Giáo trình môn học Xác suất thống kê

9/2/2015 1 LOG O XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giảng viên: Phan Trung Hiếu 45 tiết 2 Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): Dự lớp đầy đủ: 10 điểm. Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1 điểm. Chỉ được vắng 1 ngày có phép. -Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. Điểm cộng, trừ giờ bài tập: 3 -Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ: 1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1 câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không trừ điểm). Chỉ được cộng tối đa 2 điểm. Điểm cộng, trừ giờ bài tập: 4 -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ: Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần. Khi không có SV xung phong lên làm thì GV sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ trên xuống: -Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần. Trang web môn học: 5 https://sites.google.com/site/sgupth SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng tuần, điểm quá trình trên trang web sau: 6 Nội dung: Chương 0: Đại cương về Giải tích tổ hợp. Chương 1: Đại cương về Xác suất. Chương 2: Biến ngẫu nhiên. Chương 3: Một số phân phối xác suất quan trọng. Chương 4: Lý thuyết mẫu và ước lượng tham số. Chương 5: Kiểm định giả thuyết thống kê. 9/2/2015 2 7 Tài liệu học tập: [1] Bài giảng trên lớp. [2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011. [3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011. [4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh, Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011. Các tài liệu tham khảo khác. 8 Dụng cụ hỗ trợ học tập: Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus. LOG O Chương 0: ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giảng viên: Phan Trung Hiếu 10 -Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không có định nghĩa. I. Tập hợp: -Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau cho ta hình ảnh của tập hợp. Các đối tượng này trở thành phần tử của tập hợp. Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong giờ môn XSTK tại phòng A . 1.1. Khái niệm: 11 ▪ Tập hợp: A, B, C,,X, Y, Z, 1.2. Ký hiệu: ▪ Phần tử: a, b, c,,x, y, z, ▪ x là một phần tử của tập hợp A: ▪ x không là một phần tử của tập hợp A: x A x A ▪ : số phần tử của tập hợp A.A 12  Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn (đếm được, thấy được cụ thể) 1.3. Các phương pháp xác định tập hợp: Ví dụ 1:  A  2, 3, 4, 5 3 A 5 A 0 A   Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và bé hơn 6: A  4 9/2/2015 3 13 Ví dụ 2: Tập hợp các số tự nhiên bé hơn 1000:  B  0,1, 2, , 997, 998, 999 Chú ý: Phương pháp liệt kê - Không quan tâm thứ tự liệt kê. - Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không lặp lại. 500 B B 1000 14 Trưng tính: - Nêu bật tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp. - Hay dùng khi số phần tử là vô hạn. Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên chẵn:  A  x x và 2x  10 A 101 A 4 A   15 Ví dụ 2: B = { x | x là sinh viên đang học môn XSTK tại phòng A..}  Giản đồ Venn: là một đường cong khép kín, không tự cắt. A 2 3 4 5 73 A 7 A   Ví dụ 1:  2,3,4,5A  16 Ví dụ 2: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai môn thể thao là cầu lông và bóng bàn. Có 5 bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể thao. 2CL BB3 2 7 bạn đăng ký 3 bạn không đăng ký 17 1.4. Tập hợp con: A B B A A là tập con của B, ký hiệu: A chứa trong B B chứa A A B A B x A x B     I. Tập hợp: 18 Ví dụ: {1, 2, 3, 5, 7}A  {1, 2, 8}C  {1, 5}B  C A B A   9/2/2015 4 19 1.5. Tập hợp rỗng:  -Là tập hợp không chứa một phần tử nào. Ví dụ 1: A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng A. mà có số tuổi lớn hơn 80} A  Ví dụ 2:  B  x x và 2 1x   B  Quy ước: là tập con của mọi tập hợp. Chú ý: là tập tất cả các tập con của X.( )X ( )X { }.A A X  ( ) 2 ,nX  n: số phần tử của X. 20 1.6. Tập hợp bằng nhau: A B A B B A      II. Các phép toán tập hợp: 21 2.1. Phép giao:  |A B x x A x B  và A B A B A B A B   (A và B rời nhau) 22 2.2. Phép hợp:  |A B x x A x B  hay A B A B II. Các phép toán tập hợp: Ví dụ: {1, 2, 3, 4}A  {3, 4, 5, 6, 7}B  {2, 8, 9}C  A B {3, 4} A C  B C  A B  A C  B C  {2}  {1,2,3,4,5,6,7} {1,2,3,4,8,9} {2,3,4,5,6,7,8,9} 23 2.3. Phép lấy hiệu:  |\A B x x A x B  và A B \A B 24 9/2/2015 5 II. Các phép toán tập hợp: Ví dụ: {1, 2, 3, 4}A  {3, 4, 5, 6, 7}B  {6, 7, 8, 9}C  \A B {1, 2} \A C  \C A  \A A  \B   A C  \C B {8, 9} B 25 2.4. Phép lấy bù:  |A x X x A   A A X Nhận xét: A A   A A  X 26 II. Các phép toán tập hợp: 27 Ví dụ: Cho X là tập hợp tất cả các số nguyên dương, A là tập hợp các số nguyên dương lớn hơn 10. Hỏi ?A  X  Giải A   |A x X x A    1, 2, 3, 4,...,10 {1, 2, 3, 4, 5,....} {11, 12, 13, 14, 15,....} III. Các tính chất: 3.1. Phân phối:      A B C A B A C           A B C A B A C      3.2. De Morgan: A B A B   A B A B   3.3: X A A B B A B A    B B A B A    IV. Quy tắc đếm: 29 4.1. Quy tắc cộng: Công việc Phương án (Trường hợp) 1 cách 2 cách   k cách 1 2 ...   kn n n cách thực hiện 1n 2n  kn 30 Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây. Hỏi có mấy cách chọn 1 quần để mặc? Giải TH1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: TH2: Chọn 1 quần tây từ 3 quần tây: Vậy có: 4 + 3 = 7 cách. 4 cách. 3 cách. Ví dụ 2: Có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8 quyển sách Lý khác nhau, 6 quyển sách Hóa khác nhau. Một học sinh được chọn 1 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 10 + 8 + 6 = 24 cách. 9/2/2015 6 31 4.2. Quy tắc nhân: Công việc Bước 1 cách 2 cách   k cách 1 2 ...   kn n n cách thực hiện 1n 2n  kn 32 Ví dụ 1: Có 4 quần Jean khác nhau và 3 áo sơ mi khác nhau. Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để mặc? Giải Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi: Vậy có: 4 3 12  4 cách. 3 cách. cách. 33 Ví dụ 2: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán. Nhà trường muốn thành lập một đoàn gồm 2 người dự hội nghị sao cho có 1 học sinh chuyên Tin và 1 học sinh chuyên Toán. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? 12 18 216  cách. 34 Tóm lại: -Khi thực hiện một công việc có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong công việc. Khi đó, ta dùng quy tắc cộng. -Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng quy tắc nhân. 35 5.1. Hoán vị: !n n vật khác nhau xếp vào n chỗ khác nhau theo một thứ tự nhất định hoặc đổi chỗ n vật khác nhau. cách. Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 3 người vào a) Một bàn dài có 3 chỗ ngồi: b) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi: c) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi có đánh số: 3! 6 cách 2! 2 cách 3! 6 cách V. Giải tích tổ hợp: 36 5.2. Tổ hợp ( ):knC Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật. ! !( )!   k n n C k n k cách. Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp. 3 40 C 9880 cách. Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách rút ra 3 lá bài từ bộ bài 52 lá? 3 52 C 22100 cách. (0 ; , )k n k n   9/2/2015 7 37 5.3. Chỉnh hợp ( ): Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật rồi rồi xếp vào k chỗ khác nhau knXếp có lặp lại, có hoàn lại cách. Xếp không lặp lại, không hoàn lại ! ( )!   k n n A n k cách. (0 ; , )k n k n   Nhận xét: . !k kn nA C k k nA 38 Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào nếu: a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúc nhiều chức danh? b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chức danh? 340 64000 cách. 3 40 59280A cách. 39 Ví dụ 2: Có mấy cách chọn ngẫu nhiên 2 người, một người lau bảng, một người quét lớp cho một buổi trực nhật từ một tổ có 5 người? 2 5 20A cách. 3 5A cách. Ví dụ 3: Có 5 bức tranh khác nhau. Hỏi có mấy cách: a) Lấy ra 3 bức để treo lên tường? b) Lấy ra 3 bức và treo lên 3 vị trí định sẵn trên tường? 3 5C cách. VI. Một vài ví dụ tổng hợp: 40 Ví dụ 1: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B, C, D, E vào 1 chiếc ghế dài có 5 chỗ. Có bao nhiêu cách xếp: a) Năm người vào ghế? b) Sao cho C ngồi chính giữa? c) Sao cho A, B ngồi hai đầu ghế? Giải 5! cách.a) Xếp 5 SV vào 5 chỗ: 1 cách.b) B1: Xếp C ngồi chính giữa: B2: Xếp 4 SV còn lại vào 4 chỗ còn lại: 4! cách. Vậy có: 4! cách. 2!cách.c) B1: Xếp A, B ngồi hai đầu ghế: B2: Xếp 3 SV còn lại vào 3 chỗ còn lại: 3!cách. Vậy có: 2! 3! cách. 41 Ví dụ 2: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn cùng môn được sắp kề nhau. Giải Hoán vị 4 sách Văn với nhau: 4! cách. Hoán vị 2 sách Toán với nhau: 2! cách. Hoán vị 6 sách Anh văn với nhau: 6! cách. Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau: 3! cách. Vậy có: 4! 2! 6! 3!   cách. 42 Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành 3 nhóm: nhóm 1 có 4 người, nhóm 2 có 3 người, nhóm 3 có 3 người? Giải B1:Chọn 4 người từ 10 người để lập nhóm 1: B2:Chọn 3 người từ 6 người để lập nhóm 2: B3:Chọn 3 người từ 3 người còn lại để lập nhóm 3: 4 10C cách. 3 6C cách. 3 3C cách. Vậy có: 410.C 3 6 .C 3 3C cách. 9/2/2015 8 43 Ví dụ 4: Trong một bình có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ra 2 bi. Có bao nhiêu cách để 2 bi lấy ra cùng màu? Giải TH1: Lấy được 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ: 24C cách. Vậy có: cách. TH2: Lấy được 2 bi xanh từ 3 bi xanh: 23C cách. 2 4C  2 3C 44 Ví dụ 5: Từ 7 nam và 4 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 6 người trong đó: a) có 3 nam và 3 nữ. b) có đúng 2 nữ. c) có ít nhất 2 nữ. d) có nhiều nhất 2 nữ. e) có không quá 1 nữ. Giải a) B1:Chọn 3 nam từ 7 nam: Vậy có: 3 37 4.C C 3 7C cách. B2:Chọn 3 nữ từ 4 nữ: 3 4C cách. cách. b) B1:Chọn 2 nữ từ 4 nữ: Vậy có: 2 44 7.C C 2 4C cách. B2:Chọn 4 nam từ 7 nam: 4 7C cách. cách. 45 c) có ít nhất 2 nữ ( 2 TH1: chọn 2 nữ và 4 nam: Vậy có: 2 4 3 3 4 24 7 4 7 4 7. . .C C C C C C  TH2: chọn 3 nữ và 3 nam: cách. 2 4 4 7.C C cách. 3 3 4 7.C C cách. TH3: chọn 4 nữ và 2 nam: 4 24 7.C C cách. d) có nhiều nhất 2 nữ ( 2 TH1: chọn 6 nam: Vậy có: 6 1 5 2 47 4 7 4 7. .C C C C C  TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: cách. 6 7C cách. 1 5 4 7.C C cách. TH3: chọn 2 nữ và 4 nam: 2 44 7.C C cách. e) có không quá 1 nữ ( 1 TH1: chọn 6 nam: Vậy có: 6 1 57 4 7.C C C TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: cách. 6 7C cách. 1 5 4 7.C C cách. nữ) nữ) nữ) 46 Ví dụ 6: Trong một bình có 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng. Lấy ra 4 bi. Có bao nhiêu cách để số bi lấy ra không đủ 3 màu? Giải Lấy 4 bi trong 15 bi: 415C cách. TH1: Lấy được 1 Đ, 1 T, 2 V: 14 .C cách. 1 5.C 26C TH2: Lấy được 1 Đ, 2 T, 1 V: 14 .C cách. 2 5 .C 1 6C TH3: Lấy được 2 Đ, 1 T, 1 V: 2 4 .C cách. 1 5 .C 1 6C Có: 1 1 2 1 2 1 2 1 14 5 6 4 5 6 4 5 6. . . . . .C C C C C C C C C  cách để số bi lấy ra có đủ cả 3 màu. Số cách để 4 bi lấy ra có đủ 3 màu: Vậy có: 4 15C  14.C 15 .C 26C  14.C 25 .C 16C  24 .C 15.C 16C  cách thỏa yêu cầu.645 47 Ví dụ 7: Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào một chiếc ghế dài có 6 chỗ sao cho 2 chỗ đầu tiên phải là nam. Hỏi có mấy cách? Giải B1: Chọn 2 nam từ 3 nam rồi xếp vào 2 chỗ đầu tiên: B2: Chọn 3 chỗ từ 4 chỗ còn lại rồi xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ đó: 2 3A cách. 3 4A cách. Vậy có: 23 .A 3 4A cách. 48 Ví dụ 8: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 20 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên học tập, 1 ủy viên đời sống nếu: a) Chọn bất kỳ. b) Lớp trưởng là nữ. c) Có đúng 1 nam. d) Toàn là nữ. e) Có ít nhất 1 nam. 4 30A cách. 3 2910.A cách. 3 1020. .4!C cách. 4 10A cách. 4 4 30 10A A cách. 9/2/2015 1 LOG O Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT Giảng viên: Phan Trung Hiếu 2 Hiện tượng tất định: I. Hiện tượng ngẫu nhiên: Hiện tượng ngẫu nhiên: là những hiện tượng mà khi thực hiện trong cùng một điều kiện như nhau sẽ cho kết quả như nhau. là những hiện tượng mà dù được thực hiện trong cùng một điều kiện như nhau vẫn có thể cho nhiều kết quả khác nhau. biết trước kết quả sẽ xảy ra không biết trước được kết quả sẽ xảy ra 3 -Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát của lý thuyết xác suất. -Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”. 1.1. Phép thử (T ): sát hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không thể dự đoán trước được. thí nghiệm, phép đo, sự quan Ví dụ: T: tung một con súc sắc T: mua 1 tờ vé số T: quan sát tình trạng hoạt động của một máy 4 kết quả có thể xảy ra của phép thử. 1.2. Không gian mẫu ( ):    Tập hợp tất cả các Ví dụ 1: T: tung một con súc sắc▪ {1, 2,3, 4,5,6} | | 6.   T: tung một đồng xu▪  { , }S N | | 2.   T: tung hai đồng xu ▪  { , , , }SS SN NS NN | | 4.   Ví dụ 2: T: tung 2 con súc sắc▪ | |  6 6 36.  5 Ví dụ 3: ▪ Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi | |   210 45.C Ví dụ 4: ▪ Một kho có 50 sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho. | |   150 50.C T: Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 50 sản phẩm 6 1.3. Biến cố: là tập con của không gian mẫu. Thường được ký hiệu là A, B, C, Ví dụ 1: T: tung một con súc sắc   A: “Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”  A {2, 4,6} | | 3. A Khi nào biến cố A xảy ra? Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra. {1, 2,3,4,5,6}. 9/2/2015 2 7 Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi | |   210 45.C A: “Lấy được 2 bi đỏ” | | A 24 6. C B: “Lấy được 2 bi khác màu” Số cách lấy được 2 bi đỏ | | B 1 16 4 24.C C Chú ý:  : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).  : biến cố không thể (không bao giờ xảy ra). A    A 8 Ví dụ 3: T: tung một con súc sắc A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không vượt quá 6” B: “Súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm”  A {1, 2,3, 4,5,6} .   B .  {1,2,3, 4,5,6}. 9 2.1. Quan hệ kéo theo: A B  A xảy ra thì suy ra B xảy ra : biến cố A kéo theo biến cố B A B A B  II. Phép toán trên các biến cố: 10 Ví dụ: Theo dõi 3 con gà mái đẻ trứng trong một ngày. “Có 1 con gà đẻ trứng trong một ngày”1 :D “Có 2 con gà đẻ trứng trong một ngày”2 :D “Có 3 con gà đẻ trứng trong một ngày”3 :D B: “Có nhiều hơn 1 con gà đẻ trứng trong một ngày” “Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày”0 :D . Trong các biến cố trên, biến cố nào kéo theo biến cố B? ( 0, 3)iD i  0D B 1D B 2D B 3D B 11 2.2. Quan hệ tương đương: A B     A B B A : biến cố A tương đương với biến cố B A B  A xảy ra thì suy ra B xảy ra và ngược lại. 12 2.3. Tổng của các biến cố:  A B A B A + B xảy ra  có ít nhất 1 trong hai biến cố A, B xảy ra  hoặc A, hoặc B, hoặc cả A và B đều xảy ra. A B  9/2/2015 3 13 Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. T: “3 bi lấy ra là 3 bi trắng”. Đ: “3 bi lấy ra là 3 bi đỏ”. A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau”   A T Đ. Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK. A: “Sinh viên A đậu”. B: “Sinh viên B đậu”. C: “Có ít nhất một sinh viên đậu” .  C A B 14 2.4. Tích của các biến cố: .  A B A B A.B xảy ra A xảy ra VÀ B xảy ra A B (tất cả)  15 Ví dụ 2: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy. A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”. . C AB Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK. A: “Sinh viên A đậu”. B: “Sinh viên B đậu”. C: “SV A và SV B đều đậu” . C AB B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”. C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy” 16 Ví dụ 3: Một thợ săn bắn 2 viên đạn vào một con thú. “Viên đạn thứ 1 trúng con thú”. “Viên đạn thứ 2 trúng con thú”. A: “Con thú bị trúng đạn”. 1 :A 2 :A Chọn câu đúng: 1) a A A 2) b A A 1 2)  c A A A 1 2) .d A A A e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng. 17 Ví dụ 4:Có 2 hộp bi. Hộp I có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Hộp II có 7 bi trắng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi. “Bi lấy từ hộp I là bi trắng”. A: “2 bi lấy ra là bi trắng”. 1 :T Chọn câu đúng: 1) a A T 2) b A T 1 2) .c A T T 1 2)  d A T T e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng. “Bi lấy từ hộp II là bi trắng”.2 :T III. Quan hệ giữa các biến cố: 18 3.1. Xung khắc: A và B xung khắc A và B không bao giờ cùng xảy ra. A B   A B  9/2/2015 4 19 Ví dụ 1: T: tung một con súc sắc A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. B: “Súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm”. C: “Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. b) A và C xung khắc. c) B và C không xung khắc. d) Tất cả đều sai. 20 Ví dụ 2: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá. A: “Lấy được lá ách”. B: “Lấy được lá cơ”. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. b) A và B không xung khắc. 21 Ví dụ 3: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá. A: “Lấy được 2 lá ách”. B: “Lấy được 2 lá cơ”. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. b) A và B không xung khắc. 22 3.2. Đối lập: A và B được gọi là đối lập nhau  luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra (có 1 và chỉ 1) Ký hiệu: A là biến cố đối (lập) của biến cố A.  AA     A A A A  A: “Không xảy ra biến cố A”.  23 Ví dụ 1: T: tung một đồng xu A: “Xuất hiện mặt ngửa”. B: “Xuất hiện mặt xấp”. A và B đối nhau. 24 Ví dụ 2: T: tung một con súc sắc A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. B: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút lẻ”. C: “Súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm”. Chọn câu đúng: a) A và B không xung khắc. b) A và B đối nhau. c) B và C không xung khắc. d) B và C đối nhau. 9/2/2015 5 25 Ví dụ 3: T: tung một con súc sắc A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút ít nhất là 4”. Chọn câu đúng: a)A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút là 3”. b)  1, 2, 3 .A c)A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút nhiều nhất là 3”. d) Cả hai câu b và c đều đúng. 26 Nhận xét:  A và B đều không xảy ra đều xảy ra  A và B không đối nhau.  đối nhau  xung khắc.  A xảy ra  A không xảy ra. 27 Ví dụ 4: Có 2 sinh viên đi thi. Đặt :iS “Sinh viên i thi đậu”. (i=1,2) Hãy biểu diễn các biến cố sau theo a) A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu”. :iS 1 2.A S S b) B: “Không có ai thi đậu”. 1 2.B S S e) E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu”. 21.E S S f) F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu”. 2 11 2. .F S S S S  d) D: “Có sinh viên 1 thi đậu”. 21 1 2. .D S S S S  g) G: “Có sinh viên thi đậu”. 1 2G S S  h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”. 1 2 2 11 2. . .H S S S S S S   c) C: “Có ít nhất 1 sinh viên thi đậu”. 1 2C S S  B F  C IV. Các tính chất của biến cố: 28  ; . .A B B A A B B A     ( ) ( ); ( . ). .( . )A B C A B C A B C A B C       .( ) . . ;A B C A B A C    ; .A B A B B A B A      ; .A A A A     ; ; . ; .A A A A A A A A A        . ; .A B A B A B A B     ( . ) ( . )B B A B A  A A B .B A .B A V. Nhóm đầy đủ các biến cố: 29 1 2 3, , ,..., nA A A A   là nhóm đầy đủ 1 2 3 ... khi          n i j A A A A AA i j  luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra.  1A 2A nA ...  30 Ví dụ 1: là một nhóm đầy đủ. ,A A Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng, 2 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. T: “Lấy được viên trắng”. Đ: “Lấy được viên đỏ”. X: “Lấy được viên xanh”.  {T, Đ, X} là một nhóm đầy đủ. 9/2/2015 6 VI. Định nghĩa xác suất: 31 Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xảy ra khách quan của biến cố đó. Ký hiệu: P(A): xác suất của biến cố A. 32 6.1. Định nghĩa cổ điển: | |( ) | |   A P A | |:A số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra. | |: số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Chú ý:  0 ( ) 1,P A A    ( ) 0P    ( ) 1P    ( ) 1 ( )P A P A  33 Ví dụ 1: Lớp học có 30 học sinh, trong đó có 10 nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 người trực lớp. Tính xác suất để người được chọn là nam. Giải T: chọn ngẫu nhiên 1 người từ 30 người | |   A: “Người được chọn là nam” | |A  120 20.C ( ) P A | | | | A 20 0,6667. 30   1 30 30.C 34 Ví dụ 2: Từ một hộp đựng 20 quả cầu đỏ, 5 quả cầu đen, 2 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất để: a) 4 quả cầu lấy ra cùng màu đen. b) 4 quả cầu lấy ra có 3 quả màu đỏ. c) 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ. d) 4 quả cầu lấy ra đều cùng màu. e) 4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu. Giải T: lấy ngẫu nhiên ra 4 quả từ 27 quả | |   427 17550.C 35 a) A: “4 quả cầu lấy ra cùng màu đen” | |A  45 5C ( ) P A | | | | A 5 0,0003. 17550   b) B: “4 quả cầu lấy ra có 3 quả màu đỏ” | | B 320.C ( ) P B | | | | B 7980 0, 4547. 17550   1 7C 7980 36 c) C: “4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ”. : “4 quả cầu lấy ra không có quả đỏ”. | | C | |( ) | |    C P C 4 7 35C C ( ) P C 1 ( )P C 35 35031 0,998. 17550 3510     35 17550  9/2/2015 7 37 d) D: “4 quả cầu lấy ra đều cùng màu” | | D 420C ( ) P D | | | | D 4850 0, 2764. 17550   4 5 4850 C e) E: “4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu” : “4 quả cầu lấy ra đều cùng màu”.  E D E ( ) P E 1 ( )P E 4850 2541 0,7236. 17550 351     V. Định nghĩa xác suất: 38 Chú ý (Điều kiện của định nghĩa cổ điển):  Các kết quả trong không gian mẫu phải đồng khả năng xảy ra.  Không gian mẫu phải hữu hạn.   39 6.2. Định nghĩa theo thống kê: -Thực hiện phép thử n lần, thấy biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số :k n Tần suất của biến cố A. -Trong thực tế, khi n đủ lớn thì ( ) kP A n  40 Ví dụ 1: Khảo sát ngẫu nhiên 100 người hút thuốc lá, thấy có 91 người bị viêm phổi. Khi đó, có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc lá thì xác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng: 91 0,91 100  41 Ví dụ 2: T: tung một đồng xu. S: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp” N: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” ( ) P S ( ) P N Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để kiểm chứng: Người thí nghiệm Số lần tung Số lần ngửa Tần suất Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 0,5 0,5 ( ) 0,5 P N 42 6.3. Định nghĩa theo hình học: Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài, diện tích, thể tích). Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền . A: điểm M thuộc miền S  ( )P A  độ đo của S độ đo của  9/2/2015 8 43 Ví dụ: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh 2cm. Giải A: điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp 2 22 3 3 4 S cm   ??? ??? 21 33 S r cm S cm   / 3( ) 0,6046. 3 3 3 P A      44 6.4. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn: -Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xác suất rất nhỏ (gần 0) thì có thể cho rằng trong thực tế nó không xảy ra trong một phép thử. -Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác suất rất lớn (gần 1) thì có thể cho rằng trong thực tế nó nhất định xảy ra trong một phép thử. 45 6.5. Xác suất có điều kiện: ( )( | ) ( ) P ABP A B P B  P(A|B): xác suất để A xảy ra biết B đã xảy ra. B: thông tin.  ( ) 0P B  46 Chú ý: ( )( | ) ( ) P ABP B A P A   ( | ) 1 ( | )P A B P A B   1 2 1 2( | ) ( | ) ( | )P A A B P A B P A B   nếu và xung khắc. 1A 2A 47 Ví dụ 1: Một nhóm có 10 học sinh, trong đó có 5 bạn giỏi Toán, 4 bạn giỏi Văn, 2 bạn giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Tính xác suất: a) chọn được bạn giỏi Toán. b) chọn được bạn chỉ giỏi Toán. c) chọn được bạn giỏi ít nhất một môn. d) chọn được bạn không giỏi môn nào. e) chọn được bạn giỏi Văn, biết rằng đã chọn được bạn giỏi Toán? 48 Giải 2Toán Văn3 2 a) A: “Chọn được bạn giỏi Toán” T: chọn ngẫu nhiên 1 bạn từ 10 bạn | |   110 10.C ( ) P A | | | | A 5 0,5. 10   | | A 15 5.C 9/2/2015 9 49 b) B: “Chọn được bạn chỉ giỏi Toán” ( ) P B | | | | B 3 0,3. 10   | | B 13 3.C c) C: “Chọn được bạn giỏi ít nhất một môn” ( ) P C | | | | C 7 0,7. 10   | | C 17 7.C 50 P( | )=?AV d) D: “Chọn được bạn không giỏi môn nào” ( ) P D | | | | D 3 0,3. 10   | | D 13 3.C e) V: “Chọn được bạn giỏi Văn” ( . )( | ) ( )  P V A P V A P A 51 ( . ) P V A V.A: | . | V A 2 0,2 10  ( . ) 0, 2( | ) 0, 4. ( ) 0,5     P V A P V A P A “Chọn được bạn giỏi cả 2 môn” 1 2 2.C 52 Ví dụ 2: Cho một hộp đựng 8 bi gồm: 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi (lấy không hoàn lại). Tính xác suất để lần thứ hai lấy được bi đỏ biết lần thứ nhất đã lấy được bi đỏ? Giải Đ1 : “Lần thứ nhất lấy được bi đỏ”. Đ2 : “Lần thứ hai lấy được bi đỏ”.  |P  7 4Đ1Đ2 0,5714. 53 Ví dụ 3: Một chùm chìa khóa gồm 10 chìa, trong đó chỉ có 1 chìa mở được khóa. Một người mở khóa bằng cách thử lần lượt các chìa khóa cho đến khi nào mở được mới dừng. a) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần đầu tiên. b) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần thứ 2 biết lần thứ nhất không mở được khóa. c) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần thứ 3 biết lần thứ nhất và lần thứ hai đều không mở được khóa. 54 Giải Mi : “Người đó mở được khóa ở lần thứ i”.  | P M3 ( 1,2,3)i  a) 1( ) P M 1 . 10 c) 1 2.M M 8 1  | P M2b) 1M 9 1 9/2/2015 10 55 6.6. Biến cố độc lập: ( | ) ( )P A B P A  Hai biến cố được gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia. ( . ) ( ). ( )P A B P A P B  A, B độc lập ( | ) ( )P B A P B hoặc Hệ quả: A, B độc lập 56 Chú ý: Nếu A và B độc lập với nhau thì A và cũng độc lập với nhau. B  và B cũng độc lập với nhau.  và cũng độc lập với nhau. A A B Ví dụ 1: T: tung 2 đồng xu. A: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”. B: “Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”. A và B độc lập. 57 Ví dụ 2: T: tung 1 đồng xu. A: “Xuất hiện mặt sấp”. B: “Xuất hiện mặt ngửa”. A và B không độc lập. Ví dụ 3: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có 2 bi đỏ và 8 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi. a) Tính xác suất để lần thứ 1 lấy được bi đỏ? b) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏ? 58 Giải Lấy mẫu có hoàn lại Lấy mẫu không hoàn lại Lần 1 lấy ra quan sát rồi bỏ trở lại vào hộp, sau đó lấy tiếp lần 2. Lần 1 lấy ra quan sát rồi để ra ngoài luôn, sau đó lấy tiếp lần 2. 59 Lấy mẫu có hoàn lại Lấy mẫu không hoàn lại a) Đ1: “Lần thứ 1 lấy được bi đỏ”. ( ) P Đ1 10 2 b) Đ2: “Lần thứ 2 lấy được bi đỏ”. ( ) P Đ2 10 2 ( ) P Đ2 |Đ1 9 1 ( )P + Đ2 |Đ1 9 2 Đ2 = P(Đ2) = Đ2 |Đ1 Đ2 |Đ1 = + = 1 3 60 Lấy mẫu có hoàn lại Lấy mẫu không hoàn lại Kết quả độc lập nhau Kết quả không độc lập nhau Nhận xét: 9/2/2015 11 VII. Các công thức tính xác suất: 61 7.1. Công thức cộng xác suất: ( ) ( ) ( ) ( )   P A B P A P B P AB  Đặc biệt: Nếu A, B xung khắc thì Tổng quát: Nếu A1,A2,,An đôi một xung khắc thì  Hệ quả: AB  ( ) ( ) ( )  P A B P A P B 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )      n nP A A A P A P A P A ( ) 1 ( ); ( ) 1 ( )   P A P A P A P A 62 7.2. Công thức nhân xác suất: ( . ) ( | ). ( ) ( | ). ( ) P AB P A B P B P B A P A  Đặc biệt: Nếu A, B độc lập thì Tổng quát: Hệ quả: Nếu A1,A2,,An độc lập (toàn bộ) với nhau thì ( . ) ( ). ( )P AB P A P B 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1( ... ) ( ). ( | ). ( | )... ( | ... )n n nP AA A P A P A A P A AA P A AA A 1 2 1 2 3( ... ) ( ). ( ). ( )... ( )n nP AA A P A P A P A P A 63 Ví dụ 1: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Tính xác suất để: a) Cả 2 động cơ đều chạy tốt. b) Cả 2 động cơ đều không chạy tốt. c) Có động cơ chạy tốt. d) Có 1 động cơ chạy tốt. 64 Giải Đ1: “Động cơ I chạy tốt” Đ2: “Động cơ II chạy tốt” ( ) 0,8 P Đ1 ( ) 0,7 P Đ2 a) A: “Cả 2 động cơ đều chạy tốt”  A Đ1 Đ2. ( ) P A ( ) P Đ1.Đ2 ( ).P ( )PĐ1 Đ2 (Vì Đ1 và Đ2 độc lập) 0,8. 0,7 0,56.  1 1( ) 1 ( ) 1 0,8 0,2.P Ñ P Ñ      2 2( ) 1 ( ) 1 0,7 0,3.P Ñ P Ñ      65 ( ) P B ( )P Đ2 (Vì Đ1 và Đ2 độc lập) Đ1 Đ2. ( ).P ( )PĐ1 0,2. 0,3 0,06.  b) B: “Cả 2 động cơ đều không chạy tốt”  B Đ1 Đ2. 66 c) = “Có ít nhất một động cơ chạy tốt”  C Đ1 Đ2+ 0,8 Cách 1: ( ) P C ( )P Đ1 Đ2+ ( )P Đ1 ( )P+ Đ2 - ( )P Đ1.Đ2 + 0,7 - 0,56 0,94. C: “Có động cơ chạy tốt” 9/2/2015 12 67 C:  C B Cách 2: Dùng biến cố đối lập ( ) P C 1 ( )P 1 0,06 0,94.   “Không có động cơ nào chạy tốt” C 1 ( ) P B d) D: “Có 1 động cơ chạy tốt”  D Đ1 Đ2. Đ2Đ1+ . ( ) P D P(Đ1).P(Đ2) +P(Đ1).P(Đ2) 0,8 0,3 0,2 0,7 0,38.     68 Ví dụ 2: Có hai hộp, mỗi hộp chứa một số sản phẩm bao gồm 2 loại chính phẩm và phế phẩm. Xác suất lấy được 1 chính phẩm từ hộp I là 0,2; từ hộp II là 0,3. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để: a) Lấy được 2 chính phẩm. b) Lấy được 1 bi chính phẩm và 1 phế phẩm. Giải C1: “Lấy được 1 chính phẩm từ hộp I”. C2: “Lấy được 1 chính phẩm từ hộp II”. 1( ) 0, 2 CP 2( ) 0,3 CP 11( ) 1 ( ) 1 0, 2 0,8.     P CC P 22( ) 1 ( ) 1 0,3 0, 7.     P CC P 69 a) A: “Lấy được 2 chính phẩm”  A C1 C2 ( ) P A ( ) P C1.C2 ( ).P ( )PC1 C2 (Vì C1 và C2 độc lập) 0,2 0,3 b) B: “Lấy được 1 chính phẩm và 1 phế phẩm”  B C1 + .C2 . ( ) ( ) P B P ( )P + ( )P (Vì và xung khắc) 0,06. 2.C 1C C1 + .C22.C 1C C1 2.C .C21C C1 2.C .C21C 70 ( )P . ( )P + ( )P . ( )P 0,2.0,7  0,38. C1 2C C21C 0,8.0,3 71 Ví dụ 3: Một ngân hàng sử dụng 2 loại thẻ thanh toán M và N. Tỉ lệ khách hàng của ngân hàng sử dụng thẻ loại M, N tương ứng là 60%, 55% và cả hai loại là 30%. Chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng của ngân hàng. Tính xác suất người đó: a) Có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng. b) Chỉ sử dụng loại thẻ M. c) Chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng. d) Không sử dụng thẻ của ngân hàng. 72 Giải M: “Khách hàng sử dụng thẻ loại M”. N: “Khách hàng sử dụng thẻ loại N”. Ta có: P(M)=0,6 ; P(N)=0,55 ; P(M.N)=0,3. a) A: “Người đó có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng”. A = M + N P(A) = P(M + N) = P(M) + P(N) – P(M.N) = 0,6 + 0,55 – 0,3 = 0,85.   b) B: “Người đó chỉ sử dụng loại thẻ M”. ( ) ( . )P B P M N .B M N  ( ) ( . ) 0,6 0,3 0,3.P M P M N     9/2/2015 13 73 Ta có: ( . ) 0,3P M N  ( ) 0,3 0,25 0,55.P C    c) C: “Người đó chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng”. . .C M N M N   ( ) ( . . )P C P M N M N   ( . ) ( . )P M N P M N  ( . )P M N  d) D: “Người đó không sử dụng thẻ của ngân hàng”. .D M N  ( ) ( . )P D P M N  1 ( ) 1 0,85 0,15.P A     ( ) ( . ) 0,55 0,3 0,25P N P M N    ( ) ( )P M N P A   74 Ví dụ 4: Từ lô sản phẩm có 20 sản phẩm trong đó có 5 sản phẩm xấu. Lấy lần lượt 2 sản phẩm (không hoàn lại). Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đều là sản phẩm xấu. Giải A1: “Lần thứ 1 lấy được sản phẩm xấu”. A2: “Lần thứ 2 lấy được sản phẩm xấu”. A: “Cả 2 sản phẩm đều là sản phẩm xấu” 1 2. A A A 75 1 2( ) ( ) P A P AA 1( ).P A 2 1( | )P A A  20 5  19 4 1 19  2 5 2 20        C CChú ý:  Lấy liên tiếp lần lượt k vật, mỗi lần 1 vật và không hoàn lại Lấy cùng lúc k vật.  ( . ) ( ) 1 ( ). ( ) ( . ) 1 ( . ).          P AB P A B P A B P A B P AB P AB 76 Ví dụ 5: Một hộp có 10 bi trong đó có 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi cho đến khi lấy được 2 bi đỏ thì dừng. Tính xác suất việc lấy bi dừng ở lần thứ 3. Giải A: “Việc lấy bi dừng ở lần thứ 3”   2 11 3 2 3. .A Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Đi : “Lấy được bi đỏ ở lần thứ i”. ( 1,2,3)i  77 2 11 3 2 3( ) ( . . )P A P Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ   2 11 3 2 3( . ) ( . )P Ñ Ñ Ñ P Ñ Ñ Ñ  2 21 1 3 1 1 1 12 3 2 ( ). ( | ). ( | ) ( ). ( | ). ( | ) P Ñ P Ñ Ñ P Ñ Ñ Ñ P Ñ P Ñ Ñ P Ñ Ñ Ñ   2 8 1 8 2 1 2 . . . . . 10 9 8 10 9 8 45    78 7.3. Công thức xác suất đầy đủ: Nếu {A1, A2,, An} là nhóm đầy đủ thì 1 1 2 2( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ... ( | ) ( )    n nP H P H A P A P H A P A P H A P A  1A 2A nA... H Công thức xác suất đầy đủ cho ta cách tính xác suất của một biến cố qua một nhóm đầy đủ. 9/2/2015 14 VI. Các công thức tính xác suất: 79 7.4. Công thức Bayes: Nếu {A1, A2,, An} là nhóm đầy đủ các biến cố thì 1 1 2 2 ( | ). ( )( | ) ( ) ( | ). ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ... ( | ) ( )      k k k k k n n P H A P A P A H P H P H A P A P H A P A P H A P A P H A P A Công thức xác suất Bayes cho biết xác suất của các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế nào khi một biến cố đã xảy ra. 80 Ví dụ 1: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất ra một loại sản phẩm. Sản phẩm của phân xưởng I chiếm 40% sản lượng của nhà máy. Sản phẩm của phân xưởng II chiếm 10%. Sản phẩm của phân xưởng III chiếm 50%. Tỷ lệ phế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là 5%, 4% và 10%. Lấy 1 sản phẩm của nhà máy. a) Tính xác suất để nhận được phế phẩm? b) Giả sử lấy được 1 phế phẩm. Tính xác suất để nó do phân xưởng II sản xuất? 81 Giải  H5% 4% 10% I (40%) II (10%) III (50%) T: lấy 1 sản phẩm của nhà máy. (phế phẩm) 82 A: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng I” B: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng II” C: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng III” H: “Lấy được phế phẩm” P(A) =0,4 P(B) =0,1 P(C) =0,5 P(H|A) = 0,05 P(H|B) = 0,04 P(H|C) = 0,1    a) Vì {A, B, C} là nhóm đầy đủ nên ta có ( ) P H ( | ). ( )P H A P A ( | ). ( )P H B P B ( | ). ( )P H C P C  0,05 . 0,4 + 0,04 . 0,1 + 0,1 . 0,5 0,074.  83 ( | ) P 0,04 . 0,1 0,074  b) HB ( | )P H B . ( )P B ( )P H 2 0,0541. 37   84 Ví dụ 2: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 8 bi đỏ, 3 bi vàng. Hộp 2 có 10 bi đỏ, 4 bi vàng. a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ. b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi đỏ. 9/2/2015 15 85 Hi : “Lấy được hộp i” (i = 1, 2). A: “Lấy được bi đỏ”. P(H1) = P(A|H1) = P(A|H2) = Giải P(H2) = 1 . 2 a) Vì {H1, H2} là nhóm đầy đủ nên ta có 1 1 2 2( ) ( | ). ( ) ( | ). ( ) P A P A H P H P A H P H 1 8 1 11 8 . 11 C C  1 10 1 14 10 . 14 C C  1 . 2 8 1 10 1 11 2 14 2 111 0, 7208. 154       86 Hi : “Lấy được hộp i” (i = 1, 2). B: “2 bi lấy ra có 1 bi đỏ”. P(H1) = P(B|H1) = P(B|H2) = Giải P(H2) = 1 .2 b) Vì {H1, H2} là nhóm đầy đủ nên ta có 1 1 2 2( ) ( | ). ( ) ( | ). ( ) P B P B H P H P B H P H 1 1 8 3 2 11 . 24 . 55 C C C  1 . 2 1 1 10 4 2 14 . 40 . 91 C C C  24 1 40 1 55 2 91 2 2192 0, 4379. 5005       76 Trong các bài tập từ chương 1 trở về sau, các kết quả gần đúng cần quy tròn đến 4 chữ số thập phân. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Dạng 1: Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển I. PHƯƠNG PHÁP: II. BÀI TẬP: Đọc, hiểu: -Sách bài tập: 1.1/trang6; 1.31/tr27; 1.4/tr8; 1.5/tr9; 1.8/tr11; 1.10/tr13; 1.9/tr12; 1.18/tr18; 1.6/tr11. -Sách lý thuyết: 3/tr26; 4/tr27. Cần làm: Bài 1: bài 1.2/tr7 (Câu b và c-sách bài tập). Bài 2: bài 1.3/tr8 (sách bài tập). Bài 3: bài 1.76/tr51 (sách bài tập). Bài 4: bài 1.82/tr53 (sách bài tập). Bài 5: Một lô hàng gồm 3 phế phẩm và 7 chính phẩm. Chọn ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm từ lô hàng. Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra: a) Có 2 phế phẩm. b) Có từ 1 đến 2 chính phẩm. c) Đều là chính phẩm. d) Có ít nhất 1 phế phẩm. ĐS: a) 0,3; b) 0,3333; c) 0,1667; d) 0,8333. Bài 6: Một công ty tuyển 3 nhân viên cho 3 vị trí: Trưởng phòng điều hành, Trưởng phòng tài chính, Trưởng phòng kinh doanh. Biết có 30 người dự tuyển, trong đó có 10 nữ. Tính xác suất để trong 3 người được tuyển có Trưởng phòng tài chính là nữ. ĐS: 0,3333. 77 Bài 7: Có 5 khách vào thuê phòng nghỉ ở một khách sạn. Biết khách sạn đó có 10 tầng và việc chọn tầng của mỗi người là ngẫu nhiên. Tính xác suất: a) Không có người nào thuê tầng 2. b) Có 2 người thuê ở tầng 2. c) Có 2 người thuê ở tầng 2 và 2 người thuê ở tầng 3. ĐS: a) 0,5905; b) 0,0729; c) 0,0024. Làm thêm: Bài 1: Xếp ngẫu nhiên 3 nam và 3 nữ ngồi vào 6 ghế xếp thành hàng ngang. Tìm xác suất sao cho: a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau. b) 3 nam ngồi cạnh nhau. ĐS: a) 0,1; b) 0,2. Bài 2: Có 2 lô hàng. Lô I có 10 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lô II có 15 chính phẩm và 3 phế phẩm. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để a) nhận được 2 chính phẩm. b) nhận được 2 sản phẩm cùng chất lượng. c) nếu lấy từ mỗi lô ra 2 sản phẩm thì nên lấy từ lô nào để được 2 chính phẩm với xác suất cao hơn? ĐS: a) 0,6944; b) 0,7222; c) lô II. Bài 3: Có hai hộp bi. Hộp 1 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ. Hộp 2 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 bi. Tìm xác suất để được ít nhất 1 bi đỏ. ĐS: 0,58. Bài 4: bài 1.7/tr11 (sách bài tập). Bài 5: bài 1.11/tr14 (sách bài tập). Dạng 2: Tính xác suất bằng công thức cộng, công thức nhân, xác suất có điều kiện I. PHƯƠNG PHÁP: 78 79 II. BÀI TẬP: Đọc, hiểu: -Sách bài tập: 1.27/tr24; 1.26/tr24; 1.25/tr23; 1.32/tr28; 1.39/tr32; 1.40/tr32; 1.30/tr27; 1.28/tr25; 1.41/tr33; 1.42/tr33; 1.43/tr34; 1.44/tr35; 1.33/tr28; 1.83/tr53. -Sách lý thuyết: VD7/trang20; 1/tr26; 14/tr28; VD2/tr16; 2/tr26; VD4/tr18; VD5/tr18; VD8/tr21; VD9/tr21. Cần làm: Bài 1: bài 1.34/tr29 (sách bài tập). Bài 2: Có 3 người độc lập cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất bắn trúng bia của người thứ nhất là 0,7; người thứ hai là 0,8; người thứ ba là 0,5. Tìm xác suất để a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng bia. b) Có người không bắn trúng bia. c) Có 1 người bắn trúng bia. d) Có không quá 1 viên đạn bắn trúng bia. ĐS: a) 0,07; b) 0,72; c) 0,22; d) 0,25. Bài 3: Tỉ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả hai bệnh này là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng. Tính xác suất để người đó a) bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp. b) không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp. c) không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp. d) bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp. e) không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp. ĐS: a) 0,14; b) 0,86; c) 0,93; d) 0,02; e) 0,05. Bài 4: bài 1.20/tr19 (sách bài tập). Bài 5: bài 22/tr29 (sách lý thuyết). Bài 6: Một người có 4 bóng đèn trong đó có 2 bóng bị hỏng. Người đó lần lượt thử từng bóng đèn (không hoàn lại) cho đến khi chọn được bóng tốt thì dừng. Tính xác suất để người đó thử đến lần thứ 2. ĐS: 0,3333. Bài 7: Ba sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất thi đậu của sinh viên A là 0,8; của sinh viên B là 0,7; của sinh viên C là 0,9. Tìm xác suất để: a) Có 2 sinh viên thi đậu. ĐS: 0,398. b) Nếu có 2 sinh viên thi đậu. Tìm xác suất để sinh viên A thi rớt. ĐS: 0,3166. Bài 8: Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 10 chìa hình thức giống nhau nhưng trong đó chỉ có 3 chìa mở được kho, anh ta mở ngẫu nhiên từng chìa một cho tới khi mở được kho. Tìm xác suất để: a) anh ta mở tới lần thứ 3 thì mở được kho. ĐS: 0,175. b) anh ta mở được khóa mà không quá 3 lần mở. ĐS: 0,7083. 80 Làm thêm: Bài 1: Cho A và B là hai biến cố sao cho 1P(A) , 3  1P(B) 2  và 3P(A B) . 4   Tính P(A B) , P(A B) , P(A B) , P(A B) , P(A B) . ĐS: 1/12; 1/4; 11/12; 1/4; 5/12. Bài 2: Cho A và B là hai biến cố sao cho P(A) 0,4, P(B) 0,3 và P(A B) 0,1.  Tính P(AB AB) . ĐS: 0,5. Bài 3: Một người có 1 hộp bi gồm 3 bi đỏ và 4 bi đen. Giả sử bị rơi mất 1 bi màu đỏ, hãy tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên ra 2 bi thì người đó có được 2 bi đỏ. ĐS: 0,0667. Bài 4: bài 1.78/tr52 (sách bài tập). Bài 5: Một túi có 12 viên bi, trong đó có 3 bi đỏ. Thực hiện 3 lần lấy không hoàn lại, mỗi lần 4 bi. Tính xác suất để trong mỗi lần lấy có 1 bi đỏ. ĐS: 0,2909. Dạng 3: Tính xác suất bằng công thức đầy đủ, công thức Bayes I. PHƯƠNG PHÁP: 81 II. BÀI TẬP: Đọc, hiểu: -Sách bài tập: 1.56/trang40; 1.57/tr41; 1.67/tr45; 1.62 c&d/tr42; 1.64/tr44; 1.65/tr44; 1.71/tr48; 1.72/tr48; 1.73/tr49. -Sách lý thuyết: VD11/tr24; VD13/tr25; VD12/tr24. Cần làm: Bài 1: bài 1.60/tr42 (sách bài tập). Bài 2: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng 1 và 2. Phân xưởng 1 sản xuất gấp 4 lần phân xưởng 2. Tỷ lệ bóng đèn hỏng của phân xưởng 1 là 10%, phân xưởng 2 là 20%. Một người mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn của nhà máy. a) Tính xác suất để người đó mua được bóng đèn hỏng. b) Giả sử người đó mua được bóng đèn không bị hỏng, tính xác suất để bóng đèn này do phân xưởng 2 sản xuất. ĐS: a) 0,12; b) 0,1818. Bài 3: bài 1.61/tr42 (sách bài tập). 82 Bài 4: Có 3 hộp thuốc. Hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu. Hộp II có 4 ống tốt và 1 ống xấu. Hộp III có 3 ống tốt. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó rút ngẫu nhiên 2 ống thuốc. a) Tìm xác suất để được 1 ống thuốc tốt và 1 ống thuốc xấu. b) Tìm xác suất để được 2 ống thuốc tốt. c) Giả sử khi rút ra 2 ống thuốc, ta thấy có 2 ống thuốc tốt. Tìm xác suất để các ống đó ở hộp II. ĐS: a) 0,2921; b) 0,6921; c) 0,2889. Bài 5: Có 5 hộp bi, trong đó có 3 hộp loại I và 2 hộp loại II. Hộp loại I có 10 viên bi, trong đó có 6 bi trắng. Hộp loại II có 10 viên bi, trong đó có 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. a) Tính xác suất để lấy được 2 bi trắng. b) Tính xác suất để chọn được hộp bi II, biết rằng 2 bi lấy ra là 2 bi trắng. ĐS: a) 0,2533; b) 0,2105. Bài 6: bài 1.63/tr44 (sách bài tập). Bài 7: bài 1.86/tr54 (sách bài tập). Bài 8: Một trung tâm chuẩn đoán bệnh dùng một phép kiểm định T. Xác suất để một người đến trung tâm mà có bệnh là 0,8. Xác suất để người khám có bệnh khi phép kiểm định dương tính là 0,9 và xác suất để người khám không có bệnh khi phép kiểm định âm tính là 0,5. Tính các xác suất: a) Phép kiểm định là dương tính. b) Phép kiểm định cho kết quả đúng. ĐS: a) 0,75; b) 0,8. Làm thêm: Bài 1: bài 32/tr32 (sách lý thuyết). Bài 2: Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam. Tỷ lệ công nhân nữ tốt nghiệp phổ thông trung học là 15%, còn tỷ lệ này đối với nam là 20%. Gặp ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xưởng. Tìm xác suất để gặp người công nhân tốt nghiệp phổ thông trung học. ĐS: 0,1667. Bài 3: Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ I có 5 người, nhóm thứ II có 7 người, nhóm thứ III có 4 người và nhóm thứ IV có 2 người. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong nhóm thứ I, nhóm II, nhóm III và nhóm IV theo thứ tự là 0,8; 0,7; 0,6 và 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác định xem xạ thủ này có khả năng ở trong nhóm nào nhất? ĐS: nhóm II. Bài 4: bài 1.59/tr42 (sách bài tập). Bài 6: bài 1.90/tr55 (sách bài tập). Bài 7: Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam. Tỷ lệ công nhân nữ tốt nghiệp phổ thông trung học là 15%, còn tỷ lệ này đối với nam là 20%. 83 Gặp ngẫu nhiên 2 công nhân của phân xưởng. Tìm xác suất để có ít nhất một người tốt nghiệp phổ thông trung học trong số 2 người gặp. ĐS: 0,3079. Bài 8: Có 3 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Hộp 2 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ. Hộp 3 có 8 bi xanh và 2 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. a) Tính xác suất để bi lấy ra là bi xanh. b) Tính xác suất để chọn được hộp bi 1, biết rằng bi lấy ra là bi đỏ. ĐS: a) 0,7; b) 0,4444. Bài 9: Có 20 kiện hàng, trong đó có 8 kiện loại I, 7 kiện loại II và 5 kiện loại III, mỗi kiện có 10 sản phẩm. Số phế phẩm có trong mỗi kiện loại I, II và III lần lượt là 1, 3 và 5. Lấy ngẫu nhiên 1 kiện, rồi từ kiện đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. a) Tính xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm. b) Biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm, tính xác suất kiện lấy ra là loại II. ĐS: a) 0,27; b) 0,3889. Bài 10: Có 2 lô hàng, lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, lô hàng II có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô I bỏ vào lô II, rồi lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô II bỏ ra ngoài. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần 2 là sản phẩm xấu. ĐS: 0,3968. Bài 11: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Hộp 2 có 5 bi trắng và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2. Sau đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi từ hộp 2. a) Tìm xác suất lấy ra được bi đỏ. Giả sử lấy được bi đỏ. Tìm xác suất: b) Bi đỏ đó là của hộp 1. c) Hai bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 đều là đỏ. ĐS: a) 0,4833; b) 0,1379; c) 0,1609. Bài 12: Có 2 hộp bi. Hộp I chứa 3 bi trắng và 3 bi xanh. Hộp II chứa 6 bi trắng và 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 bi từ hộp I bỏ vào hộp II và sau đó lại lấy ngẫu nhiên từ hộp II ra 1 bi. Tìm xác suất viên bi lấy ra là viên bi xanh. ĐS: 0,4286. Bài 13: Có 2 lô sản phẩm. Lô I có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lô II có 5 chính phẩm và 5 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm và từ lô II lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Sau đó, chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 3 sản phẩm đó. Tìm xác suất chọn được phế phẩm. ĐS: 0,4333. Bài 14: Có 2 lô hàng: Lô I có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B; Lô II có 3 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm đem bán. Các sản phẩm còn lại ở 2 lô được dồn chung lại thành lô III. Từ lô III lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất đó là sản phẩm loại A. ĐS: 0,45. Bài 15: Có 3 lô hàng giống nhau, mỗi lô có 10 sản phẩm loại A và 12 sản phẩm loại B. Lấy 1 sản phẩm ở lô I bỏ sang lô II, rồi lấy 1 sản phẩm ở lô II bỏ sang lô III, sau đó lấy 1 sản phẩm ở lô III bỏ ra ngoài. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại A. ĐS: 0,4545. 84 Bài 16: Có 2 lô sản phẩm. Lô I có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lô II có 5 chính phẩm và 5 phế phẩm. Từ lô thứ nhất bỏ sang lô thứ hai 1 sản phẩm, sau đó từ lô thứ hai bỏ sang lô thứ nhất 1 sản phẩm, sau đó từ lô thứ nhất lấy ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm. ĐS: 0,6818. Bài 17: Có 3 xạ thủ độc lập cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,9; 0,7; 0,8. Nếu có 1 viên đạn bắn trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 0,4; Nếu có 2 viên đạn bắn trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 0,7; Nếu có 3 viên đạn bắn trúng thì mục tiêu chắc chắn bị tiêu diệt. a) Tìm xác suất mục tiêu bị tiêu diệt. b) Biết rằng mục tiêu bị tiêu diệt. Tìm xác suất mục tiêu trúng 1 viên đạn. ĐS: a) 0,8194; b) 0,0449. Bài 18: bài 1.90/tr55 (sách bài tập). Bài 19: bài 39/tr33 (sách lý thuyết).