Kĩ thuật viễn thông - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu dùng chuỗi fourier

hài có cùng dấu trước điểm gián đoạn và có dấu ngược lại sau điểm gián đoạn. Điều này làm f(t) thay đổi hình dạng nhanh tại điểm giám đoạn. Ta có thể kiểm nghiệm lại điều này với một số dạng sóng có bước gián đoạn. Thí dụ, xét dạng sóng tín hiệu trong hình 3.10b. Dạng sóng này có gián đoạn tại t =1. Chuỗi Fourier của dạng sóng này được cho trong bài tập E3.6b là        )904cos( 4 1 )903cos( 3 1 )902cos( 2 1 )90cos( 2 )( 0000 tttt A tf   (3.68) Hình 3.12 vẽ ba thành phần đầu của chuỗi này. Pha của mọi (vô hạn) thành phần làm cho các biên độ là dương ngay trước khi t = 1 và chuyển thành âm ngay sau khi t = 1, là điểm gián đoạn. Tương tự, cho điểm gián đoạn t = - 1. Việc đảo dấu trong mọi thành phần sóng hài được cộng dồn để tạo bước nhảy gián đoạn. Để thực hiện được thay đổi đột ngột trong dạng sóng, thì phổ pha đóng vai trò chủ yếu. Nếu ta cố tái tạo tín hiệu này mà không cần biết đến phổ pha, tín hiệu sẽ bị xấu và bị dãn ra. Thường phổ pha cũng quan trọng như phổ biên độ trong định hình dạng tín hiệu. Việc tổng hợp các tín hiệu f(t) được thực hiện dùng một tổ hợp thích hợp nhất về biên độ và pha của nhiều sóng sin khác nhau. Tổ hợp duy nhất này được gọi là phổ Fourier của f(t). Tổng hợp Fourier cho hàm không liên tục: Hiện tƣợng Gibbs. Hình 3.11 vẽ hàm vuông f(t) và các xấp xỉ dùng chuỗi Fourier lượng giác rút gọn chỉ gồm các hài bậc n đầu tiên với n = 1. 3. 5, và 19. Đồ thị của chuỗi xấp xỉ rút gọn càng giống f(t) khi n càng tăng, và ta mong muốn chuỗi sẽ hội tụ về đúng f(t) khi n . Điều này là do (xem phần 3.3), năng lượng của sai biệt giữa f(t) và chuỗi Fourier trong một chu lỳ (năng lượng sai số)  0 khi n . Điều lạ là (như trong hình 3.11), là ngay khi n lớn, chuỗi rút gọn cho thấy dáng điệu của dao động và có vọt lố xuất hiện khi ở khoảng 9% lân cận điểm gián đoạn tại đỉnh dao động đầu tiên. Bất chấp giá trị của n, độ vọt lố vẫn duy trì mức khoảng 9%. Đáp ứng kỳ lạ này xuất hiện làm mâu thuẩn với kết quả toán học tìm được trong phần 3.3-2, là năng lượng sai số 0 khi n . Thực ra, điều có vẽ mâu thuẩn này làm khó xử nhiều người. Josiad Willard Gibbs đã chứng minh toán học được về dáng điệu này (nay gọi là hiện tượng Gibbs). Ta có thể hóa giải điều mâu thuẩn này bằng cách quan sát từ hình 3.11 rằng tần số dao động của tín hiệu được tổng hợp có giá trị n, nên độ rộng của gai nhọn với độ vọt lố 9% xấp xỉ là 1/2n. Khi ta tăng n, số lượng các thừa số trong chuỗi, thì tần số dao động tăng và độ rộng 1/2n của gai nhọn giảm đi. Khi n , năng lượng sai số n 0 do sai số gồm hầu hết là gai nhọn, với độ rộng 0. Do đó, khi n , chuỗi Fourier tương ứng khác với f(t) vào khoảng 9% tại phần lân cận bên phải và bên trái của điểm gián đoạn, nên năng lượng sai số 0. Khi ta chỉ dùng n thừa số đầu tiên trong chuỗi Fourier để tổng hợp tín hiệu, ta đã đột ngột kết thúc chuỗi, làm n thừa số đầu tiên có trọng lượng là đơn vị và các thành phần hài còn lại lớn hơn n có trọng lượng là zêrô. Kết thúc chuỗi đột ngột tạo hiện tượng Gibbs khi tổng hợp các hàm không liên tục. Phần 4.9 sẽ thảo luận kỹ hơn về hiện tượng Gibbs như việc phân nhánh (ramification) và cách khắc phục. Hiện tượng Gibbs chỉ xuất hiện khi có bước nhảy gián đoạn trong f(t). Khi tổng hợp hàm liên tục f(t) dùng n thừa số đầu tiên của chuỗi Fourier, thì hàm tổng hợp tiệm cận f(t) với mọi t khi n , và không xuất hiện hiện tượng Gibbs. Chú ý là không có hiện tượng Gibbs trong hình 3.13, khi tổng hợp tín hiệu liên tục dùng 19 hài đầu tiên. So sánh tình huống tương tự khi tín hiệu không liên tục trong hình 3.11.  Bài tập E3.8 Khi xem xét tín hiệu trong hình 3.7b, 3.10a và 3.10b, hảy xác định tốc độ suy giảm tiệm cận của các phổ biên độ. Đáp số: 1/n, 1/n2, và 1/n.  3.5 Chuỗi Fourier dạng mủ Phần phụ lục 3C cho thấy tập các hàm mủ tjne 0 (n = 0, 1, 2, . . . ) là trực giao trong khoảng thời gian T0 = 2/0, tức là:           0 0 0 00 0 )(* 0 T tnmj T tjntjm nmT nm dtedtee  (3.69) Hơn nữa, tập này còn là tập đủ. Từ phương trình (3.44) và (3.45) thì tín hiệu f(t) có thể được biểu diễn thành chuỗi Fourier dạng hàm mủ trong khoảng thời gian T0 giây.     n tjn neDtf 0)(  (3.70) Với (xem phương trình 3.45)   0 0)( 1 0 T tjn n dtetf T D  (3.71) Chuỗi Fourier dạng mủ về cơ bản là một dạng khác của chuỗi Fourier lượng giác. Các tín hiệu sin với tần số  có thể được viết thành tổng của hai hàm mủ ejt và e- jt. Như thế chuỗi Fourier dạng mủ có dạng tjne 0 với n thay đổi từ -  đến . Chuỗi Fourier dạng mủ trong phương trình (3.70) là tuần hoàn với chu kỳ T0. Để thấy được quan hệ chặt chẽ với chuỗi Fourier lượng giác, ta tìm lại chuỗi Fourier dạng mủ từ chuỗi Fourier lượng giác. Tín hiệu sin trong chuỗi lượng giác có thể được viết thành tổng hai hàm mủ dùng công thức Euler:   tjnjntjnjntnjtnjnnn ee C ee C ee C tnC nnnn 0000 222 )cos( )()( 0                tjn n tjn n eDeD 00    (3.72) Chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của tín hiệu tuần hoàn f(t) được cho bởi:     1 00 )cos()( n nn tnCCtf  Dùng phương trình (3.72) vào phương trình trên (cho C0 = D0) ta có            11 0 000)( n n tjn n tjn n n tjn n eDeDeDDtf  Đây chính xác là phương trình (3.70) đã tìm được trước đây. Ta thấy tính gọn (compact) của các biểu thức (3.70) và (3.71) rồi so sánh chúng với biểu thức tương ứng của chuỗi Fourier lượng giác. Hai phương trình trên rõ ràng đã chứng tõ ưu điểm của chuỗi Fourier dạng mủ. Đầu tiên, dạng chuỗi có tính gọn hơn. Thứ hai, biểu thức toán học để tìm các hệ số trong chuỗi cũng gọn hơn. Chuỗi dạng mủ tiện hơn nhiều so với chuỗi lượng giác. Đồng thời, kho phân tích hệ thống, thì dạng mủ thích hợp hơn dạng lượng giác. Do đó, ta dùng ý niệm chuỗi dạng mủ (thay vì chuỗi lượng giác) cho phần còn lại của tài liệu. Quan hệ giữa hệ số của chuỗi lượng giác và hàm mủ được trình bày rõ trong phương trình (3.72): n j nn eCD  2 1  n j nn eCD    2 1 (3.73) Quan hệ giữa chuỗi lượng giác và hàm mủ được trình bày rõ trong phương trình (3.71) khi thày tjte tj  sincos  : )( 2 1 nnn jbaD  (3.74)  Thí dụ 3.6 Tìm chuỗi Fourier dạng mủ của tín hiệu trong hình 3.7b (thí dụ 3.3). Trường hợp này T0 = , 0 = 2/ T0 = 2, và     n ntj neDt 2)( , với     0 0 )22/1( 0 22/2 0 11 )( 1 T tnjntjtntj n dtedteedtet T D      nj e nj tnj 41 504,0 2 1 0 )2( 2 1 2 1         (3.75) Và      n ntje nj t 2 41 1 504,0)( (3.76a)            tjtjtj e j e j e j 642 121 1 81 1 41 1 1504,0            tjtjtj e j e j e j 642 121 1 81 1 41 1 (3.76b) Quan sát thấy các hệ số Dn là phức. Hơn nữa, Dn và D-n là liên hợp (xem phương trình (3.73).  3.5-1 Phổ Fourier dạng mủ Trong phổ hàm mủ, ta vẽ các hệ số Dn là hàm theo . Nhưng do Dn thường là phức, ta cần vẽ hai đồ thị: phần thực và phần ảo của Dn, hay biên độ và góc pha của Dn. Ta thường dùng dạng thứ hai do có quan hệ chặt chẽ giữa biên độ và pha với các thành phần này của chuỗi Fourier lượng giác. Do đó ta vẽ nD theo  và nD theo . Điều này đòi hỏi các hệ số Dn phải viết theo dạng cực n Dj n eD  . So sánh phương trình (3.51a) và (3.71) (với n = 0), ta thấy D0 = a0 = C0 (3.77a) Phương trình (3.73) cho thấy, khi f(t) thực, thì cặp hệ số Dn và D-n là liên hợp, và nnn CDD 2 1   n  0 (3.77b) nnD  và nnD   (3.77c) Do đó nj nn eDD  và nj nn eDD    (3.77d) Trong đó nD là biên độ và nD là góc pha của nhiều thành phần hàm mủ. Từ phương trình (3.77) ta thấy phở biên độ ( nD theo ) là hàm chẵn theo  và phổ góc ( nD theo ) là hàm lẻ theo  khi f(t) là tín hiệu thực. Thí dụ với chuỗi trong thí dụ 3.6 (phương trình (3.76b)) 504,00 D 011 96,75 1 96,75,122,0122,0 41 504,0 0     DDe j D j 011 96,75 1 96,75,122,0122,0 41 504,0 0     DDe j D j và 022 87,82 2 87,82,0625,00625,0 81 504,0 0     DDe j D j 022 87,82 2 87,82,0625,00625,0 81 504,0 0     DDe j D j Và tiếp tục. Chú ý Dn và D-n là liên hợp, theo phương trình (3.77) Hình 3.14 vẽ phổ tần số (biên độ và góc) của chuỗi Fourier dạng mủ của tín hiệu tuần hoàn (t) trong hình 3.7b. Ta ghi nhận một số đặc tính thú vị của các phổ này. Đầu tiên, phổ tồn tại với các giá trị dương và âm của  (tần số). Thứ hai, biên độ phổ là hàm chẵn theo , và phổ góc là hàm lẻ theo . Cuối cùng, ta thấy quan hệ chặt chẻ giữa các phổ này với phổ tương ứng của chuỗi Fourier lượng giác của (t) (hình 3.7c và d). Tần số âm là gì? Tồn tại của phổ tại các tần số âm có vẽ khó hiểu do, từ định nghĩa thì tần số (số lần lặp lại trong một giây) là đại lượng dương. Như thế tại sao ta lại dùng tần số âm? Dùng đẳng thức lượng giác, viết sóng sin có tần số âm tại - 0 là )cos)cos( 00   tt Phương trình này chỉ rõ là tần số của sóng cos(0t + ) là 0 , là đại lượng dương. Ta có cùng kết luận khi thấy tte tj 00 sincos 0   Do đó, tần số của hàm mủ tje 0 cũng là 0 . Như thế ta biểu diễn đồ thị phổ với giá trị âm của  như thế nào? Một phương pháp hợp lý trong trường hợp này là gọi phổ hàm mủ là biểu diễn đồ thị các hệ số Dn là hàm theo . Tồn tại phổ tại  = - n0 chỉ đơn thuần cho thấy thành phần hàm mủ tje 0 tồn tại trong chuỗi. Ta biết là (xem phương trình 3.72) là sóng sin có tần số n0 có thể được biểu diễn theo cặp các hàm mủ tj e 0  và tj e 0  . Phương trình (3.77) cho thấy quan hệ chặt chẽ giữa phổ chuỗi lượng giác (Cn và n) với phổ hàm mủ ( nD và nD ). Thành phần dc D0 và C0 giống nhau trong hai dạng phổ. Hơn nữa, phổ biên độ hàm mủ nD là phân nửa của phổ biên độ lượng giác Cn khi n  1. Phổ góc của hàm mủ nD thì giống hệt với phổ pha n khi n  0. Do đó, ta có thể tạo phổ hàm mủ từ phổ chuỗi lượng giác và ngược lại. Thi dụ dưới đây minh học tính chất này.  Thí dụ 3.7 Phổ của chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn f(t) vẽ trong hình 3.15. Bằng cách xem xét các phổ này, vẽ phổ của chuổi Fourier mủ tương ứng và kiểm nghiệm lại kết quả. Thành phần phổ lượng giác hiện diện tại các tần số 0, 3, 6 và 9. Thành phần phổ mủ xuất hiện tại các tần số 0, 3, 6, 9 và – 3, – 6, – 9. Ta xét phổ biên độ trước, thành phần dc giữ không đổi, tức là D0 = C0 =16. Do nD là hàm chẵn theo  và nD = nD =Cn/2. Do đó, mọi phổ còn lại của nD vớ n dương là phân nửa của phổ biên độ lượng giác Cn, và phổ nD khi n âm là phần phản chiếu của phổ khi n dương qua trục dọc, như vẽ trong hình 3.15b. Phổ góc nnD  khi n dương và là – n khi n âm, được vẽ trong hình 3.15b. Ta tiếp tục kiểm tra xem tại sao hai tập phổ này biểu diễn được cùng tín hiệu. Tín hiệu f(t) có phổ lượng giác được vẽ trong hình 3.15a, có bốn thành phần phổ tần số tại 0, 3, 6, và 9. Thành phần dc là 16. Thành phần biên độ và pha của tần số 3 lần lượt là 12 và –/4. Do đó, thành phần được được viết thành )4/3cos(12 t . Tiếp tục dùng cách này, ta viết được chuỗi Fourier của f(t) thành )4/9cos(4)2/6(8)4/3cos(1216)(   ttcodttf Tiếp tục xét chuỗi hàm mủ trong hình 3.15b, với các thành phần tại tần số 0 (dc), 3, 6, và 9. Thành phần dc là D0 =16. Thành phần tje 3 (tần số 3) có biên độ là 6 và góc là –/4. Do đó, cường độ của thành phần là 4/6 je , và được viết thành   tjj ee 34/6   . Tương tự, thành phần tại tần số –3 là   tjj ee 34/6  . Tiếp tục với phương pháp này, ta có )(ˆ tf , tín hiệu tương ứng với phổ trong hình 3.15b là: ]22[]44[]66[16)(ˆ 949462623434 tj tj tj tj tj tj tj tj tj tj tj tj eeeeeeeeeeeetf         ][2][4][616 ) 4 9() 4 9() 2 6() 2 6() 4 3() 4 3(    tjtjtjtjtjtj eeeeee                    4 9cos4 2 6cos8 4 3cos1216  ttt Rõ ràng hai tập phổ biểu diễn dùng một tín hiệu tuần hoàn.  Băng thông của tín hiệu Sai biệt giữa các tần số cao nhất và thấp nhất của các thành phần phổ của tín hiệu được gọi là băng thông của tín hiệu. Băng thông của tín hiệu có phổ hàm mủ vẽ trong hình 3.15b là 9 (tính theo radian). Tần số cao nhất và thấp nhất lần lượt là 9 và 0. Chú ý là thành phần tần số 12 có biên độ là zêrô và không tồn tại. Hơn nữa, tần số thấp nhất là 0, không phải là – 9. Nhắc lại là các tần số (theo nghĩa truyền thống) của thành phần phổ tại  = – 3, – 6 và – 9 trong thực tế là 3, 6 và 9. Băng thông có thể thấy được từ phổ lượng giác trong hình 3.15a.  Thí dụ 3.8 Tìm chuỗi Fourier mủ và vẽ phổ tương ứng cho chuỗi xung )( 0 tT vẽ trong hình 3.16a. Từ kết quả này vẽ phổ lượng giác rồi biết biểu thức chuỗi Fourier lượng giác cho )( 0 tT . Chuỗi Fourier mủ cho bởi     n tjn nT eDt 0 0 )(  0 0 2 T    (3.78) Trong đó   0 0 0 )( 1 0 T tjn Tn dtet T D  Chọn khoảng lấy tích phân là        2 , 2 00 TT và ghi nhận là trong khoảng này )()( 0 ttT   ,   2/ 2/ 0 0 0 0)( 1 T T tjn n dtet T D  Trong tích phân này, xung ở vị trí t = 0. Theo đặc tính lấy mẫu (1.24a), tích phân bên vế phải có giá trị tjne 0 tại t = 0 (vị trí của xung). Do đó 0 1 T Dn  (3.79) Thế giá trị này vào phương trình (3.78), ta có chuỗi Fourier dạng mủ     n tjn T e T t 0 0 0 1 )(  0 0 2 T    (3.80) Phương trình (3.79) cho thấy phổ hàm mủ là đồng đều (Dn = 1/T0) với mọi tần số, được vẽ trong hình 3.16b. Phổ là thực, chỉ cần vẽ biên độ. Các pha đều là zêrô. Để vẽ phổ lượng giác, ta dùng phương trình (3.77) để có 0 00 1 T DC  0 2 2 T DnCn  n = 1, 2, 3, . . . 0n Hình 3.16c vẽ chuỗi Fourier lượng giác. Từ chuỗi này ta có thể biểu diễn )( 0 tT thành )]3cos2coscos(21[ 1 )( 000 0 0  ttt T tT  0 0 2 T    (3.81)   Bài tập E3.9 Phổ Fourier mủ của một số tín hiệu tuần hoàn f(t) được vẽ trong hình 3.17. Xác định và vẽ phổ Fourier lượng giác của f(t) qua xem xét hình 3.17. Viết chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của f(t). Đáp số )9cos(4)6cos(2)3cos(64)( 246   ttttf   Bài tập E3.10 Tìm chuỗi Fourier và vẽ phổ Fourier Dn theo  của tín hiệu sin được nắn toàn kỳ vẽ trong hình 3.18. Đáp số      n ntje n tf 2 241 12 )(   Định lý Parseval Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn f(t) là     1 00 )cos()( n nn tnCCtf  Mỗi thừa số bên vế phải phương trình là tín hiệu năng lượng. Hơn nữa, tất cả các thành phần Fourier bêm vế phải là trực giao trong một chu kỳ. Do đó, công suất của f(t) bằng với tổng công suất của tất cả các thành phần sin bên vế phải. Thí dụ 1.2 đã cho thấy công suất của tổng các sóng sin thì bằng với tổng công suất của tất cả sóng sin. Hơn nữa, công suất của sóng sin có biên độ Cn là Cn 2/2 bấp chấp giá trị của các pha tần số, và công suất của thừa số dc C0 là C0 2. Vậy công suất của f(t) là     1 22 0 n nf CCP (3.82) Kết quả này cho ta một dạng khác của phương trình (3.42), được gọi là định lý Parseval (cho chuỗi Fourier), và khẳng định là công suất của tín hiệu tuần hoàn bằng với tổng của công của của các thành phần Fourier của chúng. Ta có thể áp ứng cùng phương pháp này cho chuỗi Fourier mủ, cũng được tạo nên từ các thành phần trực giao. Do đó, công suất của tín hiệu tuần hoàn f(t) có thể được biểu diễn thành tổng công suất của các thành phần mủ. Trong phương trình (1.5d), ta đã chứng minh là công suất của hàm mủ tjDe 0 là 2D . Dùng kết quả này ta có thể biểu diễn công suất của tín hiệu tuần hoàn f(t) theo các hệ số chuỗi Fourier dạng mủ là     n nf DP 2 (3.83a) Khi tín hiệu f(t) thực, nD = nD , do đó     1 22 0 2 n nf DDP (3.83b)  Thí dụ 3.9 Tín hiệu vào của mạch khuếch đại âm thanh có độ lợi 100 có dạng x(t) = 0,1cos0t. Do đó, ngõ ra là 10cos0t. Tuy nhiên, bộ khuếch đại là phi tuyến tại mức biên độ cao, xén mọi tín hiệu ở mức 8 vôn như vẽ trong hình 3.19a. Ta sẽ xác định các sóng hàu do méo gấy ra khi hoạt động. Ngõ ra y(t) là tín hiệu bị xén trong hình 3.19a. Tín hiệu méo yd(t), vẽ trong hình 3.19b, là sai biệt giữa tín hiệu không méo 10cos0t và tín hiệu ra y(t). Tín hiệu yd(t) có chu kỳ T0 [giống như của y(t)] có thể được mô tả trong một chu kỳ là         kháctrigiácác TtTt Ttt ty TT d ___0 1024,01024,08cos10 1024,08cos10 )( 02020 00 00  Quan sát thấy yd(t) là hàm chẵn theo t, có trị trung bình là zêrô. Hơn nữa bn = 0, và nn aC  . Do đó, chuỗi Fourier là     1 0cos)( n nd tnCty  Thông thường, ta có thể tính các hệ số Cn (bằng với an) bằng cách lấy tích phân tntyd 0cos)(  trong một chu kỳ (rồi chia cho 2/T0). Do yd(t) có tính đối xứng, ta tìm an bằng cách lấy tích phân biểu thức chỉ trong nửa chu kỳ dùng phương trình (3.66). Phép ước lượng để xấp xỉ tích phân này là            len chann C n n n n n n n _0 _)6435,0sin(32 1 )]1(6435,0sin[ 1 )]1(6435,0sin[20  Tính các hệ số C1, C2, C3, . . . từ biểu thức này, ta viết được  ttttyd 000 5cos311,03cos733,0cos04,1)(  Tính các hài do méo Trong trường hợp này, ta có thể tính số lượng méo của tín hiệu ra bằng cách tính công suất của thành phần méo yd(t). Do yd(t) là hàm chẵn theo t và do công suất trong nửa chu kỳ là giống với công suất của bán kỳ thứ hai, ta có thể tính công suất bằng cách lấy trung bình năng lượng trong một phần tư chu kỳ. Do đó, 865,0)8cos10( 4 )( 4/ 1 )( 1 000 0 1024,0 0 2 0 0 4/ 0 2 0 2/ 2/ 2 0    TT d T T dyd dtt T dtty T dtty T P  Côn suất của tín hiệu mong muốn 10cos0t là (10) 2/2. Do đó, hài do méo tổng là %73,1100 50 865,0  xDtot Các công suất của thành phần hài bậc một và bậc ba của yd(t) là (1,04) 2 /2 = 0,5408 và (0,726) 2/2 = 0,235. Do đó, thành phần méo hài bậc một và bậc ba là %08,1100 50 5408,0 1  xD và %527,0100 50 2635,0 3  xD  3.6 Tính toán Dn Ta có thể tính Dn dùng phương pháp số với DFT (biến đổi Fourier rời rạc trong phần 5.2), dùng các mẩu của tín hiệu tuần hoàn f(t) trong một chu kỳ. Thởi gian lấy mẩu là T giây. Do đó, ta có N0 = T0/T là số mẩu trong một chu kỳ T0. Để tìm quan hệ giữa Dn và số mẩu của f(t), xét phương trình (3.71)            1 00 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 )( 1 lim)( 1 lim)( 1 N k kjn T N k kTjn TT tjn n ekTf N TekTf T etf T D  (3.84) Trong đó f(kT) là mẩu thứ k của f(t) và T T N 00  , 0 00 2 N T    (3.85) Trong thực tế, không thể làm cho T  0 khi tính toán vế phải của phương trình (3.84). Ta có thể làm T nhỏ, nhưng không là zêrô, điều làm cho dữ liệu tăng không giới hạn. Vậy, ta nên bỏ qua giới hạn của T trong phương trình (3.84) với ngầm hiểu là T là nhỏ một cách hợp lý. Giá trị T khác không tạo sai số tính toán, là điều không tránh được khi tính toán số tích phân. Sai số do T khác zêrô được gọ là sai số trùm phổ (aliasing error), sẽ được thảo luận chi tiết trong chương 5. Do đó, ta có thể viết (3.84) thành     1 00 0 0)( 1 N k kjn n ekTf N D (3.86a) Từ phương trình (3.85), 0N0 = 2. Do đó, kjnNkjn ee 000 )(   và từ phương trình (3.86a), ta có Dn+No = Dn (3,86b) Rõ ràng, phổ Fourier Dn lặp lại theo chu lỳ N0, làm phổ bị trùng lắp khi chu kỳ được lặp lại. Để hiểu được bản chất của trùng lắp này, xem hình 5.12f. Thông thường, Dn giảm theo n và việc trùng phổ do việc lặp lại có chu kỳ sẽ có ảnh hưởng không đáng kể nếu ta dùng N0 (chu kỳ) đủ lớn. Chu kỳ đầu giao với chu kỳ thứ hai tại n = N0/2. Do đó, để trùng lắp không đáng kể nếu cho Dn rất nhỏ với n  N0/2. Do tính chu kỳ của Dn, ta chỉ cần tính Dn với N0 giá trị trong tầm n = – N0/2 đến N0/2 – 1. Tuy nhiên, dùng DFT (hay FFT) để tính Dn với n = 0 đến N0 – 1. Đăc tính tuần hoàn Dn+No = Dn có nghĩa là, bên ngoài giá trị n = N0/2, các hệ số biểu diễn các giá trị n âm. Thí dụ, khi N0 = 32, D17 = D –15, D17 = D–14, . . . , D31 = D – 1. Chu kỳ lặp lại từ n = 32. Ta có thể dùng phép tính FFT (biến đổi Fourier nhanh thảo luận trong phần 5.3) để tính vế phải của phương trình trên. Ta nên dùng MATLAB để thiết lập thuật toán FFT. Nhằm mục đích này, ta cần lấy mẫu f(t) trong mọt chu kỳ bắt đầu từ t = 0. Trong thuật toán này, nên cho N0 theo dạng lủy thừa bậc 2, tức là N0 = 2 m, với m là số nguyên (mặc dù có thể không cần thiết). .  Thí dụ dùng máy tính C3.1 Tính toán và vẽ phổ lượng giác và phổ mủ cho tín hiệu tuần hoản trong hình 3.7b (thí dụ 3.3). Các mẩu của f(t) bắt đầu từ t = 0 và mẩu cuối (thứ N0) tại t = T0 – T (mẩu cuối không phải tại t = T0 do mẩu tại t = 0 giống hệt mẩu tại t = T0, và chu kỳ kế bắt đầu tại t = T0). Tại điểm gián đoạn, giá trị mẩu được lấy từ trung bình các giá trị hàm ở hai bên điểm gián đ;oạn. Do đó, trong trường hợp hiện tại, mẩu thứ nhất (tại t = 0) không phải tại 1, nhưng (e –/2 +1)/2 = 0,604. Đẻ xác định N0, ta cần giá trị Dn có thể bỏ qua được với n  N0/2. Do f(t) có bước nhảy gián đoạn, Dn giảm chậm theo 1/n. Do đó, chọn N0 = 200 là chấp nhận được do(N0/2) có hài thứ 100 vào khoảng 0,01 (vào khoảng 1%) so với thành phần cơ bản. Tuy nhiên, ta cũng cần N0 theo dạng mủ lủy thừa 2. Do đó, ta nên chọn 8 0 2256 N . Ta viết và lưu trữ file MATLAB (hay chương trình) c31.m để tính và vẽ các hệ số Fourier mủ. %(c31.m) % M là số hệ số cần tính T0 = pi; N0 = 256; T = T0/N0; M =10; t = 0:T:T*(N0 – 1); t = t’; f = exp(-t/2); f(1) = 0,604; %fft(f) là phép tính FFT [ tổng vế phải của phương trình (3.86)] Dn = fft(f)/N0 [Dnangle, Dnmag]=cart2pol(real(Dn),imag(Dn)); k = 0:length(Dn) – 1; k = k’; subplot(211), stem(k,Dnmag) subplot(212), stem(k,Dnangle) ans = Amplitudes Angles 0.5043 0 0.2446 - 75.9622 0.1251 - 82.8719 0.837 - 86.4175 0.0503 - 87.1299 0.0419 - 87.6048 0.0359 - 87.9437 0.0314 - 88.1977 0.0279 - 88.3949  3.6 Đáp ứng của hệ LT – TT – BB với ngõ vào tuần hoàn Tín hiệu tuần hoàn có thể được biểu diễn thành tổng của các hàm mủ (hay sin) không dừng. Ta cũng đã biết được phương pháp tìm đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB đối với ngõ vào là hàm mủ không dừng. Từ thông tin này ta đã sẵn sàng để xác định đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB với ngõ vào tuần hoàn. Một tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T0 có thể viết thành chuỗi Fourier mủ     n tjn neDtf 0)(  0 0 2 T    Trong phần 2.4-3, ta đã chứng tõ là đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB có hàm truyền H(s) khi ngõ vào là tín hiệu hàm mủ không dừng est cũng là hàm mủ không dừng H(s)est. Do đó, đáp ứng của hệ thống với hàm mủ không dừng ejt là hàm mủ không dừng H(j)ejt. Cặp vào ra có thể viết thành tjtj ejHe  )( Ngõ vào  Ngõ ra Do đó, từ tính tuyến tính tj n n tj n n ejHDeD 00 )( 0        Ngõ vào f(t)  Ngõ ra y(t) (3.87) Đáp ứng y(t) tìm được có dạng chuỗi Fourier mủ, và do đó là tín hiệu tuần hoàn có cùng chu kỳ với ngõ vào. Ta sẽ chứng minh tính hữu dụng của các kết quả này từ thí dụ sau  Thí dụ 3.9 Bộ nắn điện toàn kỳ (hình 3.20a) được dùng để có tín hiệu dc từ sóng sint. Tín hiệu nắn điện là f(t), vẽ trong hình 3.18, được cho qua mạch lọc thông thấp RC, nhằm loại các thành phần thay đổi theo thời gian và có được thành phần dc với một số nhấp nhô còn sót lại. Tìm ngõ ra của bộ lọc y(t). Tìm biên độ ngõ ra dc, và trị rms của điện áp nhấp nhô. Đầu tiên, ta tìm chuỗi Fourier của tín hiệu đã nắn điện f(t), có chu kỳ T0 = . Do đó, 0 = 2, và     n ntj neDtf 2)( , trong đó       0 2 2 )41( 2 sin 1 n dtteD ntjn (3.88) Do đó:      n ntje n tf 2 2 )41( 2 )(  Tiếp đến, ta tìm hàm truyền của mạch lọc RC trong hình 3.20. Mạch lọc này giống hệt mạch RC trong thí dụ 1.11 (hình 1.32) với phương trình vi phân mô tả quan hệ của ngõ ra (điện áp qua tụ) với ngõ vào f(t) cho bởi phương trình (1.60) là (3D + 1) y(t) =f(t) Hàm truyền H(s) của hệ này tìm từ phương trình (2.50) là 13 1 )(   s sH và 13 1 )(     j jH (3.89) Từ phương trình (3.87), ngõ ra y(t) có thể viết thành (với 0 =2)       n ntj n n tjn n entjHDetjnHDty 2 0 )2()()( 0 Thay Dn và H(j2n) từ phương trình (3.88) và (3.89) vào phương trình trên, ta có      n ntje njn ty 2 2 )16)(41( 2 )(  (3.90) Chú ý là ngõ ra y(t) cũng là tín hiệu tuần hoàn do chuỗi Fourier mủ bên vế phải. Ngõ ra có thể tính toán số học từ phương trình trên và vẽ trong hình 3.20b. Các hệ số của chuỗi Fourier ngõ ra tương ứng với n = 0 là thành phẩn dc của ngõ ra, có giá trị là 2/. Các thừa số còn lại của chuỗi Fourier bào gồm các thành phần không mong muốn được gọi là độ nhấp nhô. Ta có thể xác định được giá trị rms của điện áp nhấp nhô bằng cách tính công suất của thành phần nhấp nhô dùng công thức (3.83). Công suất của nhấp nhô là công suất của mọi thành phần trừ thành phần dc (n =0). Chú ý là nDˆ , hệ số của chuỗi Fourier mủ của ngõ ra y(t) là )16)(41( 2ˆ 2   njn Dn  Do đó, từ phương trình (3.83b), ta có            1 2222 1 2 2 1 2 )136()41( 18 )16)(41( 2 22 nnn nripple nnnjn DP  Tính toán số học vế phải phương trình, ta có Pripple = 0,0025 và trị rms của nhấp nhô là = rippleP = 0,05 Điều này cho thấy điện áp nhấp nhô là 5% của biên độ sóng vào.  Tại sao phải dùng hàm mủ Chuỗi Fourier mủ đúng là một phương pháp khác để biểu diễn chuỗi Fourier lượng giác (hay ngược lại). Hai dạng này mang đến cùng một thông tin, không hơn, không kém. Lý do về việc dạng mủ được ưu chuộng hơn đã được đề cập: do dang mủ gọn hơn, đáp ứng của hệ thống với tín hiệu mũ cũng đơn giản (gọn hơn) so với đáp ứng với tín hiệu sin. Hơn nữa, xử lý toán học của dạng mủ cho thấy dễ hơn so với dạng lượng giác trong lĩnh vực tín hiệu cũng như hệ thống. Do đó, trong các phần tiếp theo, ta chỉ dùng dạng mủ thôi. Nhược điểm nhỏ của dạng mủ là ta không dễ dàng quan sát như trong dạng sóng sin. Để hiểu được một cách trực giác và định tính, thì phương pháp sóng sin có ưu điểm hơn. May mắn là khó khăn này có thể được khắc phục nhờ quan hệ chặt chẽ giữa hàm mủ và phổ Fourier. Để phân tích toán học, ta nên tiếp tục dùng tín hiệu và phổ dang mủ, nhưng để hiệu các tình huống vật lý một cách trực giác và định tính, ta nên dùng tín hiệu và phổ sin. Do đó, trong phần thảo luận tiếp theo, ta dùng dạng mủ khi xử lý toán học, và khi tìm hiểu trực giác hay định tính, ta thay đổi với cách dùng dạng tín hiệu sin. Đây là điều quan trọng; độc giả nên cố làm quen với cả hai dạng này, quan hệ cũng như tính chuyển đổi qua lại của chúng. Hai tính cách đối ngẫu của tín hiệu Thảo luận trước đây cho thấy tín hiệu tuần hoàn có hai tính cách đối ngẫu – trong miền thời gian và trong miền tần số. Tín hiệu có thể được biểu diễn dùng dạng sóng hay bằng phổ Fourier. Mô tả trong miền thời gian và miền tần số cung cấp các hiểu biết bổ trợ nhau về tín hiệu. Để hiểu rõ tín hiệu, ta cần hiểu cả hai tính chất này. Các độc giả cần tìm hiểu để suy nghĩ về tín hiệu theo hai hướng này. Trong chương tiếp, ta sẽ thấy là tín hiệu không tuần hoàn cũng có hai tính cách này. Hơn nữa, ta sẽ chứng minh được ngay cả hệ LT – TT – BB cũng có hai tính cách đối ngẫu này, nhằm giúp hiểu biết tốt hơn về đáp ứng của hệ thống. Hạn chế của phƣơng pháp phân tích dùng chuỗi Fourier Ta đã phát triển phương pháp biểu diễn tín hiệu tuần hoàn như là tổng (weighted sum) của các hàm mủ không dừng với tần số nằm dọc theo trục j trong mặt phẳng s. Cách biểu diễn dùng chuỗi Fourier này có giá trị trong nhiều ứng dụng. Tuy nhiên, phương pháp lại gặp nhiều hạn chế khi được dùng phân tích hệ thống tuyến tính, do: 1. Chuỗi Fourier chỉ có thể dùng cho tín hiệu có các ngõ vào tuần hoàn. Tất cả các ngõ vào trong thực tế đề là không tuần hoàn. (xin nhớ là tính hiệu tuần hoàn bắt đầu tại thời điểm t = - ). 2. Kỹ thuật này chỉ dùng được khi hệ thống là ổn định tiệm cận. Không dùng dễ dàng khi hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định. Hạn chế đầu có thể khắc phục bằng cách biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn thành hàm mủ không dừng. Cách biểu diễn này được thực hiện dùng tích phân Fourier, được xem là dạng mở rộng của chuỗi Fourier. Ta bên xem chuỗi Fourier là bước đầu để phát triển tích phân Fourier trong chương sau. Hạn chế thứ hai được khắc phục dùng hàm mủ est trong đó s không bị giới hạn nằm trên trục ảo, mà có giá trị phức bất kỳ. Điều tổng quát hóa này dẫn đến tích phân Laplace, sẽ được thảo luận trong chương 6 (biến đổi Laplace). 3.8 Phụ chƣơng Phụ chƣơng 3A: Tìm phƣơng trình (3.39) Sai số e(t) trong phép xấp xỉ (3.37) là    N n nn txctfte 1 )()()( (3.91) Năng lượng sai số Ee là           2 1 2 1 2 1 2 )()()( t t N n nn t t e dttxctfdtteE (3.92) Do Ee là hàm theo N tham số c1, c2, . . ., cN, nên để tối thiểu hóa Ee, cần điều kiện 0)()( 2 1 2 1                dttxctf cc E t t N n nn ii e Ni ,,2,1  (3.93) Khi khai triển tích phân, ta thấy mại thừa số nhân chéo (cross-product) xuất hiện trong các tín hiệu trực giao là zerô do tính trực giao; tức là mọi thừa số có dạng  dttxtx nm )()( triệt tiêu với mọi m  n. Tương tự, đạo hàm theo ci của các thừa số có chứa ci đều là zêrô. Với từng chỉ số i, quan sát này chỉ có hai thừa số khác không trong phương trình (3.93)     2 1 0)()()(2 22 t t iii i dttxctxtfc c i    2 1 2 1 0)(2)()(2 2 t t t t ii dttxcdttxtf i ni ,,2,1  Do đó     2 1 2 1 2 1 )()( 1 )( )()( 2 t t i i t t i t t i i dttxtf Edttx dttxtf c Ni ,,2,1  (3.94) Tìm phƣơng trình (3.40)           2 1 2 1 2 1 22 1 )()(2)()()()( 1 2 1 2 2 1 t t n N n n t t n N n n t t t t N n nne dttxtfcdttxcdttfdttxctfE Thay phương trình (3.36) và (3.94) vào phương trình này, ta có n N n n t t n N n nn N n n t t e EcdttfEcEcdttfE    1 2 1 2 1 2 2 1 22 1 2 )(2)( (3.95) Khi N của tập đầy đủ, Ee 0, và năng lượng của f(t) bằng với tổng năng lượng của mọi thành phần trực giao c1x1(t), c2x2(t), c3x3(t), . . . . Phụ chƣơng 3B: Tính trực giao của tập tín hiệu lƣợng giác Xét tích phân I được định nghĩa là  0 00 coscos T tdtmtnI  (3.96a) Với  0T là tích phân trong khoảng liền kề bất kỳ T0 giây. Dùng hằng đẳng thức lượng giác (xem phần B.7-6), phương trình (3.96a) viết lại thành       00 00 )cos()cos( 2 1 TT tdtmntdtmnI  (3.96b) Do cos0t thực hiện một chu kỳ đầy đủ với mọi khoảngT0, cos(n+m)0t thực hiện (m+n) chu kỳ đầy đủ với mọi khoảngT0. Do đó, tích phân đầu tiên trong phương trình (3.96b), biểu diễn phần diện tích trong (m+n) chu kỳ sóng sin, bằng zêrô. Tương tự, tích phần thứ hai trong phương trình (3.96b) cũng bằng zêrô, trừ khi n = m. Do đó, I trong phương trình (3.96) là zêrô với mọi m  n, tích phân thứ nhất vẫn là zêrô, còn tích phân thứ hai là   0 22 1 0 T T dtI , vậy        0 0 0 0 coscos 2 00 T T mn mn tmtn  (3.97a) Tương tự:        0 0 0 0 sinsin 2 00 T T mn mn tmtn  (3.97b) và   0 0cossin 00 T tmtn  với mọi n và m (3.97c) Phụ chƣơng 3C: Tính trực giao của tập tín hiệu mủ Tập hàm mủ tjne 0 (n = 0, 1, 2, . . . ) là trực giao trong khoảng T0 bất kỳ, tức là:           nmT nm dtedtee T tnmjtjn T tjm 0 )(* 0 0 00 0 0  (3.98) Gọi tích phân bên vếp trái của (3.98) là I.   dtedteeI T tnmjtjn T tjm   0 00 0 0 )( *  (3.99) Trường hợp m = n là ít quan trọng. Trong trường hợp này hàm dưới dấu tích phân là đơn vị, và I = T0. Khi m  n: 0}1{ )( 1 )( 1 0010 01 1 0 )()( 0 )( 0         Tnmjtnmj Tt t tnmj ee nmj e nmj I   Kết quả sau cùng cho thấy là 0T0 = 2, và e j2k = 1 với mọi giá trị tích phân của k. 3.9 Tóm tắt Chương này thảo luận về cơ sở để biểu diễn tín hiệu theo các thành phần của chúng. Có một sự tương đồng hoàn hảo giữa ý niệm về vectơ và tín hiệu; tính tương đồng này mạnh đến khi nói đến tín hiệu giống vectơ thì thực ra, tín hiệu là vectơ. Tích trong hay tích vô hướng là phần diện tích của tích hai vectơ. Khi tích vô hướng của hai tín hiệu (thực) là zêrô, thì hai tín hiệu này trực giao. Tín hiệu f(t) có thành phần cx(t), trong đó c là tích trong của f(t) và x(t) chia cho Ex, năng lượng của x(t). Một đo lường tốt cho tính tương đồng của hai tín hiệu f(t) và x(t) là hệ số tương quan cn, chính là tích trong của f(t) và x(t) chia cho xf EE , với 11  nc . Tương đồng lớn nhất (cn =1) chỉ xuất hiện khi hai tín hiệu có cùng dạng sóng cách nhau trong khoảng hằng số nhân (dương), tức là f(t) = Kx(t). Không tương đồng lớn nhất khi (cn = – 1) chỉ xuất hiện khi f(t) = – Kx(t). Tương đồng là zêrô (cn = 0) xuất hiện khi các tín hiệu trực giao. Trong thông tin nhị phân, khi ta cần phân biệt hai dạng sóng đã biết trong sự hiện diện của nhiễu và méo dạng, việc lựa chọn hai dạng sóng dùng tính không tương đồng lớn nhất (cn = – 1) cho phép ta phân biệt được tối đa. Giống như việc có thể biểu diễn thành tổng các thành phần trực giao trong không gian vectơ trực giao đầy đủ, thì một tín hiệu cũng được biểu diễn thành tổng các thành phần trực giao trong không gian tín hiệu trực giao đầy đủ. Phép biểu diễn này được gọi là cách biểu diễn theo chuỗi Fourier tổng quát. Một vectơ có thể biểu diễn thành các thành phần trực giao theo nhiều phương thức khác nhau. Tương tự, tín hiệu cũng được biểu diễn theo nhiều tập tín hiệu trực giao khác nhau, thí dụ như tập tín hiệu lượng giác bà tập tín hiệu hàm mủ. Ta đã chứng minh là chuỗi Fourier lượng giác và hàm mủ là tuần hoàn với chu kỳ bằng với chu kỳ cơ bản của tập. Trong chương này, ta đã chứng minh là tín hiệu tuần hoàn có thể được biểu diễn thành tổng các hàm sin hay mủ (không dừng). Nếu tần số của tín hiệu tuần hoàn là 0, thì có thể viết tín hiệu thành tổng của các sóng sin có tần số 0 và các hài (trong chuỗi Fourier lượng giác). Ta có thể tái tạo tín hiệu tuần hoàn từ hiểu biết về biên độ và pha của các thành phần sóng sin (phổ biên độ và phổ pha). Nếu tín hiệu tuần hoàn là đối xứng chẵn, chuỗi Fourier chỉ chứa các thành phần cosin. Ngược lại, nếu tín hiệu có tính tuần hoàn lẻ, thì chuỗi Fourier chỉ chứa thành phần sin. Khi tín hiệu có bước nhảy gián đoạn, thì hiệu là không mịn và cần có các thành phần tần số cao để tổng hợp được bước nhảy. Do đó, các phổ biên độ giảm chậm theo tần số với giá trị 1/n. Nếu tín hiệu không có bước nhảy gián đoạn, nhưng đạo hàm bậc nhất có bước nhảy gián đoạn, thì tín hiệu mịn hơn, và phổ biên độ giảm nhanh hơn theo 1/n2. Khi tín hiệu không có đạo hàm bậc một là bước nhảy gián đoạn nhưng đạo hàm bậc hai có bước nhảy gián đoạn, thì tín hiệu mịn hơn nửa, và phổ biện độ giảm nhanh hơn theo 1/n3, và tiếp tục, Tín hiệu sin có thể viết theo thừa số hàm mủ. DO đó, chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn còn có thể biểu diễn thành tổng các hàm mủ (chuỗi Fourier mủ). Dạng mủ của chuỗi Fourier và các biểu thức cho hệ số chuỗi còn gọn hơn so với trường hợp chuỗi lượng giác. Đồng thời, đáp ứng của hệ LT – TT – BB với ngõ vào là hàm mủ cũng đơn giản hơn so với ngõ vào sin. Hơn nữa, dạng mủ còn cho phép dễ xử lý toán học hơn so với dạng lượng giác. Do đó, dang mủ được ưa chuộng hơn trong lĩnh vực tín hiệu và hệ thống hiện đại. Vẽ đồ thị biên độ và góc của các thành phần hàm mủ cuỗi chuỗi Fourier theo tần số được gọi là phổ Fourier (phổ biên độ và phổ góc) của tín hiệu. Do hàm cos0t có thể viết thành tổng của hai hàm mủ, tje 0 và tje 0 , các tần số trong phổ hàm mủ có tần từ –  đến . Từ định nghĩa, tần số của tín hiệu là đại lượng dương. Sự hiện diện của các thành phẩn phổ với tần số âm – n0 đơn thuần chỉ cho thấy chuỗi Fourier chứa các thừa số có dạng tje 0 . Phổ của chuỗi Fourier lượng giác và mủ có quan hệ rất chặt chẽ, có thể tìm được dạng này từ thông tin của dang kia. Các hệ số Cn và Dn của chuỗi Fourier có thể được tính toán số học dùng biến đổi Fourier rời rạc (DFT), có thể đươc thiết lập bằng thuật toán FFT (biến đổi Fourier nhanh). Phương pháp này dùng N0 mẩu đồng đều của f(t) trong một chu kỳ, bắt đầu từ t = 0. Trong hình 3.7, ta thảo luận về phương pháp tìm đáp ứng của hệ LT – TT – BB với tín hiệu tuần hoàn vào. Ngõ vào tuần hoàn được biểu diễn thành chuỗi Fourier mủ, gồm các thành phần hàm mủ không dừng tjne 0 . Ta cũng biết là đáp ứng của hệ LT – TT – BB với hàm mủ không dừng vào là H(jn0) tjn e 0  . Đáp ứng hệ thống là tổng của từng đáp ứng hệ thống với mọi thành phần mủ của chuỗi Fourier tại ngõ vào. Do đó, đáp ứng còn là tín hiệu tuần hoàn với cùng chu kỳ của ngõ vào. Tham khảo 1. Lathi, B.P,, Modern Digital and Analog Communication Systems, 2nd Ed., Holt. Rinehart and Winston, New York, 1989. 2. Bell, E. T., Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937. 3. Durand, Will and Ariel, The Age of Napoleon, History of Cilivization, Part XI, Simon and Schuster, New York, 1975. 4. Calinger, R., 4th Ed., Classics of Mathematics, Moore Publishing Co., Oak Park, II., 1982. 5. Lanczos, C., Discourse on Fourier Series, Oliver Boyd Ltd., London, 1966. 6. Walker, P.L., The Theory of Fourier Series and Integrals, Wiley-Interscience, New York, 1966. 7. Churchill. R. V., and J. W. Brown, Fourier Series and Boundary Value Ploblems, 3 rd Ed., McGraw-Hill, New York, 1978. 8. Guillemin, E. A., Theory of Linear Physical Systems, Wiley, New York, 1963. 9. Gibbs, W. J., Nature, vol 59, p.606. April 1899. 10. Bôcher, M. J., Annals of Mathematics (2), vol. 7. 1906. 11. Carslaw, H. S., Bulletin, American Mathematical Society, vol. 31. pp. 420-424, Oct. 1925. Bài tập 3.1-1 Tìm phương trình (3.6) bằng phương pháp khác với quan sa t là e = (f - cx) và xcfxcfcxfcxfe .2)).(( 2222  Hướng dẫn: Tìm giá trị của c để tối thiểu hóa 2 e 3.1-2 (a) Với tín hiệu f(t) và x(t) vẽ trong hình P3.1-2, tìm thành phần có dạng x(t) chứa trong f(t). Nói cách khác là tìm giá trị tối ưu của c trong phép xấp xỉ f(t)  cx(t) để tối thiểu hóa năng lượng tín hiệu. (b) Tìn tín hiệu sai số e(t) và năng lượng Ee tương ứng. Chứng tõ là tín hiệu sai số trực giao với x(t), và Ef = c 2 Ex + Ee. Giải thích kết quả dùng ý niệm vectơ. 3.1-3 Với tín hiệu f(t) và x(t) vẽ trong hình P3.1-2, tìm thành phần có dạng f(t) chứa trong x(t). Nói cách khác là tìm giá trị tối ưu của c trong phép xấp xỉ x(t)  cf(t) để tối thiểu hóa năng lượng tín hiệu. Tìm năng lượng của tín hiệu sai số. 3.1-4 Làm lại bài tập 3.1-2 khi x(t) là sóng sin vẽ trong hình P3.1-4. 3.1-5 Nếu x(t) và y(t) trực giao nhau, chứng tõ năng lượng của tín hiệu x(t) + y(t) giống hệt năng lượng của tín hiệu x(t) - y(t) và cho bởi Ex + Ey. Giải thích kết quả dùng ý niệm vectơ. Tổng quát hơn, hảy chứng tõ là tín hiệu trực giao x(t) và y(t) và với cặp hằng số bất kỳ c1 và c2, và năng lượng của c1x(t) + c2y(t) giống hệt trường hợp c1x(t) - c2y(t), và cho bởi yx EcEc 2 2 2 1  . 3.2-1 Tìm hệ số tương quan cn của tín hiệu x(t) và với từng xung f1(t), f2(t), f3(t) và f4(t) vẽ trong hình P3.2-1. Cho biết bạn sẽ chọn cặp xung nào trong thông tin nhị phân nhằm cung cấp ngưỡng chống nhiễu lớn nhất trong đường truyền? 3.3-1 Cho x1(t) và x2(t) là hai tín hiệu trực giao (tức là có các năng lượng là đơn vị) trong khoảng từ t = t1 đến t2. Xét tín hiệu f(t) với f (t) = c1x1(t) + c2x2(t) t1  t  t2 Tín hiệu này được biểu diễn bằng vectơ hai chiều f(c1, c2). (a) Xác định vectơ biểu diễn sáu tín hiệu sau trong không gian vectơ hai chiều: (i) )()(2)( 211 txtxtf  (iv) )(2)()( 214 txtxtf  (ii) )(2)()( 212 txtxtf  (v) )()(2)( 215 txtxtf  (iii) )()(2)( 211 txtxtf  (vi) )(3)( 16 txtf  (b) Cho biết cặp các vectơ trực giao tương hỗ trong sáu vectơ trên. Chứng tõ là cặp các tín hiệu tương ứng với các vectơ trực giao cũng trực giao. 3.4-1 (a) Vẽ tín hiệu 2)( ttf  với mọi t và tìm chuỗi Fourier lượng giác )(t để biểu diễn )(tf trong khoảng ( - 1, 1). (b) Vẽ )(t với mọi giá trị của t. 3.4-2 (a) Vẽ tín hiệu ttf )( với mọi t và tìm chuỗi Fourier lượng giác )(t để biểu diễn )(tf trong khoảng ( - , ). (b) Vẽ )(t với mọi giá trị của t. 3.4-3 Với từng tín hiệu tuần hoàn vẽ trong hình P4.4-3, tìm chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn và vẽ phổ biên độ và phổ pha. Khi thiếu các thừa số sin hay cosin trong chuỗi Fourier, hảy giải thích tại sao? 3.4-4 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của x(t) vẽ trong hình P3.3-1 (b) Tín hiệu x(t) là tín hiệu nghịch theo thời gian của )(t trong hình 3.7b. Do đó, )()( ttx  . Vậy có thể tìm chuỗi Fourier của x(t) bằng cách thay t bằng - t trong chuỗi Fourier (phương trình 3.56) của )(t . Kiểm nghiệm là chuỗi Fourier có được giống với chuỗi trong phần (a) (c) Chứng tõ là thường thì nghịch theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn không gây ảnh hưởng đến phổ biên độ và phổ pha không không thay đổi trừ việc đảo dấu. 3.4-5 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn x(t) vẽ trong hình P3.4-5. (b) Tín hiệu x(t) là tín hiệu )(t được nén theo thời gian với hệ số 2 vẽ trong hình 3.7b. Như thế )2()( ttx  . Vậy, chuỗi Fourier của x(t) có thể tìm bằng cách thay t bằng 2t trong chuỗi Fourier (phương trình 3.56) của )(t . Kiểm nghiệm là chuỗi Fourier có được giống với chuỗi trong phần (a). (c) Chứng tõ là thường thì phép nén theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn với thừa số a mở rộng phổ với cùng thừa số a. Nói cách khác 0C , nC và n không thay đổi, nhưng tần số cơ bản tăng theo thừa số a, lam mở rộng phổ. Tương tự khi dãn theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn theo thừa số a làm nén phổ Fourier của chúng theo thừa số a. 3.4-6 (a) Tìm chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn g(t) trong hình P3.4-6. Sử dụng đặc tính đối xứng. (b) Quan sát thấy g(t) giống hệt f(t) trong hình 3.9 được dời đi 0,5 giây. Do đó, g(t) = f(t+0,5), và chuỗi Fourier cho g(t) có thể tìm bằng cách thay t bằng t +0,5 trong phương trình (3.63) [chuỗi Fourier của f(t)]. Kiểm nghiệm là chuỗi Fourier có được giống hệt chuỗi có được trong phần (a). (c) Chứng minh là, thông thường , khi dời theo chu kỳ tín hiệu với thời gian T giây thì không ảnh hưởng đến phổ biên độ. Tuy nhiện, pha của hài bậc n thì giảm (tăng) theo n0T khi trể (sớm) T giây. 3.4-7 Nếu hai nửa bán kỷ của tín hiệu tuần hoàn giống nhau về hình dạng nhưng một là phần âm của tín hiệu kia, tín hiệu tuần hoàn được gọi là có tính đối xứng nửa sóng. Nếu tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T0 thỏa điều kiện vầ tính đố icứng nửa sóng, thì )()( 2 0 tftf T  Trong trường hợp nàym chứng tõ là mọi hệ số hài bậc chẵn đều triệt tiêu, và các hệ số của thành phần hài bậc lẻ được cho bởi  2/ 0 0 0 0 cos)( 4 T n tdtntf T a  và  2/ 0 0 0 0 sin)( 4 T n tdtntf T b  Dùng kết quả này, tìm chuỗi Fourier của các tín hiệu tuần hoàn trong hình P3.4-7. 3.4-8 Trong một khoảng hữu hạn, tín hiệu có thể được biểu diễn bằng chuỗi Fourier lượng giác (hay dạng mủ). Thí cụ, nếu ta muốn biểu diễn f(t) = t trong khoảng 10  t dùng chuỗi Fourier có tần số cơ bản là 0 = 2, ta có thể vẽ xung f(t) = t trong khoảng 10  t và lặp lại xung mỗi  giấy để T0 =  và 0 = 2. Nếu ta muốn chuỗi chỉ chứa thừa số cosin với 0 = 2, ta tạo xung f(t) = t trong khoảng 10  t , và lặp lại mỗi  giây (hình 3.4-8). Tín hiệu có được là hàm chẵn với chu kỳ . Do đóm chuỗi Fourier sẽ chỉ có thừa số cosin với 0 = 2. Chuỗi Fourier biểu diễn f(t) = t trong khoảng mong muốn 10  t . Ta không quan tâm đến những gì xuất hiện bên ngoải khoảng này. Biểu diễn f(t) = t trong khoảng 10  t dùng chuỗi Fourier có: (a) 40   và chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ với thừa số sin. (b) 20  và chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ với thừa số sin. (c) 20   chứa mọi thành phần sóng hài, chỉ có thừa số một trong hai thừa số sin hay cosin. (d) 10  và chỉ có các hài lẻ và thừa số cosin. (e) 20   và chỉ có hài lẻ và thừa số sin. (f) 10  và chỉ có các hài lẻ và một trong hai thừa số sin hay cosin. Hướng dẫn: trong các phần d, e và f, cần dùng tính đối xứng nửa sóng đã thảo luận trong bài tập 3.4-7, Thừa số cosin cho thấy có khả năng có thành phần dc. 3.4-9 Xét tính tuần hoàn hay không tuần hoàn của các tín hiệu sau. Nếu tín hiệu là tuần hoàn, tìm chu kỳ và cho phép hài hiện diện trong chuỗi. (a) tt 3sin2sin3  (f) )30sin(3cos3sin 0 75 6 2 5  ttt (b) tt 7cos44sin52  (g) 4 15cos33sin tt  (c) tt cos73sin2  (h)  25sin2sin3 tt  (d) tt  2sin5cos7  (i)  32sin5 t (e) tt 2cos52cos3  3.4-10 Tìm chuỗi Fourier lượng giác của f(t) vẽ trong hình P3.4-10 trong khoảng [0, 1]. Dùng 0 = 2. Vẽ chuỗi Fourier (t)với mọi t. Tính năng lượng của tín hiệu sai số e(t) nếu số thừa số trong chuỗi Fourier là N với N = 1, 2, 3, và 4. Hướng dẫn: Dùng phương trình (3.40) để tính năng lượng sai sô 3.4-11 Hàm Walsh có thể chỉ lấy hai giá trị biên độ, tạo nên một tập đầy đủ các hàm trực giao và có tầm rất quan trọng trong ứng dụng số thực tế do có thể dễ dàng tạo ra chúng dùng mạch lọgic và do phép nhân các hàm này có thể được thiết lập một cách đơn giản dùng chuyển mạch đảo dấu. Hình P3.4-11 vẽ tám hàm đầu tiên trong tập này. Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-11 trong khoảng [0, 1] với chuỗi Fourier Walsh dùng 8 hàm cơ bản này. Tình năng lượng e(t), sai số phép xấp xỉ dùng N thừa số khác không đầu tiên trong chuỗi với N = 1, 2, 3 và 4. So sánh chuỗi Walsh với chuỗi Fourier lượng giác trong bài tập 3.4-10 theo quan điểm năng lượng sai số với số N cho trước? 3.4-12 Tập đa thức Legendre Pn(t), (n = 0, 1, 2, 3, . . .) tạo ra tập đầy đủ các hàm trực giao trong khoảng – 1< t < 1. Các đa thức này được định nghĩa là n n n nn t dt d n tP )1( 2! 1 )( 2  n = 0, 1, 2, 3, . . . Do đó P0(t) = 1 P1(t) = 1 )13( 2 1 )( 22  ttP , )35( 2 1 )( 33 tttP  v,v, Đa thức Legendre là trực giao. Độc giả có thể kiểm tra là         1 1 12 2 0 )()( nm nm dttPtP m nm (a) Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-12a dùng chuỗi Fourier Legendre trong khoảng 11  t . Chỉ tính hai hệ số khác không đầu tiên trong chuỗi. Tính năng lượng e(t), sai số của phép xấp xỉ với một hay hai thừa số khác không. (b) Biểu diễn f(t) trong hình P3.4-12b dùng chuỗi Fourier Legendre. Tính hai hệ số khác không đầu tiên trong chuỗi. Hướng dẫn: Dù chuỗi chỉ có giá trị trong 11  t , ta vẫn có thể mở rộng đến khoảng bất kỳ dùng phép tỉ lệ theo thời gian. 3.5-1 Với từng tín hiệu trong hình P3.4-3, tìm chuỗi Fourier mủ và vẽ phổ tương ứng 3.5-2 Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoản cho bởi   32 1 5cos3sin2sin2cos33)(  tttttf (a) Vẽ phổ Fourier lượng giác (b) Kiểm tra chuỗi trong phần a, vẽ phổ chuỗi Fourier mủ của f(t). (c) Kiểm tra chuỗi trong phần b, viết chuỗi Fourier mủ của f(t). Hướng dẫn: Để viết chuỗi Fourier thành dạng gọn, kết hợp các thừa số sin và cosin cùng tần số. Điều này luôn thực hiện được bằng cách chỉnh pha thích hợp. 3.5-3 Chuỗi Fourier mủ của tín hiệu tuần hoàn được cho bởi tjjtjttj ejejejejtf 33 )22(232)22()(   (a) Vẽ phổ Fourier mủ (b) Kiểm tra chuỗi trong phần a, vẽ phổ chuỗi Fourier mủ của f(t). (c) Tìm chuỗi Fourier dạng gọn tử các phổ này (d) Tìm băng thông của tín hiệu 3.5-4 Nếu tín hiệu tuần hoàn f(t) được biểu diễn theo chuỗi Fourier dạng mủ     n tjn neDtf 0)(  (a) Chứng tõ là chuỗi Fourier mủ của )()(ˆ Ttftf  được cho bởi     n tjn neDtf 0ˆ)(ˆ  trong đó nn DD  ˆ và TnDD nn 0 ˆ  Điều này cho thấy là dời tín hiệu tuần hoàn đi T giây chỉ đơn giản là thay đổi phổ pha lượng n0T. Phổ biên độ không đổi. (b) Chứng tõ là chuỗi Fourier mủ của f(t) = f(at) được cho bởi     n tajn neDtf )( 0)( ~  Kết quã này cho thấy là nén theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn một lượng a thì làm dãn phổ Fourier đi cùng thừa số a. Tương tự, dãn theo thời gian của tín hiệu tuần hoàn một lượng a thì làm nén phổ Fourier đi cùng thừa số a. 3.5-5 (a) Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.10a được cho trong bài tập E3.6. Kiểm tra lại định lý Parseval cho chuỗi này, với     1 4 4 90 1 n n  (b) Nếu xấp xỉ f(t) dùng N thừa số đầu tiên trong chuỗi, tìm N để công suất của tín hiệu sai số nhỏ hơn 1% Pf. 3.5-6 (a) Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.10b được cho trong bài tập E3.6. Kiểm tra lại định lý Parseval cho chuỗi này, với     1 2 2 6 1 n n  (b) Nếu xấp xỉ f(t) dùng N thừa số đầu tiên trong chuỗi, tìm N để công suất của Tín hiệu sai số nhỏ hơn 10% Pf. 3.5-7 Tín hiệu f(t) trong hình 3.18 được xấp xỉ dùng 2N+1 thừa số (từ n = – N đến N) trong chuỗi Fourier mủ cho trong bài tập E3.10. Xác định giá trị của N nếu công suất của chuỗi (2N+1) thừa số này không bé hơn 99,75% công suất của f(t). 3.6-1 Tìm đáp ứng của hệ LT – TT – BB với hàm truyền 32 )( 2   ss s sH khi ngõ vào là tín hiệu tuần hoàn vẽ trong hình 3.7b.