Khảo sát tính đan rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai Mode kết hợp đối xứng thêm hai Phonon tổng

KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG THÊM HAI PHOTON TỔNG NGUYỄN HỮU THỊNH - TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế TRẦN QUANG ĐẠT Trường Đại học Giao thông vận tải, TP Hồ Chí Minh Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát tính đan rối và viễn tải lượng tử với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng. Bằng việc sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy, chúng tôi đã thu được kết quả trạng thái hai mode kết hợp đối xứng là một trạng thái đan rối hoàn toàn. Sau đó, chúng tôi sử dụng trạng thái này làm nguồn rối để viễn tải một trạng thái kết hợp và đánh giá mức độ thành công của quá trình thông qua độ trung thực trung bình Fav. Sau khi khảo sát chúng tôi nhận thấy quá trình viễn tải với trạng thái này là thành công với độ trung thực tiến tới độ trung thực lý tưởng Fav = 1. Từ khóa: tính chất đan rối, viễn tải lượng tử, điều kiện đan rối Hillery- Zubairy 1 GIỚI THIỆU Năm 1993, Bennett và các cộng sự của mình đưa ra mô hình lý thuyết đầu tiên về viễn tải lượng tử [1], mô hình này đã chứng minh rằng về mặt nguyên tắc viễn tải lượng tử là có thể xảy ra. Sau Bennett, rất nhiều mô hình viễn tải đã được đề xuất. Năm 1997, Braunstein và Kimble cũng đưa ra mô hình viễn tải biến liên tục với nguồn rối không hoàn toàn [2]. Trước đây, nguồn rối được sử dụng là trạng thái Gauss, trong đó trạng thái nén chân không hai mode được sử dụng, và các trạng thái viễn tải ban đầu là các trạng thái kết hợp đơn mode. Hiện nay, các nhà khoa học thực nghiệm và lý thuyết quan tâm nhiều đến nghiên cứu viễn tải biến liên tục sử dụng trạng thái phi Gauss làm nguồn rối và mở rộng với các trạng thái đa mode. Trong bài báo của Agarwal [3], nguồn rối sử dụng là trạng thái kết hợp cặp (trạng thái phi Gauss) và trạng thái viễn tải là trạng thái kết hợp, Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế ISSN 1859-1612, Số 04(36)/2015: tr. 24-31 KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ... 25 kết quả thu được độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải đạt 0.75884, chứng tỏ trạng thái kết hợp cặp phù hợp làm nguồn rối. Trong các trạng thái kết hợp, có trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng có dạng như sau |ψ〉ab = Nα,β(aˆ† + bˆ†) (|α〉a|β〉b + |β〉a|α〉b) , (1) trong đó aˆ†, bˆ† và aˆ, bˆ tương ứng là các cặp toán tử sinh, hủy photon ứng với hai mode a, b, Nα,β = (√ 2 ( |α|2 + |β|2 + α∗β + β∗α+ 2 ) (1 + x) )−1 là hệ số chuẩn hóa (với x = |〈α | β〉|2 = exp ( −|α− β|2 ) . Trong bài báo này chúng tôi sẽ tiến hành khảo sát mức độ đan rối của trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng và sau đó sử dụng trạng thái này làm nguồn rối để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp. Qua đó, chúng tôi đánh giá mức độ thành công của quá trình viễn tải lượng tử thông qua độ trung thực trung bình. 2 TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG THÊM HAI PHOTON TỔNG Để khảo sát tính đan rối của trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng, chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy [4]. Điều kiện đan rối tổng quát được cho bởi biểu thức 〈 (aˆ†)maˆm(bˆ†) n bˆn 〉 < ∣∣∣〈aˆm(bˆ†)n〉∣∣∣2. (2) Xét m = n = 1 điều kiện đan rối trên trở thành〈 aˆ†aˆbˆ†bˆ 〉 < ∣∣∣〈aˆbˆ†〉∣∣∣2, (3) để thuận tiện cho khảo sát chúng tôi đưa vào tham số đan rối R dưới dạng R = 〈 aˆ†aˆbˆ†bˆ 〉 − ∣∣∣〈aˆbˆ†〉∣∣∣2. (4) Một trạng thái bất kì được xem là trạng thái đan rối nếu R < 0 , ngược lại nếu giá trị giá R > 0 thì điều đó có nghĩa rằng trạng thái đó không đan rối. Sử dụng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng đã được đưa ra ở phương trình (1), các số hạng trong phương trình (4) và các kết quả trung bình sau khi tính toán, ta thu được kết quả tham số đan rối R như sau 26 NGUYỄN HỮU THỊNH và cs. R = 〈 aˆ†aˆbˆ†bˆ 〉 − ∣∣∣〈aˆbˆ†〉∣∣∣2 = |Na,b|2 {[ |α|2 |β|2 ( |α|2 + |β|2 + α∗β + β∗α+ 6 ) + (α∗β + β∗α) ( |α|2 + |β|2 + 1 ) + |α|2 + |β|2 ] (1 + x) } − |Na,b|4 {( |α|2 + |β|2 + 4 ) (α∗β + β∗α) + 2 ( |α|2|β|2 + |α|2 + |β|2 + α2β∗2 + β2α∗2 + 1 ) (5) + [( |α|2 + |β|2 + 2 ) (α∗β + β∗α) + 4 ( |α|2 + |β|2 ) + |α|4 + |β|4 + 2 |α| 2|β|2 + 2 ] x }2 . Để thuận tiện cho việc khảo sát quá trình đan rối, chúng tôi chọn các thông số α = |α| exp(iϕ1), β = |β| exp(iϕ1) và ϕ = ϕ1 − ϕ2. Tiến hành khảo sát sự phụ thuộc của tham số đan rối R vào biên độ kết hợp r. Kết quả khảo sát được thể hiện trên Hình 1. Hình 1: Sự phụ thuộc của tham số đan rối R vào biên độ kết hợp r với các giá trị |β| = 0.8 |α|, |β| = 1.2 |α| và |β| = 2 |α| tương ứng theo thứ tự từ trên xuống dưới. Trong hình vẽ này, với các giá trị khác nhau của k = 0.8; 1.2; 2 ta nhận thấy tham số đan rối R là âm và r càng tăng thì R càng âm, tức là mức độ đan rối là hoàn toàn. Điều này khẳng định trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng là trạng thái đan rối hoàn toàn và có thể sử dụng chúng như là một nguồn tài nguyên đan rối để thực hiện quá trình viễn tải lượng tử. KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ... 27 3 VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG THÊM HAI PHOTON TỔNG Khi khảo sát tính chất đan rối chúng ta nhận thấy rằng trạng thái hai mode đối xứng thêm hai photon tổng là một trạng thái đan rối hoàn toàn. Do đó, chúng ta sử dụng trạng thái này như là một nguồn tài nguyên đan rối để viễn tải lượng tử một trạng thái kết hợp. Trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng biểu diễn theo trạng thái Fock có dạng |ψ〉ab = Nα,β exp ( −|α| 2 + |β| 2 2 ) ∞∑ n,m=0 αnβm√ n!m! × [√n+ 1 |n+ 1,m〉ab +√m+ 1|m+ 1, n〉ab (6) + √ m+ 1|n,m+ 1〉ab + √ n+ 1|m,n+ 1〉ab ] . Trong mô hình viễn tải này, bên gởi thông tin là Alice và bên nhận thông tin là Bob cùng chia sẻ một trạng thái rối. Mode a gửi đến Alice, mode b gửi đến Bob. Trạng thái được viễn tải là trạng thái kết hợp |γ〉c tương ứng với mode c được đưa vào Alice. Đầu tiên Alice sẽ thực hiện việc tổ hợp trạng thái ba mode |ψ〉abc = Nα,β exp ( −|α| 2 + |β| 2 2 ) ∞∑ n,m=0 αnβm√ n!m! × [√n+ 1 |n+ 1,m〉ab|γ〉c +√m+ 1|m+ 1, n〉ab|γ〉c (7) + √ m+ 1|n,m+ 1〉ab|γ〉c + √ n+ 1|m,n+ 1〉ab|γ〉c ] . Tiếp theo, Alice dùng phép đo Bell tổ hợp trên hai mode a và c |B(X,P )〉ca = 2√ pi ∞∑ k=0 Dˆc(2A)|k, k〉ac. (8) Khi phép đo tổ hợp hoàn thành, trạng thái này sụp đổ. Do Bob và Alice cùng chia sẻ trạng thái rối nên Bob có trạng thái sau |ψ〉B = ca 〈B(X,P ) |ψ〉abc = Nα,β exp ( −|α| 2 + |β| 2 2 ) ∞∑ n,m=0 αnβm√ n!m! × [√n+ 1 ca 〈B(X,P ) |n+ 1,m〉ab|γ〉c + √ m+ 1ca 〈B(X,P ) |m+ 1, n〉ab|γ〉c (9) + √ m+ 1ca 〈B(X,P ) |n,m+ 1〉ab|γ〉c + √ n+ 1ca 〈B(X,P ) |m,n+ 1〉ab|γ〉c ] , 28 NGUYỄN HỮU THỊNH và cs. Sử dụng tính chất của toán tử dịch chuyển và thực hiện các bước biến đổi ta thu được |ψ〉B = 2√ pi Nα,β exp ( −|α| 2 + |β| 2 2 ) ∞∑ n,m=0 αnβm√ n!m! × exp (A∗γ −Aγ∗) exp ( −1 2 |γ − 2A|2 ) (10) × [ 1√ n! (γ − 2A)n+1|m〉b + 1√ m! (γ − 2A)m+1|n〉b + √ m+ 1√ n! (γ − 2A)n|m+ 1〉b + √ n+ 1√ m! (γ − 2A)m|n+ 1〉b ] . Bây giờ, bên Bob tồn tại trạng thái ứng với mode b chứa các thông tin về mode c. Bob sẽ thực hiện phép dịch chuyển Dˆ(g2A) để xây dựng lại trạng thái được viễn tải ban đầu |γ〉c, với g là hệ số điều khiển mà Bob dùng để hoàn thiện độ trung thực của quá trình viễn tải. Trạng thái cuối cùng thu được trong quá trình viễn tải sẽ là |ψ〉out = Dˆ(g2A)|ψ〉B = 2√ pi Nα,β exp ( −|α| 2 + |β| 2 2 ) ∞∑ n,m=0 αnβm√ n!m! × exp (A∗γ −Aγ∗) exp ( −1 2 |γ − 2A|2 ) × [ 1√ n! (γ − 2A)n+1Dˆ(g2A)|m〉b + 1√ m! (γ − 2A)m+1Dˆ(g2A)|n〉b (11) + √ m+ 1√ n! (γ − 2A)nDˆ(g2A)|m+ 1〉b + √ n+ 1√ m! (γ − 2A)mDˆ(g2A)|n+ 1〉b ] . Độ trung thực trung bình Fav trong quá trình viễn tải được xác định qua biểu thức Fav = ∫ |in 〈ψ |ψ〉out|2d2A. (12) Một quá trình viễn tải là thành công nếu 0.5 ≤ Fav ≤ 1. Một quá trình viễn tải được đánh giá là hoàn hảo nếu đạt được Fav = 1. Từ đó để đánh giá mức độ thành công của quá trình viễn tải ta tiến hành tính toán độ trung thực trung bình Fav như sau: KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ... 29 Fav = ∫ |in 〈ψ |ψ〉out|2d2A = 4 pi |Nα,β|2 exp ( −|α|2 − |β|2 ) × exp ( −|γ − 2A|2 − |γ − g2A|2 ) ∞∑ n,m,l,p=0 αnβmα∗lβ∗p n!m!l!p! × { (γ − 2A)n+1 (γ∗ − g2A∗)m (γ∗ − 2A∗)l+1(γ − g2A)p + (γ − 2A)n+1(γ∗ − g2A∗)m(γ∗ − 2A∗)p+1(γ − g2A)l + (γ − 2A)m+1(γ∗ − g2A∗)n(γ∗ − 2A∗)l+1(γ − g2A)p + (γ − 2A)m+1(γ∗ − g2A∗)n(γ∗ − 2A∗)p+1(γ − g2A)l (13) + (γ − 2A)n+1(γ∗ − g2A∗)m(γ∗ − 2A∗)l(γ − g2A)p+1 + (γ − 2A)n+1(γ∗ − g2A∗)m(γ∗ − 2A∗)p(γ − g2A)l+1 + (γ − 2A)m+1(γ∗ − g2A∗)n(γ∗ − 2A∗)l(γ − g2A)p+1 + (γ − 2A)m+1(γ∗ − g2A∗)n(γ∗ − 2A∗)p(γ − g2A)l+1 + (γ − 2A)n(γ∗ − g2A∗)m+1(γ∗ − 2A∗)l+1(γ − g2A)p + (γ − 2A)n(γ∗ − g2A∗)m+1(γ∗ − 2A∗)p+1(γ − g2A)l + (γ − 2A)m(γ∗ − g2A∗)n+1(γ∗ − 2A∗)l+1(γ − g2A)p + (γ − 2A)m(γ∗ − g2A∗)n+1(γ∗ − 2A∗)p+1(γ − g2A)l + (γ − 2A)n(γ∗ − g2A∗)m+1(γ∗ − 2A∗)l(γ − g2A)p+1 + (γ − 2A)n(γ∗ − g2A∗)m+1(γ∗ − 2A∗)p(γ − g2A)l+1 + (γ − 2A)m(γ∗ − g2A∗)n+1(γ∗ − 2A∗)l(γ − g2A)p+1 + (γ − 2A)m (γ∗ − g2A∗) n+1(γ∗ − 2A∗)p(γ − g2A)l+1 } d2A. Biểu thức (13) cho biết độ trung thực trung bình dưới dạng tổng quát, với g là hệ số điều khiển Bob dùng để hoàn thiện độ trung thực của quá trình viễn tải, nên ta có thể chọn g để điều khiển độ trung thực trung bình. Chọn trường hợp g = 0 và để thuận lợi cho việc khảo sát, chúng ta sẽ khảo sát |β| và |γ| theo |α| với |β| = |γ| = k |α|, từ đó chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của Fav vào biên độ kết hợp |α| để đánh giá về quá trình viễn tải lượng tử với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng. Kết quả khảo sát được thể hiện trên Hình 2. Hình 2 cho thấy quá trình viễn tải chỉ xảy ra khi |α| > 1. Với k = 1.2 và k = 0.8 ta thấy độ trung thực Fav là không ổn định và có xu hướng giảm khi |α| tăng. Với k = 1, độ trung thực ổn định và tiến gần đến 1, điều này cho thấy rằng khi các biên độ kết hợp |α| với |β| = |γ| thì độ trung thực trung bình càng tăng và quá trình viễn tải lượng tử là tốt nhất. Như vậy, độ trung thực trung bình phụ thuộc vào các giá trị tham số đưa vào. 30 NGUYỄN HỮU THỊNH và cs. Hình 2: Sự phụ thuộc của độ trung thực trung bình Fav vào biên độ kết hợp r với các giá trị k = 1.2 ứng với đường (2); k = 1 ứng với đường (1) và k = 0.8 ứng với đường (3). 4 KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã áp dụng tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy để khảo sát tính chất đan rối đối với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng và kết quả thu được là trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng là một trạng thái đan rối hoàn toàn. Điều này khẳng định trạng thái hai mode kết hợp đối xứng thêm hai photon tổng là trạng thái rối hoàn toàn và có thể sử dụng chúng như là một nguồn tài nguyên đan rối để viễn tải lượng tử. Sau khi thực hiện quá trình viễn tải lượng tử, chúng tôi đánh giá sự thành công của quá trình viễn tải thông qua độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải. Kết quả cho thấy quá trình viễn tải là thành công, độ trung thực trung bình của quá trình viễn tải nằm trong khoảng 0.5 < Fav ≤ 1 với trạng thái có biên độ bé. Bên cạnh đó, độ trung thực của quá trình viễn tải là chưa ổn định và phụ thuộc vào các tham số đưa vào, độ trung thực trung bình tiến đến 1 khi chọn các giá trị |α| = |β| = |γ|. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bennett C. H., Brassard G., Crepeau C., Jozsa R., Peres A., and Wootters W. K. (1993), “Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein- Podolsky-Rosen channels”, Phys. Rev. Lett. 70(13), p. 1895. [2] Braunstein S. L and Kimble H. J. (1998), “Teleportation of continuous quantum vari- ables”, Phys. Rev. Lett. 80(4), p. 869. KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ... 31 [3] Gasbris A., Agarwal G. S. (2007), “Quantum teleportation vith pair-coherent states”, Int. Journal of Quant. Inf., 5(1-2), p. 17. [4] Hillery M. and Zubairy M. S. (2006), “Entanglement conditions for two-mode states”, Phys. Rev. Lett. 96(5), p. 050503. [5] Milburn G. J and Braunstein S. L. (1999), “Quantum teleportation with squeezed vacuum states”, Phys. Rev. A 60(2), p. 937. [6] Vaidman L. (1994), “Teleportation of quantum states”, Phys. Rev. A 49(2), p. 1473. Title: A STUDY OF ENTANGLEMENT PROPERTY AND QUANTUM TELEPORTA- TION VIA TWO-MODE PHOTON-ADDED SYMMETRIC COHERENT STATES Abstract: In the paper, we consider entanglement property of two-mode photon-added symmetric coherent states. By applying the Hillery-Zubairy entanglement standards, we were able to conclude that the two-mode photon-added symmetric coherent states is an absolute entangled states. Then the states are used as an entangled resource for the tele- portation of a combination states to assess the efficiency of the process via the average fidelity Fav. From the results of the average fidelities study, we show that teleportation process is successful when a maximum fidelity reaches the value of Fav = 1. Keywords: entanglement property, teleportation, Hillery-Zubairy entagled conditions NGUYỄN HỮU THỊNH Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế ThS. TRẦN QUANG ĐẠT Trường Đại học Giao thông vận tải, Cơ sở II, TP Hồ Chí Minh