Giáo trình Toán cao cấp B1 - Nguyễn Viết Trình

n ( y cosy)dx ( x - xsiny)dy 0 x ye e     Giải Ta có ( , ) y cosyxP x y e   ; ( , ) x - xsin yyQ x y e  1 - siny ; ( , )P Q x y y x        Do đó phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần, có tích phân tổng quát là u(x,y) = C. Trong đó u(x,y) được xác định bằng công thức (10) 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) yx x y u x y P x y dx Q x y dy   Chọn 0 ,0 00  yx , ta được: 0 00 0 ( , ) ( y cosy)dx dy xy xcosy + xy xcos y + -2 yx x yx y x y x y u x y e e e e e e                    Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: xy xcosy - 2 Cx ye e    . 5.3 Phương trình vi phân cấp 2 5.3.1 Tổng quan về phương trình vi phân cấp 2 Có rất nhiều bài toán thực tế dẫn tới phương trình vi phân cấp hai và cấp cao hơn. Những vấn đề đặt ra trong lý thuyết phương trình vi phân cấp hai cũng giống như phương trình vi phân cáp một. Tất nhiên việc giải quyết các vấn đề đó khó khăn và phức tạp hơn. Trong chương này ta đưa ra cách giải một số dạng phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được. 5.3.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:  / / /, , , 0F x y y y  (1) Trong đó y là hàm của x cần phải tìm, F là hàm bốn biến số / / /, , ,x y y y . Hàm F có thể thiếu biến số x hoặc hàm số y và đạo hàm /y nhưng nhất thiết phái có đạo hàm 94 //y . Nếu giải (1) ra được đối với đạo hàm //y thì phương trình vi phân cấp hai có dạng: / / /( , , )y f x y y (2) Thí du 5.3.1 / / / 2 / / /. . 0; 3 2y xy y x y y xy xy     5.3.1.2 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tích phân riêng a. Định nghĩa 5.3.1 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai dạng (1) hoặc (2) là hàm 1 2( , , )y x C C thoả mãn 2 điều kiện sau: + Khi thế 1 2( , , )y x C C vào phương trình đã cho được một đồng nhất thức + Với mỗi điều kiện đầu y(x0) = y0 , / /0 0( )y x y chỉ có một bộ duy nhất  0 01 2,C C làm cho nghiệm 0 01 2( , , )y x C C thoả điều kiện đã cho Mọi nghiệm dạng 0 01 2( , , )y x C C nhận được từ nghiệm tổng quát ứng với giá trị cụ thể 1 2,C C được gọi là nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai. Tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp hai dạng (1) hoặc (2) là hệ thức 1 2( , , , ) 0x y C C  biểu diễn nghiệm tổng quát của nó dưới dạng ẩn Tích phân riêng của phương trình vi phân cấp hai dạng (1) hoặc (2) là hệ thức 0 0 1 2( , , , ) 0x y C C  nhận được từ tích phân tổng quát ứng với giá trị cụ thể 1 2,C C b. Thí du 5.3.2 Hàm số y = - sinx +C1.x + C2 là nghiệm tổng quát của phương trình / / s inxy  . Hệ thức y +sinx + C1.x + C2 = 0 là tích phân tổng quát của phương trình / / s inxy  5.3.2 Phương trình vi phân cấp hai có thể giảm cấp được Ta xét phương trình có dạng: / / /( , , )y f x y y (2) trong các trường hợp đặc biệt sau: 5.3.2.1 Phương trình dạng / / ( )y f x (3) a. Cách giải: / / / /( ) ( ) ( ) x x dyy f x f x dy f x d d      Lấy tích phân 2 vế ta được    / 1 1 1 2( ) x ( ) x x ( ) x xy f x d C f x d C d f x d d C x C           b. Thí du 5.3.3 Giải phương trình / / osxy c biết (0) 0y  ; / (0) 1y  Giải: Từ phương trình đã cho suy ra  / cos sinx sinxy C y Cxdx dx       cos 1 2x C x C    Vì (0) 0y  ; / (0) 1y  nên 2 1 1 2 0 1 0 0 0 1 C C C C           Vậy nghiệm riêng cần tìm là cos 1y x   5.3.2.2 Phương trình dạng / / /( , )y f x y (4) 95 a. Cách giải: Đặt /p y thì (4) trở thành phương trình cấp 1 / /( , )p f x y . Giải tìm hàm p, từ đó tìm được hàm y b. Thí du 5.3.4 Giải phương trình / / / yy x x   . Đặt /p y thì đã cho trở thành phương trình cấp 1: / pp x x   . Giải tìm hàm 3 3 9 1 1 ln1 23 3 9 C Cx x xp y dx C x C x x                5.3.2.3 Phương trình dạng / / /( , )y f y y (5) Thí dụ 3.5.6 Giải phương trình: / / /5 6 0y y y   a. Cách giải: Đặt /y p và xem p là hàm số của y ta có / / . x x dp dp dy dpy p d dy d dy     và phương trình (5) trở thành phương trình vi phân cấp 1 đối với p: . ( , )dpp f y p dy  Giải tìm hàm p, từ đó tìm được hàm y b. Thí du 5.3.5 Giải phương trình / 2 / /. yy y  Đặt / ( )y p y , ta được //. .dpy p dy  phương trình đã cho trở thành 2 . dp pp dy y  Nếu p = 0 thì y = C là nghiệm của phương trình Nếu 0p  ta có phương trình dp p dp dy dy y p y    có nghiệm tổng quát 1 1 1 1 1ln ln ln , 0 . , 0 . dyp y C C p C y C C y dx         Tích phân phương trình này ta được 1 2ln lny C x C  hay 2 1 C x y C e Ngoài ra phương trình còn có nghiệm y = 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là: 2 1 C x y C e với C1, C2 là hằng số tuỳ ý 5.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số 5.3.3.1 Dạng tổng quát: / / /1 2 1 2( ) (6) ; ,y a y a y f x a a   là hằng số Để giải phương trình (6) người ta giải phương trình thuần nhất tương ứng: / / / 1 2 0 (7)y a y a y   Sau đó dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để tìm nghiệm phương trình không thuần nhất. Trong một số trường hợp việc tìm nghiệm phương trình không thuần nhất (5) được qui về giải các phương trình đại số. Dưới đây ta trình bày các trường hợp đặc biệt ấy. 96 5.3.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng số / / /1 2 0 (7)y a y a y   Gọi phương trình 2 1 2. 0 (8)k a k a   là phương trình đặc trưng của (7). Ta chứng minh được: a. Nếu (8) có 2 nghiệm thực phân biệt 1 2k k thì nghiệm tổng quát của (7) là: 1 21 2 k x k xy C e C e  b. Nếu (8) có nghiệm kép 1 2k k thì nghiệm tổng quát của (7) là:  1 1 2k xy e C C x  c. Nếu (8) có 2 nghiệm phức 1 2;k i k i       thì nghiệm tổng quát của (7):  1 2. os .sin xy e C c x C x    Thí dụ 3.5.6 Giải phương trình: / / /5 6 0y y y   Giải: Phương trình đặc trưng: 2 1 25 6 0 2; 3k k k k      Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là: 2 31 2x xy C e C e  ; C1,C2 là hằng số tùy ý Thí dụ 3.5.7 Giải phương trình: / / /4 4 0y y y   Giải: Phương trình đặc trưng: 2 1 24 4 0 2k k k k      Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là:  2 1 2xy e C C x  ; C1,C2 là hằng số tùy ý Thí dụ 3.5.8 Giải phương trình: / / /2 5 0y y y   Giải: Phương trình đặc trưng: 2 1 22 5 0 1 2 ; 1 2k k k i k i        Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là:  1 2os2 sin 2xy e C c C x  ; C1,C2 là hằng số tùy ý 5.3.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số hằng số / / /1 2 1 2( ) ; ,y a y a y f x a a   là hằng số Có phương trình thuần nhất tương ứng: / / /1 2 0 (7)y a y a y   phương trình đặc trưng là: 2 1 2. 0 (8)k a k a   Người ta chứng minh được: Định lý 5.3.1 Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (6) bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (7) cộng với một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất (6) Do vậy để giải phương trình vi phân tuyến không thuần nhất 6) ta làm như sau: Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất 97 Bước 3: Kết luận nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất theo định lý 5.3.1 Trong trường hợp đặc biệt sau, không sử dụng phép tính tích phân ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất (6) a. Vế phải của (6) là . ( )( ) x P xnf x e  trong đó  là hằng số; ( )nP x là đa thức bậc n - Trường hợp 1 Nếu  không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: . . ( )x Q xny e  Với ( )Q xn là đa thức cùng bậc n với ( )nP x có các hệ số được xác định bởi phương pháp hệ số bất định. Cụ thể là thay ( )x ny e Q x  vào (6) và đồng nhất 2 vế. - Trường hợp 2 Nếu  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: . . ( )x Q xny xe  - Trường hợp 3 Nếu  là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng: 2 . . ( )x Q xny x e  Thí dụ 3.5.9 Giải phương trình: / / /3 2 (3 4x)xy y y e    Giải: Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng / / /3 2 0y y y   Phương trình đặc trưng: 2 1 23 2 0 1; 2k k k k      Vậy phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là: 21 2x xy C e C e  ; C1,C2 là hằng số tùy ý Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất Vế phải của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là ( ) (3 4x)xf x e  1  là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng. Nên phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho có một nghiệm riêng dạng: (Ax )xy xe B  Ta có / 2 / / 2(Ax ) (2Ax+B) y (Ax ) 2 (2Ax+B)+2Aex x x x xy e Bx e e Bx e       Thay / / /, ,y y y vào phương trình đã cho ta được 2 2(Ax ) 2 (2Ax+B)+2Ae 3 (Ax ) (2Ax+B) 2 (Ax ) (3 4x)x x x x x x xe Bx e e Bx e xe B e         2A=-4 2 2Ax+2A-B=3-4x 2A-B=3 1 A B           Do đó tìm được một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất là (2x 1)xy xe  Bước 3: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là: 21 2 (2x 1)x x xy C e C e xe    ; C1,C2 là hằng số tùy ý 98 b. Vế phải của (6) là  ( ) ( ) os ( ) sin ;x n mf x e P x c x Q x x    trong đó  là hằng số; ( )nP x là đa thức bậc n, ( )mQ x là đa thức bậc m - Trường hợp 1 Nếu i  không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (8) Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng:  ( ). os .sin ;x L Ly e R x c x S x    trong đó  ax ,L m m n ; ( ) , ( )L LR x S x là đa thức cùng bậc L có các hệ số được xác định bởi phương pháp hệ số bất định. - Trường hợp 2 Nếu i  là nghiệm của phương trình đặc trưng (8). Khi đó (6) có một nghiệm riêng dạng:  ( ). os .sin ;x L Ly xe R x c x S x    trong đó  ax ,L m m n ; ( ) , ( )L LR x S x là đa thức cùng bậc L có các hệ số được xác định bởi phương pháp hệ số bất định. Thí dụ 3.5.10 Giải phương trình: / / 4 4x.s inxy y  Giải: - Bước 1: Giải phương trình thuần nhất tương ứng / / 4 0y y  Phương trình đặc trưng: 2 1 21 0 ;k k i k i      Vậy phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là: 1 2osx siny C c C x  ; C1,C2 là hằng số tùy ý - Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất Vế phải của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là  0 0 1( ) 4x.s inx= ( ) os ( ) sinxf x e P x c x Q x x  Với i i    . Nên phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho có một nghiệm riêng dạng:  0. 2 2(Ax ). osx ( x ) s inx (Ax x) osx ( x x).s inxxy xe B c C D B c C D        Tính / / /,y y , rồi thay / / /, ,y y y vào phương trình đã cho ta được (4 Ax+2A +2D ) osx ( 4 x+ 2C -2B ). s inx= 4x s inx ;c A x   4 0 1 2A+2D=0 0 4A=4 1 2 2 0 C A B C D C B                Do đó tìm được một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất là 2x osx x.s inxy c   - Bước 3: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất đã cho là: 21 2osx sin x osx x.s inxy C c C x c    99 HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 5 Chương 5 sinh viên cần nắm vững định nghĩa, cách giải các loại phương trình vi phân cấp1, 2 thường gặp và các ứng dụng thực tế của chúng. Sinh viên trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 1) Định nghĩa phương trình vi phân cấp 1 và nghiệm của nó. Phát biểu định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp 1. 2) Định nghĩa và nêu cách giải một số loại phương trình vi phân cấp 1 cơ bản. Cho thí dụ các bài toán dẫn tới phương trình vi phân cấp một 3) Định nghĩa phương trình vi phân cấp 2 và nghiệm của nó. 4) Trình bày phương pháp giải các loại phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được. Cho thí dụ. 5. Trình bày phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Bài 1.Giải các phương trình vi phân sau: 2 / / 1 2 1 11) ( 3) 2) ; 2x y y xy y y y y        Bài 2.Giải các phương trình sau :   2 2 2 2 2 ' 2 ' 2 ' ' ' 2 2 / 1) ( 1) x ( 1)( 1) 0 2) sinx os ln d 0 3) 1 2 0 , (0) 1 4) 2 , (0) 1 2x4) 6) 7) 2x 8) (ln ln x) x y d x y dy y dx c x y y x y xy y y cotgx y y x y y yy y x y xy xyy y xy y y                         Bài 4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính       2' 2 ' / ' ' ' 2 1 ' 2 1) 2 2) (1 ) arct anx 13) inx sin x osx 4) 2 2 5) cos 6) ; 1 7) 1 ln 2 8) 6x 2 x x y xy xe x y y y ys c y y x x yy x y x x y x y x xy x y y dy ydx                        Bài 5 Giải các phương trình vi phân Bernouilly ' 3 3 ' 2 / 2 4 ' 1) 2 2 2) 43) 4) x y xy x y y y e y y yy x y y x y x x         100 Bài 6. Giải các phương trình vi phân toàn phần sau:   2 2 2 2 2 1) (4 ) (4 ) 0 2) 2 ( 5) 0 ln x3) 0 4) ( sin ) ( cos ) 0x y xy y dx x y x dy x y dx x y dy y dydx x x x e y y dx e x x y dy                        Bài 7.Giải các phương trình vi phân cấp hai / / 2 / / / 1) 1 2) xy x xe yy x x      / / 2 /3) (1 ) 2xy x y  với y(0)=1 và / (0) 3y    / / / 2 / / 2 / 4) ( ) 5) 1 2 yy y y x xy    Bài 8. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp hai / / / / / / / / / / / 2x / / / 2 1) 2 0 2) 6 9 0 3) 25 0 4) 4 3 5) 2 2 y y y y y y y y y y y e y y y x               101 Chương 6. CHUỖI SỐ 6.1 Định nghĩa, điều kiện cần, tính chất của chuỗi số hội tụ 6.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 6.1.1 Cho dãy số thực  na . Khi đó biểu thức 1 2 ... ... (1)na a a    được gọi là chuỗi số và kí hiệu là 1 n n a    ; Các số 1 2, ,..., ,...na a a được gọi là các số hạng của chuỗi số và an được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của chuỗi số. Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi số là 1 2 ... na a a   được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số và được ký hiệu là ns . 1 2 1 ... n n k n k s a a a a       . Dãy  ns được gọi là dãy tổng riêng. Nếu  ns có giới hạn hữu hạn , nghĩa là lim ( )nn s s s R   thì ta gọi chuỗi số 1 n n a    là chuỗi số hội tụ và s là tổng của chuỗi số và viết 1 n n a    = s. Trong trường hợp ngược lại thì ta gọi chuỗi số 1 n n a    phân kỳ Nếu 1 n n a    = s thì 1 2 1 ...n n k n n n k R a a a s s            được gọi là phần dư của chuỗi số 1 n n a    Thí dụ 6.1.1 Xét sự hội tụ của các chuỗi số a) 1 1 1 1 1 1; ) ( 0, 1) ; ) ln(1 ) ( 1) n n n n b aq a q c n n n              Giải a) Ta có 1 1 1 1 1 1 11 1 lim 1 ( 1) 1 2.3 3.4 ( 1) 1n nn S S n n n n n n n                  1 1 ( 1)n n n     hội tụ và 1 1 1 ( 1)n n n     b) Với 1q  ta có 2 1 (1 )... 1 n n n a qs a aq aq aq q         . Do vậy: - Nếu 1q thì (1 )lim lim 1 1 n nn n a q as q q       . Vậy 1 1 ( 0, 1)n n aq a q      hội tụ và 1 1 n n aq     11 a khi q q    . 102 - Nếu 1q thì lim nn s không tồn tại. Vậy chuỗi số trên phân kỳ. - Nếu 1q thì ...ns a a a na     , do đó lim nn s   nếu a > 0 (hoặc lim nn s   nếu a < 0). Vậy chuỗi số trên phân kỳ. - Nếu 1q thì 1 0, ... ( 1) , n n khi n s a a a a a khi n           chaün leû , do đó lim nn s không tồn tại. Vậy chuỗi số trên phân kỳ. Tóm lại, chuỗi số 1 1 ( 0)n n aq a     hội tụ khi và chỉ khi 1q , phân kỳ khi 1q  c)   1 1 1ln 1 ln( 1) ln (ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ... (ln( 1) ln ) n n n k k s k k n n k                     . ln( 1)n    Vậy 1 1ln(1 ) n n    phân kỳ 6.1.1 Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số 6.1.2.1 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ Định lý 6.1.1 Nếu chuỗi số 1 n n a    hội tụ thì lim 0nn a  Chú ý : Điều ngược lại của định lý 1 không đúng nghĩa là lim 0nn a  không suy ra được 1 n n a    hội tụ Hệ quả: 1 lim 0n nn n a a       phân kỳ Thí dụ 6.1.2 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau 1) 1 5 2n n n    có 5 1lim lim 0 2 2nn n na n      . 1 5 2n n n     phân kỳ 2) 1 1 1 11 ... ... 2n n n        có số hạng tổng quát 1 0 ( )na nn    nhưng chuỗi này phân kỳ Thật vậy 1 1 1 11 ... . ( ) 2 3n s n n n n n            6.1.2.2 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số hội tụ Định lý 6.1.2 Điều kiện cần và đủ để chuỗi số 1 n n a    hội tụ là với 0  , tồn tại số N=N(  ) sao cho với n N  điều kiện sau được thỏa mãn 1 1 ...n p n n n n pS S a a a          với mọi p = 1, 2, 3,... 103 6.1.2 Tính chất của chuỗi số hội tụ - Định lý 6.1.3 Nếu chuỗi số 1 n n a    hội tụ và tổng của nó là S và k là hằng số thì chuỗi số 1 n n ka    cũng hội tụ và có tổng .k S . (Tức là 1 n n ka    =k 1 n n a    ) - Định lý 6.1.4 Nếu các chuỗi số 1 n n a    , 1 n n b    hội tụ có tổng lần lượt là S và S/ thì chuỗi số 1 ( )n n n a b    cũng hội tụ và có tổng là S + S/ tức là 1 ( )n n n a b    = 1 n n a    + 1 n n b    - Định lý 6.1.5 Tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số 1 n n a    không thay đổi khi thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng đầu tiên. Chú ý: Tổng của hai chuỗi số phân kỳ có thể phân kỳ cũng có thể hội tụ Tổng của một chuỗi số hội tụ và một chuỗi số phân kỳ là một chuỗi số phân kỳ 6.2 Chuỗi số dương 6.2.1 Định nghĩa Chuỗi số 1 n n a    được gọi là chuỗi số dương nếu và chỉ nếu mọi số hạng của nó không âm ( tức là 0 ,na n  ) Thí dụ 6.2.1 1 1 n n    là chuỗi số dương 6.2.2 Các dấu hiệu hội tụ 6.2.2.1 Dấu hiệu bị chặn trên của dãy các tổng riêng Định lý 6.2.1 Chuỗi số dương 1 n n a    hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn trên - Chứng minh: Dựa vào định nghĩa và sự hội tụ của dãy số tăng, bị chặn trên. - Ý nghĩa của định lý: Cung cấp một phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi số dương, trách cách dùng định nghĩa phải tính tổng Sn và xét lim nn S phức tạp và dài dòng Thí dụ 6.2.2 Xét sự hội tụ của 1 1 3 1nn     Ta chứng minh dãy tổng riêng của chuỗi số đã cho bị chặn trên 104  2 2 1 1 1 1 1 1 1 13... ... ... ;13 1 3 1 3 3 3 3 21 3 n nn ns n S               bị chặn trên nên 1 1 3 1nn     hội tụ 6.2.2.2 Dấu hiệu so sánh a. Định lý 6.2.2 (Tiêu chuẩn so sánh 1) Cho hai chuỗi số dương 1 n n a    và 1 n n b    , nếu 0 n na b  với mọi 0 0( )n n n N   thì từ sự hội tụ của 1 n n b    hội tụ suy ra sự hội tụ của   1n nu và từ sự phân kỳ của 1 n n a    suy ra sự phân kỳ của 1 n n b    Chú ý: Khi xét sự hội tụ của chuỗi số dương thường so sánh chuỗi số đó với chuỗi số dương đã biết sau đây: + 1 1 ( 0)n n aq a     hội tụ khi 1q và phân kỳ khi 1q  + 1 1 n sn    hội tụ khi s>1 và phân kỳ khi 1s  Thí dụ 6.2.3 Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương: 1. 2 1 1 ( 1)n n n     2. 2 1 lnn n    Giải 1) Ta có 32 2 1 1 ( 1) n na b n n n     với 1n  và chuỗi 1 n n b    hội tụ nên chuỗi số 21 1 ( 1)n n n     hội tụ ( theo tiêu chuẩn so sánh 1) 2) Ta có 1 1 ; 2,3, 4,... lnn n a b n n n     mà 1 1 1 n n n b n       phân kỳ nên chuỗi số 2 1 lnn n    phân kỳ ( theo tiêu chuẩn so sánh 1) b. Định lý 6.2.3 (Tiêu chuẩn so sánh 2) Cho hai chuỗi số dương 1 n n a    và 1 n n b    Giả sử lim n n n a k b  . Khi đó 1) Nếu 0 k   thì 1 n n a    và 1 n n b    cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 105 2) Nếu k = 0 thì từ sự hội tụ của 1 n n b    suy ra sự hội tụ của 1 n n a    3) Nếu k =  thì từ sự phân kỳ của 1 n n b    suy ra sự phân kỳ của 1 n n a    Thí dụ 6.2.4 Xét sự hội tụ của các chuỗi số: 1)  1 2014 1 3nn n n     2) 2 ln n n n    Giải: 1) Đặt na    2014 1 3n n n và 1 3n n b  . Ta có 1 1 1 3n nn n b       là chuỗi số dương hội tụ vì có dạng 1 1 . n n a q     với 1 1 3 q   2014lim lim 2014 1 n n n n a n b n     ; nên theo tiêu chuẩn so sánh 2, suy ra  1 2014 1 3nn n n     hội tụ b) Ta có ln lim 1n n n n    Mà 1 1 n n    phân kỳ vì có dạng 1 1 n sn    với 1 1 2 s   nên 2 ln n n n    phân kỳ ( theo tiêu chuẩn so sánh 2) 6.2.2.3 Dấu hiệu D'Alembert Định lý 6.2.4 Cho chuỗi số dương 1 n n a    Nếu 1lim n n n a l a    . thì 1 n n a    hội tụ khi l 1 Thí dụ 6.2.5 Xét sự hội tụ của chuỗi số   2 1 5 ( !) 2 ! n n n n    Giải: Ta có         212 2 1 1 1 5 1 !5 ( !) 5( 1) 5lim 1 2 ! 2 1 (2 2) 42 1 ! nn n n n n n n n n a an na a n a n n an                        2 1 5 ( !) 2 ! n n n n    phân kỳ ( Theo dấu hiệu D'Alembert) 6.2.2.4 Dấu hiệu Cauchy Định lý 6.2.5 Cho chuỗi số dương 1 n n a    Nếu lim n nn a l  thì 1 nn a    hội tụ khi l 1 106 Thí dụ 6.2.6 Xét sự hội tụ của chuỗi số  1 1 ln nn n    Giải Ta có   1 1 lnln n nna a nn    1lim lim 0 1 ln n n nn a n      Chuỗi  1 1 ln nn n    hội tụ ( Theo dấu hiệu Cauchy) Chú ý : Dấu hiệu D'Alembert và dấu hiệu Cauchy khi l =1 chưa thể rút ra kết luận gì. 6. 2.2.5 Dấu hiệu tích phân Định lý 6.2.6 Cho chuỗi số dương 1 n n a    , nếu tồn tại một hàm số f(x) sao cho f(n) = an với 0n n  và f(x) không âm, liên tục, đơn điệu giảm trên miền  0 ,n  thì 0 ( ) x n f x d   và 1 n n a    cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ Thí dụ 6.2.7 Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 1 lnn n n    6.3 Chuỗi số đan dấu 6.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 6.3.1 Chuỗi số đan dấu là chuỗi số có dạng 1 1 ( 1)n n n a     với 0,na n  Thí dụ 6.3.1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1) 1 ... ( 1) ... 2 3 4 n n n n n              6.3.2 Dấu hiệu Lebnitz Định lý 6.3.1 (Dấu hiệu Leibnitz) Cho chuỗi đan dấu 1 1 ( 1)n n n a     với 0,na n  . Nếu thoả mãn 2 điều kiện: + Dãy  na là dãy giảm (Tức là 1 ,n na a n  ) + lim 0nn a  thì chuỗi số 1 1 ( 1)n n n a   hội tụ Thí dụ 6.2.8 Xét sự hội tụ của chuỗi số 1 1 1( 1)n n n     Giải 1 1 1( 1)n n n     là chuỗi điều hoà đan dấu dạng 1 1 ( 1)n n n a     với 1 na n  . Ta có 1 1 1 ; 1 1n n a u n n n        và 1lim lim 0nn na n     1 1 1( 1)n n n     hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz 107 6.4 Chuỗi số số bất kỳ, sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối 6.4.1 Sự hội tụ tuyệt đối 6.4.1.1 Định lý 6.4.1 Cho chuỗi có dấu bất kỳ 1 n n a    . Nếu chuỗi 1 | |n n a    hội tụ thì chuỗi 1 n n a    cũng hội tụ và 1 1 | |n n n n a a       6.4.1.2 Định nghĩa 6.4.1 Chuỗi có dấu bất kỳ 1 n n a    được gọi là chuỗi hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi 1 | |n n a    hội tụ Thí dụ 6.4.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 2 1 sin n n n    . Giải: Ta có 2 2 2 sin 1 , 1n n n n    mà 2 1 1 n n    hội tụ 2 2 1 sin n n n    hội tụ (Theo dấu hiệu so sánh), do đó 2 2 1 sin n n n    hội tụ tuyệt đối (Theo định lý 1) 6.4.2 Chuỗi số bán hội tụ 6.4.2.1 Định nghĩa 6.4.2 Nếu chuỗi có dấu bất kỳ 1 n n a    hội tụ nhưng chuỗi 1 | |n n a    phân kỳ thì chuỗi 1 n n a    được gọi là chuỗi số hội tụ có điều kiện hay bán hội tụ 6.4.2.2 Thí dụ 6.4.2 1 1 1( 1)n n n     là chuỗi số bán hội tụ HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 6 Chương 6 sinh viên cần nắm vững các khái niệm chuỗi số, sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số. Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi số bất kỳ. Việc nghiên cứu chuỗi số hội tụ hay phân kỳ đưa về sự nghiên cứu sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số. Nên để học tốt chương 6, sinh viên cần ôn lại chương 1 phần giới hạn dãy số. Việc nghiên cứu chuỗi số bất kỳ hội tụ hay phân kỳ đưa về sự nghiên cứu sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương. Do vậy sinh viên cần nắm chắc các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương. Sinh viên cần trả lời đầy đủ các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 1) Định nghĩa chuỗi số, sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số. 2) Phát biểu và chứng minh về điều kiện để chuỗi số hội tụ và hệ quả của nó. Cho thí dụ. 108 3) Nêu các tính chất của chuỗi số hội tụ 4) Định nghĩa chuỗi số dương - Phát biểu các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương 5) Định nghĩa chuỗi đan dấu. Phát biểu dấu hiệu Leibnitz về sự hội tụ của chuỗi đan dấu. 6) Phát biểu định lý chuỗi hội tụ tuyệt đối. BÀI TẬP CHƯƠNG 6 Bài 1. Dùng định nghĩa khảo sát tính hội tụ và tính tổng ( nếu có)của chuỗi số sau: 1) 0 1 ( 1)n n n     2) 0 1 ( 2)n n n     3) 2 2 0 0 3 2 2 14) 6 ( 1) n n n n n n n n         Bài 2. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau: 1) 1 1 n n    2)     1 )34....(9.5.1 )13....(8.5.2 n n n 3) 1 sin n ne     4)   1 ! 1 n n 5) 1 1 4 3n n     6) 1 tan n n    7) 1 sin 2n n    8)           1 12 13n n n n 9) 2 1 sin , 3nn an   vôùi a 0 10)   1 ln 1 n nn 11)   1 1arcsin n n 12)   1 2 1sin n n Bài 3. Dùng dấu hiệu D’Alembert hoặc Cauchy xét sự hội tụ của chuỗi số sau: 1) 3 1 3nn n   2) 1 2 2n nn n         3) 2 1 2 3 n n n     4) 1 n n n a n    5) 1 2 1 2nn nn n          6) 2 1 ! 2nn n n    Bài 4. Kết hợp các dấu hiệu xét sự hội tụ của chuỗi số sau: 1) 3 2 5 4 1 1 3n n n n n       2) 21 1 ( 3).lnn n n     3) 2 1 sin 1n n     Bài 5. Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện của chuỗi số sau: 1) 1 ( 1) 3 n n n n   2) 1 1 1( 1) n n n    3) 1 1 ( 1) 3 2 n n n     109 Chương 7. CHUỖI HÀM 7.1 Dãy hàm số và sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số 7.1.1 Sự hội tụ của dãy hàm số Định nghĩa 7.1.1 Cho dãy hàm số   1 2( ) ( ), ( ), ..., ( ),... (1)n nf x f x f x f x Các số hạng là các hàm số thực cùng một biến số x, xác định trên tập D nào đó của R, fn(x) được goi là số hạng tổng quát của dãy hàm (1) Cho 0x x D   dãy hàm (1) trở thành một dãy số  0( )nf x , nếu dãy số này hội tụ thì ta gọi dãy hàm (1) hội tụ tại x0 hay x0 là một điểm hội tụ của dãy hàm. Ngược lại nếu nó phân kỳ thì ta gọi dãy hàm (1) phân kỳ tại x0 hay x0 là một điểm phân kỳ của dãy hàm (1) Tâp E gồm tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm (1) được gọi là miền hội tụ của nó Dãy hàm số  ( )nf x được gọi là hội tụ từng điểm trên tâp E ( )E D về hàm f(x) nếu: , 0x E     cho trước tồn tại số nguyên dương ( , ) 0N x  sao cho ( , ) ( ) ( )nn N x f x f x      Kí kiệu là lim ( ) ( )nn f x f x  hoặc ( ) ( )nf x f x khi n  Thí dụ 7.1.1   1 1( ) , ( 1,1) lim ( ) 1 1 n n nn xf x x f x x x            với -1<x<1 7.1.2 Sự hội tụ đều của dãy hàm số Định nghĩa 7.1.2 Dãy hàm số  ( )nf x được gọi là hội tụ đều trên tâp E ( )E D về hàm f(x) nếu: 0  cho trước tồn tại số nguyên dương ( )N  chỉ phụ thuộc  mà không phụ thuộc x E sao cho ( ) ( ) ( )nn N f x f x      Kí kiệu là ( ) ( )nf x f x khi n  Chú ý: Sự khác biệt giữa 2 khái niệm trên là trong trường hợp hội tụ từng điểm thì số ( , ) 0N x  phụ thuộc vào  và x, trong trường hợp hội tụ đều, số ( )N  không phụ thuộc vào x mà chỉ phụ thuộc  Thí dụ: Xét dãy hàm 1 x n       với 0 1x  Trên đoạn 0 1x  dãy hàm hội tụ về hàm f(x) = 0 Với 0  tuỳ ý cho trước ta có 1 1 1( ) ( ) ; [0,1]nf x f x x nx n n              Do đó chỉ cần chọn 1N       thì 1( ) ( ) ; [0,1]nf x f x xx n       . Vậy dãy hàm đã cho 1 x n       hội tụ đều về hàm f(x) = 0 trên đoạn [0,1] 110 7.2 Chuỗi hàm số, sự hội tụ, hội tụ đều của chuỗi hàm số 7.2.1 Chuỗi hàm Định nghĩa 7.2.1 Cho dãy hàm số thực   1 2( ) ( ), ( ), ..., ( ),... (1)n nu x u x u x u x xác định trên tập D nào đó của R . Biểu thức 1 2( ) ( ) ... ( )...(1)nu x u x u x   được gọi là chuỗi hàm số và kí hiệu   1 )( n n xu Thí dụ 7.2.1 2 0 1 ... ...n n n x x x x         7.2.2 Sự hội tụ, hội tụ đều của chuỗi hàm 7.2.2.1 Sự hội tụ của chuỗi hàm a. Định nghĩa 7.2.2 Cho chuỗi hàm số   1 )( n n xu (1) Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi hàm số (1) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm của (1). Kí hiệu là ( )nS x , nghĩa là 1 ( ) ( ) n n k k S x u x   Dãy hàm số  ( )nS x được gọi là dãy tổng riêng của chuỗi hàm (1) Nếu với 0x D , dãy số  0( )nS x hội tụ thì ta nói chuỗi hàm   1 )( n n xu hội tụ tại x0 hay x0 là một điểm hôi tụ của chuỗi hàm; ngược lại nếu dãy số  0( )nS x phân kỳ thì x0 được gọi là điểm phân kỳ. Như vậy chuỗi hàm   1 )( n n xu được gọi là hội tụ tại 0x D nếu chuỗi số 0 1 ( )n n u x    hội tụ Tập E gồm tất cả điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm. Như vậy trên tập E xác định hàm số: ( ) lim ( )nnS x S x gọi là tổng của chuỗi hàm và ta nói rằng chuỗi hàm   1 )( n n xu hội tụ về hàm S(x) trên miền E và kí hiệu 1 ( ) ( ),n n u x S x x E     Chuỗi hàm   1 )( n n xu được gọi là hội tụ tuyệt đối trên miền E nếu trên tập này chuỗi 1 ( )n n u x    hội tụ 111 Nếu chuỗi hàm   1 )( n n xu hội tụ trên miền E và có tổng là S(x) thì 1 ( ) ( )n k k n R x u x      = 1 2( ) ( ) ...n nu x u x   được gọi là phần dư thứ n của chuỗi   1 )( n n xu Ta có )()()( xRxSxS nn  . Do đó   1 )( n n xu hội tụ lim ( ) 0nn R x  Một số chuỗi hàm mà ta có thể tìm miền hội tụ của nó bằng cách sử dụng các định lý trong phần chuỗi số b.Thí dụ 7.2.2 1) 2 0 1 ... ...n n n x x x x         Có 2 1 1 1( ) ( ) 1 ... 1 nn n n k k xS x u x x x x x            1lim ( ) 1nn S x x   với 1 1x   2) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ln 1 1 x n n    Ta đã biết chuỗi số 1 1 p n n    hội tụ nếu và chỉ nếu p>1, do đó chuỗi hàm ln 1 1 x n n    hội tụ nếu và chỉ nếu ln 1x x e   . Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm đã cho là ( , )e  3) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1 1 ( 1)n nx n ne     Xét chuỗi 1 1 ( 1) (*)n nx n ne     . Theo tiêu chuẩn D’Alember với ( 1) 1 ( ) ( 1)lim lim ( ) n x n x nxn n n u x n el e u x ne         ta có: 1 1 0xl e x     : Chuỗi (*) hội tụ 1 1 0xl e x     : Chuỗi (*) phân kỳ 1 1 0xl e x     : Chuỗi (*) trở thành chuỗi số 1 ( 1)n n n    là chuỗi phân kỳ Vậy chuỗi hàm đã cho có miền hội tụ là  , 0 7.2.2.2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm a. Định nghĩa 7.2.3   1 )( n n xu được gọi là chuỗi hàm hội tụ đều về hàm số S(x) trên tập E nếu dãy hàm số  ( )nS x hội tụ đều trên tập E Thí dụ 7.2.3 Chuỗi hàm 2 1 1 1 ( 1)( )nx x n x n        Ta có 1 1 1 1( ) ( 1)( ) 1 n S x x n x n x n x n x n            hội tụ đều trên đoạn [0,1] về hàm S(x)=0. Vậy chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trên đoạn [0,1] về hàm S(x)=0. 112 b. Định lý 7.2.1 ( Định lý Weierstrass ) Cho chuỗi hàm   1 )( n n xu , nếu có chuỗi số dương 1 n n a    hội tụ và ( )n nu x a , với 0 0( )n n n N   và x X  thì chuỗi hàm  1 )( n n xu hội tụ tuyệt đối và đều trên tập X Thí dụ 7.2.4 Chuỗi hàm. 2 2 1 1 n n x     hội tụ tuyệt đối và đều trên R vì 2 2 2 1 1 , ,x R n n x n      và 2 1 1 n n    là chuỗi số dương hội tụ 7.3 Chuỗi luỹ thừa 7.3.1 Định nghĩa 7.3.1.1 Định nghĩa 7.3.1 Chuỗi hàm số luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng 1 n n n a x    (1). hoặc  0 1 n n n a x x    (2) Đặt 0X x x  thì  0 1 n n n a x x    (2) trở thành 1 n n n a X    dạng (1) Dễ thấy chuỗi 1 n n n a x    luôn hội tụ tại x = 0 và  0 1 n n n a x x    luôn hội tụ tại x = x0 Để tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa ta dự vào định lý sau: 7.3.1.2 Định lý 7.3.1 (Định lý Abel) Nếu chuỗi luỹ thừa 1 n n n a x    hội tụ tại 0 0x x  thì nó hội tụ tuyệt đối với mọi x thoả mãn 0xx  . Chứng minh: 1 n n n a x    hội tụ tại 0 0x x  nghĩa là chuỗi số 0 1 n n n a x    hội tụ . Khi đó 0 0lim 0 0 : ; n n n nn a x M a x M n N         . Xét chuỗi 1 n n n a x    với 0xx  ta có 0 0 . .n n n nn n xa x a x M q x   với 0 0 1xq x    Mà chuỗi 1 n n q    hội tụ với q <1 nên chuỗi hàm 1 n n n a x    hội tụ tuyệt đối với mọi x thoả mãn 0xx  . Hệ quả: Nếu chuỗi luỹ thừa 1 n n n a x    phân kỳ tại x = x1 thì nó phân kỳ với mọi x thoả mãn bất đẳng thức 1x x . Như vậy có 3 khả năng: 113 - Chuỗi hàm 1 n n n a x    chỉ hội tụ duy nhất tại x = 0. Chẳng hạn 1 n n n n x    - Chuỗi hàm 1 n n n a x    hội tụ với x R  . Chẳng hạn 1 ! n n x n    - Chuỗi hàm 1 n n n a x    phân kỳ tại 1 0x  và hội tụ tại 0 0x  : Theo định lý Abel và hệ quả của nó thì mọi điểm của khoảng 0 0( , )x x đều là điểm hội tụ và mọi điểm của các khoảng    1 1, , ,x x   đều là điểm phân kỳ. Do đó tồn tại số r>0 sao cho 1 n n n a x    hội tụ với | |x r và phân kỳ với | |x r 7.3.2 Bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi hàm luỹ thừa 7.3.2.1 Bán kính hội tụ - Định nghĩa 7.3.2 Số r>0 sao cho 1 n n n a x    hội tụ với | |x r và phân kỳ với | |x r được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 n n n a x    Khoảng (-r, r) được gọi là khoảng hội tụ. Nếu chuỗi phân kỳ với 0x  thì qui uớc r = 0; nếu chuỗi hội tụ với x R  ta qui ước r   Chú ý: Tại hai đầu mút của khoảng hội tụ (tức là điểm x = - r và x = + r) thì 1 n n n a x    có thể hội tụ hoặc phân kỳ - Cách tìm bán kính hội tụ Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi hàm luỹ thừa 1 n n n a x    ta dựa vào định lý sau: Định lý 7.3.2 Cho chuỗi hàm luỹ thừa 1 n n n a x    . Nếu tồn tại 1lim n n n a l a    (hoặc lim n nn a l  ) thì bán kính hội tụ của 1 n n n a x    được xác định như sau: 1 0 0 0 khi l l r khi l khi l             7.3.2.2 Cách tìm miền hội tụ của chuỗi hàm luỹ thừa 1 n n n a x    - Bước 1: Tìm bán kính hội tụ r + Nếu r = 0 thì kết luận miền hội tụ là  0 114 + Nếu r =  thì kết luận miền hội tụ là R + Ngược lại 0 r   thì suy ra khoảng hội tụ (- R, R) và chuyển sang bước 2 - Bước 2: Xét sự hội tụ của chuỗi 1 n n n a x    tại x = - R và x = R - Bước 3: Kết luận về miền hội tụ của 1 n n n a x    dựa vào két quả bước 1 và 2 Thí dụ 7.3.1 Tìm miền hội tụ của chuỗi: a) 0 1 3 n n n x n    b) 1 0 ( 1) ( 2) 2 n n n n x n     Giải: a) Chuỗi hàm số đã cho là chuỗi hàm lũy thừa có dạng 1 n n n a x    Với 1 1 1 1 3 ( 1)3n nn n a a n n      1 1 3 1 1lim lim lim 3 1 3( 1)3 n n n nn nn a n n a nn           Chuỗi lũy thừa đã cho có bán kính hội tụ là R = 3 và khoảng hội tụ là  3,3 - Khi x = -3 chuỗi hàm đã cho trở thành chuỗi số 1 1( 1)n n n    hội tụ theo dấu hiệu Lebnitz - Khi x = 3 chuỗi hàm đã cho trở thành chuỗi số 1 1 n n    phân kỳ Vậy chuỗi hàm đã cho có miền hội tụ là: 3 3x   b) Chuỗi hàm lũy thừa có dạng 0 1 ( )nn n a x x    . Đặt 2X x  ta được 1 0 ( 1) 2 n n n n X n    có dạng 1 n n n a x    với 1( 1) 1 1lim lim 2 22 2 n n nn nn n a a r n n           Suy ra chuỗi hội tụ với 2 2 2 2 2 4 0X x x            Tại x = -4 chuỗi hàm trở thành chuỗi điều hoà nên phân kỳ Tại x = 0 chuỗi hàm trở thành chuỗi số 1 1 1( 1) .n n n     hội tụ theo tiêu chuẩn LeibNiz Vậy miền hội tụ của chuổi là (-4,0] 7.3.3 Tính chất của chuỗi hàm luỹ thừa 7.3.3.1 Tính chất 1: (Tính liên tục của tổng của chuỗi) 115 Định lý 7.3.3 Nếu chuỗi 1 n n n a x    có tổng là S(x) thì S(x) liên tục trên trên miền hội tụ của nó. 7.3.3.2 Tính chất 2: (Lấy tích phân của một chuỗi luỹ thừa ) Định lý 7.3.3 Với mọi đoạn [ , ]a b nằm trong miền hội tụ của chuỗi 1 n n n a x    có tổng là S(x) thì 1 1 ( ) ( ). ( ).n n n n b b b a a a S x dx u x dx u x dx          . 7.3.3.3 Tính chất 3: (Lấy đạo hàm của một chuỗi luỹ thừa) Định lý 7.3.4 Trên khoảng hội tụ của chuỗi 1 n n n a x    có tổng là S(x) thì / / / 1 1 ( ) ( )n nn n n n S x a x a x              . 7.3.4 Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin 7.3.4.1 Định lý 7.3.5 Nếu hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của x0 và lim ( )nn R x  ( 1) 1 0 ( )lim ( ) 0 ( 1)! n n n f x x n       , với  nằm giữa x0 và x thì trong lân cận x0 ta có: 0 0 0 / / / ( ) 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... 1! 2! ! n nf x f x f xf x f x x x x x x x n            0 ( ) 0 0 1 ( ) ( ) (1) ! n n n f x f x x x n      Khi đó ta gọi chuỗi hàm ở vế phải của (1) là chuỗi Taylor của hàm f(x) trong lân cận x0 và ta nói hàm f(x) khai triển được thành chuỗi Taylor. Nếu x0 = 0 thì chuỗi Taylor trở thành chuỗi sau và được gọi là chuỗi Maclaurin   ( ) / / / ( ) 2 1 (0) (0) (0) (0)( ) 0 (0) ... ... (2) ! 1! 2! ! n n n n n f f f ff x f x f x x x n n           7.3.4.2 Điều kiện đủ để khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin Định lý 7.3.6 Nếu hàm số f(x) trên đoạn [-H,H] có đạo hàm mọi cấp và chúng bị chặn bởi cùng một số:  ( ) ( ) ; ,nf x M x H H    với n Thì trên đoạn đó có khai triển:   ( ) / / / ( ) 2 1 (0) (0) (0) (0)( ) 0 (0) ... ... ! 1! 2! ! n n n n n f f f ff x f x f x x x n n           7.3.4.3 Khai triển thành chuỗi Maclaurin một số hàm số sơ cấp: a) ( ) xf x e Ta có  ( ) ( )( ) ( ) ; , )n x n Hf x e f x e x H H      với H>0 nên f(x)= ex 116 Khai trển được thành chuỗi Maclaurin. Áp dụng công thức (2) ta được:   ( ) / / / ( ) 2 1 (0) (0) (0) (0)( ) 0 (0) ... ... ! 1! 2! ! n n n n n f f f ff x f x f x x x n n            2 1 1 1 1 11 1 ... ... ! 1! 2! ! x n n n e x x x x n n           b) ( ) s inxf x  Ta có ( ) 0 2 ( ) sin( . ) (0) 2 ( 1) 2 1 n n k khi n k f x x n f khi n k             ( ) / / / ( ) 2 1 (0) (0) (0) (0)sin ( ) 0 (0) ... ... ! 1! 2! ! n n n n n f f f fx f x f x f x x x n n             3 5 2 1 2 1 0 ... ( 1) . ... ( 1) . 3! 5! (2 1)! (2 1)! k k k k k x x x xx k k              với x R  c) ( ) osxf x c Tương tự ta có : 2 4 2 2 0 cos 1 ... ( 1) . ... ( 1) . 2! 4! (2 )! (2 )! k k k k k x x x xx k k            với x R  7.3.4.4 Một số ứng dụng khai triển hàm số thành chuỗi - Tính giá trị gần đúng hàm số tại một điểm Thí dụ Tính gần đúng số e với độ chính xác đến 0,00001 - Tính gần đúng tích phân xác định Thí dụ Tính gần đúng tích phân sau với độ chính xác cho trước 1 0 sinxdx x 7.4 Chuỗi lượng giác và chuỗi Fourier Trong cơ học thường gặp các bài toán phân tích một dao động thành các dao động điều hoà hoặc hợp các dao động điều hoà. Xét về mặt toán học, điều đó có nghĩa là khai triển một hàm số (có chu kỳ) thành một chuỗi hàm dạng sau đây 7.4.1 Định nghĩa - Định nghĩa 7.4.1 Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng     1 0 )sin.cos.( 2 n nn nxbnxa a (1) trong đó 0 , ,n na a b R - Định lý 7.4.1 Nếu chuỗi lượng giác hội tụ đều trên đoạn [- ; ] về hàm f(x) thì các hệ số an, bn được tính bởi công thức: 1 ( ) cos . ; 1, 2,3,... (2) 1 ( ) sin . ; 1, 2,3,... n n a f x nx dx n b f x nx dx n                    117 - Định nghĩa 7.4.2 Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 , khả tích trên đoạn [- ; ], chuỗi lượng giác     1 0 )sin.cos.( 2 n nn nxbnxa a trong đó các hệ số an, bn được tính theo công thức (2) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x) 7.4.2 Điều kiện khai triển được thành chuỗi Fourier: Định lý 7.4.2 (Định lý Đirichle) Nếu hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2 , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn [- ; ] thì chuỗi Fourier của hàm hội tụ từng điểm trên đoạn đó và tổng S(x) của chuỗi được xác định như sau: 1. ( ) ( )S x f x tại những điểm ( )f x liên tục; 2.  1( ) 0 ( 0) 2 S x f x f x      khi x là điểm gián đoạn loại I và  ,x    3. S() = S(-) = [f( -0) + f(+0)]/2. Chú ý: Khai triển Fourier là công cụ của Phương trình vật lý toán và giải tích điều hoà. Nó còn là cơ sở để giải các bài toán về phân bố nhiệt,... Thí dụ 7.4.2 Khai triển Fourier của hàm  f x x  trên đoạn [-; ] và tuần hoàn với chu kỳ 2 Ta có: 0 1 1( ) ( ) 2a f x dx x dx               ;  1 1 1( ) cosnx cosnx cosnx cosnx 0 na f x dx x dx dx x dx                            1 1 2sin nx 0 sin nx 1 . n nb x dx x dx n                (Tích phân từng phần) Theo định lý Đirichle ta được:    0 1 1 1 ( ) cos .s innx 2 s innx 2 n n n n n af x a nx b n             Sự khai triển này đúng với x R  trừ các điểmgián đoạn của hàm f(x) là 2x k   HƯỚNG DẪN TỰ HỌC VÀ CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 7 Chương 7 sinh viên cần nắm vững các khái niệm dãy hàm số, định nghĩa và các dấu hiệu về sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số, chuỗi hàm số. Định nghĩa, cách khai triển và ứng dụng của chuỗi lũy thừa, Chuỗi lượng giác. Khi tìm miền hội tụ của chuỗi hàm cần vận dụng các kết quả về xét sự hội tụ của chuỗi số, nên cần ôn tập nắm vững kiến thức về chuỗi số để nghiên cứu về chuỗi hàm số. Sinh viên trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ các bài tập sau: 118 1) Định nghĩa chuỗi hàm số, chuỗi hàm hội tụ, hội tụ đều. Cho thí dụ. 2) Phát biểu tiêu chuẩn Weierstrass về sự hội tụ đều của chuỗi hàm. Cho thí dụ minh hoạ. 3) Định nghĩa bán kính của chuỗi hàm lũy thừa dạng 1 n n n a x    và trình bày cách tìm bán kính và miền hội tụ của nó. Cho thí dụ. 4) Định nghĩa chuỗi Taylor và Maclaurin của 1 hàm số. Nêu ứng dụng của chuỗi Maclaurin. BÀI TẬP CHƯƠNG 7 Bài 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số sau: 1) 1 1 x n n    2)   1 1 11 n x n n     3) 1 2 sin 3 n n n x   4) 1 1 ! nn n x    5)   2 1 1 1 n n n x n     6) 1 ! n n x n    Bài 2. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa sau: 1) 1 1 3 2n n n n x    2)   1 2 1 ! ! n n n x n     3) 1 ( 2)n nnn x    4)     1 2 1 ! 1 nn n n x     Bài 3. Khai triển thành chuỗi Maclaurin các hàm số sau 1) 2( ) sinf x x 2) ( ) ; 0 1xf x a a   3) ( ) ln (1 )f x x  Bài 4. Khai triển thành chuỗi Fourier các hàm số sau 1) 2( )f x x trên đoạn [-1,1] 2) 2 ( ) 2 xf x x  trên đoạn [0,2] Bài 5. Tính gần đúng các số sau với sai số không quá 10-4 1) e 2) 0os61c 3) 2 1 4 0 xe dx 119 MỤC LỤC GIỚI THIỆU MÔN HỌC ............................................................................................... 1 Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC....................... 4 1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số ................................................................................. 4 1.2 Hàm số ................................................................................................................... 7 1.3 Các hàm số đặc biệt ................................................................................................ 9 1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản ..................................................................................... 11 1.5. Giới hạn hàm số.................................................................................................... 12 1.6 Sự liên tục của hàm số. ......................................................................................... 19 Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN .................................... 26 2.1 Đạo hàm ............................................................................................................... 26 2.2 Sự khả vi và vi phân hàm số ................................................................................. 31 2.3 Các định lý về hàm số khả vi ................................................................................ 33 2.4 Ứng dụng của đạo hàm ......................................................................................... 39 Chương 3. TÍCH PHÂN............................................................................................... 48 3.1 Nguyên hàm và tích phân không xác định ............................................................. 48 3.2 Các phương pháp cơ bản tính tích phân................................................................. 49 3.3 Tích phân các hàm số thường gặp ......................................................................... 51 3.4 Tích phân xác định ............................................................................................... 56 3.5 Tích phân suy rộng ............................................................................................... 61 3.6 Ứng dụng của tích phân ........................................................................................ 64 Chương 4. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ ...................................................................... 71 4.1 Các khái niệm cơ bản............................................................................................ 71 4.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến .................................................... 72 4.3 Đạo hàm riêng ...................................................................................................... 73 4.4 Sự khả vi và vi phân toàn phần ............................................................................. 76 4.5 Cực trị của hàm số hai biến ................................................................................... 78 Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN..................................................................... 86 5.1 Các khái niệm cơ bản............................................................................................ 86 5.2 Phương trình vi phân cấp 1 ................................................................................... 87 5.3 Phương trình vi phân cấp 2 ................................................................................... 93 Chương 6. CHUỖI SỐ ............................................................................................... 101 6.1 Định nghĩa, điều kiện cần, tính chất của chuỗi số hội tụ ...................................... 101 6.2 Chuỗi số dương .................................................................................................. 103 6.3 Chuỗi số đan dấu ................................................................................................ 106 6.4 Chuỗi số số bất kỳ, sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối .................................................. 107 Chương 7. CHUỖI HÀM ......................................................................................... 109 7.1 Dãy hàm số và sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số............................................ 109 7.2 Chuỗi hàm số, sự hội tụ, hội tụ đều của chuỗi hàm số ......................................... 110 7.3 Chuỗi luỹ thừa .................................................................................................... 112 7.4 Chuỗi lượng giác và chuỗi Fourier ..................................................................... 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 120 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM. [2] Nguyễn Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM. [3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Đà Nẵng. [4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II , NXBGD. [5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật [6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP. [7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM [8] ĐanKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài tập toán cao cấp (Sách dùng cho các trường Đại học kỹ thuật), NXB Giáo dục.