Khảo sát tính chất phi cổ điển của trạng thái hai Mode SU(1,1)

KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE SU(1,1) LÊ ĐÌNH NHÂN - TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tính chất phi cổ điển của các trạng thái hai mode SU(1,1). Kết quả khảo sát cho thấy trong các trạng thái này tồn tại tính chất nén tổng hai mode nhưng lại không tồn tại tính chất nén hiệu hai mode. Thông qua tiêu chuẩn tính phản kết chùm hai mode, các trạng thái này thể hiện rõ tính phản kết chùm với cường độ phụ thuộc vào biên độ kết hợp r. Kết quả cũng chỉ ra rằng các trạng thái này vi phạm hoàn toàn bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Tóm tắt: tính chất phi cổ điển, trạng thái hai mode SU(1,1) 1. GIỚI THIỆU Với sự phát triển không ngừng của khoa học công nghệ, các nhà khoa học nghiên cứu trong lĩnh vực quang lượng tử đã và đang tiếp cận với giới hạn quang lượng tử chuẩn. Sự đóng góp của tạp âm hay là sự xuất hiện của các thăng giáng lượng tử đã làm cho tín hiệu truyền đi bị nhiễu và dẫn tới làm giảm độ chính xác của các phép đo quang học và do đó giảm chất lượng truyền tin. Vì lý do này mà các nhà khoa học đã tìm các phương pháp tạo ra các trạng thái vật lý mà ở đó các thăng giáng lượng tử được hạn chế đến mức tối đa có thể và sau đó áp dụng vào thực nghiệm để chế tạo các dụng cụ quang học đảm bảo tính lọc lựa và độ chính xác cao. Việc tạo ra các trạng thái phi cổ điển của trường điện từ mà điển hình là các trạng thái nén, các trạng thái kết hợp đang được các nhà khoa học tiếp tục nghiên cứu. Trạng thái S(1,1) là một trạng thái phi cổ điển đã được Perelomov [1] đưa ra như sau |ψ〉ab = exp(αKˆ† − α∗Kˆ−)|q, 0〉ab = (1− |ξ|2) 1+q2 ∞∑ n=0 [ (n+ q)! n!q! ]1/2 ξn|n+ q, n〉ab , (1) trong đó |n+ q, n〉ab là các trạng thái Fock tương ứng với hai mode của trường điện từ a và b, q là số photon chênh lệch giữa hai mode, ξ = − tanh( θ2) exp(−iϕ) với θ, ϕ lần lượt là biên độ kết hợp và pha kết hợp. Trạng thái hai mode SU(1,1) và các tính chất phi cổ Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(33)/2015: tr. 35-43 36 LÊ ĐÌNH NHÂN - TRƯƠNG MINH ĐỨC điển bậc thấp đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, các tính chất phi cổ điển bậc cao vẫn chưa được khảo sát. Vì vậy, trong bài báo này chúng tôi tiến hành khảo sát mức độ thể hiện tính chất nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, tính phản kết chùm và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode SU(1,1). 2. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT NÉN TỔNG HAI MODE CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE SU(1,1) Để xem xét tính chất nén tổng hai mode của trạng thái hai mode SU(1,1), chúng tôi sử dụng tính chất nén tổng hai mode được đưa ra bởi Hillery [2] vào năm 1989. Toán tử nén tổng trong trường hợp này được định nghĩa như sau Vˆφ = 1 2 ( eiφaˆ†bˆ† + e−iφaˆbˆ ) , (2) trong đó aˆ† và aˆ tương ứng là toán tử sinh hủy của mode thứ nhất, bˆ† và bˆ là toán tử sinh hủy của mode thứ hai. Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu trung bình trạng thái đó thỏa mãn bất đẳng thức sau 〈(∆Vˆφ)2〉 < 1 4 〈nˆa + nˆb + 1〉 , (3) với mọi giá trị của φ, trong đó 〈(∆Vˆφ)2〉 = 〈Vˆ 2φ 〉 − 〈Vˆφ〉2 và nˆa, nˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b. Đây chính là điều kiện để chúng tôi đi khảo sát tính chất nén tổng hai mode của trạng thái SU(1,1) trong bài báo này. Để thuận tiện cho việc khảo sát chúng tôi đưa vào tham số nén tổng hai mode S S = 〈Vˆ 2φ 〉 − 〈Vˆφ〉2 − 1 4 〈nˆa + nˆb + 1〉 . (4) Như vậy, một trạng thái bất kỳ thể hiện tính chất nén tổng hai mode nếu S < 0 và mức độ nén càng mạnh nếu S càng âm. Với Vˆφ = 12(e iφaˆ†bˆ† + e−iφaˆbˆ) ta được S = 1 4 〈(eiφaˆ†bˆ†)2 + (e−iφaˆbˆ)2 + 2aˆ†bˆ†aˆbˆ〉 − 1 4 { 〈eiφaˆ†bˆ†〉+ 〈e−iφaˆbˆ〉 }2 . (5) Sử dụng trạng thái hai mode SU(1,1) đã được đưa ra trong biểu thức (1) và lấy trung bình trạng thái này chúng tôi thu được S = 1 4 (1− |ξ|2)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! |ξ|2n × [ (ei2φξ∗2 + e−i2φξ2)(n+ q + 1) (n+ q + 2) + 2n (n+ q) ] −1 4 { (1− |ξ|2)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! |ξ|2n (eiφξ∗ + e−iφξ)(n+ q + 1) }2 . KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE SU(1,1) 37 Để thuận tiện cho việc khảo sát chúng tôi đặt φ + ϕ = γ, θ = 2r với r ≥ 0. Cuối cùng chúng tôi thu được kết quả tham số nén tổng hai mode dưới dạng S = 1 4 ( 1− tanh2r)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! tanh2nr × [ 2cos 2γ (n+ q + 1) (n+ q + 2) tanh2r + 2n (n+ q) ] −1 4 [( 1− tanh2r)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! tanh2n+1r × 2cos γ (n+ q + 1) ]2 . Hình 1: Sự phụ thuộc của S vào r với q = 1, 2, 3 và γ = 0 (Các tham số được biểu diễn theo thứ tự đường liền nét, đường gạch gạch và đường chấm chấm.) Kết quả khảo sát sự phụ thuộc của mức độ nén tổng hai mode theo biên độ kết hợp r và sự khác nhau giữa hai mode photon q thể hiện trên hình 1 với γ = 0. Đồ thị này cho thấy S < 0 với mọi giá trị của biên độ kết hợp r và càng âm khi tăng giá trị của r và q, nghĩa là điều kiện nén tổng hai mode luôn thỏa mãn. Vậy trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) tồn tại tính chất nén tổng hai mode. 3. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT NÉN HIỆU HAI MODE CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE SU(1,1) Tương tự như trường hợp nén tổng hai mode, theo Hillery [2] toán tử nén hiệu hai mode được định nghĩa như sau Wˆφ = 1 2 ( eiφaˆbˆ† + e−iφaˆ†bˆ ) . (6) Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trạng thái đó thỏa mãn bất đẳng thức sau 〈(∆Wˆφ)2〉 < 1 4 〈na − nb〉 , (7) 38 LÊ ĐÌNH NHÂN - TRƯƠNG MINH ĐỨC với mọi giá trị của φ, trong đó 〈(∆Wˆφ)2〉 = 〈Wˆ 2φ〉 − 〈Wˆφ〉2 và nˆa, nˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và mode b. Đây chính là điều kiện để chúng tôi đi khảo sát tính chất nén hiệu hai mode của trạng thái SU(1,1) trong bài báo này. Để thuận tiện cho việc khảo sát chúng tôi đưa vào tham số nén hiệu hai mode D D = 〈Wˆ2φ〉 − 〈Wˆφ〉2 − 1 4 〈nˆa − nˆb〉 . (8) Khi đó, một trạng thái bất kỳ thể hiện tính chất nén hiệu hai mode nếu D < 0 và mức độ nén càng mạnh nếu D càng âm. Với Wˆφ = 12(e iφaˆbˆ† + e−iφaˆ†bˆ) ta được D = 1 4 〈(eiφaˆbˆ†)2 + (e−iφaˆ†bˆ)2 + aˆbˆ†aˆ†bˆ+ aˆ†bˆaˆbˆ†〉 − 1 4 { 〈eiφaˆbˆ†〉+ 〈e−iφaˆ†bˆ〉 }2 − 1 4 〈nˆa − nˆb〉 . (9) Bằng cách lấy trung bình trạng thái hai mode SU(1,1) đã được đưa ra trong biểu thức (1) chúng tôi thu được tham số nén hiệu hai mode như sau D = 1 4 (1− |ξ|2)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! |ξ|2n2n (n+ q + 1) . (10) Để thuận tiện cho việc khảo sát chúng tôi đặt θ = 2r với r ≥ 0. Cuối cùng, chúng tôi thu được tham số nén hiệu hai mode dưới dạng D = 1 4 ( 1− tanh2r)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! 2n (n+ q + 1) tanh2nr . (11) Chúng ta biết rằng tanh r = e r−e−r er+e−r < 1 với mọi giá trị của r. Do đó, chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng tham số nén hiệu hai mode D được thể hiện qua biểu thức (11) luôn dương với mọi giá trị của r, q. Nghĩa là, trạng thái hai mode SU(1,1) không thể hiện tính chất nén hiệu hai mode. 4. KHẢO SÁT TÍNH PHẢN KẾT CHÙM CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE SU(1,1) Theo Lee [3], tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phản kết chùm cho trạng thái hai mode trong trường bức xạ được viết dưới dạng sau R (`, p) = 〈 nˆ (`+1) a nˆ (p−1) b 〉 + 〈 nˆ (p−1) a nˆ (`+1) b 〉 〈 nˆ (`) a nˆ (p) b 〉 + 〈 nˆ (p) a nˆ (`) b 〉 − 1 < 0 , trong đó ` ≥ p > 0, 〈nˆ(`)a 〉 = 〈aˆ†`a`〉, 〈nˆ(`)b 〉 = 〈bˆ†`b`〉. Lấy trung bình của trạng thái hai KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE SU(1,1) 39 mode SU(1,1) ta thu được kết quả sau Rab (`, p) = ( 1− |ξ|2 )1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! |ξ|2n × [ (n+ q)!n! (n+ q − `− 1)! (n− p+ 1)! + (n+ q)!n! (n+ q − p+ 1)! (n− `− 1)! ] × {( 1− |ξ|2 )1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! |ξ|2n × [ (n+ q)!n! (n+ q − `)! (n− p)! + (n+ q)!n! (n+ q − p)! (n− `)! ]}−1 − 1 , Khảo sát các trường hợp cụ thể với cách đặt ϕ = pi, θ = 2r với r ≥ 0 chúng tôi thu được một số kết quả như sau Qua khảo sát, chúng tôi nhận thấy rằng trạng thái hai mode Hình 2: Sự phụ thuộc của Rab (1, 1), Rab (2, 2), Rab (3, 3) vào r với q = 2 (Các tham số được biểu diễn theo thứ tự đường liền nét, đường gạch gạch và đường chấm chấm). SU(1,1) thể hiện tính phản kết chùm càng yếu khi biên độ kết hợp r và độ chênh lệch photon giữa hai mode q tăng lên. Đồ thị hình 2 và hình 3 so sánh mức độ thể hiện tính phản kết chùm của trạng thái hai mode SU(1,1) trong trường hợp hiệu số (`− p) là không đổi với giá trị q = 2. Kết quả cho thấy trạng thái hai mode SU(1,1) thể hiện tính phản kết chùm càng yếu khi giá trị (`− p) không thay đổi và tăng giá trị của `, p. Đồ thị hình 4 thể hiện mức độ thể hiện tính phản kết chùm theo r với q = 2 khi hiệu số (` − p) thay đổi. Chúng tôi chỉ ra được mức độ thể hiện tính phản kết chùm của trạng thái hai mode SU(1,1) thể hiện càng mạnh khi hiệu số (`− p) càng lớn. 40 LÊ ĐÌNH NHÂN - TRƯƠNG MINH ĐỨC Hình 3: Sự phụ thuộc của Rab (2, 1), Rab (3, 2), Rab (4, 3)vào r với q = 2 (Các tham số được biểu diễn theo thứ tự đường liền nét, đường gạch gạch và đường chấm chấm). Hình 4: Sự phụ thuộc của Rab (1, 1), Rab (2, 1), Rab (3, 1) vào r với q = 2 (Các tham số được biểu diễn theo thứ tự đường liền nét, đường gạch gạch và đường chấm chấm). 5. KHẢO SÁT SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE SU(1,1) Đối với trường cổ điển, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng I = [〈 aˆ†2aˆ2 〉 〈 bˆ†2bˆ2 〉] ∣∣∣〈aˆ†bˆ†bˆ aˆ〉∣∣∣ 1 2 − 1 ≥ 0 . Trong trường hợp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bị vi phạm thì trạng thái đó là trạng KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE SU(1,1) 41 thái mang tính chất phi cổ điển. Nghĩa là I = [〈 aˆ†2aˆ2 〉 〈 bˆ†2bˆ2 〉] ∣∣∣〈aˆ†bˆ†bˆ aˆ〉∣∣∣ 1 2 − 1 < 0 . Bằng cách lấy trung bình của trạng thái hai mode SU(1,1) ta tính được biểu thức I dưới dạng I = [ (1− |ξ|2)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! ξ2n(n+ q − 1) (n+ q) ] 1 2 × [ (1− |ξ|2)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! ξ2nn (n− 1) ] 1 2 × [ (1− |ξ|2)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! ξ2nn (n+ q) ]−1 − 1 . Để thuận tiện cho việc khảo sát chúng tôi đặt ϕ = pi, θ = 2r với r ≥ 0 suy ra ξ = tanh r. Chúng tôi thu được kết quả cuối cùng dưới dạng I = [ (1− tanh2r)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! (n+ q − 1) (n+ q)tanh2nr ] 1 2 × [ (1− tanh2r)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! n (n− 1) tanh2nr ] 1 2 × [ (1− tanh2r)1+q ∞∑ n=0 (n+ q)! n!q! n (n+ q) tanh2nr ]−1 − 1 . Kết quả khảo sát sự phụ thuộc của mức độ vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz theo biên độ r và q thể hiện trên hình 5. Kết quả cho thấy I < 0 với mọi giá trị của r và q, nghĩa là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoàn toàn bị vi phạm. Tại cùng một giá trị của r, với q khác nhau thì giá trị của I khác nhau, nghĩa là mức độ vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là khác nhau. Khi r, q càng giảm thì sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz của trạng thái hai mode SU(1,1) càng tăng. 42 LÊ ĐÌNH NHÂN - TRƯƠNG MINH ĐỨC Hình 5: Sự phụ thuộc của I vào r với q = 1, 2, 3 (Các tham số được biểu diễn theo thứ tự đường liền nét, đường gạch gạch và đường chấm chấm). 6. KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1). Chúng tôi đã chứng minh được rằng trạng thái hai mode SU(1,1) thể hiện một số tính chất phi cổ điển mà cụ thể là tính chất nén tổng hai mode, tính phản kết chùm và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Từ các tham số nén tổng hai mode S và nén hiệu hai mode D, chúng tôi thấy rằng trạng thái hai mode SU(1,1) tồn tại tính chất nén tổng hai mode một cách rõ ràng nhưng lại không tồn tại tính chất nén hiệu hai mode. Bằng việc sử dụng tiêu chuẩn tính phản kết chùm hai mode chúng tôi thu được kết quả trạng thái hai mode SU(1,1) thể hiện tính phản kết chùm với độ mạnh, yếu phụ thuộc vào biên độ kết hợp r. Bên cạnh đó, chúng tôi chứng tỏ rằng trạng thái hai mode SU(1,1) vi phạm hoàn toán bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Tất cả những kết quả này cho thấy rằng trạng thái hai mode SU(1,1) là một trạng thái phi cổ điển tương đối mạnh. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Perelomov. A. M. (1972), Commun. Math. Phys, 26, pp.222-236. [2] Hillery (1989), Physical Review A, 45, pp.3147-3155. [3] Lee. C. T (1989), Physical Review A, 41, pp.1569-1575. [4] Mandel. L. (1983), Phy. Rev. Lett, 49, pp.136-138. [5] Agarwal, G. S. (1988), J.opt. Soc. Am B, 5, pp.1940-1947. [6] Christopher C. Gerry and Peter L. Knight (2005), Americal Journal of physics, 73, pp.1197-1198. [7] Hong C. K and Mandel (1985), Physical Review Letters, 54, pp.323-325. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE SU(1,1) 43 [8] Stoler. D (1970), Phy. Rev. Lett, D, pp.37-45. Title: NONCLASSICAL PROPERTIES OF THE TWO-MODE SU(1,1) COHERENT STATES Abstract: In this paper, we study the nonclassical properties of the two-mode SU(1,1) coherent states. The obtained results show that in these states there exist the two-mode sum squeezing but not the difference squeezing. Via the two-mode antibunching criterion, these states reveal clearly the antibunching with the intensity depending on the coherent amplitude r. The results also indicate that these states violate completely Cauchy-Schwarz inequality. Keywords: nonclassical properties, two-mode SU(1,1) coherent states LÊ ĐÌNH NHÂN Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Khoa Vật lý, Trung tâm Vật lý lý thuyết và Vật lý tính toán, Trường ĐHSP - Đại học Huế