetf t Ta có 2Re 2 1 )(    s s sF , và )2)(1( 1 )()()(    ss sHsFsY Vùng hội tụ của )()( sHsF là 1Re2  s , dùng phép pâhn tích đa thức 1Re2 )1( 3/1 )1( 3/1 )(       s ss sY và  )()( 3 1 )( 2 tuetuety tt  Chú ý là cực của )(sH nằm bên phải mặt phẳng phức tại 1. Vậy hệ thống không phải là không ổn định. Cực trong mặt phẳng phải có thể chỉ thị tính không ổn định hay không nhân quả, tùy theo vị trí cực với vùng hội tụ của )(sH . Thí dụ, nếu )1/(1)(  ssH và 1Re s , hệ thống là nhân quả và không ổn định, khi )()( tueth t . Ngược lại, nếu )1/(1)(  ssH và 1Re s , hệ là không nhân quả và ổn định, khi )()( tueth t  .■ ■ Thí dụ 6.25: Tìm đáp ứng )(ty của hệ thống không nhân quả với hàm truyền 5Re 5 1 )(    s s sH với ngõ vào )()()( 2 tuetuetf tt   Ngõ vào )(tf là dạng đã mô tả trong hình 6.50g, và vùng hội tụ của )(sF không tồn tại. Trong trường hợp này, ta cần xác định riêng biệt đáp ứng của hệ thống với từng thành phần của tín hiệu vào, )()(1 tuetf t và )()( 22 tuetf t   1Re 1 1 )(1    s s sF 2Re 2 1 )(2     s s sF Nếu )(1 ty và )(2 ty lần lượt là đáp ứng với )(1 tf và )(2 tf , thì 1Re )5)(1( 1 )(1    s ss sY 5 4/1 1 4/1     ss nên   )( 4 1 )( 51 tueety tt   và 2Re5 )5)(1( 1 )(2     s ss sY 5 3/1 2 3/1      ss nên  )()( 3 1 )( 522 tuetuety tt   Vậy )( 12 1 4 1 )( 3 1 )()()( 5221 tueetuetytyty ttt         . ■ 6.9 Phụ lục 6.1: Thực hiện dạng chính tắc thứ hai Hàm truyền bậc n còn có thể thực hiện dùng dạng chính tắc thứ hai (quan sát chính tắc). Tương tự như trường hợp chính tắc số một, ta bắt đầu với thực hiện cho hàm truyền bậc ba (phương trình 6,71). 01 2 2 3 01 2 2 3 3 )( )( )( asasas bsbsbsb sF sY sH    (6.111) Do đó     )()( 01223301223 sFbsbsbsbsYasasas  Chuyển vị )}()({)}()({)}()({)()( 0011 2 22 3 3 3 sFbsYassFbsYassFbsYasFsbsYs  Chia hai vế cho s3, ta có )}()({ 1 )}()({ 1 )}()({ 1 )()( 003112223 sFbsYas sFbsYa s sFbsYa s sFbsY  (6.112) Như thế, có thể tạo )(sY bằng cách cộng bốn tín hiệu bên vế phải của phương trình (6.112) . Ta tạo )(sY từng bước một, cộng từng thành phần, hình 6.53a chỉ vẽ thành phần thứ nhất; tức là )(3 sYb . Hình 6,53b vẽ )(sY tạo tử hai thành phần, )(3 sYb và )]()([ 1 22 sFbsYa s  . Quan sát thấy thừa số )(2 sYa có được từ )(sY . Ta cộng )(2 sYa với )(2 sFb rồi qua khâu tích phân để tạo )]()([ 1 22 sFbsYa s  . Hình 6.53c vẽ )(sY với ba thành phần đầu. Hình 6.53d vẽ )(sY với đủ các thành phần. Đây là dạng sau cùng, biểu diễn một thực hiện khác nữa của )(sH trong phương trình (6.111). Thực hiện này có thể tổng quát hóa cho hàm truyền bậc n trong phương trình (6.70) dùng n khâu tích phân. 6.10 Tóm tắt Biến đổi Fourier không được dùng trực tiếp khi phân tích hệ thống không ổn định, hay ở biên ổn định. Hơn nữa, các ngõ vào còn bị giới hạn là các ngõ vào phải có biến đổi Fourier, nên không dùng được khi tín hiệu tăng theo dạng mủ. Các giới hạn này xuất phát tử các thành phần phổ dùng trong biến đổi Fourier để tạo ra f(t) là các hàm sin hay hàm mủ có dạng tje  , nên tần số bị giới hạn trên trục j của mặt phẳng phức Các thành phẩn phổ này không thể tổng hợp các tín hiệu tăng theo dạng mủ. Biến đổi Fourier được tổng quát từ biến js  sang  js  , để có biến đổi Laplace, nhằm có thể phân tích mọi dạng hệ thống LT – TT – BB và giải quyết được các tín hiệu tăng theo dạng mủ. Đáp ứng hệ thống với hàm mủ không dừng ste cũng là hàm mủ không dừng stesH )( , với )(sH là hàm truyền hệ thống. Ta có thể thấy biến đổi Laplace là công cụ theo đó tín hiệu được viết thành tổng của các hàm mủ không dừng ste . Lượng tương đối của thành phần ste là )(sF . Do đó, )(sF biến đổi Laplace của )(tf , biểu diễn phổ của các thành phần hàm mủ của )(tf , Hơn nữa, H(s) là đáp ứng của hệ thống (hay độ lợi) của thành phần phổ ste , và phổ tín hiệu ngõ ra là phổ ngõ vào nhân với đáp ứng phổ (độ lợi) )(sH , hay )()()( sHsFsY  . Biến đổi Laplace chuyển phương trình vi tích phân của hệ thống LT – TT – BB thành phương trình đại số. Biến đổi Laplace thường không dùng được cho các hệ thống thay đổi theo thởi gian hay hệ thống phi tuyến. Hàm truyền của hệ thống còn được định nghĩa là tỉ số của biến đổi Laplace của ngõ ra với biến đổi Laplace của ngõ vào khi mọi điều kiện đầu là zêrô (hệ thống ở trạng thái zêrô). Nếu )(sF là biến đồi Laplace của tín hiệu vào )(tf và )(sY là biến đổi Laplace của ngõ ra tương ứng )(ty (khi mọi diều kiện đầu là zêrô), thì )()()( sHsFsY  , với )(sH là hàm truyền. Hàm truyền của hệ thống )(sH là biến đổi Laplace của đáp ứng xung )(th . Tương tự, đáp ứng xung )(th , hàm truyền )(sH cũng là mô tả nội tại của hệ thống. Có thể dùng phương pháp mạch biến đổi để phân tích mạch điện, theo đó, các tín hiệu (điện áp và dòng điện) được biểu diễn thành dạng biến đổi Laplace tương ứng dùng ý niệm trở kháng (hay dẫn nạp), điều kiện đầu dùng mạch nguồn tương đương (máy phát điều kiện đầu). Trong phương pháp này, mạng có thể phân tích theo phương pháp mạch thuần trở. Dùng ý niệm khối (block) để biễu diễn hệ thống lớn với nhiều kết nối thích hợp các hệ con. Các hệ con, được phân tích từ quan hệ vào-ra, như hàm truyền. Phân tích hệ thống lớn được thực hiện dùng kiến thức từ quan hệ vào –ra của các hệ con và từ phương thức kết nối chúng với nhau. Hệ thống LT – TT – BB có thể được thực hiện từ bộ nhân, bộ cộng, và bộ tích phân. Có thể thực hiện hàm truyền với nhiều phưng thức khác nhau, thí dụ kết nối song song, nối tiếp. Trong thực tế, các khối này có thể thực hiện dùng op –amp. Hệ thống phản hồi là hệ thống vòn kín chủ yếu dùng chống lại ảnh hưởng của các thay đổi chưa dự báo được của tham số hệ thống, tải, và môi trường. Các hệ thống này được thiết kế để có được tốc độ mong muốn, và sai số xác lập. Khi điều khiển tốc độ, các tham số quá độ là thời gian lên, thời gian đỉnh, và thời gian thiết lập. Phần trăm vọt lố cho thấy phương thức ngõ ra tăng đến thời gian cuối. Sai dố xác lập có quan hệ với tham số hệ thống. Trong nhiều trường hợp, việc chỉnh định hệ số khuếch đại K có thể giúp có được tính năng cần thiết, nếu điều chỉnh này không đạt, thì cần dùng thêm mạch bổ chính. Quỉ đạo các nghiệm đặc tính của hệ thống được gọi là quĩ đạo nghiệm, rất thích hợp để thiết kế hệ thống phản hồi. Hầu hết các tín hiệu vào trong thực tế thường có dạng nhân quả. Do đó, ta cần quan tâm đến tín hiệu nhân quả. Khi đã giới hạn tín hiệu là nhân quả, thì phân tích dùng biến đổi Laplace được đơn giản rất nhiều; không cần quan tâm đến vùng hội tụ khi phân tích hệ thống. Trường hợp này biến đỗi Laplace được gọi là biến đổi Laplace một bên (chỉ dùng cho tín hiệu nhân quả. Phần 6.8 bàn về dang tổng quát là biến đổi Laplace hai bên, cho phép khảo sát các tín hiệu nhân quả và không nhân quà. Trong biến đổi Laplace hai bên, biến đổi Laplace nghịch của F(s) không độc nhất mà tùy thuộc vào vùng hội tụ của F(s). Do đó, vùng hội tụ giữ vài trò quan trọng trong biến đổi Laplace hai bên. Tài liệu tham khảo 1. Doetsch, G., , Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation with the Table of Laplace Transformation, Springer verlag, New York, 1974. 2. Le Page, W.R., Complex Variables and the Laplace Transforms for Engineers, McGraw-Hill, New York, 1961. 3. Durant, Will, and Ariel, The Age of Napoleon, The Story of Civilization Series, Part XI, Simon and Schuster, New York, 1975. 4. Bell, E.T., Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937. 5. Nahin, P.J., “Oliver Heaviside: Genius and Curmudgean.” IEEE Spectrum, vol. 20, pp. 63-69, July 1983. 6. Berkey, D., Calculus, 2nd ed., Saunder‟s College Publishing, Philadelphia, Pa. 1988. 7. Encyclopaedia Britannica, Micropaedia IV, 15th ed., Chicago, IL, 1982. 8. Churchill, R.V., Operational Mathematics, 2nd ed, McGraw-Hill, New York, 1958. 9. Yang, J.S., and Levine, W.S Chapter 10 in The Control Handbook, CRC Press, 1996. Bài tập 6.2-1 Dùng phương pháp trực tiếp [phương trình (6.8b)], tìm biến đổi Laplace và vùng hội tụ của các tín hiệu sau: (a) )1()(  tutu (e) )(coscos 21 ttut  (b) )(tute t (f) )()cosh( ttuat (c) )(cos 0 ttut  (g) )()sinh( ttuat (d) )()2( 2 tuee tt   (h) )()5cos(2 tute t  6.2-1 Dùng phương pháp trực tiếp [phương trình (6.8b)], tìm biến đổi Laplace và vùng hội tụ của các tín hiệu trong hình P6.1-2: 6.2-1 Tìm biến đổi Laplace nghịch của các hàm sau (a) 65 52 2   ss s (f) 2)1( 2   ss s (b) 134 53 2   ss s (g) 4)2)(1( 1  ss (c) 6 )1( 2 2   ss s (h) )54()2( 1 22   ssss s (d) )2( 5 2 ss (i) )52()1( 22 3  sss s (e) )22)(1( 12 2   sss s 6.2-1 Tìm biến đổi Laplace của các hàm theo thời gian (nếu cần) của biến đổi Laplace một bên: (a) )1()(  tutu (e) )(  tute t (b) )()(   tue t (f) )()](sin[ 0   tut (c) )()( tue t  (g) )()](sin[ 0 tut   (d) )(  tue t (h) )(sin 0  ttu 6.2-2 Chỉ dùng bảng 6.1 và đặc tính dời theo thời gian, tìm biến đổi Laplace của tín hiệu trong hình P6.1-2. Hướng dẫn: Xem phẩn 1.4 để phân tích tín hiệu 6.2-3 Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau (a) 65 )52( 2 2    ss es s (c) 52 3 2 )1(   ss e s (b) 22 2 2 3   ss se s (d) 23 3 2 2    ss ee ss 6.2-4 Có thể tìm biến đổi Laplace của tín hiệu tuần hoàn dùng kiến thức của biến đổi Laplace trong chu kỳ đầu (a) Nếu biến đổi Laplace của )(tf trong hỉnh P6.2-4a là )(sF , chứng tõ là )(sG , biến đổi Laplace của )(tg [hình P6.2-4b], là 0Re 1 )( )( 0     s e sF sG sT (b) Từ kết quả này, tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )(tp trong hình P6.2-4c Hướng dẫn: x xxx   1 1 1 32  1x 6.2-5 Đầu tiên từ 1)( t , tạo các cặp từ 2 đến cặp 10 trong bảng 6.1, dùng các đặc tính của biến đổi Laplace. Hướng dẫn: )(tu là tích phân của )(t , )(ttu là tích phân của )(tu [hay đao hàm lần hai của )(t ], v.v.,..,. 6.2-6 (a)Tìm biến đổi Laplace của xung hình 6.3 chỉ dùng các đặc tính vi phân theo thời gian, dời theo thời gian, và 1)( t . (c) Trong thí dụ 6.7, biến đổi Laplace của )(tf tìm được từ biến đổi của 22 / dtfd . Tìm biến đổi Laplace của )(tf trong thi 1dụ này bằng cách dùng biến đổi Laplace của dtdf / . Hướng dẫn: phần (b) dtdf / có thể xem là tổng của nhiều hàm bước (trễ với nhiều lượng khác nhau) 6.3-1 Dùng biến đổi Laplace, giải các phương trình vi phân: (a) )()()23( 2 tDftyDD  )()(,0)0()0( tutfyy    (b) )()1()()44( 2 tfDtyDD  )()(,1)0(,2)0( tuetfyy t   (c) )()2()()256( 2 tfDtyDD  )(25)(,1)0()0( tutfyy    6.3-2 Giải các phương trình vi phân trong bài tập 6.3-1 dùng biến đổi Laplace. Trong từng trường hợp xác định các thành phần ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêrô của nghiệm. 6.3-3 Giải các phương trình vi phân đồng nhất dùng biến đổi Laplace, giả sử các điều kiện đầu là zerô và ngõ vào )()( tutf  (a) )()(2)()3( 21 tftytyD  0)()42()(2 21  tyDty (b) 0)()42()()2( 21  tyDtyD )()()12()()1( 21 tftyDtyD  Tìm hàm truyền quan hệ giữa )(1 ty và )(2 ty với ngõ vào )(tf 6.3-4 Cho mạch điện hình P6.3-4, chuyển mạch ở vị trí mở thời gian dài trước 0t , khóa được đóng lại tức thì (a) Viết phương trình vòng (trong miền thời gian) khi 0t (b) Giải tìm )(1 ty và )(2 ty bằng phương pháp biến đổi Laplace. 6.3-5 Tìm hàm truyền của các hệ thống đặc trưng bằng phương trình vi phân (a) )(35)(2411 2 2 tf dt df ty dt dy dt yd  (b) )(573)(6116 2 2 2 2 3 3 tf dt df dt fd ty dt dy dt yd dt yd  (c) )(234 4 4 tf dt df dt dy dt yd  6.3-6 Tìm phương trình vi phân biểu diễn quan hệ giữa ngõ ra )(ty với ngõ vào )(tf , từ các hệ thống có hàm truyền sau: (a) 83 5 )( 2    ss s sH (b) 758 53 )( 23 2    sss ss sH (c) 52 275 )( 2 2    ss ss sH 6.3-7 Hệ thống có hàm truyền 65 5 )( 2    ss s sH (a) Tìm đáp ứng (trạng thái – zêrô) khi ngõ vào )(tf là: (i) )(3 tue t (ii) )(4 tue t (iii) )5()5(4  tue t (iv) )()5(4 tue t (v) )5(4  tue t (b) Viết phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa ngõ ra )(ty với ngõ vào )(tf 6.3-8 Làm lại bài tập 6.3-7 khi 62 32 )( 2    ss s sH và ngõ vào )(tf là: (a) )(10 tu (b) )5( tu 6.3-9 Làm lại bài tập 6.3-7 khi 9 )( 2   s s sH và ngõ vào )(tf là )()1( tue t 6.3-10 Cho hệ LT – TT – BB có các điều kiện đầu là zêrô (hệ thống ban đầu ở trạng thái- zêrô), ngõ vào )(tf tạo ngõ ra )(ty , chứng tõ là: (a) ngõ vào dtdf / tạo ngõ ra dtdy / (b) ngõ vào  t df 0 )(  tạo ngõ ra  t dy 0 )(  , từ đó, chứng tõ đáp ứng bước đơn vị của hệ thống là tích phân của đáp ứng xung đơn vị, tức là  t dh 0 )(  6.4-1 Tìm đáp ứng trạng thái – zêrô )(0 tv của mạng hình P6.4-1 nếu điện áp ngõ vào )()( tutetf t . Tìm hàm truyền quan hệ giữa ngõ ra )(0 tv và ngõ vào )(tf , tiếp đến, viết phương trình vi phân vào – ra của hệ thống. 6.4-2 Chuyển mạch trong hình P6.4-2 được đóng trong thời gian dài và được mở tức thời tại 0t . Tìm và vẽ dòng điện ).(ty 6.4-3 Tìm dòng điện )(ty trong mạch cộng hưởng hìnhP6.4-3 khi ngõ vào là: (a) )(cos)( 0 ttuAtf  (b) )(sin)( 0 ttuAtf  Giả sử mọi điều kiện đầu là zêrô LC 12 0  6.4-4 Tìm dòng điện vòng )(1 ty và )(2 ty khi 0t trong mạch hình P6.4-4a khi ngõ vào )(tf được vẽ trong hình P6.4-4b. 6.4-5 Trong mạch hình P6.4-5, chuyển mạch được đóng trong thời gian dài, và được mở tức thời tại 0t . Tìm )(1 ty và )(tvs khi 0t 6.4-6 Tìm điện áp ra )(0 tv khi 0t V trong mạch hình P6.4-6 khi ngõ vào là )(100)( tutf  và hệ thống ban đầu ở trạng thái – zêrô. 6.4-7 Tìm điện áp ra )(0 tv trong mạch hình P6.4-7 nếu điều kiện đầu là AiL 1)0(  và VvC 3)0(  (Hướng dẫn: Dùng dạng song song của máy phát điều kiện đầu) 6.4-8 Cho mạng hình P6.4-7, chuyển mạch ở vị trí a trong thời gian dài và được chuyển tức thời sang vị trí b tại 0t . Tìm dòng điện )(ty khi 0t Hướng dẫn: dùng mạch tương đương Thevenin 6.4-9 Chứng tõ là hàm truyền giữa điện áp ngõ ra )(ty và điện áp ngõ vào )(tf của mạch op –amp trong hình P6.4-9a là as Ka sH  )( với a b R R K 1 và RC a 1  Và hàm truyền của mạch hình P6.4-9b là as Ks sH  )( 6.4-10 Trong hệ bậc hai dùng op-amp trong hình P6.4-10, chứng tõ hàm truyền giữa điện áp ngõ ra )(0 tv và điện áp ngõ vào )(tf là 128 )( 2    ss s sH 6.4-11 Dùng định lý giá trị đầu và giá trị cuối, tìm giá trị đầu và giá trị cuối của đáp ứng trạng thái – zêrô của hệ thống có hàm truyền 562 1036 )( 2 2    ss ss sH và với ngõ vào là: (a) )(tu (b) )(tue t . 6.5-1 Hình P6.5-1a vẽ hai đoạn vào) là ½. Hình P6.5-1b vẽ hai đoạn này được nối đuôi nhau (a) Hàm truyền của mạng nối đuôi này có phải là (1/2)(1/2)=1/4? (b) Nếu đúng, chứng minh lại dùng phép tính hàm truyền? (c) Làm lại bài tập khi 20043  RR . Điều này có quan hệ gì với câu (b) 6.5-2 Trong hình 6.18, )(1 th và )(2 th là các đáp ứng xung của hệ thống có hàm truyền là )(1 sH và )(2 sH . Xác định đáp ứng xung của kết nối nối tiếp và kết nối song song của )(1 sH và )(2 sH vẽ ờ hình 6.18b và c. 6.6-1 Thực hiện )4)(3)(1( )2( )(    sss ss sH bằng dạng chính tắc, nối tiếp và song song 6.6-2 Làm lại bài 6.6-1 nếu (a) )22)(1( )2(3 )( 2    sss ss sH (b) 2)4)(2( 42 )(    ss s sH 6.6-3 Làm lại bài 6.6-1 nếu )3()2(5 32 )( 2    sss s sH Hướng dẫn: đưa hệ số của bậc lủy thừa cao nhất của mẫu số về đơn vị. 6.6-4 Làm lại bài 6.6-1 nếu )8)(6)(5( )2()1( )(    sss sss sH Hướng dẫn: trường hợp này m = n = 3 6.6-5 Làm lại bài 6.6-1 nếu )3)(2()1( )( 2 3   sss s sH 6.6-6 Làm lại bài 6.6-1 nếu )134()1( )( 22 3   sss s sH 6.6-7 Bài tập này được dùng để cho thấy cặp cực phức liên hợp có thể dùng thực hiện mạch nối đuôi hai hàm truyền bậc nhất. Chứng tõ hàm truyền các sơ đồ khối trog hình P6.6-7a và b là: (a) )(2 1 )( 1 )( 22222 baassbas sH     (b) )(2)( )( 22222 baass as bas as sH       , từ đó, chứng minh là hàm truyền của sơ đồ khối trong hình P6.6-7c là (c) )(2)( )( 22222 baass BAs bas BAs sH       6.6-8 Dùng op –amp thực hiện hàm truyền sau: (i) 5 10   s (ii) 5 10 s (iii) 5 2   s s 6.6-9 Dùng op – amp thực hiện mạch có hàm truyền sau 5 3 1 5 2 )(      ss s sH 6.6-10 Dùng op amp thực hiện chính tắc (canonical realization) hàm truyền sau 104 73 )( 2    ss s sH 6.6-11 Dùng op amp thực hiện chính tắc (canonical realization) hàm truyền sau 134 25 )( 2 2    ss ss sH 6.7-1 Tìm thời gian lên tr, thời gian thiết lập ts, phần trăm vọt lố (PO), và sai số xác lập es, er , và ep cho các hệ thống sau, có hàm truyền là: (a) 93 9 2  ss (b) 43 4 2  ss (c) 10010 95 2  ss 6.7-2 Hệ thống điều khiển vị trí, vẽ ở hình P6.7-2, đáp ứng bước đơn vị cho thấy thời gian đỉnh 4/pt , phần trăm vọt lố (PO = 9%), và giá trị xác lập của ngõ ra với tín hiệu bước đơn vị là 2SSy . Tìm 21, KK và a. 6.7-3 Hệ thống điều khiển vị trí, vẽ ở hình P6.7-3, có các đặc tính sau 3.0rt , 1st , phần trăm vọt lố (PO %30 ), và 0se . Cho biết đặc tính nào không phù hợp với hệ thống có giá trị K bất kỳ? Đặc tính nào phù hợp với chỉnh định K đơn giản? 6.7-4 Hàm truyền vòng hở của bốn hệ vòng kín cho dưới đây. Vẽ quỹ đạo nghiệm cho từng trường hợp (a) )5)(3( )1(   sss sK (c) )3( )5(   ss sK (b) )7)(5)(3( )1(   ssss sK (d) )22)(4( )1( 2   ssss sK 6.7-5 Trong hệ phản hồi đơn vị ở hình P6.7-5. Ta cần đạt các đặc tính sau %,16PO 2,0rt , 5,0st , 0se và 06,0re . Có khả năng thực hiện các đặc tính này bằng cách chỉnh định K không? Nếu không, đề nghị dạng mạch bù thích hợp và tìm lại các giá trị ,PO rt , st , se và re . 6.8-1 Tìm vùng hội tụ, nếu tồn tại của biến đổi Laplace (hai bên) của các tín hiệu sau: (a) )(ttue (b) )(ttue (c) 21 1 t (d) te1 1 (e) 2kte 6.8-2 Tìm biến đổi Laplace (hai bên) và vùng hội tụ tương ứng của các tín hiệu sau: (a) t e  (b) te t cos  (c) )()( 2 tuetue tt  (d) )(ttue (e) )( ttue  (f) )()(cos 0 tuettu t  6.8-3 Tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên) (a) 23 )3)(2( 52     ss s (b) 32 )3)(2( 52     ss s (c) 1 )2)(1( 32     ss s (d) 2 )2)(1( 32     ss s (e) 51 )5)(3)(1( 1723 2     sss ss 6.8-4 Tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên) )2)(1)(1( 622 2   sss ss nếu vùng hội tụ là (a) 1Re s (b) 2Re s (c) 1Re1  s (d) 1Re2  s 6.8-5 Hệ LT – TT – BB và nhân quả có hàm truyển 1 1 )(   s sH , tìm ngõ ra )(ty khi ngõ vào )(tf là (a) 2/t e  (d) )()(2 tuetue tt  (b) )()( 2 tuetue tt  (e) )()( 2/4/ tuetue tt   (c) )()( 4/2/ tuetue tt   (f) )()( 23 tuetue tt  