Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa - Vũ Vinh Quang

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 38 KÕt qu¶ c¶i tiÕn s¬ ®å chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hßa Vò Vinh Quang – Tr−¬ng Hµ H¶i (Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin - §H Th¸i Nguyªn) Më ®Çu Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ ® ®−îc mét sè t¸c gi¶ trªn thÕ giíi vµ trong n−íc quan t©m. Trªn c¬ së c¸c kÕt qu¶ ®¹t ®−îc khi nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi c¸c bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, trong [1, 2] ® ®Ò xuÊt s¬ ®å chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ, c¸c kÕt qu¶ nµy ® ®−îc chøng minh chÆt chÏ b»ng lý thuyÕt vµ kiÓm tra b»ng thùc nghiÖm tÝnh to¸n. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i sÏ tr×nh bµy kÕt qu¶ khi c¶i tiÕn s¬ ®å chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hoµ víi môc ®Ých t¨ng tèc ®é héi tô cña ph−¬ng ph¸p. 1. Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ XÐt bµi to¸n 2 0 1, , 0, , , , u c u du f c x u g x u g x ∆ − ∆ + = ≥ ∈Ω = ∈∂Ω  ∆ = ∈∂Ω (1) trong ®ã nRΩ ∈ , ∂Ω lµ biªn Lipschitz, 2 ( )f L⊂ Ω , 0 1,g g lµ c¸c hµm sè cho tr−íc. Bµi to¸n (1) ®−îc gäi lµ bµi to¸n song ®iÒu hoµ tæng qu¸t. Tuú thuéc vµo c¸c hÖ sè ,c d chóng ta xÐt hai d¹ng bµi to¸n c¬ b¶n: Bµi to¸n biªn thø nhÊt: 2 0 1, , 0, , , , . u c u f c x u g x u g x ∆ − ∆ = ≥ ∈Ω = ∈∂Ω  ∆ = ∈∂Ω (2) Bµi to¸n biªn thø hai: 2 0 1, , 0, 0, , , , . u c u du f c d x u g x u g x ∆ − ∆ + = ≥ ≠ ∈Ω = ∈∂Ω  ∆ = ∈∂Ω (3) Trªn c¬ së cña ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph−¬ng tr×nh elliptic cÊp hai víi t− t−ëng x¸c ®Þnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia kÕt hîp víi ph−¬ng ph¸p ph©n r bµi to¸n song ®iÒu hoµ vÒ hai bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, trong [1, 2] ® ®−a ra ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ nh− sau: XÐt bµi to¸n (1), chia miÒn 1 2 1 2,Ω = Ω ∪ Ω Ω ∩ Ω = ∅ , kÝ hiÖu 1 2 1 1 2 2, \ , \Γ = ∂Ω ∩ ∂Ω Γ = ∂Ω Γ Γ = ∂Ω Γ , iu lµ nghiÖm trong miÒn iΩ , i iduϕ = − , ( 1,2)i iv u i= ∆ = , 1 1 1 1 , v u ξ η ν νΓ Γ ∂ ∂ = = ∂ ∂ trong ®ã iν lµ vect¬ ph¸p tuyÕn ngoµi cña miÒn Ωi, (H×nh 1) Ω2 Γ Ω1 Ω2 Γ Ω1 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 39 NghiÖm iu cña hai bµi to¸n cÇn ph¶i tho¶ mn c¸c ®iÒu kiÖn chuyÓn dÞch qua biªn Γ nh− sau: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , . u u x u u x u u x u u x ν ν ν ν = ∈Γ ∂ ∂ = − ∈Γ ∂ ∂  ∆ = ∆ ∈Γ∂∆ ∂∆ = − ∈Γ ∂ ∂∆ (4) NÕu x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gi¸ trÞ ,ξ η trªn ®−êng biªn ph©n chia th× hiÓn nhiªn viÖc gi¶i bµi to¸n trong miÒn Ω ®−îc ®−a vÒ viÖc gi¶i hai bµi to¸n trong hai miÒn ( 1,2)i iΩ = . XuÊt ph¸t tõ môc ®Ých x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ ,ξ η , viÖc t×m nghiÖm bµi to¸n biªn thø nhÊt vµ thø hai ®−îc thùc hiÖn b»ng c¸c thuËt to¸n chia miÒn nh− sau: 1.1 Bµi to¸n biªn thø nhÊt B−íc 1: XuÊt ph¸t tõ (0) 0, 0,1,2,...kξ = ∀ = thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n 1.1 Gi¶i bµi to¸n víi ( ) 1 kv ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) ( )1 1 , , , , , . k k k k k v cv f x v g x v xξ ν ∆ − = ∈Ω = ∈Γ  ∂ = ∈Γ ∂ (5) 1.2 Gi¶i bµi to¸n víi ( ) 2 kv ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 , , , , , . k k k k k v cv f x v g x v v x ∆ − = ∈Ω = ∈Γ  = ∈Γ (6) 1.3 HiÖu chØnh ( ) ( 1) ( ) 2 1 1 2 (1 ) , . k k k v xξ θ ξ θ ν + ∂= − − ∈Γ ∂ (7) KÝ hiÖu nghiÖm thu ®−îc sau b−íc lÆp 1 lµ 1 2,v v . B−íc 2: XuÊt ph¸t tõ (0) 0, 0,1,2,...lη = ∀ = thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 40 2.1 Gi¶i bµi to¸n víi ( ) 1u ℓ ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 0 1 ( ) 1 1 , , , , , . u v x u g x u xη ν ∆ = ∈Ω = ∈Γ ∂ = ∈Γ ∂ ℓ ℓ ℓ ℓ (8) 2.2 Gi¶i bµi to¸n víi ( ) 2u ℓ ( ) 2 2 2 ( ) 2 0 2 ( ) ( ) 2 1 , , , , , . u v x u g x u u x ∆ = ∈Ω = ∈Γ  = ∈Γ ℓ ℓ ℓ ℓ (9) 2.3 HiÖu chØnh ( ) ( 1) ( ) 2 2 2 2 (1 ) , . u xη θ η θ ν + ∂= − − ∈Γ ∂ ℓ ℓ ℓ (10) XÐt s¬ ®å chia miÒn (5)-(10) chóng ta dÔ thÊy r»ng ®iÒu kiÖn liªn tôc cña hµm trong (4) lu«n lu«n tho¶ mn cßn ®iÒu kiÖn liªn tôc cña ®¹o hµm trong (4) sÏ tho¶ mn nÕu c¸c s¬ då lÆp (7) vµ (10) héi tô. Sö dông c¸c kÕt qu¶ khi nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi bµi to¸n elliptic cÊp hai, trong [1,2] ® chøng minh c¸c s¬ ®å lÆp (7) vµ (10) héi tô. 1.2. Bµi to¸n biªn thø hai B−íc 1: XuÊt ph¸t tõ (0) (0) 1 2 0, 0,1,2,...kϕ ϕ= = ∀ = thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n B−íc 1.1: XuÊt ph¸t tõ (0) 0, 0,1,2,...lξ = ∀ = 1.1.1 Gi¶i bµi to¸n víi ( ) 1v ℓ ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) ( )1 1 , , , , , . kv cv f x v g x v x ϕ ξ ν ∆ − = + ∈Ω = ∈ Γ  ∂ = ∈ Γ ∂ ℓℓ ℓ ℓ ℓ (11) 1.1.2 Gi¶i bµi to¸n víi ( ) 2v ℓ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 , , , , , . kv cv f x v g x v v x ϕ∆ − = + ∈Ω = ∈ Γ  = ∈ Γ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ (12) T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 41 1.1.3 HiÖu chØnh ( ) ( 1) ( ) 2 1 1 2 (1 ) , v xξ θ ξ θ ν + ∂= − − ∈Γ ∂ ℓ ℓ ℓ . (13) KÝ hiÖu ( ) 1v ℓ , ( ) 2v ℓ lµ nghiÖm sau b−íc lÆp 1.1 B−íc 1.2: §Æt (0) 0, 0,1,2,...mη = ∀ = 1.2.1 Gi¶i bµi to¸n víi ( ) 1 mu ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 0 1 ( ) ( )1 1 , , , , , . m k m m m u v x u g x u xη ν ∆ = ∈Ω = ∈ Γ ∂ = ∈ Γ ∂ (14) 1.2.2 Gi¶i bµi to¸n víi ( ) 2 mu ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 0 2 ( ) ( ) 2 1 , , , , , . m k m m m u v x u g x u u x ∆ = ∈Ω = ∈ Γ  = ∈ Γ (15) 1.2.3 HiÖu chØnh ( ) ( 1) ( ) 2 2 2 2 (1 ) , . m m m u xη θ η θ ν + ∂= − − ∈Γ ∂ (16) KÝ hiÖu ( ) 1 ku , ( ) 2 ku lµ nghiÖm sau b−íc lÆp 1.2 B−íc 2: HiÖu chØnh ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ), , ( ), . k k k k k k k k du x du x ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ τ ϕ + + = − + ∈Ω = − + ∈Ω (17) XÐt s¬ ®å lÆp (11)-(13) vµ (14)-(16), ®©y chÝnh lµ c¸c s¬ ®å lÆp ®éc lËp gi¶i c¸c bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet b»ng ph−¬ng ph¸p chia miÒn, sù héi tô vµ tham sè lÆp tèi −u ® ®−îc kh¼ng ®Þnh trong [1,2]. c¸c s¬ ®å lÆp (17) ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) 0, , ( 1,2) k k k ki i i i i i du x i ϕ ϕ ϕ τ + − + + = ∈Ω = . (18) Trong [3] ® chøng minh c¸c s¬ ®å lÆp héi tô. NhËn xÐt: Khi nghiªn cøu c¸c s¬ ®å lÆp (5)-(10) gi¶i bµi to¸n biªn thø nhÊt vµ s¬ ®å (11)-(17) gi¶i bµi to¸n biªn thø hai, chóng ta nhËn thÊy viÖc thiÕt kÕ c¸c s¬ ®å lÆp trong thuËt to¸n chia T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 42 miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ thùc chÊt lµ viÖc thùc hiÖn thuËt to¸n chia miÒn gi¶i lÇn l−ît c¸c bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai trong c¸c miÒn. §iÒu nµy sÏ tËn dông ®−îc c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt cña thuËt to¸n chia miÒn ®èi víi bµi to¸n elliptic cÊp hai ®Ó chøng minh sù héi tô cho thuËt to¸n chia miÒn ®Ò xuÊt ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hoµ. Tuy nhiªn khi thùc hiÖn gi¶i tuÇn tù c¸c bµi to¸n cÊp hai th× khèi l−îng tÝnh to¸n cã thÓ sÏ t¨ng lªn. V× vËy, chóng t«i sÏ ®Ò xuÊt viÖc c¶i tiÕn hai s¬ ®å lÆp trªn víi môc ®Ých t¨ng tèc ®é héi tô cña hai s¬ ®å chia miÒn ® tr×nh bµy. 2. §Ò xuÊt viÖc c¶i tiÕn s¬ ®å chia miÒn 2.1 Bµi to¸n biªn thø nhÊt §Æt 1 u u η ξν Γ ∆   ∂Φ = =   ∂     . (19) XuÊt ph¸t tõ (0) (0) (0) 0 , 0,1,2,... 0 k η ξ    Φ = = ∀ =       tiÕn hµnh gi¶i c¸c bµi to¸n B−íc 1: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn 1Ω ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) ( )1 1 , , , , , . k k k k k v cv f x v g x v xη ν ∆ − = ∈Ω = ∈Γ  ∂ = ∈Γ ∂ (20) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 0 1 ( ) ( )1 1 , , , , , . k k k k k u v x u g x u xξ ν ∆ = ∈Ω = ∈Γ  ∂ = ∈Γ ∂ (21) B−íc 2: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn 2Ω ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 , , , , , . k k k k k v cv f x v g x v v x ∆ − = ∈Ω = ∈Γ  = ∈Γ (22) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 0 2 ( ) ( ) 2 1 , , , , , . k k k k k u v x u g x u u x ∆ = ∈Ω = ∈Γ  = ∈Γ (23) T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 43 B−íc 3: HiÖu chØnh ( ) 2( 1) ( ) ( ) 2 2 (1 ) , . k k k k x u υ θ θ ν +  ∂Φ = Φ − − ∈Γ  ∂   (24) Hay ( ) ( 1) ( ) 2 2 ( ) ( 1) ( ) 2 2 (1 ) , , (1 ) , . k k k k k k x u x υη θη θ ν ξ θξ θ ν + +  ∂ = − − ∈Γ ∂  ∂ = − − ∈Γ  ∂ (24’) 2.2 Bµi to¸n biªn thø hai §Æt 1 , ( 1,2)i i u du i u η ϕξν Γ ∆   ∂Φ = = = − =   ∂     , (25) XuÊt ph¸t tõ (0) (0) (0) (0) 1 2(0) 0 , 0, 0,1,2,... 0 k η ϕ ϕξ    Φ = = = = ∀ =       tiÕn hµnh gi¶i c¸c bµi to¸n B−íc 1: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn 1Ω ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) ( )1 1 , , , , , . k k k k k k v cv f x v g x v x ϕ η ν ∆ − = + ∈Ω = ∈Γ  ∂ = ∈Γ ∂ (26) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 1 0 1 ( ) ( )1 1 , , , , , . k k k k k u v x u g x u xξ ν ∆ = ∈Ω = ∈Γ  ∂ = ∈Γ ∂ (27) B−íc 2: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn 2Ω ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 , , , , , . k k k k k k v cv f x v g x v v x ϕ∆ − = + ∈Ω = ∈Γ  = ∈Γ (28) T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 44 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 0 2 ( ) ( ) 2 1 , , , , , . k k k k k u v x u g x u u x ∆ = ∈Ω = ∈Γ  = ∈Γ (29) B−íc 3: HiÖu chØnh ( ) 2( 1) ( ) ( ) 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 (1 ) , , ( ), , ( ), . k k k k k k k k k k k k x u du x du x υ θ θ ν ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ τ ϕ + + +  ∂Φ = Φ − − ∈Γ  ∂   = − + ∈Ω = − + ∈Ω (30) Hay ( ) ( 1) ( ) 2 2 ( ) ( 1) ( ) 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 (1 ) , , (1 ) , , ( ), , ( ), , k k k k k k k k k k k k k k x u x du x du x υη θη θ ν ξ θξ θ ν ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ τ ϕ + + + +  ∂ = − − ∈Γ ∂  ∂ = − − ∈Γ ∂  = − + ∈Ω  = − + ∈Ω (30’) NhËn xÐt: 1. So s¸nh s¬ ®å lÆp (5)-(10) víi s¬ ®å c¶i tiÕn (19)-(24) chóng ta thÊy viÖc thùc hiÖn tÝnh to¸n lµ hoµn toµn kh¸c nhau: trong s¬ ®å (5)-(10) ph¶i tiÕn hµnh gi¶i xong bµi to¸n víi υ b»ng thuËt to¸n chia miÒn sau ®ã míi gi¶i bµi to¸n x¸c ®Þnh u b»ng thuËt to¸n chia miÒn trong khi ®ã ®èi víi s¬ ®å c¶i tiÕn th× thuËt to¸n chia miÒn ®−îc thùc hiÖn ®ång thêi víi u vµ υ trªn mçi b−íc lÆp. 2. T−¬ng tù khi so s¸nh s¬ ®å lÆp (11)-(17) víi s¬ ®å c¶i tiÕn (25)-(30) ta còng thÊy viÖc gi¶i bµi to¸n b»ng thuËt to¸n chia miÒn lµ ®−îc thùc hiÖn ®ång thêi ®èi víi ,uϕ vµ υ trªn cïng mét b−íc lÆp trong khi s¬ ®å (11)-(17) ph¶i thùc hiÖn lÇn l−ît víi 3 vßng lÆp. 3. Trong qu¸ tr×nh tÝnh to¸n, theo chóng t«i nÕu thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh to¸n ®ång thêi sÏ huy ®éng ®−îc d÷ liÖu trong c¸c lÇn lÆp tr−íc cho c¸c lÇn lÆp sau, ®iÒu ®ã ch¾c ch¾n sÏ t¨ng tèc ®é héi tô cña c¸c s¬ ®å lÆp. 4. ViÖc chøng minh c¸c s¬ ®å lÆp c¶i tiÕn (19)-(24) vµ (25)-(30) héi tô vÒ ph−¬ng diÖn lý thuyÕt theo chóng t«i lµ mét bµi to¸n khã, tuy nhiªn qua c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm cã thÓ kh¼ng ®Þnh sù héi tô cña c¸c s¬ ®å lÆp c¶i tiÕn còng nh− tÝnh h÷u hiÖu h¬n so víi c¸c s¬ ®å lÆp cò. 3. C¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm Trong phÇn nµy, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n kiÓm tra sù héi tô vµ so s¸nh tèc ®é cña s¬ ®å lÆp c¶i tiÕn víi s¬ ®å lÆp cò, ph−¬ng ph¸p chóng t«i thùc hiÖn lµ sö dông ng«n ng÷ lËp tr×nh trªn m«i tr−êng MATLAB tiÕn hµnh lËp tr×nh T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 45 ®ång thêi hai s¬ ®å lÆp cò vµ s¬ ®å c¶i tiÕn ®èi víi bµi to¸n biªn thø nhÊt vµ bµi to¸n biªn thø hai trong miÒn Ω lµ miÒn ch÷ nhËt. Trong c¸c ch−¬ng tr×nh thùc nghiÖm, chóng t«i ® sö dông th− viÖn TK2004 gi¶i sè bµi to¸n biªn elliptic trong miÒn ch÷ nhËt [5], ®iÒu kiÖn dõng lÆp cña c¸c s¬ ®å lÆp lµ * ij ijmax u u errε = − < trong ®ã err lµ sai sè cho tr−íc, * 1 2( , )u x x lµ nghiÖm ®óng. Trong viÖc x¸c ®Þnh nghiÖm b»ng sè chóng t«i lu«n lÊy l−íi chia miÒn ch÷ nhËt lµ l−íi 64 64M N× = × . C¸c ch−¬ng tr×nh ®−îc thùc hiÖn trªn m¸y tÝnh Pentum IV-Ram 256MB, c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n ®−îc cho trong c¸c b¶ng sau: B¶ng 1: Hµm nghiÖm ®óng * 1 2 1 2( , ) sin sinu x x x x= Tham sè lÆp θ S¬ ®å lÆp víi bµi to¸n biªn thø nhÊt S¬ ®å lÆp víi bµi to¸n biªn thø hai S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn Sai sè t(gi©y) Sai sè t(gi©y) Sai sè t(gi©y) Sai sè t(gi©y) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 2.10-4 8.10-5 6.10-5 6.10-5 3.10-6 6.10-5 6.10-5 9.10-5 2.10-4 28 14.6 8.7 5.5 2 5.5 8.8 14 28 1.10-4 8.10-5 7.10-5 3.10-5 2.10-6 3.10-5 7.10-5 8.10-5 1.10-4 24 11 7 4 1.7 4.8 7 11.7 24 9.10-6 2.10-5 1.10-5 1.10-5 1.10-5 1.10-5 2.10-5 4.10-5 9.10-5 64 32 20 13 7.8 12.9 18.2 25.6 45 1.10-4 6.10-5 9.10-5 5.10-5 1.10-6 2.10-5 6.10-5 7.10-5 1.10-4 27 13.9 7.9 5.3 3.6 5.3 8.0 13.1 27 B¶ng 2: Hµm nghiÖm ®óng * 2 2 1 2 1 2 2 1( , ) (1 ) sin (1 ) sinu x x x x x x= − + − Tham sè lÆp θ S¬ ®å lÆp víi bµi to¸n biªn thø nhÊt S¬ ®å lÆp víi bµi to¸n biªn thø hai S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn Sai sè t(gi©y) Sai sè t(gi©y) Sai sè t(gi©y) Sai sè t(gi©y) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.002 6.10-5 3.10-5 5.10-5 2.10-6 2.10-5 9.10-5 6.10-5 0.002 28.5 18.4 11.4 7.2 1.9 7.0 10.4 18.5 28.1 3.10-4 8.10-5 7.10-5 9.10-5 2.10-6 9.10-5 7.10-5 8.10-5 3.10-4 24.5 13.5 8.0 4.8 1.7 4.8 8.0 13.5 24.5 3.10-5 4.10-5 4.10-5 4.10-5 4.10-5 4.10-5 4.10-5 6.10-5 8.10-5 69 33.4 20.6 14 8.0 13.7 19.0 27.0 52 4.10-4 6.10-5 9.10-5 2.10-5 1.10-6 7.10-5 7.10-5 8.10-5 3.10-4 27.5 15.9 8.9 6.4 3.6 5.4 8.9 15.0 27 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 46 B¶ng 3: Hµm nghiÖm ®óng 1 2* 1 2 2 1( , ) sin sinx xu x x e x e x= + Tham sè lÆp θ S¬ ®å lÆp víi bµi to¸n biªn thø nhÊt S¬ ®å lÆp víi bµi to¸n biªn thø hai S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn S¬ ®å cò S¬ ®å c¶i tiÕn Sai sè t(gi©y) Sai sè t(gi©y) Sai sè t(gi©y) Sai sè t(gi©y) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.002 6.10-5 3.10-5 5.10-5 2.10-6 2.10-5 9.10-5 6.10-5 0.002 30.6 18 12.3 9.9 2.2 9.9 11.2 18 30.7 0.001 7.10-5 7.10-5 4.10-5 1.10-5 5.10-5 7.10-5 7.10-5 0.001 23 11 8.5 5.4 1.7 5.4 8.0 12 24.5 8.10-5 7.10-5 7.10-5 8.10-5 9.10-5 8.10-5 6.10-5 7.10-5 8.10-5 108 58 35 21 9.5 21 36 60 109 1.10-5 1.10-5 9.10-5 7.10-5 1.10-4 7.10-5 8.10-5 2.10-5 8.10-4 53 22 11 6 3.6 6 12 21 50 KÕt luËn Qua c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm tÝnh to¸n, chóng t«i cã mét sè kÕt luËn vµ nhËn xÐt: 1. C¸c s¬ ®å lÆp c¶i tiÕn ®Òu héi tô víi tham sè trªn c¸c dy lÆp trong thuËt to¸n chia miÒn ®−îc lùa chän trong kho¶ng (0, 1) trong ®ã gi¸ trÞ tèi −u trong kho¶ng (0.4, 0.5). 2. VÒ tèc ®é héi tô dÔ thÊy c¸c s¬ ®å chia miÒn c¶i tiÕn cã tèc ®é héi tô nhanh h¬n c¸c s¬ ®å cò, ®Æc biÖt lµ ®èi víi s¬ ®å c¶i tiÕn ®èi víi bµi to¸n biªn thø hai th× tèc ®é héi tô t¨ng nhanh kho¶ng gÊp hai lÇn s¬ ®å lÆp cò. 3. C¸c s¬ ®å c¶i tiÕn ®Òu cã thÓ ¸p dông cho c¸c bµi to¸n song ®iÒu hoµ víi ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp còng nh− khi miÒn h×nh häc ®−îc xÐt lµ miÒn phøc t¹p. H−íng ph¸t triÓn tiÕp theo lµ nghiªn cøu viÖc chøng minh b»ng lý thuyÕt sù héi tô cña s¬ ®å lÆp c¶i tiÕn ®ång thêi më réng cho c¸c bµi to¸n song ®iÒu hoµ phøc t¹p h¬n
Summary Vietnamese and global scientists are interested in the domain decomposition method for solving biharmonic problem. Based on the achieved result of studying domain decomposition method for the second elliptic boundary problem, in [1, 2], domain decomposition scheme for solving biharmonic problem was presented, the result was clearly proved by theory and tested by calculation. In this paper, improving domain decomposition scheme for biharmonic problem with the aim of increasing convergent speed of the method is presented. Tµi liÖu tham kh¶o [1] Dang Quang A and Vu Vinh Quang, A domain decomposition method for solving an elliptic boundary value problem, Methods of Complex and Clifford Analysis (Proceedings of 2004 International Conference on Applied Mathematics), SAS International Publications, Delhi, 309-319. T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 47 [2] Vò Vinh Quang (2006), Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph−¬ng tr×nh elliptic cÊp hai vµ ph−¬ng tr×nh song ®iÒu hoµ trong miÒn h×nh häc phøc t¹p, LuËn ¸n TiÕn sÜ To¸n häc, Th− viÖn Quèc gia. [3] V. V. Quang, Q. A. Dang, Decomposition Method for Solving a Boundary Value Problem for Biharmonic Equation, International conference on "High Performance Scientific Computing", Hanoi, March 6-10, 2006. [4] Vò Vinh Quang (2005), C¸c kÕt qu¶ vÒ viÖc øng dông thuËt to¸n thu gän khèi l−îng tÝnh to¸n gi¶i c¸c bµi to¸n elliptic víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp. Héi th¶o Khoa häc Toµn quèc "Ph¸t triÓn c«ng cô tin häc trî gióp cho gi¶ng d¹y, nghiªn cøu vµ øng dông to¸n häc", Hµ Néi 1-2/04/2005: 247-256. [5] Vò Vinh Quang, “Mét sè kÕt qu¶ øng dông ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn elliptic víi ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh”, T¹p chÝ KH&CN §¹i häc Th¸i nguyªn, T.4(40): 37-45. [6] §Æng Quang ¸, Vò Vinh Quang, "Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n biªn hçn hîp m¹nh", T¹p chÝ Tin häc vµ §iÒu khiÓn häc, T.22, S.4: 307-318. [7] §Æng Quang ¸, Vò Vinh Quang (2006), Mét sè kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph−¬ng tr×nh elliptic vµ ph−¬ng tr×nh song ®iÒu hoµ, Héi nghÞ khoa häc “Kû niÖm 30 n¨m ngµy thµnh lËp ViÖn C«ng nghÖ Th«ng tin”, 12/2006 [8] Vò Vinh Quang (2007), Mét sè kÕt qu¶ ph¸t triÓn ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ víi ®iÒu kiÖn biªn hçn hîp m¹nh, Héi th¶o khoa häc toµn quèc Fair – Nha trang 8/2007.