Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phương trình khi đó (-x, -y, -z) cũng là một nghiệm của hệ phương trình, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết: có ít nhất hai trong ba số x, y, z không âm. Ví dụ x>=0, y>=0. Từ phương trình thứ nhất ta suy ra z>=0.
18 trang |
Chia sẻ: aloso | Lượt xem: 2443 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hệ phương trình, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1
Hệ ph−ơng trình
I. Hệ ph−ơng trình dạng hoán vị vòng quanh.
" Bài 1. ( Đề thi HSG quốc gia năm 1994 )
Giải hệ ph−ơng trình :
( )
( )
( )
3 2
3 2
3 2
3 3 ln 1
3 3 ln 1
3 3 ln 1
x x x x y
y y y y z
z z z z x
⎧ + − + − + =⎪⎪ + − + − + =⎨⎪ + − + − + =⎪⎩
Giải :
Xét hàm số : ( ) ( )3 2f 3 3 ln 1t t t t t= + − + − +
Ta có : ( ) 22 22 1 f' 3 1 0, R1
t
t t x
t t
−= + + > ∀ ∈− +
Vậy hàm số ( ) f t đồng biến trên R. Ta viết lại hệ ph−ơng trình nh− sau :
( )
( )
( )
f
f
f
x y
y z
z x
⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩
Không mất tính tổng quát, giả sử : { }min , ,x x y z= . Lúc đó :
( ) ( ) ( ) ( ) f f f fx y x y y z y z z x≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ . Hay : x y z x≤ ≤ ≤ x y z⇒ = =
Với : x y z= = , xét ph−ơng trình : ( )3 22 3 ln 1 0x x x x+ − + − + =
Do hàm số : ( ) ( )3 22 3 ln 1x x x x xϕ = + − + − + đồng biến trên R nên pt có nghiệm duy nhất : 1x = .
Vậy hệ ph−ơng trình có nghiệm duy nhất : 1x y z= = = .
" Bài toán tổng quát 1 . Xét hệ ph−ơng trình có dạng :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 3
1
1
f g
f g
....
f g
f g
n n
n
x x
x x
x x
x x
−
⎧ =⎪ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ =⎪⎩
Nếu hai hàm số f và g cùng tăng trên tập A và ( )1 2, ..., nx x x là nghiệm của hệ ph−ơng trình , trong
đó , 1,2,...,ix A i n∈ ∀ = thì 1 2 ... nx x x= = = .
Chứng minh :
Không mất tính tổng quát giả sử : { }1 1 2min , ..., nx x x x= .
Lúc đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 3 2 3 1 f f g g ... nx x x x x x x x x x≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ .
Vậy : 1 2 1.... nx x x x≤ ≤ ≤ ≤
Từ đó suy ra : 1 2 ... nx x x= = = .
Tháng 08 – 2007...Phạm Kim Chung
2
" Bài 2.
Giải hệ ph−ơng trình :
3 2
3 2
3 2
2
2
2
1
4
1
4
1
4
x x
y y
z z
y
z
x
+
+
+
⎧⎛ ⎞⎪ =⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪⎪⎛ ⎞ =⎨⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪⎛ ⎞⎪ =⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎩
Giải:
Vì vế trái của các ph−ơng trình trong hệ đều d−ơng nên hệ chỉ có nghiệm : , , 0x y z > .
Xét hàm số : ( )
3 22
1
f
4
t t
t
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ , ta có : ( ) ( )( )
3 22
2 1f' 2 ln 4 3 . 0, 0
4
t t
t t t t
+⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟⎝ ⎠ .
Vậy hàm số ( ) f t nghịch biến trên khoảng ( )0; +∞ .
Không mất tính tổng quát, giả sử : { }min , ,x x y z= . Lúc đó :
( ) ( ) ( ) ( ) f f f f zx y x y y z y z x≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ( ) ( ) f f zx z x y x⇒ = ⇒ = ⇒ = .
Vậy hệ ph−ơng trình có nghiệm duy nhất :
1
2
x y z= = = .
" Bài toán tổng quát 2 . Xét hệ ph−ơng trình có dạng (với n lẻ ):
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 3
1
1
f g
f g
....
f g
f g
n n
n
x x
x x
x x
x x
−
⎧ =⎪ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ =⎪⎩
Nếu hàm số f giảm trên tập A , g tăng trên A và ( )1 2, ..., nx x x là nghiệm của hệ ph−ơng trình , trong
đó , 1,2,...,ix A i n∈ ∀ = thì 1 2 ... nx x x= = = với n lẻ .
Chứng minh :
Không mất tính tổng quát giả sử : { }1 1 2min , ..., nx x x x= .
Lúc đó ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 3 2 3 1 1 1 2 f f g g ... f fn nx x x x x x x x x x x x x x≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ .
⇒ 1 2x x=
Từ đó suy ra : 1 2 ... nx x x= = = .
" Bài 3.
Giải hệ ph−ơng trình :
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
x y
y z
z t
t x
⎧ − =⎪⎪ − =⎪⎨ − =⎪⎪ − =⎪⎩
3
Giải :
Vì vế trái của các ph−ơng trình trong hệ không âm nên ph−ơng chỉ có nghiệm : , , , 0x y z t ≥ .
Xét hàm số : ( ) ( )2 f 1s s= − , ta có : ( ) ( )f' 2 1s s= − . Do đó hàm số tăng trên khoảng ( )1; +∞ và giảm
trên [ ]0; 1 ( Do f(s) liên tục trên R ).
Không mất tính tổng quát, giả sử : { }min , , ,x x y z t= .
+ Nếu ( ) ( )1; , , , 1;x x y z t∈ +∞ ⇒ ∈ +∞ , do đó theo bài toán tổng quát 1, hệ có nghiệm
duy nhất : 2 3x y z t= = = = + .
+ Nếu [ ]0; 1x∈ ( )0 f 1 0 2 1x y⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ , hay [ ]0;1y∈ , t−ơng tự [ ], 0; 1z t⇒ ∈ .
Vậy [ ], , , 0; 1x y z t∈ . Do đó ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) f f f f zx y x y y z y z x≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ x z⇒ = .
Với x z= ( ) ( ) f f zx y t⇒ = ⇒ = .
Lúc đó hệ ph−ơng trình trở thành :
( )
( )
( )22
2
1 2
1 2
1 2
x y
x y
x y
y x
x y
⎧ − =⎧ − = ⎪⎪ ⇔⎨ ⎨ =⎡− =⎪ ⎪ ⎢⎩ = −⎣⎩
2 3x y⇔ = = −
Vậy hệ ph−ơng trình đã cho có 2 nghiệm : 2 3x y z t= = = = + và 2 3x y= = − .
" Bài toán tổng quát 3 . Xét hệ ph−ơng trình có dạng (với n chẵn ):
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 3
1
1
f g
f g
....
f g
f g
n n
n
x x
x x
x x
x x
−
⎧ =⎪ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ =⎪⎩
Nếu hàm số f giảm trên tập A , g tăng trên A và ( )1 2, ..., nx x x là nghiệm của hệ ph−ơng trình , trong
đó , 1,2,...,ix A i n∈ ∀ = thì 1 3 1
2 4
...
...
n
n
x x x
x x x
−= = =⎡⎢ = = =⎣
với n chẵn .
Chứng minh :
Không mất tính tổng quát giả sử : { }1 1 2min , ..., nx x x x= .
Lúc đó ta có :.
( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 3 2 4
2 4
f f g gx x x x x x
x x
≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥
⇒ ≥
( ) ( ) ( ) ( )2 4 3 5
3 5
f f g g
.........
x x x x
x x
⇒ ≤ ⇒ ≤
⇒ ≤
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1
1 1
f f g g
.........
n n n
n
x x x x
x x
− −
−
⇒ ≤ ⇒ ≤
⇒ ≤
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 f f g gn n nx x x x x x−⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
Vậy : 1 3 1 1 1 3 1.... ...n nx x x x x x x− −≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ = = = ; 2 4 2 2 4.... ...n nx x x x x x x≥ ≥ ≥ ≥ ⇒ = = =
4
Phần bμi tập ứng dụng ph−ơng pháp
) 1. Giải hệ ph−ơng trình :
3 2
3 2
3 2
2 7 8 2
2 7 8 2
2 7 8 2
x x x y
y y y z
z z z x
⎧ − + − =⎪ − + − =⎨⎪ − + − =⎩
) 2. Chứng minh với mỗi a R∈ , hệ ph−ơng trình :
2 3
2 3
2 3
x y y a
y z z a
z x x a
⎧ = + +⎪ = + +⎨⎪ = + +⎩
có một nghiệm duy nhất .
) 3. Cho hệ ph−ơng trình :
2
2
2
x y a
y z a
z x a
⎧ = +⎪ = +⎨⎪ = +⎩
Tìm a để hệ ph−ơng trình chỉ có nghiệm với dạng x y z= = .
) 4. Giải hệ ph−ơng trình :
3
1 1 2
3
2 2 3
3
99 99 100
3
100 100 1
3 2 2
3 2 2
.........
3 2 2
3 2 2
x x x
x x x
x x x
x x x
⎧ − + =⎪ − + =⎪⎪⎨⎪ − + =⎪⎪ − + =⎩
) 5. Cho n là số nguyên lớn hơn 1. Tìm a để hệ ph−ơng trình :
2 3
1 2 2 2
2 3
2 3 3 3
2 3
1
2 3
1 1 1
4
4
.........
4
4
n n n n
n
x x x ax
x x x ax
x x x ax
x x x ax
−
⎧ = − +⎪ = − +⎪⎪⎨⎪ = − +⎪⎪ = − +⎩
có một nghiệm duy nhất .
) 6. Cho n là số nguyên lớn hơn 1 và 0a ≠ . Chứng minh hệ ph−ơng trình :
2 3
1 2 2 2
2 3
2 3 3 3
2 3
1
2 3
1 1 1
4
4
.........
4
4
n n n n
n
x x x ax
x x x ax
x x x ax
x x x ax
−
⎧ = − +⎪ = − +⎪⎪⎨⎪ = − +⎪⎪ = − +⎩
có nghiệm duy nhất .
) 7. Chứng minh với mỗi a R∈ , hệ ph−ơng trình :
2 3 2
2 3 2
2 3 2
x y y y a
y z z z a
z x x x a
⎧ = + + +⎪ = + + +⎨⎪ = + + +⎩
có một nghiệm duy nhất .
5
Ii. Hệ ph−ơng trình giải đ−ợc bằng ph−ơng pháp l−ợng giác hoá.
" 1. Giải hệ ph−ơng trình : ( )( )
2 21 1 1 (1)
1 1 2 (2)
x y y x
x y
⎧ − + − =⎪⎨ − + =⎪⎩
Giải. ĐK :
2
2
11 0
11 0
xx
yy
⎧ ≤⎧ − ≥ ⎪⇔⎨ ⎨ ≤− ≥ ⎪⎩ ⎩
Đặt cos ; y=cosx α β= với [ ], 0;α β π∈ , khi đó hệ ph−ơng trình :
( )( )
cos .sin cos .sin =1
2
1 cos 1 cos 2
sin cos sin .cos 1 0
πα β β α α β
α β α α α α
⎧+⎧ + =⎪⇔ ⇔⎨ ⎨− + =⎩ ⎪ − − − =⎩
Đặt
21
sin cos , t 2 sin .cos
2
t
t α α α α −= − ≤ ⇒ =
Khi đó ta có :
2
21 1 0 2 3 1
2
t
t t t t
−− − = ⇔ + − ⇒ =
Với 1t = , ta có : 02sin 1 0
4 2 1
x
y
π πα α β =⎧⎛ ⎞− = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⎨⎜ ⎟ =⎝ ⎠ ⎩
Nếu : ( )0x a a≤ > , ta đặt cosx a α= , với [ ]0;α π∈
" 2. Giải hệ ph−ơng trình : ( )( ) ( )( )2 2
2 1 4 3 1
1 2
x y xy
x y
⎧ − + =⎪⎨ + =⎪⎩
Giải . Do [ ]2 2 1 , 1; 1x y x y+ = ⇒ ∈ − . Đặt sin , y cosx α α= = với [ ]0; 2α π∈ .
Khi đó (1) ( )( )2 sin cos 1 2sin2 3α α α⇔ − + =
1
2. 2sin .2. sin2 3
4 2
πα α⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4sin sin2 sin 34 6
π πα α⎛ ⎞⎛ ⎞⇔ − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
8sin sin cos 3
4 12 12
π π πα α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4cos cos cos 2 312 3 6
π π πα α⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2cos 4cos cos 2 3
12 12 6
π π πα α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2cos 2 cos 3 cos 3
12 4 12
π π πα α α⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − − − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2cos 3 34
πα⎛ ⎞⇔ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )0 00 035 1203cos 3 4 2 65 120
k
k R
k
απα α
⎡ = − +⎛ ⎞− = − ⇔ ∈⎢⎜ ⎟ = +⎝ ⎠ ⎣
Từ đó suy ra hệ có 6 nghiệm ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, { sin65 , cos65 , sin35 , cos35 , sin85 , cos85x y = − ,
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0sin5 , cos5 , -sin25 , cos25 , sin305 , cos305 }− − −
6
Nếu : ( )2 2 0x y a a+ = > , ta đặt sin , cosx a y aα α= = , với [ ]0; 2α π∈
" 3. Giải hệ ph−ơng trình :
2
2
2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x
⎧ + =⎪ + =⎨⎪ + =⎩
Giải : Từ các ph−ơng trình của hệ , suy ra : , , 1x y z ≠ ± . Do đó ta có :
2
2
2
2
(1)
1
2
(2)
1
2
(3)
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z
⎧ =⎪ −⎪⎪ =⎨ −⎪⎪ =⎪ −⎩
Đặt Đặt tgx α= với ;
2 2
π πα ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠ (4) và sao cho tg , tg2 , tg4 1α α α ≠ ± (5).
T−ơng tự bài 2. Hệ ph−ơng trình có 7 nghiệm
2 4
, , , 0, 1,..., 3
7 7 7
k k k
x tg y tg z tg k
π π π⎛ ⎞= = = = ± ±⎜ ⎟⎝ ⎠
Với mọi số thực x có một số α với ;
2 2
π πα ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠ sao cho tgx α=
" 4. Giải hệ ph−ơng trình :
2 3
2 3
2 3
3 3 0
3 3 0
3 3 0
x z x z z
y x y x x
z y z y y
⎧ − − + =⎪ − − + =⎨⎪ − − + =⎩
Giải . Viết lại hệ ph−ơng trình d−ới dạng :
( )
( )
( )
2 3
2 3
2 3
1 3 3
1 3 3
1 3 3
x z z z
y x x x
z y y y
⎧ − = −⎪⎪ − = −⎨⎪ − = −⎪⎩
(I)
Từ đó, dễ thấy nếu ( ), ,x y z là nghiệm của hệ đã cho thì phải có x, y, z 1
3
≠ ± . Bởi thế :
(I) ⇔
3
2
3
2
3
2
3
(1)
1 3
3
(2)
1 3
3
(3)
1 3
z z
x
z
x x
y
x
y y
z
y
⎧ −=⎪ −⎪⎪ −=⎨ −⎪⎪ −=⎪ −⎩
(II)
Đặt tgx α= với ;
2 2
π πα ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠ (4) và sao cho
1
tg , tg3 , tg9
3
α α α ≠ ± (5).
Khi đó từ (2), (3), (1) sẽ có : tg3 , tg9y zα α= = và tg27x α=
7
Từ đây dễ dàng suy ra ( ), ,x y z là nghiệm của (II) khi và chỉ khi tg3 , tg9y zα α= = , tgx α= , với
α đ−ợc xác định bởi (4), (5) và tg tg27α α= (6).
Lại có : ( ) ( )6 26 k k Zα π⇔ = ∈
Vì thế α thoả mãn đồng thời (4) và (6) khi và chỉ khi
26
kπα = với k nguyên thoả mãn :
12 12k− ≤ ≤ . Dễ dàng kiểm tra đ−ợc rằng, tất cả các giá trị α đ−ợc xác định nh− vừa nêu đều thoả
mãn (5).
Vậy tóm lại hệ ph−ơng trình đã cho có tất cả 25 nghiệm, đó là :
3 9
, , , 0, 1,... 12
26 26 26
k k k
x tg y tg z tg k
π π π⎛ ⎞= = = = ± ±⎜ ⎟⎝ ⎠
" 5. Giải hệ ph−ơng trình :
1 1 1
3 4 5
1
x y z
x y z
xy yz zx
⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎝ ⎠⎪ + + =⎩
Giải. Nhận xét : 0; , ,xyz x y z≠ cùng dấu . Nếu ( ), ,x y z là một nghiệm của hệ thì
( ), ,x y z− − − cũng là nghiệm của hệ, nên chúng ta sẽ tìm nghiệm , ,x y z d−ơng .
Đặt ( )0tg ; tg ; tg 0 , , 90x y zα β γ α β λ= = = < < .
Hệ
( )
( )
1 1 1
3 tg 4 tg 5 tg 1
tg tg tg
tg tg tg tg tg tg 1 2
α β γα β γ
α β β γ γ α
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ + + =⎩
(1)
2 2 21 tg 1 tg 1 tg
3 4 5
tg tg tg
α β γ
α β γ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⇔ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 4 5
sin2 sin2 sin2α β γ⇔ = =
Từ (2) suy ra : ( )tg tg tg 1 tg tgγ α β β α+ = − ( ) ( )tg tgtg tg
1 tg tg
co
α βγ α ββ α
+⇒ = = +−
( )tg tg
2 2
π πγ α β α β γ⎛ ⎞⇒ − = + ⇔ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠ .
Do
⎧ = =⎪⎪⎨⎪ < < + + =⎪⎩
3 4 5
sin2 sin2 sin2
0 , , ;
2 2
α β γ
π πα β γ α β γ
nên 2 ,2 ,2α β γ là các góc của một tam giác có số đo 3 cạnh 3,4,5.
Do tam giác có 3 cạnh 3,4,5 là tam giác vuông nên 0 02 90 45 z tg 1γ = ⇒ γ = ⇒ = γ =
2 2
2tg 3 2x 3 1
tg2 x
1 tg 4 1 x 4 3
αα = = ⇔ = ⇒ =− α −
2 2
2tg 4 2y 4 1
tg2 y
1 tg 3 1 y 3 2
ββ = = ⇔ = ⇒ =− β −
8
Tuyển tập các bμi toán hay
II . Hệ ph−ơng trình 2 ẩn.
" 1. Giải hệ ph−ơng trình :
4 2
2 2
698
(1)
81
3 4 4 0 (2)
x y
x y xy x y
⎧ + =⎪⎨⎪ + + − − + =⎩
Giải : Giả sử hệ ph−ơng trình có nghiệm . Ta thấy (2) t−ơng đ−ơng với :
( ) ( )22 3 2 0x y x y+ − + − =
Để ph−ơng trình này có nghiệm đối với x ta phải có :
( ) ( )2 2 73 4 2 0 1
3
y y yΔ = − − − ≥ ⇔ ≤ ≤ (3)
Mặt khác ph−ơng trình (2) cũng t−ơng đ−ơng với : ( )2 24 3 4 0y x y x x+ − + − + =
Để ph−ơng trình này có nghiệm đối với y ta phải có :
( ) ( )2 2 44 4 3 4 0 0
3
x x x xΔ = − − − + ≥ ⇔ ≤ ≤ (4)
Từ (3) và (4) ta có : 4 2
256 49 697 698
81 9 81 81
x y+ ≤ + = < , không thoả mãn (1).
Vậy hệ ph−ơng trình đã cho vô nghiệm .
) 2. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A )
Giải hệ ph−ơng trình :
1
3 1 2
1
7 1 4 2
x
x y
y
x y
⎧ ⎛ ⎞+ =⎪ ⎜ ⎟+⎪ ⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩
" 3. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996.Bảng A )
Hãy biện luận số nghiệm thực của hệ ph−ơng trình với ẩn x, y :
3 4 2
2 2 3 22
x y y a
x y xy y b
⎧ − =⎨ + + =⎩
Giải . Điều kiện có nghĩa của hệ : x, y R∈ .
Viết lại hệ d−ới dạng :
( ) ( )
( ) ( )
3 3 2
2 2
1
2
y x y a
y x y b
⎧ − =⎪⎨ + =⎪⎩
Xét các tr−ờng hợp sau :
è Tr−ờng hợp 1 : 0b = . Khi đó :
( ) 02 y
y x
=⎧⇔ ⎨ = −⎩ và do vậy : Hệ đã cho
⎡⇔ ⎢⎣
( ) ( )
( ) ( )
3 3 2
3 3 2
0y
I
y x y a
y x
II
y x y a
=⎧⎪⎨ − =⎪⎩
= −⎧⎪⎨ − =⎪⎩
9
Có (II)
4 22
y x
x a
= −⎧⇔ ⎨− =⎩
Từ đó : + Nếu 0a ≠ thì (I) và (II) cùng vô nghiệm, dẫn đến hệ vô nghiệm .
+ Nếu 0a = thì (I) có vô số nghiệm dạng ( ), 0x R y∈ = , còn (II) có duy nhất nghiệm
( )0, 0x y= = . Vì thế hệ đã cho có vô số nghiệm .
è Tr−ờng hợp 2 : 0b ≠ . Khi đó, từ (1) và (2) dễ thấy , nếu ( ),x y là nghiệm của hệ đã cho thì
phải có x, y >0 . Vì thế ( ) ( )2 3bx y
y
⇔ = − .
Thế (3) vào (1) ta đ−ợc :
3
3 2by y y a
y
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Đặt 0y t= > . Từ (4) ta có ph−ơng trình sau :
( ) ( )3 32 2 6 2 9 3 2 0 5bt t t a t b t a t
t
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥− − = ⇔ − − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Xét hàm số : ( ) ( )39 3 2 f t t b t a t= − − + xác định trên [ )0;+∞ có :
( ) ( ) [ )28 3 2 2 f' 9 9 0, 0;t t b t t a t= + − + ≥ ∀ ∈ +∞ .
Suy ra hàm số ( )f t đồng biến trên [ )0; +∞ , và vì thế ph−ơng trình (5) có tối đa 1 nghiệm trong
[ )0; +∞ . Mà ( ) 3 f 0 0b= − , nên ph−ơng trình (5) có duy nhất
nghiệm, kí hiệu là 0t trong ( )0; +∞ . Suy ra hệ có duy nhất nghiệm 2 20 0
0
,
b
x t y t
t
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Vậy tóm lại : + Nếu 0a b= = thì hệ đã cho có vô số nghiệm .
` + Nếu a tuỳ ý , 0b ≠ thì hệ đã cho có duy nhất nghiệm .
+ Nếu 0, 0a b≠ = thì hệ đã cho vô nghiệm .
" 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ ph−ơng trình :
2 2
2 2
2 1x xy y
x xy y m
⎧ + − =⎨ + + =⎩
(1) có nghiệm .
Giải . + Với 0y = hệ trở thành
2
2
2 1x
x m
⎧ =⎨ =⎩
. Hệ có nghiệm khi
1
2
m =
+ Với 0y ≠ , đặt x t
y
= , hệ trở thành
2
2
2
2
1
2 1
1
t t
y
m
t t
y
⎧ + − =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩
⇔ ( )
2
2
2 2
1
2 1
(2)
1 2 1
t t
y
t t m t t
⎧ + − =⎪⎨⎪ + + = + −⎩
Vậy hệ PT (1) có nghiệm ( ),x y khi và chỉ khi hệ PT (2) có nghiệm ( ),t y .
10
Xét hệ (2), từ 2
2
1
2 1t t
y
+ − = suy ra 2
1
2 1 0 1
2
t
t t
t
⇔ ⎢ >⎢⎣
. Do đó hệ (2) có nghiệm ( ),t y
2
2
1
2 1
t t
m
t t
+ +⇔ = + − có nghiệm ( )
1
, 1 ,
2
t ⎛ ⎞∈ −∞ − ∪ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠ . Xét hàm số ( )
2
2
1
f
2 1
t t
t
t t
+ += + − trên khoảng
( ) 1, 1 ,
2
⎛ ⎞−∞ − ∪ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠ . Ta có : ( ) ( )
2
22
6 2
f'
2 1
t t
t
t t
+ += −
+ −
, ( ) 3 7 f' 0
3 7
t
t
t
⎡ = − −= ⇔ ⎢ = − +⎢⎣
Lập bảng biến thiên :
t
−∞ 3 7− − 3 7− − −∞
f’(t) - 0 + + 0 -
f(t)
1
2
+∞
14 5 7
28 11 7
+
+
−∞ −∞
+∞
1
2
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để hệ có nghiệm :
14 5 7
28 11 7
m
+≥ + .
" 5. Giải hệ ph−ơng trình : ( ) ( )( ) ( )
3
3
2 3 1 1
2 3 2
x y
x y
⎧ + =⎪⎨ − =⎪⎩
Giải . Rõ ràng nếu 3 2y = hệ vô nghiệm.
Với 3 2y ≠ , từ (2) suy ra
3
3
2
x
y
= − , thay vào (1) ta có :
( )
( )33
27 2 3
1
2
y
y
+ =
−
(3) . Xét hàm số : ( ) ( )( )33
27 2 3
f 1
2
y
y
y
+= −
−
, ta có : ( ) ( )( )
3 2
33
81 8 6 2
f'
2
y y
y
y
+ += −
−
Suy ra : ( ) f' 0 1y y= ⇔ = −
Ta có bảng biến thiên :
y
−∞ -1
+∞
f’(y) + 0 - -
f (y)
0
−∞ −∞
+∞
−∞
-1 1
2
3 2
11
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra pt(3) không có nghiệm trên các khoảng ( ); 1−∞ − và ( )31; 2− .
Ph−ơng trình có 1 nghiệm 1y = − và 1 nghiệm trong khoảng ( )3 2, +∞
Dễ thấy 2y = là 1 nghiệm thuộc khoảng ( )3 2, +∞ .
Vậy hệ ph−ơng trình đã cho có 2 nghiệm : ( )1; 1− − và 1 ; 2
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ .
) 6. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2004 –Bảng B )
Giải hệ ph−ơng trình sau :
3 2
2 2
3 49
8 8 17
x xy
x xy y y x
⎧ + = −⎨ − + = −⎩
" 7. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1998-1999 –Bảng A )
Giải hệ ph−ơng trình :
( )
( )
2 1 2 2 1
3 2
1 4 .5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
− − + − +⎧ + = +⎪⎨ + + + + =⎪⎩
Giải . ĐK: 2 2 0y x+ >
Đặt 2t x y= − thì ph−ơng trình thứ nhất của hệ trở thành :
( ) 11 1 1 4 1 21 4 .5 1 2
5 5
t t
t t t
t
+
− + + ++ = + ⇔ = (1)
Vế trái là hàm nghịch biến, vế phải là hàm đồng biến trên nên t=1 là nghiệm
duy nhất của (1).
Vậy
1
2 1
2
y
x y x
+− = ⇒ = thế vào ph−ơng trình thứ hai của hệ ta đ−ợc :
( ) ( )3 22 3 ln 1 0 2y y y y+ + + + + =
Vế trái là hàm đồng biến do đó y =-1 là nghiệm duy nhất của (2).
Đáp số : 0, 1x y= = − .
" 8. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2000-2001 –Bảng B )
Giải hệ ph−ơng trình :
7 2 5
2 2
x y x y
x y x y
⎧ + + + =⎪⎨ + + − =⎪⎩
Giải : ĐK có nghĩa của hệ ph−ơng trình : { }min 7 ,2x x y≥ −
Đặt : 7x y a+ = và 2x y b+ = . Từ hệ ph−ơng trình đã cho ta có hệ :
( )
( )
5 1
2 2
a b
b x y
⎧ + =⎪⎨ + − =⎪⎩
Nhận thấy : 2 2 5a b x− = . Kết hợp với (1) suy ra : ( )5
2
x
b
−= , thế vào (2) ta đ−ợc :
( )5 2 2 1 3
2
x
x y x y
− + − = ⇔ = −
Thế (3) vào (2) ta có :
11 77
5 2 1 2
2
y y y
−− + − = ⇒ =
Thế vào (3) suy ra nghiệm của hệ là: 10 77,x = − 11 77
2
y
−= .
12
) 9. Cho hệ ph−ơng trình 2 ẩn x, y : ( )
( ) ( )
2 4 23 3
8 2 2 4 43 3 3 3
1
1 1 2
k x x x yx
k x x x k x y x
⎧ + + + =⎪⎨⎪ + + + + − =⎩
1. Xác định k để hệ ph−ơng trình có nghiệm .
2. Giải hệ ph−ơng trình với k = 16.
" 10. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996 –Bảng A )
Giải hệ ph−ơng trình :
1
3 . 1 2
1
7 . 1 4 2
x
x y
y
x y
⎧ ⎛ ⎞+ =⎪ ⎜ ⎟+⎪ ⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩
Giải . ĐK có nghĩa của hệ : 0, 0x y≥ ≥ và 2 2 0x y+ ≠ .
Dễ thấy , nếu ( ),x y là nghiệm của hệ đã cho thì phải có x >0, y>0 . Do đó :
Hệ đã cho
1 2
1
3
1 4 2
1
7
x y x
x y y
⎧⎛ ⎞+ =⎪⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪⇔ ⎨⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩
⇔
( )
( )
1 1 2 2
1
3 7
1 2 2
1 2
3 7
x y x y
x y
⎧ = −⎪ +⎪⎨⎪ = +⎪⎩
Nhân (1) với (2) theo vế ta đ−ợc :
( )( ) ( )( )1 1 8 21 7 3 6 7 4 0 6
3 7
xy x y y x y x y x y x
x y x y
= − ⇔ = + − ⇔ − + = ⇔ =+ ( vì x >0, y>0)
Thay vào (2) và giải ra ta đ−ợc :
11 4 7 22 8 7
,
21 7
x y
+ += = .Thử lại ta thấy thoả mãn yêu cầu bt.
Iii. Hệ ph−ơng trình 3 ẩn.
) 1. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ngãi 1995-1996)
Giải hệ ph−ơng trình :
3 2
3 2
3 2
6 12 8 0
6 12 8 0
6 12 8 0
y x x
z y y
x z z
⎧ − + − =⎪ − + − =⎨⎪ − + − =⎩
) 4. Giải hệ ph−ơng trình :
2 3
2 3
2 3
12 48 64
12 48 64
12 48 64
x x y
y y z
z z x
⎧ − + =⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩
" 5. Giải hệ ph−ơng trình :
19 5 2001
19 5 2001
19 5 2001
1890
1890
1890
x y z z
y z x x
z x y y
⎧ + = +⎪ + = +⎨⎪ + = +⎩
Giải . Chúng ta sẽ chứng minh hệ ph−ơng trình trên có nghiệm duy nhất 0x y z= = = .
13
Giả sử ( ), ,x y z là một nghiệm của hệ ph−ơng trình khi đó ( ), ,x y z− − − cũng là một nghiệm của
hệ ph−ơng trình , nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết : có ít nhất hai trong ba số , ,x y z
không âm. Ví dụ 0, 0x y≥ ≥ . Từ ph−ơng trình thứ nhất ta suy ra 0z ≥ .
Mặt khác nếu 0 1u ≥ +
Nếu 1u > thì 2000 2000 2000 1000 18 41890 1 2. 2.u u u u u u+ > + > = > +
Do đó 2001 19 51890u u u u+ > + với mọi u>0.
Bởi vậy nếu cộng từng vế của HPT ta suy ra 0x y z= = = .đpcm
) 6. Tìm điều kiện cần và đủ của m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm duy nhất :
( )
( )
( )
2 3 2
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
x m y y my
y m z z mz
z m x x mx
⎧ = + − +⎪ = + − +⎨⎪ = + − +⎩
" 7. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2004 –Bảng A )
Giải hệ ph−ơng trình sau :
( )
( )
( )
23
23
23
2
30
16
x x y z
y y z x
z z x y
⎧ + − =⎪⎪ + − =⎨⎪ + − =⎪⎩
" 8. Giải hệ ph−ơng trình :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3
2 3
1 2 1
1 2 1
1 2 1
x x y x
y y z y
z z x z
⎧ + = − +⎪⎪ + = − +⎨⎪ + = − +⎪⎩
Giải . Viết lại hệ đã cho d−ới dạng :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2 2 1 f
2 2 1 f
2 2 1 f
x x x y x g y
y y y z hay y g z
z z z x z g x
⎧ ⎧+ + = + =⎪ ⎪+ + = + =⎨ ⎨⎪ ⎪+ + = + =⎩⎩
Trong đó ( ) 3 2 f 2t t t t= + + và ( ) 3g 2 1t t= + . Nhận xét rằng g(t), f(t) là hàm đồng biến
trên R vì : ( ) 2 f' 3 2 2 0,t t t= + + > ( ) 2g 6 0,t t t= ≥ ∀ ∈R.
Suy ra hệ đã cho t−ơng đ−ơng với hệ : ( ) ( )4h 0
x y z
x
= =⎧⎨ =⎩
Trong đó ( ) 3 2 h 2 1t t t t= − − + . Nhận xét rằng ( ) h t liên tục trên R và : ( ) ( )h 2 0, h 0 0,−
( ) ( )h 1 0, h 2 0 nên ph−ơng trình ( )h 0t = có cả 3 nghiệm phân biệt đều nằm trong ( )2; 2−
Đặt ( )2cos , 0;x u u π= ∈ . Khi đó sin 0u ≠ và (4) có dạng :
( )
3 2
2cos , 0;
8cos 4cos 4cos 1 0
x y z u u
u u u
π⎧ = = = ∈⎨ − − + =⎩ hay
( )
( )3 2
2cos , 0;
sin 8cos 4cos 4cos 1 0
x y z u u
u u u u
π⎧ = = = ∈⎪⎨ − − + =⎪⎩
Hay
( )2cos , 0;
sin4 sin3
x y z u u
u u
π⎧ = = = ∈⎨ =⎩ (5).
14
Giải hệ ph−ơng trình (5) ta thu đ−ợc
3 5
; ;
7 7 7
u
π π π⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎩ ⎭ và
( )2cos , 0;
3 5
; ;
7 7 7
x y z u u
u
π
π π π
⎧ = = = ∈⎪⎨ ⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎪ ⎩ ⎭⎩
" 9. Tìm tất cả các bộ ba số d−ơng ( ), ,x y z thoả mãn hệ ph−ơng trình :
2004 6 6
2004 6 6
2004 6 6
2
2
2
x y z
y z x
z x y
⎧ = +⎪ = +⎨⎪ = +⎩
Giải :
Giả sử ( ), ,x y z là một bộ ba số d−ơng thoả mãn hệ PT đã cho . Không mất tính tổng quát ,
giả sử 0 x y z< ≤ ≤ . Nh− vậy :
2004 6 6 6 6
2004 6 6 6 6
2
2
x y z x x
z x y z z
⎧ = + ≥ +⎨ = + ≤ +⎩
2004 6
2004 6
1
1
1
xx x
x y z
zz z
≥⎧ ≥ ⎧⇒ ⇒ ⇒ = = =⎨ ⎨ ≤≤ ⎩⎩
Đảo lại, dễ thấy 1x y z= = = là một bộ ba số d−ơng thoả mãn yêu cầu bài toán .
) 10. Tìm điều kiện của m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm :
2 2 2
2 2
2 2
1
2
x y z xy yz zx
y z yz
x z xz m
⎧ + − + − − =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
) 11. Giải hệ ph−ơng trình :
5 4 2
5 4 2
5 4 2
2 2
2 2
2 2
x x x y
y y y z
z z z x
⎧ − + =⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩
) 12. Giải hệ ph−ơng trình :
( )
( )
( )
3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 3 3
3 3 3
3 3 3
x y y y
y z z z
z x x x
⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩
" 13. Tìm tất cả các số thực a sao cho hệ ph−ơng trình sau có nghiệm thực x, y, z :
1 1 1 1
1 1 1 1
x y z a
x y z a
⎧ − + − + − = −⎪⎨ + + + + + = +⎪⎩
Giải. ĐK: 1, 1, 1x y z≥ ≥ ≥
Hệ ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với hệ ph−ơng trình :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 2
x x y y z z a
x x y y z z
⎧ − + + + − + + + − + + =⎪⎨ + − − + + − − + + − − =⎪⎩
Đặt u = 1 1x x− + + ; 1 1v y y= − + + ; 1 1s z z= − + +
Do 1, 1, 1x y z≥ ≥ ≥ nên 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ . Ng−ợc lại nếu 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ , ta có :
2 2
1 1
1 1
x x
ux x
+ − − = =+ + −
2
2
1 2 1 4
1 1
2 4
x u x u
u u
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + = + ⇒ = + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
T−ơng tự đối với y, z .
15
Do đó bài toán của ta đ−a về bài toán t−ơng đ−ơng : Tìm tất cả các số thực a sao cho hệ
ph−ơng trình sau có nghiệm 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ :
( )
2
11 1 1
1
u v s a
u v s
+ + =⎧⎪⎨ + + =⎪⎩
+ Điều kiện cần : Giả sử hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm . Theo bất đẳng thức Bunhia ta có :
( ) 1 1 1 92 9
2
a u v s a
u v s
⎛ ⎞= + + + + ≥ ⇒ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
+ Điều kiện đủ : Giả sử
9
2
a ≥ . Chúng ta sẽ chứng minh hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm
Lấy 3s = ( thoả mãn 2s ≥ ) . Khi đó (1) t−ơng đ−ơng với : ( )
2 3
3 2 3
.
2
u v a
a
u v
+ = −⎧⎪⎨ −=⎪⎩
,u v⇔ là hai nghiệm của tam thức bậc hai : ( ) ( )2 3 2 32 2 3
2
a
t a t
−− − +
( )( )2 3 2 3 2 9
,
2
a a a
u v
− ± − −⇒ =
Chú ý : Đặt ( ) ( ) ( )2 22 9 0 6 2 2 3 6h a h h h h= − ≥ ⇒ + − > + > + . Tức là :
( ) ( )( )2 3 2 2 2 3 2 9a a a− − > − − 2, 2u v⇒ > > .
Nh− vậy hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ .
Tóm lại các số thực a cần tìm là tất cả các số thực
9
2
a ≥ .
" 14. Giải hệ ph−ơng trình :
1 1 1
20 11 2007
1
x y z
x y z
xy yz zx
⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎝ ⎠⎪ + + =⎩
" 15. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 –Bảng A )
Giải hệ ph−ơng trình :
( )
( )
( )
2
3
2
3
2
3
2 6.log 6
2 6.log 6
2 6.log 6
x x y x
y y z y
z z x z
⎧ − + − =⎪⎪ − + − =⎨⎪ − + − =⎪⎩
Giải . ĐK xác định , , 6x y z < . Hệ đã cho t−ơng đ−ơng với :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 2
3 2
log 6 1
2 6
log 6 2
2 6
log 6 3
2 6
x
y
x x
y
z
y y
z
x
z z
⎧ − =⎪⎪ − +⎪⎪ − =⎨ − +⎪⎪⎪ − =⎪ − +⎩
16
Nhận thấy ( ) f x =
2 2 6
x
x x− + là hàm tăng, còn ( ) ( )3g log 6x x= − là hàm giảm với x<6.
Nếu ( ), ,x y z là một nghiệm của hệ ph−ơng trình ta chứng minh x=y=z.Không mất tính
tổng quát giả sử { }max , ,x x y z= thì có hai tr−ờng hợp :
1) x y z≥ ≥ . Do ( )g x là hàm giảm, suy ra : ( ) ( ) ( )3 3 3log 6 log 6 log 6y z x− ≥ − ≥ −
x z y⇒ ≥ ≥ . Do y z≥ nên z y= . Từ (1) và (2) suy ra : x=y=z.
2) x z y≥ ≥ .
T−ơng tự ( ) ( ) ( )3 3 3log 6 log 6 log 6y x z− ≥ − ≥ −
z x y⇒ ≥ ≥ . Do x z≥ nên z x= . Từ (1) và (3) suy ra : x=y=z.
Ph−ơng trình ( ) ( ) f gx x= có nghiệm duy nhất x=3.
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất : x=y=z=3.
" 16. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 –Bảng B )
Giải hệ ph−ơng trình :
3 2
3 2
3 2
3 2 5
3 2 5
3 2 5
x x x y
y y y z
z z z x
⎧ + + − =⎪ + + − =⎨⎪ + + − =⎩
Giải . Giả sử { }max , ,x x y z= . Xét hai tr−ờng hợp :
1) x y z≥ ≥
Từ hệ trên ta có :
3 2
3 2
3 2 5
3 2 5
x x x x
z z z z
⎧ + + − ≤⎨ + + − ≥⎩
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 2 1 0 1
11 2 1 0
x x x
zz z
⎧ ⎡ ⎤− + + ≤ ≤⎧⎪ ⎣ ⎦⇒ ⇒⎨ ⎨ ≤⎡ ⎤ ⎩⎪ − + + ≥⎣ ⎦⎩
2) x z y≥ ≥
Từ hệ trên ta có :
3 2
3 2
3 2 5
3 2 5
x x x x
y y y y
⎧ + + − ≤⎨ + + − ≥⎩
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 2 1 0 1
11 2 1 0
x x x
yy y
⎧ ⎡ ⎤− + + ≤ ≤⎧⎪ ⎣ ⎦⇒ ⇒⎨ ⎨ ≤⎡ ⎤ ⎩⎪ − + + ≥⎣ ⎦⎩
Cả hai tr−ờng hợp đều cho 1x z y= = = . Thử lại ta thấy 1x z y= = = là nghiệm của hệ ph−ơng trình .
Tóm lại hệ đã cho có nghiệm duy nhất : 1x z y= = = .
) 17. Giải hệ ph−ơng trình :
⎧ + + − − − =⎪⎪⎪⎪ + + + + + =⎨⎪⎪ + + − − − =⎪⎪⎩
1 1 1 8
3
1 1 1 118
9
1 1 1 728
27
x y z
x y z
x y z
x y z
x x y y z z
x x y y z z
17
" 18 . Giải hệ ph−ơng trình :
( )2 2
2
2 2
2
3 8 8 8 2 4 2
x y y x z
x x y yz
x y xy yz x z
⎧ + = − +⎪ + + = −⎨⎪ + + + = + +⎩
Giải . Hệ đã cho t−ơng đ−ơng với :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
0
1 2 1 0
4 4 1 2 1
x x y y y z
x x y z
x y y z x z
⎧ + + + =⎪⎪ + + + =⎨⎪ + + + = + + +⎪⎩
Xét : ( ) ( ) ( ); , ; , 1; 2 1a x y b x y y z c x z= = + + = + +G G G 2 2. 0, . 0, 4a b a c b c⇒ = = =G G G G G G
+ Nếu 0a =G G thì 10,
2
x y z= = = − .
+ Nếu 0a ≠G G thì bG và cG cộng tuyến nên : 2c b= ±G G , từ đó ta có : 10,
2
x y z= = = .
Tóm lại hệ có hai nghiệm :
1 1 1
0; 0; , 0; ;
2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
iV. Hệ ph−ơng trình n ẩn. ( n >3, n∈N )
" 1. Giải hệ ph−ơng trình :
1996
1 2 3
1996
2 3 4
1996
1995 1996 1
1996
1996 1 2
.........
x x x
x x x
x x x
x x x
⎧ + =⎪ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎪ + =⎩
Giải : Gọi X là giá trị lớn nhất của các nghiệm , 1,...1996ix i = và Y là giá trị bé nhất của chúng.
Thế thì từ ph−ơng trình đầu ta có :
2X 19961 2 3x x x≥ + =
Từ đó đối với các ph−ơng trình của hệ ta có : 2X 1996 , 1,2,....,1996kx k≥ ∀ =
Hay là ta có : 2X 1996X≥ suy ra : 19952 X≥ ( vì X >0 ) (1)
Lập luận một cách t−ơng tự ta cũng đi đến : 19952 Y≤ (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1995 1995 X Y 2= =
Nghĩa là ta có : 19951 2 1996.... 2x x x= = = =
" 2. Giải hệ ph−ơng trình :
1 1 2 2
1 2
1 2
...
....
n n
n
n
x ax a x a
b b b
x x x c
−− −⎧ = = =⎪⎨⎪ + + + =⎩
với 1 2
1
, , ..., 0, 0
n
n i
i
b b b b
=
≠ ≠∑
18
Giải . Đặt : 1 1 2 2
1 2
... n n
n
x ax a x a
t
b b b
−− −= = = =
Ta có :
1 1 1
n n n
i i i i i i
i i i
x tb a x a t b
= = =
= + ⇒ = +∑ ∑ ∑ 1
1 1
1
n
in n
i
i i n
i i
i
i
c a
c a t b t
b
=
= =
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = + ⇒ =
∑∑ ∑ ∑
1
1
n
i
i
i i i n
i
i
c a
x a b
b
=
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = +
∑
∑
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- Hệ phương trình.pdf