Giáo trình Lý thuyết trường điện từ - Chương 8: Các phương trình Poisson & Laplace - Nguyễn Công Phương

Lý thuyết trường điện từ Các phương trình Poisson & Laplace Nguyễn Công Phương Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 2 Nội dung I. Giới thiệu II. Giải tích véctơ III. Luật Coulomb & cường độ điện trường IV. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive V. Năng lượng & điện thế VI. Dòng điện & vật dẫn VII. Điện môi & điện dung VIII.Các phương trình Poisson & Laplace IX. Từ trường dừng X. Lực từ & điện cảm XI. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell XII. Sóng phẳng XIII. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng XIV.Dẫn sóng & bức xạ Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 3 Các phương trình Laplace & Poisson 1. Phương trình Poisson 2. Phương trình Laplace 3. Định lý nghiệm duy nhất 4. Giải phương trình Laplace 5. Giải phương trình Poisson 6. Nghiệm tích của phương trình Laplace 7. Phương pháp sai phân hữu hạn 8. Phương pháp phần tử hữu hạn Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 4 Phương trình Poisson (1) 0D Eε= Luật Gauss: v ρ∇ =.D ( ) ( ) vVε ε ρ→∇ =∇ = −∇ ∇ =.D . E . V= −∇EGradient thế: vV ρ ε →∇ ∇ = −. (Phương trình Poisson) x y z V V VV x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ a a a yx z AA A x y z ∂∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ .A 2 2 2 2 2 2. yx z VV V V V VV x x y y z z x y z ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    →∇∇ = + + = + +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 5 Phương trình Poisson (2) vV ρ ε ∇ ∇ = −. Đặt 2∇ ∇ =∇. 2 2 2 2 2 2. V V VV x y z ∂ ∂ ∂∇∇ = + + ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 vV V VV x y z ρ ε ∂ ∂ ∂∇ = + + = − ∂ ∂ ∂ (Hệ Descartes) 2 2 2 2 2 1 1 vV V V z ρρ ρ ρ ρ ρ ϕ ε  ∂ ∂ ∂ ∂ + + = − ∂ ∂ ∂ ∂  2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin sin sin vV V Vr r r r r r ρθ θ θ θ θ ϕ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    + + = −   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    (Hệ trụ) (Hệ cầu) Phương trình Poisson (3) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 6 Ví dụ Tìm Laplacian của các trường vô hướng sau: 2 3 3 ) 2 cos2) 20sin) a A xy z b B c C r ϕ ρ θ = = = Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 7 Các phương trình Laplace & Poisson 1. Phương trình Poisson 2. Phương trình Laplace 3. Định lý nghiệm duy nhất 4. Giải phương trình Laplace 5. Giải phương trình Poisson 6. Nghiệm tích của phương trình Laplace 7. Phương pháp sai phân hữu hạn 8. Phương pháp phần tử hữu hạn Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 8 Phương trình Laplace 0vρ = 2 2 2 2 2 2 2 vV V VV x y z ρ ε ∂ ∂ ∂∇ = + + = − ∂ ∂ ∂ (Phương trình Laplace, hệ Descartes) 2 2 2 2 2 1 1 0V V V z ρρ ρ ρ ρ ϕ  ∂ ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ∂  2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin 0 sin sin V V V r r r r r r θ θ θ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    + + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    (Hệ trụ) (Hệ cầu) 2 2 2 2 2 2 2 0 V V VV x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ Phương trình Poisson: Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 9 Các phương trình Laplace & Poisson 1. Phương trình Poisson 2. Phương trình Laplace 3. Định lý nghiệm duy nhất 4. Giải phương trình Laplace 5. Giải phương trình Poisson 6. Nghiệm tích của phương trình Laplace 7. Phương pháp sai phân hữu hạn 8. Phương pháp phần tử hữu hạn Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 10 Định lý nghiệm duy nhất (1) 2 2 2 2 2 2 2 0 V V VV x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ Giả sử phương trình Laplace có 2 nghiệm V1 & V2, : 2 1 0V∇ = 2 2 0V∇ = 2 1 2( ) 0V V→∇ − = Giả sử phương trình Laplace có điều kiện bờ Vb 1 2b b bV V V→ = = ( ) ( ) ( ). D .D D.V V V∇ = ∇ + ∇ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 [( ) ( )] ( )[ ( )] ( ) ( ) . . . V V V V V V V V V V V V →∇ − ∇ − = − ∇ ∇ − + +∇ − ∇ − 1 2V V V= − 1 2( )D V V= ∇ − Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 11 Định lý nghiệm duy nhất (2) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] ( )[ ( )] ( ) ( ). . .V V V V V V V V V V V V∇ − ∇ − = − ∇ ∇ − +∇ − ∇ − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 [( ) ( )] ( )[ ( )] ( ) ( ) V V V V V V V dv V V V V dv V V V V dv → ∇ − ∇ − = − ∇ ∇ − + + ∇ − ∇ − ∫ ∫ ∫ . . . . . S V d dv= ∇∫ ∫D S D
Định lý đive: 1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] [( ) ( )]b b b bV SV V V V dv V V V V d→ ∇ − ∇ − = − ∇ −∫ ∫. . S
1 2b b bV V V= = 1 2 1 2[( ) ( )] 0V V V V V dv→ ∇ − ∇ − =∫ . 1 2 1 2 1 2 1 20 ( )[ ( )] ( ) ( )V VV V V V dv V V V V dv→ = − ∇ ∇ − + ∇ − ∇ −∫ ∫. . Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 12 Định lý nghiệm duy nhất (3) 1 2 1 2 1 2 1 2( )[ ( )] ( ) ( ) 0V VV V V V dv V V V V dv− ∇ ∇ − + ∇ − ∇ − =∫ ∫. . 2 1 2 1 2( ) ( ) 0. V V V V∇ ∇ − = ∇ − = 1 2 1 2( ) ( ) 0V V V V V dv→ ∇ − ∇ − =∫ . [ ] 2 1 2( )V V V dv= ∇ −∫ [ ]21 2( ) 0V V→ ∇ − = [ ]21 2( ) 0V V∇ − ≥ 1 2 constV V→ − = 1 2( ) 0V V→∇ − = x y z V V VV x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ a a a Tại biên giới V1 = Vb1, V2 = Vb2 → const = Vb1 – Vb2 = 0 1 2b b bV V V= = V1 = V2 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 13 Các phương trình Laplace & Poisson 1. Phương trình Poisson 2. Phương trình Laplace 3. Định lý nghiệm duy nhất 4. Giải phương trình Laplace 5. Giải phương trình Poisson 6. Nghiệm tích của phương trình Laplace 7. Phương pháp sai phân hữu hạn 8. Phương pháp phần tử hữu hạn Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 14 Giải phương trình Laplace (1) Giả sử V = V(x) 2 2 2 2 2 2 2 0 V V VV x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ 2 2 0 d V dx → = V Ax B→ = + 1 1x xV V= = 2 2x xV V= = 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 V VA x x V x V xB x x − = − →  − =  − 1 2 2 1 1 2 ( ) ( )V x x V x xV x x − − − → = − 0 0xV = = 0x dV V= = 0V xV d → = Ví dụ 1 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 15 Giải phương trình Laplace (2) Mặt dẫn Mặt dẫn x = d x = 0 x V = V(x) 0 0xV = = 0x dV V= = 0V xV d → = E V= −∇ 0E a x V d → = − D Eε= 0D ax V d ε→ = − 0 0D D aS xx V d ε = → = = − 0N VD d ε→ = − 0S N VD d ρ ε→ = = − 0V S d ε= −0SS S VQ dS dS d ερ −→ = =∫ ∫ 0 Q C V → = S d ε = Ví dụ 1 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 16 Giải phương trình Laplace (3) Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ) 2 2 2 2 2 2 1 1 0V V VV z ρ ρ ρ ρ ρ ϕ  ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂  1 0Vρ ρ ρ ρ  ∂ ∂ → = ∂ ∂  1 0d dV d d ρρ ρ ρ   → =    0d dV d d ρ ρ ρ   → =    dV A d ρ ρ → = lnV A Bρ→ = + 0lnaV A a B Vρ = = + = ln 0 ( )bV A b B b aρ = = + = > 0 0 ln ln ln ln ln VA a b V bB a b  = −→   = −  − 0 ln( / ) ln( / ) bV V b a ρ → = Ví dụ 2 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 17 Giải phương trình Laplace (4) Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ) 2 2 2 2 2 2 1 1 0V V VV z ρ ρ ρ ρ ρ ϕ  ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂  0 ln( / ) ln( / ) bV V b a ρ → = 0 ln( / )E a VV b a ρρ → = −∇ = 0 ( ) ln( / )N a S V D a b aρ ε ρ = → = = 02 ln( / )SS V aLQ dS a b a ε piρ→ = =∫ 0 2 ln( / ) Q LC V b a ε pi → = = Ví dụ 2 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 18 Giải phương trình Laplace (5) z α Giả sử V = V(φ) (hệ trụ) 2 2 2 2 2 2 1 1 0V V VV z ρρ ρ ρ ρ ϕ  ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂  2 2 2 1 0V ρ ϕ ∂ → = ∂ 2 2 0 V ϕ ∂ → = ∂ V A Bϕ→ = + 0 0V Bϕ= = = 0V A B Vϕ α α= = + = 0 0B VA α =  →  = 0V V ϕ α → = 0E aVV ϕαρ → = −∇ = − Ví dụ 3 Khe hở Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 19 Giải phương trình Laplace (6) Ví dụ 4 Giả sử V = V(θ) (hệ cầu) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin 0 sin sin V V VV r r r r r r θ θ θ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ∇ = + + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    2 1 sin 0 sin V r θ θ θ θ ∂ ∂  → = ∂ ∂  sin 0Vθ θ θ ∂ ∂  → = ∂ ∂  sin dV A d θ θ → = sin ddV A θ θ → = ln tg 2 A Bθ = +   sin dV A Bθ θ → = +∫ Giả sử r ≠ 0; θ ≠ 0; θ ≠ π Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 20 Giải phương trình Laplace (7) Ví dụ 4 Giả sử V = V(θ) (hệ cầu) ln tg 2 V A Bθ → = +    0 ln tg 2 ln tg 2 V V θ α      → =       / 2 0V θ pi= = 0 ( / 2)V Vθ α α pi= = < V = 0 V = V0 α Khe hở 01 sin ln tg 2 E a aVVV r r θ θαθ θ ∂ → = −∇ = − = − ∂       0 sin ln tg 2 S N VD E r ερ ε α α → = = = −       Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 21 Giải phương trình Laplace (8) Ví dụ 4 Giả sử V = V(θ) (hệ cầu) 0 0 2 ln tg 2 V drpiε α ∞ − =       ∫ 0 sin ln tg 2 SS S VQ dS dS r ερ α α → = = −       ∫ ∫

20 0 0 sin sin ln tg 2 V r d drQ r piε α ϕ α α ∞ − → =       ∫ ∫ V = 0 V = V0 α Khe hở sindS r d drα ϕ= 0 sin ln tg 2 S V r ερ α α → = −       1 0 2 ln cotg 2 rQC V piε α → =       ≐ Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 22 Các phương trình Laplace & Poisson 1. Phương trình Poisson 2. Phương trình Laplace 3. Định lý nghiệm duy nhất 4. Giải phương trình Laplace 5. Giải phương trình Poisson 6. Nghiệm tích của phương trình Laplace 7. Phương pháp sai phân hữu hạn 8. Phương pháp phần tử hữu hạn Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 23 Giải phương trình Poisson (1) 2 0 2 2 sech thvd V x x a adx ρ ε → = − 2( sech ; th ) x x x x x x e e x x e e e e − − − − = = + + 02 sech thv v x x a a ρ ρ= x dVE dx = − 2 vV ρ ε ∇ = −Phương trình Poisson : 0 1 2 sechv adV x C dx a ρ ε → = + 0 1 2 sechvx a x E C a ρ ε → = − − –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 0,5 1 –0,5 –1 /x a 0 v v ρ ρ Vùng p Vùng n vρ –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –0,5 –1 /x a 02 x v E a ε ρ xE 1 0C→ = 02 sechvx a x E a ρ ε → = − Khi x→ ± ∞ thì Ex→ 0 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 24 Giải phương trình Poisson (2) 2 /04 arctg 4 x av aV eρ pi ε   → = −    02 sech thv v x x a a ρ ρ= 2 vV ρ ε ∇ = − 2 /0 2 4 arctg x av aV e Cρ ε → = + 02 sechvx a xE a ρ ε → = − –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –0,5 –1 /x a 02 x v E a ε ρ V –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 0,25 0,5 –0,25 –0,5 /x a 2 02 v V a piε ρ xE Phương trình Poisson : 0 0xV = =Giả sử 2 0 2 40 4 v a Cρ pi ε → = + –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 0,5 1 –0,5 –1 /x a 0 v v ρ ρ Vùng p Vùng n vρ Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 25 Giải phương trình Poisson (3) 2 /04 arctg 4 x av aV eρ pi ε   = −    2 0 0 2 v x x aV V V piρ ε→∞ → −∞ = − = 0 0 00 2 sech th 2 sech th 2v v v vV V x x x xQ dv dv S dx aS a a a a ρ ρ ρ ρ∞= = = =∫ ∫ ∫ 0 02 v VQ S ρ ε pi → = 02 sech thv v x x a a ρ ρ= 0 0 dVdQ dQI C C dt dt dV = = → = 0 02 2 v SC S V a ρ ε ε pi pi → = = –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 0,5 1 –0,5 –1 /x a 0 v v ρ ρ Vùng p Vùng n vρ Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 26 Các phương trình Laplace & Poisson 1. Phương trình Poisson 2. Phương trình Laplace 3. Định lý nghiệm duy nhất 4. Giải phương trình Laplace 5. Giải phương trình Poisson 6. Nghiệm tích của phương trình Laplace 7. Phương pháp sai phân hữu hạn 8. Phương pháp phần tử hữu hạn Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 27 Nghiệm tích của phương trình Laplace (1) • Các ví dụ trước giả thiết rằng V chỉ biến thiên theo/phụ thuộc vào một tọa độ • Phương pháp nghiệm tích áp dụng cho V(x, y) • Giả sử V = XY, X = X(x), Y = Y(y) 2 2 2 2 2 2 2 0 V V VV x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 0 V V x y ∂ ∂ → + = ∂ ∂( , )V V x y= 2 2 2 2 0 X YY X x y ∂ ∂ → + = ∂ ∂ 2 2 2 2 0 d X d YY X dx dy → + = Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 28 Nghiệm tích của phương trình Laplace (2) 2 2 2 2 0 d X d YY X dx dy + = 2 2 2 2 1 1 0d X d Y X dx Y dy → + = 2 2 2 2 1 1d X d Y X dx Y dy → = − 2 2 1 d X X dx chỉ phụ thuộc x 2 2 1 d Y Y dy − chỉ phụ thuộc y 2 2 2 2 2 2 1 1 d X X dx d Y Y dy α α  =  →   − =  Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 29 Nghiệm tích của phương trình Laplace (3) 2 2 2 2 1 d dR R d d d d ρ ρ α ρ ρ α ϕ    =     →  Φ − = Φ ( , ) ( ) ( )V V Rρ ϕ ρ ϕ= = Φ 2 2 2 2 2 1 1 0V V V z ρ ρ ρ ρ ρ ϕ  ∂ ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ∂  2 2 1 0R R ρ ρ ρ ρ ϕ  ∂ ∂ ∂ Φ → + = ∂ ∂ Φ ∂  Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 30 Nghiệm tích của phương trình Laplace (4) 2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 1 ( 1) tg R R n n R R n n ρ ρ ρ ρ θ θ θ  ∂ ∂ + = + ∂ ∂ →  ∂ Θ ∂Θ + = − + Θ ∂ Θ ∂ ( , ) ( ) ( )V V Rρ θ ρ θ= = Θ 2 2 2 2 2 2 1 1 0 tg R R R R ρ ρ ρ ρ θ θ θ    ∂ ∂ ∂ Θ ∂Θ → + + + =   ∂ ∂ Θ ∂ Θ ∂    2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 sin 0 sin sin V V V r r r r r r θ θ θ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    + + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 31 Nghiệm tích của phương trình Laplace (5) Ví dụ 2 2 2 2 1 d dR R d d d d ρ ρ α ρ ρ α ϕ    =     →  Φ − = Φ ( , ) ( ) ( )V V Rρ ϕ ρ ϕ= = Φ ( ) ( ); ( ) ( )V V V Vϕ ϕ ϕ pi ϕ= − = − − ( ) cos sin ,§Æt p pA p B p pϕ ϕ ϕ αΦ = + = ±∑ ∑ 1( ) cos , 1Aϕ ϕ α→Φ = = Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 32 Nghiệm tích của phương trình Laplace (6) Ví dụ 2 2 2 2 1 d d d dR R d d α ϕ ρ ρ α ρ ρ  Φ − = Φ    =    2 2 k k k k k Bd dR R d d B ρρ ρ α ρ ρ ρ   → = =    1α =( )§Æt k kR Bρ ρ= 1( ) cos , 1Aϕ ϕ α→Φ = = 1k→ = ± 1 1 1( )R B Bρ ρ ρ+ − −→ = + Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 33 Nghiệm tích của phương trình Laplace (7) Ví dụ 2 2 12 2 1 1 1 1 ( ) cos ( ) d A d d dR R B B R d d α ϕ ϕ ϕ ρ ρ α ρ ρ ρ ρ ρ + − −  Φ − = →Φ = Φ    = → = +    1 1 1 1 1cos cosV A B ABρ ϕ ρ ϕ+ − −→ = + ( , ) ( ) ( )V V Rρ ϕ ρ ϕ= = Φ 1cos cosC Cρ ϕ ρ ϕ+ − −= + Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 34 Nghiệm tích của phương trình Laplace (8) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 1 1 1 1cos cosNgoµi: V C Cρ ϕ ρ ϕ+ − −= + 0 xV E x−∞ →−∞= 1 2 2 2cos cosTrong: V C Cρ ϕ ρ ϕ+ − −= + 1 1 , x V V C xθ pi ρ + −∞ = →−∞ →−∞ = = − x y E0 ρ θ ε1 ε21 0C E +→ = − 2 2 0 0 gèc täa ®é CV V ρ ρρ − → → = = → ∞ 2 0C −→ = Ở gốc tọa độ điện trường vẫn hữu hạn Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 35 Nghiệm tích của phương trình Laplace (9) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 1 1 1 1cos cosNgoµi: V C Cρ ϕ ρ ϕ+ − −= + 1 2 2 2cos cosTrong: V C Cρ ϕ ρ ϕ+ − −= + x y E0 ρ θ ε1 ε2 1 0 2, 0C E C + − = − = 1 1 0 1 2 2 cos cos cos V E C V C ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ − − +  = − + →  = Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 36 Nghiệm tích của phương trình Laplace (10) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 1 1 0 1cos cosV E Cρ ϕ ρ ϕ− −= − + 2 2 cosV C ρ ϕ+= x y E0 ρ θ ε1 ε2 1 2a aV Vρ ρ= == 1 0 1 2( )cos cosE a C a C aϕ ϕ− − +→ − + = a 1 2 1 2 a a V V ρ ρ ε ε ρ ρ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 1 0 1 2 2( ) cos cosE C a C aε ϕ ε ϕ− − +→ − − = Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 37 Nghiệm tích của phương trình Laplace (11) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 1 0 1 2( ) cos cosE a C a C aϕ ϕ− − +− + = 2 1 0 1 2 2( ) cos cosE C a C aε ϕ ε ϕ− − +− − = 21 2 1 1 0 2 0 1 2 1 2 2 ,C E a C Eε ε ε ε ε ε ε − +−→ = − = − + + 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 0 1 2 1 cos , 2 cos víi víi aV E a V E a ε ε ρ ϕ ρ ε ε ρ ε ρ ϕ ρ ε ε    − = − − ≥   +  →   = − ≤  + 1 1 0 1cos cosV E Cρ ϕ ρ ϕ− −= − + 2 2 cosV C ρ ϕ+= Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 38 Nghiệm tích của phương trình Laplace (12) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 0 1 2 1 cos , 2 cos víi víi aV E a V E a ε ε ρ ϕ ρ ε ε ρ ε ρ ϕ ρ ε ε   − = − − ≥   +     = − ≤  + 2 1 2 1 2 0 2 0 1 2 1 2 2 2 cos , sinV VE E E Eρ ϕ ε εϕ ϕ ρ ε ε ϕ ε ε ∂ ∂ = − = = − = − ∂ + ∂ + 2 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 02 2 1 2 1 2 1 cos , 1 sinV Va aE E E Eρ ϕ ε ε ε εϕ ϕ ρ ε ε ρ ϕ ε ε ρ    ∂ − ∂ − = − = − = − = − −   ∂ + ∂ +    1 2 2 0 1 2 2 zE E E ε ε ε → = = + Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 39 Các phương trình Laplace & Poisson 1. Phương trình Poisson 2. Phương trình Laplace 3. Định lý nghiệm duy nhất 4. Giải phương trình Laplace 5. Giải phương trình Poisson 6. Nghiệm tích của phương trình Laplace 7. Phương pháp sai phân hữu hạn 8. Phương pháp phần tử hữu hạn Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 40 Phương pháp sai phân hữu hạn (1) • Dùng để giải phương trình Laplace khi V = V(x, y) • Là phương pháp số, có thể đạt độ chính xác tùy ý Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 41 Phương pháp sai phân hữu hạn (2) x y h h V0 V1 V2 V3 V4 a b c d 2 2 2 2 2 2 2 0 V V VV x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + = ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 0 V V x y ∂ ∂ → + = ∂ ∂ ( , )V V x y= 1 0 a V VV x h −∂ ≈ ∂ 2 1 0 0 3 2 2 V V V VV x h − − +∂ → ≈∂ 0 3 c V VV x h −∂ ≈ ∂ 2 2 a c V V V x x x h ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ≈ ∂ Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 42 Phương pháp sai phân hữu hạn (3) h h V0 V1 V2 V3 V4 2 2 2 2 0 V V x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ 2 2 0 0 4 2 2 V V V VV y h − − +∂ ≈ ∂ 2 1 0 0 3 2 2 V V V VV x h − − +∂ ≈ ∂ 2 2 1 2 3 4 0 2 2 4 0V V V V VV V x y h + + + −∂ ∂ → + ≈ = ∂ ∂ ( )0 1 2 3 414V V V V V≈ + + +→ x y Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 43 Phương pháp sai phân hữu hạn (4) Ví dụ 1 V = 100 V = 0 V = 0 V = 0 Khe hở Khe hở( )0 1 2 3 414V V V V V= + + + ( )1 0 100 0 0 25 4 + + + = ( )1 100 50 0 25 43,8 4 + + + = ( )1 0 25 0 0 6,2 4 + + + = ( )1 43,8 100 43,8 25 53,2 4 + + + = ( )1 25 43,8 0 6, 2 18,8 4 + + + = ( )1 6,2 25 6,2 0 9,4 4 + + + = 25 43,843,8 53,2 18,8 18,8 6,2 6,29,4 Bước 1 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 44 Phương pháp sai phân hữu hạn (5) V = 100 V = 0 V = 0 V = 0 Khe hở Khe hở( )0 1 2 3 414V V V V V= + + + ( )1 53,2 100 0 18,8 43 4 + + + = ( )1 100 50 0 25 43,8 4 + + + = ( )1 43 100 43 25 52,8 4 + + + = ( )1 43,8 100 43,8 25 53,2 4 + + + = ( )1 25 43,8 0 6,2 18,8 4 + + + = 25 43,843,8 53,2 18,8 18,8 6,2 6,29,4 ( )1 25 43 0 6,2 18,6 4 + + + = 43 4352,8 18,6 18,6 Bước 2 Ví dụ 1 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 45 Phương pháp sai phân hữu hạn (6) V = 100 V = 0 V = 0 V = 0 Khe hở Khe hở( )0 1 2 3 414V V V V V= + + + 25 43,843,8 53,2 18,8 18,8 6,2 6,29,4 43 4352,8 18,6 18,6 ( )1 0 100 0 0 25 4 + + + = ( )1 0 25 0 0 6,2 4 + + + = ( )1 6,2 25 6,2 0 9,4 4 + + + = ( )1 18,6 52,8 18,6 9,4 24,9 4 + + + = ( )1 9,4 18,6 0 0 7,0 4 + + + = 24,9 7,0 7,0 ( )1 7,0 25 7,0 0 9,8 4 + + + = 9,8 Bước 2 Ví dụ 1 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 46 Phương pháp sai phân hữu hạn (7) V = 100 V = 0 V = 0 V = 0 Khe hở Khe hở( )0 1 2 3 414V V V V V= + + + 25 43,843,8 53,2 18,8 18,8 6,2 6,29,4 43 4352,8 18,6 18,624,9 7,0 7,09,8 ( )1 52,8 100 0 18,6 42,9 4 + + + = ( )1 42,9 100 42,9 24,9 52,7 4 + + + = ( )1 24,9 42,9 0 7,0 18,7 4 + + + = ( )1 18,7 52,7 18,7 9,8 25,0 4 + + + = ( )1 9,8 18,7 0 0 7,1 4 + + + = ( )1 7,1 25 7,1 0 9,8 4 + + + = 42,9 42,952,7 18,7 18,725,0 7,1 7,19,8 Bước 3 Ví dụ 1 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 47 Phương pháp sai phân hữu hạn (8) • Dùng để giải phương trình Laplace khi V = V(x, y) • Là phương pháp số, có thể đạt độ chính xác tùy ý • Lặp cho đến khi đạt độ chính xác cho trước Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 48 Phương pháp sai phân hữu hạn (9) Ví dụ 2 0 V 0 V 0 V 0 V 10 V 20 V 4 1 2 3 5 6 7 8 9 10 (0) (0) (0 ) 1 2 10... 0V V V= = = = ( )(1) (0 ) (0)1 2 41 10 0 2,5000V4V V V= + + + = ( )(1) (0) (1) (0)2 3 1 51 10 3,1250V4V V V V= + + + = ( )(1) (0) (1) ( 0)7 8 5 9 ... 1 0 0,2344V 4 ... V V V V= + + + = ( )(1) (1) (1)10 8 91 20 0 6,7358V4V V V= + + + = Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 49 Phương pháp sai phân hữu hạn (10) Ví dụ 2 k ( ) 1 (V)kV ( ) 2 (V)kV ( ) 3 (V)kV ( ) 4 (V)kV ( ) 5 (V)kV ( ) 6 (V)kV ( ) 7 (V)kV ( ) 8 (V)kV ( ) 9 (V)kV ( ) 10 (V)kV 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,5000 3,1250 8,2813 0,6250 0,9375 7,3047 0,2344 6,8848 0,0586 6,7358 23 5,6429 9,1735 13,1111 3,3957 7,9405 13,2710 5,9219 13,0324 3,7147 8,9368 24 5,6429 9,1735 13,1111 3,3957 7,9405 13,2710 5,9219 13,0324 3,7147 8,9368 0 V 0 V 0 V 0 V 10 V 20 V 4 1 2 3 5 6 7 8 9 10 Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 50 Phương pháp sai phân hữu hạn (11) • Dùng để giải phương trình Laplace khi V = V(x, y) • Là phương pháp số, có thể đạt độ chính xác tùy ý • Lặp cho đến khi đạt độ chính xác cho trước • Có thể đặt các giá trị đầu của các điện áp của các nút tự do bằng zero Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 51 Các phương trình Laplace & Poisson 1. Phương trình Poisson 2. Phương trình Laplace 3. Định lý nghiệm duy nhất 4. Giải phương trình Laplace 5. Giải phương trình Poisson 6. Nghiệm tích của phương trình Laplace 7. Phương pháp sai phân hữu hạn 8. Phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn (1) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn ww.cosy.sbg.ac.at/~held/projects/mesh/mesh.html 52 2 0V∇ = ( , )V x y 1( , )V x y 2V 3V 4V Phương pháp phần tử hữu hạn (2) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 53 2 0V∇ = ( , )V x y 1( , )V x y 2V 3V 4V Phương pháp phần tử hữu hạn (3) • Chia vùng nghiệm thành một số lượng hữu hạn các phần tử, • Xây dựng các phương trình cho một phần tử, • Kết hợp các phần tử, & • Giải hệ phương trình thu được. Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 54 2 0V∇ = ( , )V x y 1( , )V x y 2V 3V 4V Phương pháp phần tử hữu hạn (4) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 55 1eV 2eV 3eV 1 1( , )x y 2 2( , )x y 3 3( , )x y 1 2 3 x y1 ( , ) ( , ) N e e V x y V x y = =∑ ( , )eV x y a bx cy= + + 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 e e e V x y a V x y b V x y c             =                 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 e e e a x y V b x y V c x y V −            → =                 [ ] 1 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 3 3 1 1 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 11 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 e e e e x y x y x y x y x y x y V V x y y y y y y y V x y x x x x x x V x y x y − − − −       → = − − −       − − −    Phương pháp phần tử hữu hạn (5) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 56 [ ] 1 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 3 3 1 1 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 11 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 e e e e x y x y x y x y x y x y V V x y y y y y y y V x y x x x x x x V x y x y − − − −        = − − −       − − −    3 1 ( , )e i ei i V x y Vα = =∑ 1 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1 [( ) ( ) ( ) ], 2 1 [( ) ( ) ( ) ], 2 1 [( ) ( ) ( ) ], 2 1 [( )( ) ( )( )] 2 x y x y y y x x x y A x y x y y y x x x y A x y x y y y x x x y A A x x y y x x y y α α α = − + − + − = − + − + − = − + − + − = − − − − − Phương pháp phần tử hữu hạn (6) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 57 2 0V∇ = 0ax b+ = 2 0 2 d ax bx c dx   + + =    21 2e eS W E dSε= ∫ V= −∇E 21 2e eS W V dSε→ = ∇∫ 3 1 ( , )e i ei i V x y Vα = =∑ 3 1 e ei i i V V α = →∇ = ∇∑ 3 3 1 1 1 ( )( ) 2e ei i j ejSi j W V dS Vε α α = =  → = ∇ ∇  ∑∑ ∫ Phương pháp phần tử hữu hạn (7) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 58 3 3 1 1 1 ( )( ) 2e ei i j ejSi j W V dS Vε α α = =  = ∇ ∇  ∑∑ ∫ ( ) ( )( )eij i jSC dSα α= ∇ ∇∫ [ ] 1 2 3 e e e e V V V V     =      ( ) ( ) ( ) 11 12 13 ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 23 ( ) ( ) ( ) 31 32 33 e e e e e e e e e e C C C C C C C C C C       =        [ ] [ ]( )1 2 T e e e eW V C Vε  → =   Phương pháp phần tử hữu hạn (8) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 59 ( ) ( )( )eij i jSC dSα α= ∇ ∇∫ ( ) 12 1 2( )( )e SC dSα α= ∇ ∇∫ 1 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 1 3 2 1 3 1 3 1 2 1 1 [( ) ( ) ( ) ], 2 1 [( ) ( ) ( ) ], 2 1[( )( ) ( )( )] 2 x y x y y y x x x y A x y x y y y x x x y A A x x y y x x y y α α = − + − + − = − + − + − = − − − − − ( ) 12 2 3 3 1 3 2 1 3 1 [( )( ) ( )( )] 4 eC y y y y x x x x A → = − − + − − Phương pháp phần tử hữu hạn (9) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 60 ( ) 12 2 3 3 1 3 2 1 3 1 [( )( ) ( )( )] 4 eC y y y y x x x x A = − − + − − ( ) 13 2 3 1 2 3 2 2 1 ( ) 23 3 1 1 2 1 3 2 1 ( ) 2 2 11 2 3 3 2 ( ) 2 2 22 3 1 1 3 ( ) 2 2 33 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 21 12 31 13 32 1 [( )( ) ( )( )] 4 1 [( )( ) ( )( )] 4 1 [( ) ( ) ] 4 1 [( ) ( ) ] 4 1 [( ) ( ) ] 4 , , e e e e e e e e e C y y y y x x x x A C y y y y x x x x A C y y x x A C y y x x A C y y x x A C C C C C = − − + − − = − − + − − = − + − = − + − = − + − = = ( ) ( ) 23 e eC= 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 , , , , P y y P y y P y y Q x x Q x x Q x x = − = − = − = − = − = − ( ) 2 3 3 2 1 ( ) 4 2 e ij i j i jC PP QQA PQ PQA → = + − = Phương pháp phần tử hữu hạn (3) • Chia vùng nghiệm thành một số lượng hữu hạn các phần tử, • Xây dựng các phương trình cho một phần tử, • Kết hợp các phần tử, & • Giải hệ phương trình thu được. Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 61 2 0V∇ = ( , )V x y 1( , )V x y 2V 3V 4V Phương pháp phần tử hữu hạn (10) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 62 [ ] [ ]( )1 2 T e e e eW V C Vε  =   [ ] [ ][ ] 1 1 2 N T e e W W V C Vε = = =∑ [ ] 1 2 3 n V V V V V        =        ⋮ Phương pháp phần tử hữu hạn (11) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 63 3 2 1 1 1 12 22 33 3 1 2 4 3 5[ ] [ ][ ]1 2 TW V C Vε= [ ] 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 41 42 43 44 45 51 52 53 54 55 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C        =        (1) 2 11 11 11C C C= + (1) 22 33C C= (1) (2) (3) 44 22 33 33C C C C= + + (1) (2) 14 41 12 13C C C C= = + 23 32 0C C= = [ ] (1) (2) (1) (2 ) (1) (2 ) 11 11 13 12 12 13 (1) (1) (1) 31 33 32 (2 ) (2 ) (3) (2) (3) (3) 21 22 11 23 13 12 (1) (2) (1) (2 ) (3) (1) (2 ) (3) (3) 21 31 23 32 31 22 33 33 32 (3) (3) (3) 21 23 22 0 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C  + +      = + +   + + + +      Phương pháp phần tử hữu hạn (3) • Chia vùng nghiệm thành một số lượng hữu hạn các phần tử, • Xây dựng các phương trình cho một phần tử, • Kết hợp các phần tử, & • Giải hệ phương trình thu được. Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 64 2 0V∇ = ( , )V x y 1( , )V x y 2V 3V 4V Phương pháp phần tử hữu hạn (12) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 65 0ax b+ = 2 0 2 d ax bx c dx   + + =    2 0V∇ = [ ] [ ][ ]1 2 TW V C Vε= 1 2 0 0, 1, 2,..., n k W W W W k n V V V V ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ↔ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ⋯ 1, 1 n k i ki i i kkk V VC C = ≠ → = − ∑ Phương pháp phần tử hữu hạn (13) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 66 VD 0V = 1 2 3 x y 4 100V = 2 11 2 3 1 2 4 3 2 4 1 2 3 Nút 1 2 3 4 x 0,5 3,1 5,0 2,8 y 1,0 0,4 1,7 2,0 ( ) 2 3 3 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 1 ( ), 4 2 , , , , e ij i j i j PQ PQC PP QQ A A P y y P y y P y y Q x x Q x x Q x x − = + = = − = − = − = − = − = − Phần tử 1: 1 2 30, 4 2,0 1,6; 2,0 1, 0 1,0; 1, 0 0, 4 0,6P P P= − = − = − = = − = 1 2 32,8 3,1 0,3; 0,5 2,8 2,3; 3,1 0,5 2, 6Q Q Q= − = − = − = − = − = 1, 0.2,6 0, 6( 2,3) 1,99 2 A − −= = (1) 1 2 1 2 12 ( 1,6)1,0 ( 0,3)( 2,3) 0,1143 4.1,99 4.1,99 PP QQC + − + − −= = = − (1) 0,3329 0,1143 0,2186 0,1143 0, 7902 0,6759 0,2186 0, 6759 0,8945 C − −     = − −      − −  Phương pháp phần tử hữu hạn (14) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 67 0V = 1 2 3 x y 4 100V = 2 11 2 3 1 2 4 3 2 4 1 2 3 ( ) 2 3 3 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 1 ( ), 4 2 , , , , e ij i j i j PQ PQC PP QQ A A P y y P y y P y y Q x x Q x x Q x x − = + = = − = − = − = − = − = − Phần tử 2: 1 2 31,7 2,0 0,3; 2, 0 0,4 1, 6; 0, 4 1,7 1, 3P P P= − = − = − = = − = − 1 2 32,8 5 2, 2; 3,1 2,8 0,3; 5,0 3,1 1,9Q Q Q= − = − = − = = − = 1, 6.1,9 ( 1, 3)0,3 1,715 2 A − −= = (2) 2 2 2 2 22 1,6.1, 6 0,3.0,3 0,3863 4.1,715 4.1,715 P P Q QC + += = = ( 2) 0, 7187 0,1662 0,5525 0,1662 0,3863 0, 2201 0,5525 0, 2201 0, 7726 C − −     = − −      − −  VD Nút 1 2 3 4 x 0,5 3,1 5,0 2,8 y 1,0 0,4 1,7 2,0 Phương pháp phần tử hữu hạn (15) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 68 VD 0V = 1 2 3 x y 4 100V = (1) ( 2) 0,3329 0,1143 0,2186 0,1143 0, 7902 0,6759 0,2186 0, 6759 0,8945 0, 7187 0,1662 0,5525 0,1662 0,3863 0, 2201 0,5525 0, 2201 0, 7726 C C − −     = − −      − −  − −     = − −      − −  [ ] (1) (1) (1) 11 12 13 (1) (1) (2) (2) (1) (2) 21 22 11 12 23 13 (2) (2) ( 2) 21 22 23 (1) (1) (2) (2) (1) (2) 31 32 31 32 33 33 0 0 C C C C C C C C CC C C C C C C C C C     + +  =     + +   1 2 3 1 2 3 0,3329 0,1143 0 0, 2186 0,1143 1,5089 0,1662 1, 2284 0 0,1662 0,3863 0,2201 0, 2186 1, 2284 0,2201 1, 6671 − −    − − −  =   − −   − − −  Phương pháp phần tử hữu hạn (16) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 69 VD 0V = 1 2 3 x y 4 100V = [ ] 0,3329 0,1143 0 0,2186 0,1143 1,5089 0,1662 1, 2284 0 0,1662 0,3863 0, 2201 0,2186 1, 2284 0, 2201 1,6671 C − −    − − −  =   − −   − − −  1, 1 n k i ki i i kkk V VC C = ≠ = − ∑ 1 2 3 1 2 3 2 1 12 3 32 4 42 22 4 1 14 2 24 3 34 44 1 ( ) 1 ( ) V VC V C V C C V VC V C V C C  = − + +  →   = − + +  ( 1) ( ) ( ) 2 4 4 ( 1) ( ) ( ) 4 2 2 1 [(0( 0,1143) 100( 0,1662) ( 1, 2284)] 11,0146 0,8141 1,5089 1 [0( 0, 2186) ( 1, 2284) 100( 0,2201)] 13, 2026 0, 7368 1,6671 k k k k k k V V V V V V + +  = − − + − + − = + →   = − − + − + − = +  Phương pháp phần tử hữu hạn (17) Các phương trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 70 VD 0V = 1 2 3 x y 4 100V = ( 1) ( ) 2 4 ( 1) ( ) 4 2 11,0146 0,8141 13, 2026 0,7368 k k k k V V V V + +  = +  = + (0) (0) 2 4 0 100 50 2 V V += = = 1 2 3 1 2 3 (1) (0) 2 4 (1) (0) 4 2 11, 0146 0,8141 11,0146 0,8141 50 51, 7196 13, 2026 0,7368 13, 2026 0, 7368 50 50, 0426 V V V V  = + = + × =  = + = + × = ( 2) (1) 2 4 ( 2) (1) 4 2 11, 0146 0,8141 11, 0146 0,8141 50,0426 51,7543 13, 2026 0,7368 13,2026 0,7368 51,7196 51,3096 V V V V  = + = + × =  = + = + × = (3) ( 2) 2 4 (3) ( 2) 4 2 11, 0146 0,8141 11, 0146 0,8141 51,3096 52, 7857 13, 2026 0,7368 13, 2026 0,7368 51,7543 51,3352 V V V V  = + = + × =  = + = + × =