Hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính

HẠNG CỦA MA TRẬN & HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Tác giả: Phạm Gia Hưng Bộ môn Toán - Khoa KHCB Năm học 2004 - 2005 I. Mục đích. Việc giải bài toán hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa rất to lớn trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế. Lý thuyết hạng của ma trận nhằm để giải quyết bài toán: Khi nào thì hệ phương trình tuyến tính có nghiệm? Trong các tài liệu giảng dạy môn Toán Cao Cấp ở các trường Đại Học, thông thường, người ta dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng hoặc các cột của ma trận đưa ma trận về dạng hình thang để xác định được hạng của ma trận. Điều này sẽ tăng khối lượng tính toán. Hơn nữa điều chủ yếu đáng nói ở đây là vấn đề logic trình bày. Khi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss khi ta chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận đưa ma trận về dạng bậc thang và khi nhìn vào ma trận bậc thang này sinh viên sẽ dễ lúng túng khi xác định hạng của ma trận hệ số cũng như ma trận mở rộng và từ đó khó lòng biện luận được số nghiệm của hệ phương trình. Đề tài đưa ra là nhằm để khắc phục vấn đề nói trên. Xin cám ơn sự đóng góp ý kiến của anh em đồng nghiệp. II. Tài liệu tham khảo. [1] Nguyễn Đình Trí (Chủ Biên): Toán Cao Cấp, Tập II. NXB Giáo Dục 2000. [2] Phạm Gia Hưng: Bài Giảng Toán Cao Cấp C2. Nha Trang 2004. III. Nội dung. 1. Hạng của ma trận. Định nghĩa 1. Cho A∈Mat(m×n). Ta gọi (i) Định thức con cấp k của A là định thức được suy từ A bằng cách bỏ đi m - k hàng và cột. kn − (ii) Hạng của A là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của A, ký hiệu r(A) = rank(A) và quy ước coi hạng của ma trận không là bằng 0. 1 Nhận xét. Nếu mọi định thức con cấp k của A đều bằng không, thì mọi định thức con có cấp cao hơn k của A cũng đều bằng không. Từ định nghĩa suy ra • r(A) = r ⇔ A tồn tại có ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp r+1 đều bằng 0. • Nếu A∈Mat(m×n), A ≠ O, thì ( ) { }.,min0 nmAr ≤< • Nếu A∈Mat(n×n), thì r(A) = n ⇔ detA ≠ 0 hay r(A) < n ⇔ detA =0. Định lý 1. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp. Nói cách khác, nếu với ma trận A ta thực hiện một số phép biến đổi sơ cấp để tới ma trận T thì ( ) ( )Trr A = . Chứng minh. Dựa vào định nghĩa hạng của ma trận và các tính chất của định thức. Định nghĩa 2. Ma trận bậc thang là ma trận có hai tính chất như sau (i) Các hàng khác 0 luôn ở trên các hàng bằng 0. (ii) Trên hai hàng khác 0 thì phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng trên. Ví dụ. Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− 0000 1000 2210 1111 ; ; . ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 00000 00000 154610 50231 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0100 4220 3121 Nhận xét. (n1) Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác 0 của nó. (n2) Dựa vào định lý trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận để đưa ma trận A về ma trận bậc thang. Ví dụ. Tìm hạng của ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận (v1) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −−⎯⎯⎯⎯ →⎯ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−= −→ −→ −→ 2210 3210 2210 1111 4412 4301 1121 1111 144 133 122 2HHH HHH HHH A THHH HHH = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−⎯⎯⎯⎯ →⎯ +→ +→ 0000 1000 2210 1111 244 233 . Vậy r(A) = r(T) = 3. (v2) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎯⎯⎯⎯ →⎯ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−= −→ +→ −→ 154610 154610 27500 50231 204841 54252 127962 50231 144 133 122 2 2 HHH HHH HHH A 2 THHH HH = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎯⎯⎯⎯ →⎯ −→ ↔ 00000 27500 154610 50231 244 32 . Vậy r(A) = r(T) = 3. 2. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính. Xét hệ phương trình tuyến tính ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ... .......................................... ... ... 2211 22222121 11212111 (*) trong đó ),1;,1( , njmiba iij == là các hằng số cho trước thuộc K (K=R,C). Ký hiệu , 21 22221 11211 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mnmm n n aaa aaa aaa A L MLMM L L , 21 222221 111211 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mmnmm n n baaa baaa baaa A L MMLMM L L ,2 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nx x x X M ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mb b b B M 2 1 . Ta gọi A là ma trận hệ số, A là ma trận mở rộng của hệ (*). Khi đó hệ (*) có thể viết dưới dạng ma trận AX = B. Định nghĩa 3. Phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình tuyến tính là một trong các phép biến đổi sau (p1) Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau. (p2) Nhân một phương trình của hệ với một số khác không. (p3) Cộng vào một phương trình với một phương trình khác của hệ. Dễ thấy rằng, việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình, ta đi tới một hệ phương trình tương đương với hệ đã cho. Định lý 2. (i) Hệ (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ( ) ( ) .aån soá== ArAr (ii) Hệ (*) có vô số nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ) . aån soá<= ArAr (iii) Hệ (*) vô nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ).ArAr < Nhận xét. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính thực chất là thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận mở rộng A của hệ. Việc thực hiện đó sẽ đưa A về một ma trận bậc thang và tương ứng với ma trận này là hệ phương trình tương đương với hệ ban đầu nhưng dễ giải hơn. Ví dụ. Giải hệ phương trình (trong trường hợp có tham số m, hãy giải và biện luận) 3 (v1) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−+ =−++− −=+−+ =−+− 81033 5322 3533 2432 tzx tzyx tzyx tzyx (v2) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =++− −=+−+ =−−− =−++ 11232 5223 2322 1232 tzyx tzyx tzyx tzyx (v3) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−++ =−++ −=+−+ =+−+ 47432 5253 122133 1532 tzyx tzyx tzyx tzyx (v4) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ =++ 1 1 1 mzyx zmyx zymx Lời giải. (v1) Ta có ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− − −− ⎯⎯⎯⎯ →⎯ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− − −− = −→ +→ −→ 2 9 9 2 2660 11830 131490 4321 8 5 3 2 10303 3212 1533 4321 144 133 122 3 2 3 HHH HHH HHH A THHHHHH HHH = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − −− ⎯⎯⎯⎯ →⎯ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − −− ⎯⎯⎯⎯ →⎯ −→−→ +→ 6 18 9 2 0000 201000 131490 4321 24 18 9 2 201000 201000 131490 4321 344244 233 23 3 . Ma trận T ứng với một hệ phương trình tương đương với hệ phương trình ban đầu; hệ phương trình này vô nghiệm vì ( ) ( )ArAr =<= 43 . (v2) Ta có ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− −− −− − ⎯⎯⎯⎯ →⎯ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − −−− − = −→ −→ −→ 9 8 0 1 5470 81040 1850 2321 11 5 2 1 1232 2123 3212 2321 144 133 122 2 3 2 HHH HHH HHH A ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− − ⎯⎯⎯⎯ →⎯ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− − ⎯⎯⎯⎯ →⎯ −→ −→ −→ −→ 35 20 0 1 90000 18900 1850 2321 45 40 0 1 183600 361800 1850 2321 344 33 244 233 4 2 1 75 45 HHH HH HHH HHH . Hệ phương trình đã cho tương đương với ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= = −= = ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= =− =+−− =−++ 18/7 18/26 18/43 18/12 3590 20189 085 1232 t z y x t tz tzy tzyx . Ta thấy hệ phương trình có duy nhất nghiệm vì ( ) ( ) === 4ArAr số ẩn. (v3) Ta có 4 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− −− − − ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = −→ −→ −→ 2 2 2 1 171010 171010 171010 5321 4 5 1 1 7432 2153 221331 5321 144 133 122 2 3 HHH HHH HHH A ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − ⎯⎯⎯⎯ →⎯ +→ +→ 0 0 2 1 0000 0000 171010 5321 244 233 HHH HHH . Hệ phương trình đã cho tương đương với ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − −−= ++−= ⇔⎩⎨ ⎧ −=+− =+−+ yùtuyø , 21710 52917 21710 15 3 2 tz tzy tzx tzy tzyx . Hệ phương trình có vô số nghiệm vì ( ) ( ) <== 2ArAr số ẩn. (v4) Ta có ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎯⎯⎯ →⎯ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ↔ 1 1 1 11 11 11 1 1 1 11 11 11 31 m m m m m m A HH 1 2 1 0 1 110 110 11 133 122 A mmm mm m mHHH HHH = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− −−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ −→ −→ . • Th1: Nếu m = 1 thì ma trận A1 tương ứng với hệ phương trình có vô số nghiệm ⎩⎨ ⎧ − −−=⇔=++ yù tuøy, zy zyx zyx 1 1 và ( ) ( ) <== 1ArAr số ẩn. • Th2: Nếu m ≠ 1thì ( )( ) 21 1 0 1 2100 110 11 233 A mmm mm m A HHH = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+− −−⎯⎯⎯⎯ →⎯ +→ * Th2a: Nếu m = -2 thì hệ đã cho vô nghiệm vì ứng với hàng thứ 3 của A2 là phương trình vô nghiệm 3000 =++ zyx hay nói cách khác do ( ) ( )ArAr =<= 32 . * Th2b: Nếu m ≠ -2 thì hệ đã cho tương đương với hệ phương trình có duy nhất nghiệm sau đây ( ) ( ) ( ) . 2 1 12 011 1 m zyx zm zmym mzyx +===⇔⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =−+− =++ và ( ) ( ) === 3ArAr số ẩn. 5 Nha Trang, 20/01/2005 Người thực hiện PHẠM GIA HƯNG 6