Giáo trình Toán kinh tế 2 - Chương 2: Đạo hàm - Vi phân - Nguyễn Ngọc Lam

C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và x0  (a,b). Nếu tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì Ký hiệu dy/dx, df/dx 11/29/20201Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx 11/29/20202Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: 1) u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ 2) u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u3) u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và Đạo hàm của hàm số hợp:Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f0u có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).11/29/20203Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 11/29/20204Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (c: hằng số)(x)’ = x-1 (  R, x > 0)(ax)’ = axlna (a > 0, a ≠ 1)(ex)’ = ex(sinx)’ = cosx(cosx)’ = -sinx11/29/20205Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cao cấp: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x).Ví dụ: Cho y = x (  R, x > 0), y = kex, tìm y(n)11/29/20206Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz:Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n)trong đó u(0) = u, v(0) = v 11/29/20207Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f.Ví dụ: tìm dy với Vi phân của tổng, tích, thương: Từ công thức của đạo hàm ta suy ra: 1) d(u + v) = du + dv 2) d(u.v) = vdu + udv11/29/20208Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: Khi x0, thì f(x0+x) – f(x0) và f’(x0)x là hai VCB tương đương, nên khi x khá nhỏ, ta có công thức gần đúng f(x0+x)  f(x0) + f’(x0)x Ví dụ, tìm Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.11/29/20209Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNGĐịnh lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0.Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).11/29/202010Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.11/29/202011Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN QUI TẮC L’HOSPITAL khử dựng vô định khi tìm giới hạn1. Dạng 0/0, /Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b)NếuthìNhận xét: (1) Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:(2) Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.11/29/202012Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)11/29/202013Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. Dạng 0.,  - : Tìm cách chuyển chúng về dạng 0/0, /.Ví dụ:3. Dạng vô định: 00, 1, 0: Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)Ví dụ:11/29/202014Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊĐịnh nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)).Chiều biến thiên của hàm số:Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng trong khoảng đó.2. Nếu f’(x) 0 thì f(x) đạt cực tiểu. b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại.11/29/202017Hàm số và giới hạn hàm sốC2. ĐẠO HÀM – VI PHÂNGiá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút.2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm.Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4]11/29/202018Hàm số và giới hạn hàm số