Hàm số liên tục theo một biến số thực
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không có định nghĩa chung. Người ta
thường mô tả tập hợp. Chẳng hạn, tập hợp học sinh trong mỗi lớp, tập hợp các số tự nhiên, các
tập hợp số vô tỉ, số hữu tỉ, tập hợp các điểm của một đoạn thẳng, tập hợp các nghiệm của một
phương trình
9 trang |
Chia sẻ: aloso | Lượt xem: 3431 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hàm số liên tục theo một biến số thực, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Môn: Giải tích cơ bản
GV: PGS.TS. Lê Hoàn Hóa
Đánh máy: NTV
Phiên bản: 2.0 đã chỉnh sửa ngày 19 tháng 10 năm 2004
HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰC
1 Giới hạn liên tục
Định nghĩa 1.1 Cho I ⊂ R, điểm x0 ∈ R được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của I nếu
với mọi δ > 0, I ∩ (x0 − δ, x0 + δ)\{x0} 6= 0. Cho f : I → R và x0 là điểm giới hạn của I. Ta
nói:
lim
x→x0
f(x) = a ∈ R⇐⇒ ∀ε, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− a| < ε
lim
x→x0
f(x) = +∞ (−∞) ⇐⇒ ∀A ∈ R,∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 A (f(x) < A)
Định nghĩa 1.2 Cho f : I → R và x0 ∈ I. Ta nói:
f liên tục tại x0 ⇐⇒ ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ I, |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε
Nếu x0 là điểm giới hạn của I thì:
f liên tục tại x0 ⇐⇒ lim
x→x0
f(x) = f(x0)
Nếu f liên tục tại mọi x ∈ I, ta nói f liên tục trên I.
f liên tục trên I ⇐⇒ ∀x ∈ I, ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x′ ∈ I, |x− x′| < δ =⇒ |f(x)− f(x′)| <
Ta nói:
f liên tục đều trên I ⇐⇒ ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x, x′ ∈ I, |x− x′| < δ =⇒ |f(x)− f(x′)| <
Hàm số liên tục trên một đoạn:
Cho f : [a, b] → R liên tục. Khi đó:
i) f liên tục đều trên [a, b].
ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên [a, b].
Đặt m = min{f(x), x ∈ [a, b]}, M = max{f(x), x ∈ [a, b]}. Khi đó f ([a, b]) = [m,M ] (nghĩa là
f đạt mọi giá trị trung gian giữa m, M).
1
2 Sự khả vi
Định nghĩa 2.1 Cho f : I → R và x0 ∈ I. Ta nói f khả vi tại x0 nếu lim
t→0
f(x0 + t)− f(x0)
t
tồn tại hữu hạn. Khi đó đặt
f ′(x0) = lim
t→0
f(x0 + t)− f(x0)
t
gọi là đạo hàm của f tại x0
Nếu f khả vi tại mọi x ∈ I, ta nói f khả vi trên I.
Định lí 2.1 (Cauchy) Cho f, g : [a, b] → R liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Giả sử
f ′(x) 6= 0 trên (a, b). Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:
f ′(c)[g(b)− g(a)] = g′(c)[f(b)− f(a)]
Trường hợp g(x) = x, ta có công thức Lagrange
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a)
Quy tắc Lôpitan: Cho x0 ∈ R hoặc x0 = ±∞, f, g khả vi trong lân cận của x0. Giả sử g và
g′ khác không và lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0 hoặc lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = +∞ hoặc −∞.
Khi đó: Nếu lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
= A thì lim
x→x0
f(x)
g(x)
= A (A có thể là hữu hạn hoặc vô hạn).
Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân:
Cho f liên tục, u, v khả vi. Đặt
F (x) =
v(x)∫
u(x)
f(t) dt
Khi đó: F khả vi và F ′(x) = v′(x)f(v(x))− u′(x)f(u(x)).
3 Vô cùng bé - Vô cùng lớn
Hàm f được gọi là lượng vô cùng bé khi x → x0 nếu lim
x→x0
f(x) = 0.
Cho f, g là hai lượng vô cùng bé khi x → x0. Giả sử lim
x→x0
f(x)
g(x)
= k
- Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng bé tương đương.
- Nếu k 6= 0, k hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng bé cùng bậc.
- Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói g là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn f .
- Nếu k = 0, ta nói f là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn g.
2
Bậc của vô cùng bé: Cho f là lượng vô cùng bé khi x → x0. Giả sử tồn tại k > 0 sao cho
lim
x→x0
f(x)
(x−x0)k tồn tại hữu hạn và khác 0, số k > 0, nếu có sẽ duy nhất, được gọi là bậc của vô
cùng bé f khi x → x0.
Hàm f được gọi là vô cùng lớn khi x → x0 nếu lim
x→x0
f(x) = +∞ hoặc −∞. Nếu f là vô
cùng lớn khi x → x0 thì 1
f
là vô cùng bé khi x → x0.
Cho f, g là vô cùng lớn khi x → x0. Giả sử lim
x→x0
f(x)
g(x)
= k.
- Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn tương đương.
- Nếu k 6= 0 và hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn cùng bậc.
- Nếu k = 0, ta nói g là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn f .
- Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói f là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn g.
Cho f là vô cùng lớn khi x → x0. Bậc của vô cùng lớn f là số k > 0 (nếu có sẽ duy nhất) sao
cho lim
x→x0
(x− x0)kf(x) tồn tại hữu hạn và khác không.
4 Công thức Taylor
Cho f : (a, b) → R có đạo hàm bậc (n + 1). Với x0, x ∈ (a, b), tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho:
f(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x− x0)k + 1
(n + 1)!
f (n+1) (x0 + θ(x− x0))
Rn(x) =
1
(n+1)!
f (n+1) (x0 + θ(x− x0)) là dư số Lagrange.
Hoặc:
f(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x− x0)k + o (|x− x0|n)
Rn(x) = o (|x− x0|n) là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn n, được gọi là dư số Peano. Nếu x0 = 0
ta được công thức Maclaurin:
f(x) =
n∑
k=0
f (k)(0)
k!
xk + Rn(x)
. Công thức Maclaurin của hàm sơ cấp
a) ex = 1 + x +
x2
2!
+ · · ·+ x
n
n!
+ Rn(x), Rn(x) =
eθx
(n + 1)!
xn+1 hoặc Rn(x) = o(x
n).
b) sin x = x − x
3
3!
+
x5
5!
+ · · · + (−1)n x
2n−1
(2n− 1)! + R2n, R2n = (−1)
n cos θx.
x2n+1
(2n + 1)!
hoặc
R2n = o(x
2n).
c) cosx = 1− x
2
2!
+
x4
4!
+ · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!
+ R2n+1, R2n+1 = (−1)n+1 cos θx. x
2n+2
(2n + 2)!
hoặc
R2n+1 = o(x
2n+1).
3
d) (1 + x)α = 1 +
αx
1!
+
α(α− 1)
2!
x2 + · · ·+ α(α− 1) . . . (α− n + 1)
n!
xn + Rn, (x > −1).
Rn =
α(α− 1) . . . (α− n + 1)
n!
(1 + θx)α−n+1.xn+1 hoặc Rn = o(xn).
e) ln(1 + x) = x− x
2
2
+
x3
3
+ · · ·+ (−1)n+1x
n
n
+ o(xn), x > −1
f) arctgx = x− x
3
3
+
x5
5
+ · · ·+ (−1)n+1 x
2n−1
2n− 1 + o(x
2n)
5 Các giới hạn cơ bản
1. lim
t→0
sin t
t
= lim
t→0
tgt
t
= lim
t→0
arctgt
t
= lim
t→0
arcsint
t
= lim
t→0
ln (1 + t)
t
= lim
t→0
et − 1
t
2. lim
t→0
(1 + t)a − 1
t
= a.
3. lim
t→0
1− cos t
t2
=
1
2
.
4. lim
t→∞
tp
et
= 0 ∀p.
5. lim
t→∞
lnp t
tα
= 0, α > 0,∀p.
Thí dụ:
Tính các giới hạn sau:
1. lim
x→1
m
√
x− 1
n
√
x− 1 = limt→0
(1 + t)1/m − 1
(1 + t)1/n − 1 =
n
m
.
2.
lim
x→1
(1−√x)(1− 3√x) . . . (1− n√x)
(1− x)n−1 = limt→0
[
1− (1 + t)1/2] . [1− (1 + t)1/3] . . . [1− (1 + t)1/n]
(−t)n−1
=
1
2
.
1
3
. . .
1
n
=
1
n!
3. I = lim
x→0
x2
n
√
1 + 5x − (1 + x)
Đặt t5 = 1 + 5x hay x = t
5−1
5
Suy ra :
x2
5
√
1 + 5x− (1 + x) = −
(t5 − 1)2
5(t5 − t + 4) = −
(t5 − 1)2
5(t− 1)2(t3 + 2t2 + 3t− 4)
Vậy I = −5
2
4. lim
x→+∞
1
x
ln
(
ex − 1
x
)
= lim
x→+∞
1
x
[
ln(ex − 1)− lnx] = 1
5. lim
x→0
ln(cosx)
x2
= lim
x→0
ln[1 + (cos x− 1)]
x2
= lim
x→0
cosx− 1
x2
= −1
2
6. lim
x→0
(
1
sin x
− cotg x
)
= lim
x→0
1− cosx
sin x
= lim
x→0
x2
2x
= 0
4
7. lim
x→0
3
√
cosx−√cosx
x2
= lim
x→0
(
1− x
2
2
) 1
3
−
(
1− x
2
2
) 1
2
x2
= lim
x→0
−x
2
6
+
x2
4
x2
=
1
12
(dùng 1− cosx ∼ x
2
2
, lim
t→0
(1 + t)α − 1
t
= α )
8. lim
x→∞
(
sin
√
x + 1− sin√x
)
= lim
x→∞
2 sin
(√
x + 1−√x
2
)
. cos
(√
x + 1 +
√
x
2
)
= 0
Tính lim
x→x0
u(x)v(x)
Đặt y = uv ⇒ ln y = v lnu.
Sau đó tính lim
x→x0
v lnu
Nếu lim
x→x0
v lnu = a thì lim
x→x0
uv = ea
9. lim
x→+∞
(
x + 2
x− 3
)3x+4
Đặt y = lim
x→+∞
(
x + 2
x− 3
)3x+4
⇒ ln y = (3x + 4) ln
(
x + 2
x− 3
)
⇒ ln y = (3x + 4) ln
(
1 +
5
x− 3
)
Vậy lim
x→∞
ln y = lim
x→∞
(3x + 4).
5
x− 3 = 15
Suy ra lim
x→∞
y = e15
10. lim
x→0
(
1 + tg x
1 + sinx
) 1
sin x
Đặt y =
(
1 + tg x
1 + sinx
) 1
sin x
⇒ ln y = 1
sin x
ln
(
1 + tg x
1 + sinx
)
=
1
sin x
ln
(
1 +
tg x− sin x
1 + sinx
)
(dùng ln(1 + t) ∼ t)
⇒ lim
x→0
ln y = lim
x→0
tg x− sin x
sin x(1 + sinx)
= lim
x→0
1
cosx
− 1
1 + sinx
= 0
Vậy lim
x→0
y = 1
Chứng minh các lượng vô cùng bé sau tương đương khi x → 0:
1. f(x) = x sin2 x, g(x) = x2 sin x
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
x sin2 x
x2 sin x
= 1
5
2. f(x) = e2x − ex, g(x) = sin 2x− x
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
e2x − ex
sin 2x− x = limx→0
2e2x − ex
2 cos 2x− 1 = 1
So sánh các vô cùng bé khi x → 0
1. f(x) = 1− cos3 x, g(x) = x sin x
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
1− cos3 x
x sin x
= lim
x→0
(1− cosx)(1 + cos x + cos2 x)
x2
=
3
2
(thay sin t ∼ t)
Vậy f , g là vô cùng bé cùng bậc.
2. f(x) = cosx− cos 2x, g(x) = x 32
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
cosx− cos 2x
x
3
2
= lim
x→0
(cosx− 1) + (1− cos 2x)
x
3
2
= 0
Vậy f là vô cùng bé bậc lớn hơn g.
Tìm bậc của các vô cùng bé sau khi x → 0
1. f(x) =
√
cosx− 3√cosx
lim
x→0
f(x)
xk
= lim
x→0
√
cosx− 3√cosx
xk
= lim
x→0
(
1− x
2
2
) 1
2
−
(
1− x
2
2
) 1
3
xk
= − 1
12
nếu k = 2
Vậy f là vô cùng bé bậc 2.
2. f(x) = x sin x− sin2 x
Ta có: f(x) = sinx(x− sin x) ∼ x
(
x3
3!
)
=
x4
3!
(dùng khai triển Taylor)
Vậy f là vô cùng bé bậc 4.
3. Tìm bậc của vô cùng lớn f(x) =
√
1 +
√
x khi x → +∞
f(x) =
√
1 +
√
x =
√
x
1
2 (1 + x
−1
2 ) = x
1
4
√
1 + x
−1
2
Vậy f là vô cùng lớn bậc
1
4
Lưu ý. Để tìm bậc của vô cùng lớn khi x → +∞, ta tìm số k > 0 sao cho lim
x→∞
f(x)
xk
tồn
tại hữu hạn và khác không.
4. Tìm lượng tương đương của f(x) = x[
√
x2 +
√
x4 + 1− x√2]
khi x → +∞
Dùng (1 + t)α)− 1 ∼ αt khi t → 0, ta có
f(x) = x2
(1 + (1 + 1
x4
) 1
2
) 1
2
−
√
2
∼ x2 [(2 + 1
2x4
) 1
2
−
√
2
]
6
∼ x2
√
2
[(
1 +
1
4x4
) 1
2
− 1
]
∼ x
2
√
2
8x4
Vậy f là vô cùng bé tương đương với g(x) =
√
2
8x2
khi x → +∞
5. Cho n là số tự nhiên, f0, f1, . . . , fn là các đa thức sao cho
fn(x)e
nx + fn−1(x)e(n−1)x + · · ·+ f0(x) = 0
với mọi x lớn bất kỳ.
Chứng minh f0, f1, . . . , fn đồng nhất bằng 0.
Giả sử fn không đồng nhất triệt tiêu
fn(x) = akx
k + ak−1xk−1 + · · ·+ a0, ak 6= 0
Chia hai vế cho xkenx, cho x → ∞, áp dụng lim
x→∞
xp
eax
= 0 với a > 0, ∀p, ta được ak = 0.
Mâu thuẫn.
Vậy fn ≡ 0. Tương tự cho fn−1, . . . , f1 đồng nhất triệt tiêu.
Khi đó, f0(x) = 0 với mọi x lớn bất kỳ. Vậy f0 ≡ 0.
6. Cho n là số tự nhiên, f0, f1, . . . , fn là các đa thức sao cho
fn(x)(lnx)
n + fn−1(x)(lnx)n−1 + · · ·+ f0(x) = 0
với mọi x > 0.
Chứng minh f0, f1, . . . , fn đồng nhất triệt tiêu.
Đặt x = ey và viết biểu thức vế trái dưới dạng
gk(y)e
ky + gn−1(y)e(k−1)y + · · ·+ g0(y) = 0
với mọi y, trong đó k là số tự nhiên.
Làm tương tự như bài (5), ta có gk, . . . , g0 đồng nhất triệt tiêu. Vậy f0, f1, . . . , fn đồng
nhất triệt tiêu.
6 Bài tập
1. Tính các giới hạn sau
(a) lim
x→pi
3
tg3 x− 3 tg x
cos
(
x +
pi
6
)
(b) lim
x→∞
x[ln(x + a)− lnx]
(c) lim
x→1
x2 − 1
x lnx
(d) lim
x→+∞
3
√
x3 + 3x2 −
√
x2 − 2x
(e) lim
x→0
(cosx)
1
x2
(f) lim
x→0
(sinx + cosx)
1
x
7
2. Tính các giới hạn sau bằng thay các vô cùng bé tương đương.
Các lượng vô cùng bé sau tương đương khi t → 0:
t ∼ sin t ∼ tg t ∼ arctg t ∼ arcsin t ∼ ln(1 + t) ∼ (et − 1)
(1− cos t) ∼ t
2
2
(1 + t)α ∼ 1 + αt
(a) lim
x→0
ln(1 + 2x sin x)
tg2 x
(b) lim
x→0
sin2 3x
ln2(1− 2x)
(c) lim
x→pi
2
±
√
1 + cos 2x√
pi −√2x
(d) lim
x→0
ln(cosx)
ln(1 + x2)
3. Dùng công thức Taylor tính các giới hạn sau:
(a) lim
x→∞
[
x− x2 ln
(
1 +
1
x
)]
(b) lim
x→0
1− (cosx)sinx
x3
Hướng dẫn:
sin x. ln(cosx) = sinx. ln[1 + (cos x− 1)] ∼ sin x.(cosx− 1)
∼
(
x− x
3
3!
+ . . .
)(
−x
2
2
− . . .
)
∼ −x
3
2
1− (cosx)sinx = 1− esin x. ln(cosx) ∼ 1− e−x
3
2 ∼ x
3
2
Vậy lim
x→0
1− (cosx)sinx
x3
=
1
2
(c) lim
x→0
(1 + x)x − 1
sin2 x
(d) lim
x→0
e− (1 + x) 12
x
4. Dùng quy tắc L’Hopital tính các giới hạn sau
(a) lim
x→0
ex − e−x − 2x
x− sin x
(b) lim
x→∞
xe
x
2
x + ex
(c) lim
x→0+
lnx
1 + 2 ln(sinx)
(d) lim
x→∞
pi − 2 arctg x
ln
(
1 +
1
x
)
8
5. Dùng quy tắc L’Hopital khử các dạng vô định
(a) lim
x→1+
lnx. ln(x− 1)
(b) lim
x→0
(
1
x
− 1
ex − 1
)
(c) lim
x→0+
(1 + x)lnx
(d) lim
x→0
(
tg x
x
) 1
x2
(e) lim
x→0+
(x)sin x
(f) lim
x→pi
2
−
(pi − 2x)cosx
Hướng dẫn: Đặt x =
pi
2
+ t
9
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- Hàm số liên tục theo một biến số thực.pdf