Hướng dẫn học sinh trung học phổ thông khá giỏi sử dụng phương pháp song ánh giải một số bài toán đếm
The Bijective method (BM) is an interesting method to solve some counting problems. However,
in Vietnam there are few articles mentioned on this method and there is not any author mentioning
how to teach this method for good and excellent students of high schools (HS). So, we would like
to share teaching experience of concepts on mapping, injective, surjective and bijective functions.
Simultaneously, we analyze some examples on applying the bijective method to solve some
counting problems in order to help students understanding more about this method.
5 trang |
Chia sẻ: yendt2356 | Lượt xem: 560 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hướng dẫn học sinh trung học phổ thông khá giỏi sử dụng phương pháp song ánh giải một số bài toán đếm, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Nguyễn Thị Ngọc Ánh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 127 - 131
127
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHÁ GIỎI SỬ DỤNG
PHƯƠNG PHÁP SONG ÁNH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM
Nguyễn Thị Ngọc Ánh*
Trường THPT Chuyên Thái Nguyên
TÓM TẮT
Phương pháp song ánh ( PPSA) là một phương pháp hay để giải một số bài toán đếm. Tuy nhiên, ở
nước ta hiện nay có ít bài viết về phương pháp này và chưa tác giả nào đề cập đến việc dạy phương
pháp này như thế nào cho đối tượng học sinh (HS) khá giỏi trung học phổ thông (THPT). Chúng
tôi xin chia sẻ kinh nghiệm dạy các khái niệm ánh xạ (AX), đơn ánh (ĐA), toàn ánh (TA), song
ánh (SA). Đồng thời, phân tích một số ví dụ về vận dụng PPSA vào giải một số bài toán đếm để
giúp HS hiểu rõ hơn về phương pháp này.
Từ khóa: Phương pháp song ánh, bài toán đếm.
MỞ ĐẦU*
Năm 1992, các tác giả Chen Chuan-Chong và
Koh Khee-Meng đã viết về Nguyên lí Đơn
ánh và Nguyên lí Song ánh trong cuốn
“Những nguyên lí và kĩ thuật trong Tổ hợp”.
Với kí hiệu X là số phần tử của tập hợp X,
nội dung của hai nguyên lí này được tác giả
nêu ra như sau:
Nguyên lí Đơn ánh (The Injection Principle):
Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu có
một đơn ánh từ A đến B, thì A B .
Nguyên lí Song ánh (The Bijection
Principle): Cho A và B là hai tập hợp hữu
hạn. Nếu có một song ánh từ A đến B, thì
A B .
Phương pháp vận dụng hai nguyên lí trên vào
giải toán gọi là PPSA [1, tr - 230]. Phương
pháp này đã được đề cập đến trong các tài
liệu: [1], [3], [4], [5], [7]. Tuy nhiên, chưa tác
giả nào đề cập đến việc phải dạy PPSA như
thế nào cho HS khá giỏi THPT. Qua bài viết
này, chúng tôi xin chia sẻ kinh nghiệm vận
dụng PPSA ở trường THPT với đối tượng là
HS khá giỏi. Để vận dụng phương pháp này
hiệu quả trước tiên chúng ta phải giúp HS
phân biệt được các khái niệm AX, ĐA, TA,
SA, sau đó hướng dẫn các em vận dụng tính
chất của các AX vừa học vào các ví dụ nhằm
từng bước hình thành PPSA.
* Email: anhtoan416@gmail.com
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Dạy khái niệm AX, ĐA, TA, SA cho HS
khá giỏi THPT:
Khái niệm AX, ĐA, TA, SA
a. Ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y (ký
hiệu f: XY) là một quy tắc cho tương ứng
mỗi phần tử x X với một phần tử xác định
y Y, phần tử y gọi là ảnh của phần tử x, ký
hiệu y = f(x).
Với mỗi tập A X: f(A) = Axxf )(
gọi là ảnh của tập A.
b. TA là AX từ X vào Y trong đó f(X) = Y.
c. ĐA là AX từ X vào Y thỏa mãn:
)()(:, 212121 xfxfxxXxx .
d. SA là AX vừa là ĐA, vừa là TA.
Dạy các khái niệm AX, ĐA, TA, SA cho HS
khá giỏi THPT
Trong thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy
HS thường khó phân biệt các khái niệm: AX,
ĐA, TA, SA . Do đó, chúng tôi xin đề xuất
một phương án dạy bốn khái niệm trên thông
qua các hoạt động (HĐ) như sau [2] :
HĐ1: Giáo viên (GV) vẽ hai vòng tròn rời
nhau. GV gọi 3 HS đứng vào vòng 1 và qui
ước đây là tập hợp các con. Gọi 4 HS nữ
đứng vào vòng 2 và qui ước đây là tập hợp
các mẹ đẻ của các con ở vòng kia. Tiếp đó,
GV dùng 3 sợi dây để nối tương ứng giữa con
và mẹ để tạo ra mô hình (MH) 1.
Nguyễn Thị Ngọc Ánh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 127 - 131
128
Mô hình 1
HĐ 2: GV đưa ra khái niệm AX, minh họa thông qua MH1 và phân tích:
Tập X : tập các con. Tập Y: tập các mẹ đẻ.
Vậy tương ứng mỗi xX với một phần tử xác định yY được thể hiện ở đây là tương ứng mỗi
con thuộc tập các con có duy nhất một mẹ đẻ ( biểu thị bằng sợi dây nối), chú ý là không con nào
‘đứng bơ vơ’ vì không có mẹ tương ứng. Đây là điểm cần nhớ của khái niệm AX.
Hđ 3: GV cùng HS lần lượt xây dựng các MH 2, MH 3 và yêu cầu xác định xem MH nào thỏa
mãn khái niệm AX.
Mô hình 2
Mô hình 3
HS trả lời MH2 không phải là AX vì có con
C3 ‘đứng bơ vơ’, MH3 thỏa mãn vì tuy có C2
và C3 chung một mẹ nhưng mỗi con vẫn có
duy nhất một mẹ.
HĐ 4: GV vẽ MH1, MH3 lên bảng và thông
báo cho HS biết MH1 thỏa mãn điều kiện cứ
hai con khác nhau thì có hai mẹ khác nhau
nên là MH của một ĐA. Nhưng MH3 không
thỏa mãn khái niệm ĐA vì con C2 và C3
chung mẹ M2. GV yêu cầu HS thử nêu khái
niệm ĐA và chỉnh sửa lại khi phát biểu của
HS chưa chính xác.
HĐ 5: GV thông báo TA là AX thỏa mãn
không có mẹ nào trong tập các mẹ đẻ ‘đứng
bơ vơ’ và yêu cầu HS xây dựng một số MH
minh họa. Từ đó, GV hướng dẫn HS nhớ khái
niệm TA.
HĐ6: Cuối cùng GV đưa ra khái niệm SA và
yêu cầu HS xây dựng MH minh họa.
Sau khi HS đã nắm được bốn khái niệm AX,
ĐA, TA, SA. GV và HS cùng tìm thêm các ví
dụ và phản ví dụ trong toán học và trong thực
tế minh họa cho các khái niệm này. Đồng
thời, giúp các em nêu ra được các tính chất
của các khái niệm đó.
Áp dụng PPSA vào giải một số bài toán đếm
C1 M1
C3
C2 M2
C1 M1
C3
C2
M2
M3
C1
M1
C3
C2
M2
M3
M4
Nguyễn Thị Ngọc Ánh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 127 - 131
129
PPSA được coi là một kỹ thuật đếm nâng cao
được vận dụng trong giải toán tổ hợp. Ý nghĩa
của phương pháp là thay thế cho việc đếm số
phần tử của một tập hợp A nhất định, ta đi
đếm số phần tử của một tập hợp B có cùng số
phần tử với tập hợp A. Số phần tử của tập hợp
B là dễ đếm. Để có được kết quả này ta cần
chứng minh có một SA giữa hai tập hợp A và
B. Muốn có một bất đẳng thức liên quan đến
số phần tử của hai tập hợp, ta xây dựng một
đơn ánh giữa hai tập hợp đó. Khi hướng dẫn
HS vận dụng PPSA vào giải một bài toán
đếm, chúng tôi thường hướng dẫn các em
theo bốn bước sau:
Bước 1: Dựa vào giả thiết, xác định xem cần
xây dựng một đơn ánh hay một song ánh.
Bước 2: Tìm hai tập hợp X, Y tương ứng
trong ánh xạ cần xây dựng.
Bước 3: Chỉ ra cách xây dựng ánh xạ từ X
tới Y.
Bước 4: Trình bày lời giải.
Ví dụ 1:
Cho một lưới gồm các ô vuông. Các nút được
đánh số từ 0 đến m theo chiều từ trái sang
phải và từ 0 đến n theo chiều từ dưới lên trên.
Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút
(0 ; 0) đến nút (m, n) nếu chỉ cho phép đi trên
cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải
hoặc từ dưới lên trên.
Phân tích: Đây là một bài toán đếm nên có
thể vận dụng Nguyên lí Song ánh. Ta cần xây
dựng một song ánh giữa tập hợp X các đường
đi thỏa mãn với một tập hợp Y nào đó.
Tìm tập Y: Ta thấy các đường đi thỏa mãn
đều có độ dài (m + n) vì có n đoạn đi lên và
m đoạn đi sang ngang. Sự khác nhau giữa các
đường đi chỉ là sự sắp xếp thứ tự giữa các
đoạn đi lên và các đoạn đi ngang. Đây là một
bài toán có 2 khả năng cơ bản. Ta có thể mã
hóa mỗi đoạn đi lên bởi số 1, mỗi đoạn đi
ngang bởi số 0. Khi đó, mỗi đường đi thỏa
mãn tương ứng với một dãy nhị phân có độ
dài (m + n), trong đó, có đúng n thành phần
bằng 1. Tập hợp Y là tập các dãy nhị phân
nói trên.
Giải:
1
1
1
1
0 0
0
0
0n
m
m,n( )
(0,0)
Một đường đi như thế gồm (m + n) đoạn (mỗi
đoạn là một cạnh ô vuông). Tại mỗi đoạn chỉ
được chọn một trong hai giá trị đi lên (ta mã
hóa là 1) hay sang phải (ta mã hóa là 0). Số
đoạn đi lên đúng bằng n và số đoạn sang phải
đúng bằng m. Như vậy, có một song ánh giữ
tập hợp A các đường đi thỏa mãn yêu cầu bài
toán với tập hợp B các dãy nhị phân có cùng
độ dài (m + n). Trong mỗi dãy nhị phân đó có
đúng n thành phần bằng 1, m thành thành
bằng 0.
Dễ thấy
n
nm
n
nm CACB . Vậy số
đường đi cần tìm là
n
nmC
Ví dụ 2: [ Balkan 1997]
Lấy m và n là số tự nhiên lớn hơn 1. Gọi S tập
hợp có n phần tử. Lấy A1, A2, A3,,Am là
những tập con của S. Giả sử rằng, cứ 2 phần
tử bất kỳ x, y thuộc S đều có 1 tập hợp Ai
( 1,i m ) thỏa mãn điều kiện: nếu x Ai thì
y Ai còn nếu x Ai thì y Ai. Chứng
minh rằng:
mn 2 .
Phân tích: Bài toán yêu cầu chứng minh một
bất đẳng thức nên có thể sử dụng Nguyên lí
Đơn ánh. Tập S có n phần tử nên ta sẽ tìm
một đơn ánh từ S tớt tập T nào đó. Tập T có
2m phần tử. Bài toán có hai quan hệ “thuộc”
và “không thuộc” nên có thể đưa về bài toán
dãy nhị phân. Ta biết, tập hợp các dãy nhị
phân có độ dài m thì có 2
m
phần tử ( do tại
mỗi vị trí chỉ có thể chọn là 1 hoặc 0). Tập
T phải liên quan đến m tập nêu trong đề
Nguyễn Thị Ngọc Ánh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 127 - 131
130
bài. Ta có cách xây dựng đơn ánh như
trong lời giải sau:
Giải:
Mỗi phần tử x của S ta cho tương ứng với một
dãy nhị phân 1 2, ,..., mf x x x x , với
1ix nếu i ix A và 0ix nếu
i ix A . Ta có ánh xạ: f: S T =
1 2, ,..., 0;1m ix x x x .
Từ giả thiết ta có, nếu
( ) ( )x y f x f y .Vậy f là một đơn
ánh nên S T . Mỗi phần tử của T là
một dãy nhị phân có độ dài m nên
mT 2 . Vậy
mn 2 .
Ví dụ 3: Để xem một buổi biểu diễn xiếc,
mỗi người phải mua một vé vào giá 1 USD.
Mỗi khán giả chỉ được phép mua một vé. Mọi
người đến mua vé đứng xếp thành một hàng
dọc trước cửa bán vé. Mỗi người chỉ mang
đúng một tờ 1 USD hoặc đúng 1 tờ 2 USD.
Người bán vé quên không mang theo tiền. Giả
sử có n người mang tờ 1 USD và m người
mang tờ 2 USD ( m n ). Tìm số cách xếp
hàng sao cho người có tờ 1 USD thì được
nhận ngay vé, người có tờ 2 USD thì khi đến
lượt của mình được nhận ngay vé và một tờ 1
USD trả lại ?
Phân tích: Đây là một bài toán hay nhưng
khó đối với đa số HS phổ thông. PPSA được
vận dụng rất rõ nét trong cách giải bài toán.
Định hướng ban đầu là sử dụng Nguyên lí
Song ánh vì đây là một bài toán đếm. Mỗi
cách xếp hàng bất kì của (m + n) khán giả nói
trên ta gọi là một véc tơ. Tập hợp các véc tơ
này ta kí hiệu là X. Một véc tơ gọi là tốt nếu
tương ứng với cách xếp hàng thỏa mãn yêu
cầu bài toán. Các véc tơ còn lại gọi là các véc
tơ xấu. Ta chứng minh có một song ánh từ
tập A các véc tơ xấu đến tập B các véc tơ rất
xấu (đặc điểm cụ thể của B xem trong lời giải)
theo hai chiều: ứng với mỗi véc tơ thuộc A có
duy nhất một véc tơ thuộc B và ngược lại.
Giải :
Mã hóa người có tờ 1 USD bởi số 1, người có
tờ 2 USD bởi số 2. Mỗi cách xếp hàng bất kỳ
tương ứng với một véc tơ có (m+n) thành
phần trong đó n thành phần bằng 1, m thành
phần bằng 2. Thành phần thứ i tương ứng với
người xếp hàng ở vị trí thứ i. Số véc tơ như
thế là
m
n mC .
Một véc tơ gọi là tốt nếu tương ứng với cách
xếp hàng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Các véc
tơ còn lại gọi là các véc tơ xấu. Chúng ta đếm
xem có bao nhiêu véc tơ xấu bằng cách xây
dựng một song ánh từ tập A các véc tơ xấu
đến tập B các véc tơ có ( 1)m n thành
phần . Mỗi véc tơ của B có hai tính chất :
i, Có m thành phần 2, (n+1) thành phần 1
ii, Thành phần 2 đứng vị trí đầu tiên.
Ta có:
1m
m nB C
.
Cách xây dựng song ánh như sau:
- Giả sử v là một véc tơ xấu, tức là từ thành
phần đầu tiên đến hết thành phần thứ (i-1) thì
tương ứng với việc mua vé diễn ra suôn sẻ.
Đến thành phần thứ i tương ứng với người thứ
i mua vé nhưng người bán vé không có tiền
trả lại. Vị trí i lúc này ta gọi là vị trí xấu. Như
vậy, từ thành phần 1 tới hết (i-1) có số lượng
thành phần 1 bằng số lượng thành phần 2.
Xây dựng một véc tơ 'v bằng cách thực hiện
hai bước:
- Bước 1: Thêm thành phần 1 vào trước
thành phần đầu tiên của v . Khi đó, vị trí
xấu là ( i +1).
- Bước 2: Từ vị trí đầu tiên của véc tơ ở bước
1 tới hết vị trí (i+1), thay các giá trị 1 bởi 2 và
giá trị 2 bởi 1. Các thành phần từ vị trí (i+2)
trở đi giữ nguyên giá trị cũ.
Sau hai bước trên ta thu được véc tơ 'v thuộc
tập B.
- Xét véc tơ bất kỳ 'u bất kỳ thuộc B, gọi j là
số tự nhiên bé nhất thỏa mãn từ vị trí 1 đến
hết vị trí j thỏa mãn số thành phần 1 bằng số
Nguyễn Thị Ngọc Ánh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 127 - 131
131
thành phần 2. Thao tác ngược lại ở trên, từ vị
trí 1 tới hết vị trí j ta thay 2 bởi 1 và 1 bởi 2.
Các vị trí còn lại giữ nguyên như cũ. Bỏ đi số
1 ở thành phần đầu tiên ta được một véc tơ
xấu thuộc A.
Vậy có một song ánh từ A đến B nên số véc
tơ tốt bằng:
m
n mC -
1m
m nC
.
Đây cũng là kết quả cần tìm của bài toán.
Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm tại lớp
chuyên Toán 10 khóa 25, trường trung học
phổ thông Chuyên, tỉnh Thái Nguyên. Nội
dung thực nghiệm gồm 3 tiết. Tiết 1: Hướng
dẫn học sinh phân biệt được 4 khái niệm: AX,
ĐA, TA, SA, lấy được các ví dụ và phản ví
dụ minh họa. Tiết 2: PPSA. Tiết 3: Vận dụng
PPSA vào giải một số bài toán đếm trong các
đề thi học sinh giỏi. Cảm nhận chung của
chúng tôi là các em rất hào hứng tham gia các
hoạt động theo hướng dẫn của giáo viên. 84
% các em được hỏi ý kiến đều cảm thấy thích
thú khi sử dụng PPSA vào giải bài tập. Các
em bắt đầu tự đọc được một số bài viết về
phương pháp này ở mức độ khó hơn.
KẾT LUẬN
Bài báo đề xuất một phương án dạy cho HS
khá giỏi THPT phân biệt được bốn khái niệm:
AX, ĐA, TA, SA, nêu được nội dung của
PPSA và hướng dẫn các em vận dụng PPSA
vào giải toán. Thông qua phương pháp giảng
dạy đã nêu, chúng tôi mong muốn tạo hứng
thú cho học sinh khi học chủ đề này. Thực
nghiệm bước đầu cho thấy những đề xuất nêu
trên là có tính khả thi. Chúng tôi sẽ tiếp tục
nghiên cứu để có thể dạy tốt hơn phương
pháp này cho đối tượng học sinh khá giỏi
THPT.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phan Huy Khải (2002), Các phương pháp giải
toán sơ cấp 12, Nxb Hà Nội.
2. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào
thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ thông,
Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
3. Phạm Minh Phương (2010), Một số chuyên đề
toán tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ
thông, Nxb Giáo dục Việt Nam.
4. Nguyễn Văn Thông (2012), Bồi dưỡng học sinh
giỏi toán Tổ hợp – Rời rạc, Nxb Đại học Quốc gia
Hà Nội, Hà Nội.
5. Chen Chuan-Chong, Koh Khee-Meng (1992),
Principles and techniques in combinatorics,
World Scientific.
6. V.K. Balakrishnan, Ph.D (1995), Theory and
problems of combinatorics, McGraw-Hill, INC,
Singapore.
7. Titu Andreescu, Zuming Feng (2004), A Path to
Combinatoricts for Undergraduates ( Counting
Strategies), Birkhauser Boston, United states of
America.
SUMMARY
INSTRUCTING GOOD AND EXCELLENT STUDENTS
OF HIGH SCHOOLS IN APPLYING THE BIJECTIVE METHOD
TO SOLVE SOME COUNTING PROBLEMS
Nguyen Thi Ngoc Anh*
Thai Nguyen Specialized High School
The Bijective method (BM) is an interesting method to solve some counting problems. However,
in Vietnam there are few articles mentioned on this method and there is not any author mentioning
how to teach this method for good and excellent students of high schools (HS). So, we would like
to share teaching experience of concepts on mapping, injective, surjective and bijective functions.
Simultaneously, we analyze some examples on applying the bijective method to solve some
counting problems in order to help students understanding more about this method.
Keywords:
* Email: anhtoan416@gmail.com
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- brief_48370_52286_69201521422120_3579_2046494.pdf