Khuếch tán và làm chậm neutron

KHUẾCH TÁN VÀ LÀM CHẬM NEUTRONTham khảo chính: “Introduction to Nuclear Engineering” của John R. Lamarsh Nội dungMở đầu Thông lượng Neutron Định luật FickPhương trình liên tụcPhương trình khuếch tánĐiều kiện biênCác nghiệm của phương trình khuếch tán Độ dài khuếch tánPhương pháp khuếch tán nhómKhuếch tán neutron nhiệtTính toán làm chậm neutron hai nhómMở đầuĐể thiết kế một lò phản ứng hạt nhân một cách đúng đắn cần phải tiên đoán neutron phân bố như thế nào trong hệ thống.Đây là một bài toán khó do lộ trình của các neutron là rất phức tạp do kết quả của các va chạm hạt nhân liên tiếp.Một trong các phép gần đúng là coi neutron “khuếch tán” (diffusion) như là một chất khí trong một chất khí khác.Phân bố neutron có thể tìm được bằng cách giải phương trình khuếch tán.Cách làm này gọi là gần đúng khuếch tán và hiện nay vẫn còn được dùng rộng rãi. Thông lượng neutron (1)Số va chạm trên mỗi cm3/s khi một chùm neutron đi vào một bia mỏngTrường hợp có vài chùm neutronlà thông lượng neutron (flux) [cm-2.s-1]Thông lượng neutron (2)Dễ dàng mở rộng kết quả này cho các neutron có một phân bố năng lượngtrong đó,là thông lượng phụ thuộc năng lượng (energy-dependent flux or flux per unit energy)Phương trình trên là tốc độ tương tác tổng. Tốc độ tương tác từng phần (tán xạ, hấp thụ) có thể xác định bằng các biểu thức tương tựĐịnh luật Fick (1)Lý thuyết khuếch tán dựa trên định luật Fick mà ban đầu được dùng cho khuếch tán hóa học: Một chất tan khuếch tán từ vùng có nồng độ cao hơn tới vùng có nồng độ thấp hơn; Lưu lượng chất tan tỷ lệ với gradient âm của nồng độ chất tan. Cách di chuyển của các neutron cũng giống như cách của chất tan trong dung dịch.Định luật Fick (2)Giả sử thông lượng neutron biến đổi dọc theo trục x như trong hình vẽ. Định luật Fick được viết như sau (x)xJxJx là số neutron thực đi qua trên mỗi đơn vị thời gian qua mỗi đơn vị diện tích vuông góc với hướng x (neutrons/cm2.s); D là hệ số khuếch tán (diffusion coefficient) [cm]Định luật Fick (3)Mật độ neutron tăngDòngGradient(r) J (r) J (r) = D(r) Định luật Fick (4)Trong không gian 3 chiều và các neutron đơn năngĐịnh nghĩa toán tử gradient (tọa độ vuông góc) Số hạt đi qua bề mặt theo hướng n trong mỗi đơn vị thời gian trên mỗi đơn vị diện tích (Dòng pháp tuyến-normal current) Định luật Fick (5)Là quãng đường tự do trung bình vận chuyển -transport mean free pathsCosine góc tán xạ trung bình trong đó A là nguyên tử khối.Định luật Fick (6)Lưu ý: Định luật Fick không phải là mối quan hệ chính xác. Nó không có hiệu lực trong một số trường hợp: Trong một môi trường hấp thụ neutron mạnh;Trong khoảng 3 lần quãng đường tự do trung bình từ nguồn neutron hoặc từ bề mặt của một môi trường;Khi tán xạ neutron là không đẳng hướng (mạnh).Phương trình liên tục (1)Để ý một thể tích V bất kì trong một môi trường chứa neutron. Theo thời gian số neutron trong V có thể thay đổi. Phương trình liên tục (equation of continuity) biểu diễn sự bảo toàn neutron:Rate of change in the number of neutrons in a small volume VRate of neutron production in volume VRate of neutron absorption in volume VRate of neutron leakage from V=--Phương trình liên tục (2) Gọi n là mật độ neutron tại tại một điểm và thời điểm nào đó trong V. Tốc độ thay đổi (the rate of change) số neutron làhayThe rate of changePhương trình liên tục (3) Gọi s là tốc độ phát ra neutron từ nguồn trong mỗi cm3 trong V. Tốc độ neutron sinh ra trong toàn bộ thể tích V được cho bởiProduction rate Tốc độ mất neutron do hấp thụ trong mỗi cm3/s:Trong toàn bộ thể tích V tổng số neutron mất đi trong mỗi giây do hấp thụ làAbsorption ratePhương trình liên tục (4) Để ý dòng neutron đi vào và đi ra khỏi V. Nếu J là vector mật độ dòng neutron trên bề mặt của V và n là vector pháp tuyến hướng ra ngoài từ bề mặt. Số neutron thực (net) đi qua bề mặt ra ngoài trên mỗi cm2/s làTốc độ rò neutron toàn phần (có thể âm hoặc dương) qua bề mặt A của thể tích làLeakage ratePhương trình liên tục (5) Tích phân theo bề mặt này có thể chuyển thành một tích phân theo thể tích bằng cách dùng lý thuyết phân kì (divergence)Leakage ratePhương trình liên tục (6) Sử dụng những kết quả trên đây chúng ta thu được phương trình liên tục như sau:Nếu mật độ neutron không phụ thuộc thời gian thì phương trình liên tục ở trạng thái dừng (steady-state equation of continuity) sẽ là:Dạng tổng quátPhương trình khuếch tán (1) Nhớ lại định luật Fick:Thay định luật Fick và phương trình liên tục ta có phương trình khuếch tán neutron (diffusion equation) phụ thuộc thời gian:(với neutron đơn năng và hệ số khuếch tán là hằng số)= div grad is called Laplacian Phương trình khuếch tán - laplacian (2) Phương trình khuếch tán (3) Vì  = nvTrường hợp không phụ thuộc thời gian, phương trình khuếch tán dừng (steady-state diffusion):L là độ dài khuếch tán [cm]là diện tích khuếch tán [cm2]Các điều kiện biên (1) Thông lượng neutron có thể thu được bằng cách giải phương trình khuếch tán. Trước khi giải phương trình khuếch tán cần phải chỉ rõ các điều kiện biên (boundary conditions) mà nghiệm của phương trình phải thỏa mãn. Điều kiện biên (2) Thông lượng neutron phải thực, không âm và hữu hạn Neutron không trở lại từ bề mặt tự do (chân không) Exact fluxSurfaceVacuum or airDiffusion theoryDiffusing mediumdĐộ dài ngoại suy (?)Thực nghiệm cho thấy các vật liệu không phải là khí thì D<1cm nên thực tế có thể giả thiết thông lượng triệt tiêu ở bề mặt thật của hệĐiều kiện biên (3) Thông lượng và dòng neutron là liên tục tại bề mặt giữa hai môi trường khác nhau (ví dụ như vùng hoạt và vành phản xạ)Các điều kiện biên này đôi khi được gọi là interface boundary conditions Tính đối xứngNghiệm của phương trình khuếch tán (1) Nguồn tấm phẳng vô hạn2xJJx=0 planeXét một nguồn tấm phẳng vô hạn phát ra S neutrons trong mỗi cm2/s trong môi trường khuếch tán vô hạnĐiều kiện biên: thông lượng là hữu hạn khi x tiến đến vô cùngNghiệm của phương trình khuếch tán (2) Nguồn tấm phẳng vô hạn (tt)Nghiệm tổng quát: A và C là hằng số được xác định nhờ các điều kiện biên: C=0 để thông lượng hữu hạn khi x tiến đến vô cùng, nênTrong giới hạn khi x tiến đến zero, dòng thực đi ra từ box (h/vẽ) phải tiến dần đến mật độ nguồn của tấm(Gọi là điều kiện nguồn)Tính đối xứngNghiệm của phương trình khuếch tán (3) Nguồn tấm phẳng vô hạn (tt) Từ định luật Fick, Do tính đối xứng của bài toán, thông lượng phải giống nhau tại –x cũng như +xDùng điều kiện nguồnNghiệm của phương trình khuếch tán (4) Nguồn điểmXét nguồn điểm phát S n/s đẳng hướng trong môi trường vô hạn. Với Laplacian trong trục tọa độ cầu, phương trình khuếch tán trở thành, Số neutron thực đi qua bề mặt một hình cầu nhỏ bán kính r bao quanh nguồn trong một đơn vị thời gian là(điều kiện nguồn)(tại r khác zero)Nghiệm của phương trình khuếch tán (5) Nguồn điểm (tt)Sử dụng một biến mới Nghiệm tổng quátNghiệm của phương trình khuếch tán (6) Nguồn điểm (tt)Vì thông lượng phải là hữu hạn khi r tiến đến vô cùng, C phải bằng không. Hằng số A thu được từ điều kiện nguồn Nghiệm của phương trình khuếch tán (7) Tấm trầnKhảo sát một tấm vô hạn có độ dày 2a có một nguồn tấm phẳng vô hạn ở trung tâm phát ra S n/cm2.s. Điều kiện biên:Đối với x dươngĐiều kiện biênSolutions of the diffusion equation (8) Tấm trần (tt)Nghiệm phương trình trở thànhSử dụng điều kiện nguồn (tấm phẳng vô hạn)Do đối xứng, ta có Nghiệm của phương trình khuếch tán (9) Tấm trần (tt)Nhân tử và mẫu với sinh và cosh là các hàm hyperbol được định nghĩa:ta được: Nghiệm của phương trình khuếch tán (10) Bài toán nhiều vùng (multi-region)Xét một tấm vô hạn như vừa rồi nhưng được bao bọc bởi một môi trường khác dày vô hạnNghiệm của phương trình khuếch tán (11) Bài toán nhiều vùng (tt)Ta có phương trình khuếch tán cho các vùngĐiều kiện biênNghiệm của phương trình khuếch tán (12) Bài toán nhiều vùng (tt)Nghiệm tổng quátNhư vậy ta có 4 ẩn số và 4 điều kiện biên.Từ B.C. 1 ta có ngay C2=0Từ B.C. 2:Nghiệm của phương trình khuếch tán (13) Bài toán nhiều vùng (tt)Từ B.C. 3 và 4:2 ph/tr chứa 2 ẩn số. Giải cho A1 và A2Do đó ta biết được thông lượng ở 2 vùng.Độ dài khuếch tán (1) Để xem xét ý nghĩa vật lý của độ dài khuếch tán chúng ta khảo sát một nguồn điểm đơn năng phát ra S n/s trong một môi trường làm chậm đồng nhất vô hạn. Hành trình của một neutron trong một môi trường làm chậmrNeutron emitted hereNeutron absorbed hereActual path of neutronĐộ dài khuếch tán (2) Gọi dn là số neutron bị hấp thu trong khoảng r và r+dr Biểu thức thông lượng từ một nguồn điểm, L đặc trưng cho sự suy giảm thông lượng Độ dài khuếch tán (3) Xác suất để một neutron từ nguồn bị hấp thụ trong khoảng dr Trung bình bình phương khoảng cách từ nguồn đến điểm mà tại đó một neutron bị hấp thụ có thể thu được bằng cách lấy trung bình r2 theo phân bố xác suất p(r)dr Phương pháp khuếch tán nhóm (1) Chúng ta vừa giải phương trình khuếch tán cho một số trường hợp đặc biệt với giả thiết neutron khuếch tán là đơn năng. Các neutron phát ra từ phản ứng phân hạch với một phổ năng lượng liên tục sau đó mở rộng ra khi neutron khuếch tán trong hệ thống, mất năng lượng trong các va chạm đàn hồi và không đàn hồi. Một trong các cách hiệu quả nhất để tính sự làm chậm và khuếch tán neutron là phương pháp khuếch tán nhóm (group diffusion method).Phương pháp khuếch tán nhóm (2) Các nhóm năng lượng cho tính toán khuếch tán nhómGroup 1Group 2Group gGroup N-1Group NIncreasing EnergyPhương pháp khuếch tán nhóm (3) Thông lượng neutron nhóm gCác neutron biến khỏi nhóm gth: (1) phản ứng hấp thụ; và (2) va chạm tán xạ Absorption rate Absorption rate Phương pháp khuếch tán nhóm (4) Gọi tiết diện chuyển nhóm từ nhóm g sang nhóm hTotal transfer rate out of gTotal transfer rate into gPhương pháp khuếch tán nhóm (5) Kết hợp các tốc độ hấp thụ, tốc độ chuyển nhóm chúng ta thu được phương trình khuếch tán dừng cho nhóm neutron g như saulà hệ số khuếch tán nhóm được cho bởitr là tiết diện vận chuyển, và sg là tổng số neutron phát ra trong mỗi cm3/s vào trong nhóm.Khuếch tán neutron nhiệt (1) Phân bố năng lượng của neutron nhiệt được cho bởi hàm Maxwellian Thông lượng phụ thuộc năng lượng của neutron nhiệt Bằng cách sử dụng công thức Khuếch tán neutron nhiệt (2) Kí hiệu thông lượng neutron nhiệt một nhóm là TKí hiệu T có nghĩa là tích phân được lấy trên vùng năng lượng nhiệt thường cho đến khoảng 5kT ( 0.1 eV) nhưng do trên năng lượng này thông lượng giảm rất nhanh nên có thể lấy tích phân đến vô cùngKhuếch tán neutron nhiệt (3) Sẽ rất thuận tiện nếu thayvà Giá trị của ET và vT có thể được tính từ các công thức sauT[K]Khuếch tán neutron nhiệt (4) Quan hệ giữa T và thông lượng tại 2200 m/s 0 = nv0 có thể tìm được bằng cách chia0 choT T0 = 293.61 KVề ý nghĩa vật lý thì T là tất cả thông lượng neutron nhiệt gộp lại bằng cách tính tích phân phân bố Maxwell trong khi 0 là giả-thông lượng được tính bằng cách giả thiết tất cả các neutron nhiệt chỉ có một năng lượng.Khuếch tán neutron nhiệt (5) Hệ số khuếch tán trong tính toán một nhóm khuếch tán neutron nhiệt được kí hiệu làTiết diện hấp thụ một nhóm neutron nhiệt Tích phân là tốc độ hấp thụ toàn phần và bằngvới ga(T) h/s non-1/v hay h/s Westcott Khuếch tán neutron nhiệt (6) Các thông số khuếch tán neutron nhiệt của các chất làm chậm thông thường ở 20oC[Argonne National Laboratory ANL-5800, 1963] Khuếch tán neutron nhiệt (7) Với thông lượng nhiệt đã được định nghĩa và các tham số (hệ số khuếch tán, tiết diện hấp thụ), phương trình khuếch tán một nhóm đối với neutron nhiệt có thể được viết như sau là diện tích khuếch tán nhiệt (thermal diffusion area); LT là độ dài khuếch tán nhiệt (thermal diffusion length)Tính toán làm chậm neutron hai nhóm (1)Trong một số tính toán lò, ít nhất hai nhóm neutron phải được sử dụng để thu được kết quả đủ chính xác.Một nhóm mô tả neutron nhiệt còn nhóm nhanh gồm tất cả các neutron có năng lượng trên năng lượng nhiệt.Khảo sát một bài toán tính thông lượng hai nhóm như là một hàm của khoảng cách từ một nguồn điểm phát ra S neutron phân hạch (neutron nhanh) trong mỗi giây trong một môi trường làm chậm đồng nhất vô hạn.Tính toán làm chậm neutron hai nhóm (2)Nhớ lại phương trình khuếch tán nhóm tổng quátGiả sử a = 0 (good moderator)x khác 0, S=0Tính toán làm chậm neutron hai nhóm (3)Để tìm T từ phương trình khuếch tán nhiệt, đầu tiên cần giải phương trình khuếch tán nhanh để có 1 Dùng laplacian của tọa độ cầulà tuổi neutron (age) [cm2]Tương tự như trong trường hợp giải khuếch tán neutron từ một nguồn điểmVí dụ 5.1 (1)Bài toán: Một tấm vô hạn dày 2a có một nguồn tấm phẳng vô hạn tại trung tâm phát ra S neutrons trên mỗi cm2/s. (a) Tìm một biểu thức cho số neutron thoát ra trong một giây từ 1cm2 trên hai mặt của tấm; (b) Hỏi xác suất để một neutron từ nguồn thoát ra khỏi tấm?Lời giải:a) Để ý trên bề mặt tại x=a. Sử dụng định luật Fick ta cóDo đối xứng neutron thoát ra hai mặt là[ans]Ví dụ 5.1 (2)b) Xác suất để một neutron nguồn thoát khỏi tấm bằng số neutron thoát trên mỗi cm2/s chia cho số neutron phát ra trên mỗi cm2/s từ nguồn[ans]Ví dụ 5.2 (1)Bài toán: Một nguồn điểm phát ra 107 neutron nhiệt trong mỗi giây được đặt trong một vật thể vô hạn chứa nước mật độ đơn vị tại nhiệt độ phòng. Hỏi thông lượng neutron nhiệt cách nguồn 15cm?Lời giải: Thông lượng được cho bởiSử dụng các giá trị của S, r, LT và D đã cho[ans.]Chicago Pile 1