Giáo trình Lý thuyết trường điện từ - Chương 5: Năng lượng và điện thế - Nguyễn Công Phương

Lý thuyết trường điện từ Năng lượng & điện thế Nguyễn Công Phương Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 2 Nội dung I. Giới thiệu II. Giải tích véctơ III. Luật Coulomb & cường độ điện trường IV. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive V. Năng lượng & điện thế VI. Dòng điện & vật dẫn VII. Điện môi & điện dung VIII. Các phương trình Poisson & Laplace IX. Từ trường dừng X. Lực từ & điện cảm XI. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell XII. Sóng phẳng XIII. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng XIV.Dẫn sóng & bức xạ Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 3 Năng lượng & điện thế 1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 2. Tích phân đường 3. Hiệu điện thế & điện thế 4. Trường thế của điện tích điểm 5. Trường thế của một hệ điện tích 6. Gradient thế 7. Lưỡng cực 8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 4 Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường (1) • Dịch chuyển điện tích Q trên một đoạn dL trong điện trường E, lực do điện trường tác động lên điện tích: FE = QE • Thành phần lực theo hướng của dL: FEL = F.aL = QE.aL • aL là véctơ đơn vị theo hướng của dL • Vậy lực cần tác dụng để dịch chuyển điện tích: Ftd = –QE.aL • Công cần thực hiện để dịch chuyển Q trong điện trường: dW = –QE.aLdL = –QE.dL Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 5 Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường (2) • Công cần thực hiện để dịch chuyển Q trong điện trường: dW = –QE.dL • dW = 0 nếu: – Q = 0, E = 0, dL = 0, hoặc – E vuông góc với dL • Công dịch chuyển điện tích trên một quãng đường hữu hạn: cuèi ®Çu W Q d= − ∫ E. L Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 6 Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường (3) 2 2 2 8.2( 2)3 4.2 .3 4.2 ( 2) 3 a a a E x y zP − + − − = 10,67 5,33 3,56 V/ma a ax y z= − + + L aLd dL= Cho E = (8xyzax + 4x2zay – 4x2yaz)/z2 V/m. Tính vi phân công cần thực hiện để dịch chuyển một điện tích 5 nC trên một quãng đường 3 μm, bắt đầu từ P(2, –2, 3) theo hướng hL = – 6ax + 3ay + 2az. Ví dụ 1 dW = – QE.dL 6 2 2 2 6 3 2 3.10 6 3 2 a a a − − + + = + + x y z 6( 2,57 1,29 0,86 )10 ma a a −= − + + x y z .E LpdW Q d= − 9 65.10 ( 10,67 5,33 3,56 ).( 2,57 1,29 0,86 )10a a a a a a− −= − − + + − + + x y z x y z 155.10 ( 10,67( 2,57) 5,33.1,29 3,56.0,86)−= − − − + + 120,187.10 J−= − Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 7 Năng lượng & điện thế 1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 2. Tích phân đường 3. Hiệu điện thế & điện thế 4. Trường thế của điện tích điểm 5. Trường thế của một hệ điện tích 6. Gradient thế 7. Lưỡng cực 8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 8 Tích phân đường (1) cuèi ®Çu LW Q E dL= − ∫ 1 2 6...W dW dW dW= + + + 1 1 2 2 6 6. . ... .E L E L E LQ Q Q= − ∆ − ∆ − − ∆ E E E E E E ΔL1 ΔL2 ΔL3 ΔL4 ΔL5 ΔL6 EL1 EL2 EL3 EL4 EL5 EL6 B A 1 2 6...E E E E= = = = 1 2 6( ... )E. L L LW Q→ = − ∆ + ∆ + + ∆ 1 2 6...L L L LBA∆ +∆ + +∆ = E.LBAW Q→ = − 1 1 2 2 6 6. . ... .L L LQE L QE L QE L= − ∆ − ∆ − − ∆ (E đều) E.LBAQ= − (E đều) Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 9 Tích phân đường (2) • Công để dịch chuyển điện tích (trong điện trường đều) chỉ phụ thuộc Q, E & véctơ LAB • (sẽ thấy rằng) Điện trường (tĩnh) không đều cũng cho kết quả tương tự . cuèi ®Çu L BAW Q E dL Q= − = −∫ EL E E E E E E ΔL1 ΔL2 ΔL3 ΔL4 ΔL5 ΔL6 EL1 EL2 EL3 EL4 EL5 EL6 B A E. L A B W Q d→ = − ∫ E.LBAQ= − (E đều) . cuèi ®Çu W Q d= − ∫ E L E đều Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 10 Tích phân đường (3) A B W Q d= − ∫ E. L L a a a x y zd dx dy dz= + + 2 ( 2 ).( )a a a a a aA x y z x y zB W y x dx dy dz→ = − + + + +∫ Cho E = yax + xay + 2az V/m. Tính công cần thực hiện để dịch chuyển một điện tích 2 C từ B(1; 0; 1) đến A(0,8; 0,6; 1) theo: a) đường tròn x2 + y2 = 1, z = 1 b) đường thẳng nối B với A Ví dụ 1 0,8 0,6 1 1 0 1 2 2 4 x y x y ydx xdy dz = = = = = − − −∫ ∫ ∫ 0,8 0,62 2 1 0 2 1 2 1 0 x y x y x dx y dy = = = = = − − − − −∫ ∫ 0,8 0,6 2 1 2 1 1 0 1 sin 1 sinx x x y y y− −   = − − + − − +     0,96 J= − Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 11 Tích phân đường (4) A B W Q d= − ∫ E. L L a a a x y zd dx dy dz= + + 2 ( 2 ).( )a a a a a aA x y z x y zB W y x dx dy dz→ = − + + + +∫ Ví dụ 1 0,8 0,6 1 1 0 1 2 2 4 x y x y ydx xdy dz = = = = = − − −∫ ∫ ∫ 0,8 0,6 1 0 6 ( 1) 2 1 0 3 x y x y yW x dx dy = = = =   → = − − − −    ∫ ∫ 0,96 J= − ( )A BB B A B y yy y x x x x − − = − − 3( 1)y x→ = − − Cho E = yax + xay + 2az V/m. Tính công cần thực hiện để dịch chuyển một điện tích 2 C từ B(1; 0; 1) đến A(0,8; 0,6; 1) theo: a) đường tròn x2 + y2 = 1, z = 1 b) đường thẳng nối B với A Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 12 Tích phân đường (5) L a a a x y zd dx dy dz= + + L a a a zd d d dzρ ϕρ ρ ϕ= + + sinL a a a r d dr rd r dθ ϕθ θ ϕ= + + (Descartes) (Trụ tròn) (Cầu) Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 13 Tích phân đường (6) L a a a zd d d dzρ ϕρ ρ ϕ= + + . cuèi ®Çu W Q d= − ∫ E L 0 0 d dz ρ = = x y z ρL Tính công cần thực hiện khi di chuyển một điện tích Q 3600 quanh trục z trên một đường tròn nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục z, trục z đi qua tâm của đường tròn. Ví dụ 2 02 E aL ρ ρ piε ρ = 0= 0 . 2 cuèi ®µu LW Q dρ ϕ ρ ρ ϕ piε ρ→ = − ∫ a a 2 0 0 . 2 a aLQ dpi ρ ϕ ρ ϕ piε = − ∫ 2 o 0 0 cos90 2 piρ ϕ piε → = − ∫LW Q d o . 1.1.cos90a aρ ϕ = dL Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 14 Tích phân đường (7) L a a a zd d d dzρ ϕρ ρ ϕ= + + . cuèi ®Çu W Q d= − ∫ E L 0 0 d dz ϕ = = x y z ρL Tính công cần thực hiện khi di chuyển một điện tích Q từ ρ = a đến ρ = b. Ví dụ 3 02 E aL ρ ρ piε ρ = 0 . 2 cuèi ®Çu LW Q dρ ρ ρ ρ piε ρ→ = − ∫ a a 02 b L a dQ ρ ρ piε ρ = − ∫ 0 ln 2 LQ b a ρ piε = − a b dL Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 15 Năng lượng & điện thế 1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 2. Tích phân đường 3. Hiệu điện thế& điện thế 4. Trường thế của điện tích điểm 5. Trường thế của một hệ điện tích 6. Gradient thế 7. Lưỡng cực 8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 16 Hiệu điện thế (1) • Hiệu điện thế V: công cần thực hiện để dịch chuyển một điện tích dương 1 C từ điểm này tới điểm khác trong điện trường: • Hiệu điện thế giữa điểm A & điểm B: • Đơn vị: volt (V, J/C) cuèi ®Çu W Q d= − ∫ E. L cuèi ®Çu HiÖu ®iÖn thÕ V d= = −∫ E. L A AB B V d= −∫ E. L Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 17 Hiệu điện thế (2) x y z ρL Tính hiệu điện thế giữa ρ = a đến ρ = b. Ví dụ ab WV Q= 0 ln 2 L ab bV a ρ piε → = 0 ln 2 LQ bW a ρ piε = a b Công cần thực hiện khi di chuyển một điện tíchQ từ a đến b: 0 ln 2 LQ bW a ρ piε = − → công cần thực hiện khi di chuyển một điện tích Q từ b đến a: Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 18 Điện thế • Hiệu điện thế giữa điểm A & điểm B • Nếu không có điểm B? • → Điện thế (điện thế tuyệt đối) tại điểm A • → Vẫn cần 1 điểm tham chiếu: – “Đất” – Vỏ của thiết bị điện – Ở vô cùng • Nếu điện thế tạiA là VA & tại B là VB thì hiệu điện thế giữa A& B: VAB= VA – VB • (với điều kiện VA& VB chung 1 điểm tham chiếu) Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 19 Năng lượng & điện thế 1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 2. Tích phân đường 3. Hiệu điện thế & điện thế 4. Trường thế của điện tích điểm 5. Trường thế của một hệ điện tích 6. Gradient thế 7. Lưỡng cực 8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 20 Trường thế của điện tích điểm (1) .E L A AB B V d= −∫ L ard dr= 2 04 E a r Q rpiε = Q A B rA rB 2 04 A B r AB r QV dr rpiε → = −∫ 0 1 1 4 A B Q r rpiε   = −    Br →∞ 04 A A QV rpiε → = 04 QV rpiε = (Trường thế của điện tích điểm) Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 21 Trường thế của điện tích điểm (2) • Điện thế của một điểm cách điện tích Q một khoảng r • Điện thế của một điểm ở xa vô cùng được dùng làm điểm tham chiếu • Ý nghĩa vật lý: cần phải tốn một công là Q/4πε0r (J) để dịch chuyển một điện tích 1 C từ vô cùng về một điểm cáchQ một khoảng r. • Đặt • Hiệu điện thế không phụ thuộc C1 04 QV rpiε = 1 04 QV C rpiε → = +1 04 B Q C rpiε = Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 22 Trường thế của điện tích điểm (3) • Trường điện thế của một điện tích điểm • Đó là một trường vô hướng, & không có véctơ đơn vị • Mặt đẳng thế: tập hợp của tất cả các điểm có cùng điện thế • Khi dịch chuyển một điện tích trên một mặt đẳng thế, không cần phải tiêu tốn công • Mặt đẳng thế của một điện tích điểm là một mặt cầu có tâm nằm ở điện tích điểm đó 04 QV rpiε = Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 23 Năng lượng & điện thế 1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 2. Tích phân đường 3. Hiệu điện thế & điện thế 4. Trường thế của điện tích điểm 5. Trường thế của một hệ điện tích 6. Gradient thế 7. Lưỡng cực 8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 24 Trường thế của một hệ điện tích (1) 1 0 1 ( ) 4 r r r QV piε = − 1 2 0 1 0 2 ( ) 4 4 r r r r r Q QV piε piε = + − − 1 2 0 1 0 2 0 ( ) ... 4 4 4 r r r r r r r n n QQ QV piε piε piε = + + + − − − r1 r r – r1 Gốc toạ độ Q1 1 04 r r n m m m Q piε = = − ∑ m v mQ vρ= ∆ 1 1 2 2 0 1 0 2 0 ( ) ( ) ( )( ) ... 4 4 4 r r r r r r r r r r v v v n n n v v vV ρ ρ ρ piε piε piε ∆ ∆ ∆ → = + + + − − − r – r2 r2 Q2 Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 25 Trường thế của một hệ điện tích (2) n→∞ 1 1 2 2 0 1 0 2 0 ( ) ( ) ( )( ) ... 4 4 4 r r r r r r r r r r v v v n n n v v vV ρ ρ ρ piε piε piε ∆ ∆ ∆ = + + + − − − 0 ( )( ) 4 v V dvV ρ piε ′ ′ → = ′− ∫ r r r r 0 ( )( ) 4 L dLV ρ piε ′ ′ = ′ − ∫ r r r r 0 ( )( ) 4 S S dSV ρ piε ′ ′ = ′− ∫ r r r r Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 26 Trường thế của một hệ điện tích (3) Tính điện thế trên trục z. Ví dụ 0 ( )( ) 4 L dLV ρ piε ′ ′ = ′ − ∫ r r r r dL adϕ′ ′= 2 2 20 0 ( ) 4 LadV a z pi ρ ϕ piε ′ → = + ∫r 2 2 a z′→ − = +r rz z=r a a ρ′ =r a 2 2 02 La a z ρ ε = + x y z ρL r’'ϕ r (0, 0, z) ' 'dL adϕ= ρ = a 2 2 ' a z− = +r r Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 27 Trường thế của một hệ điện tích (4) Nếu điểm tham chiếu ở vô cùng thì: • Điện thế do một điện tích điểm gây ra là công cần thực hiện để đưa 1 đơn vị điện tích dương từ vô cùng về điểm mà chúng ta xét, công này không phụ thuộc vào (dạng của) quãng đường giữa hai điểm đó • Trường thế của một hệ điện tích gây ra là tổng của các trường thế do từng điện tích trong hệ gây ra • Biểu thức điện thế: • Hiệu điện thế: • Đối với điện trường tĩnh: A AV d ∞ = −∫ E. L A AB A B B V V V d= − = −∫ E. L 0d =∫ E. L
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 28 Năng lượng & điện thế 1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 2. Tích phân đường 3. Hiệu điện thế & điện thế 4. Trường thế của điện tích điểm 5. Trường thế của một hệ điện tích 6. Gradient thế 7. Lưỡng cực 8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 29 Gradient thế (1) • Đã có 2 phương pháp để tính điện thế: bằng cường độ điện trường & bằng phân bố điện tích • Nhưng thường thì không biết cả E lẫn ρ • → Bài toán: tính cường độ điện trường từ điện thế • Phương pháp: gradient thế Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 30 Gradient thế (2) V d= −∫E. L V∆ − ∆E. L≐ cosV E L θ∆ − ∆≐ cos dV E dL θ= − max (cos 1)dVE dL θ= = − θ L∆ E Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 31 Gradient thế (3) • Độ lớn của cường độ điện trường bằng giá trị cực đại của tốc độ biến thiên của điện thế theo khoảng cách • Giá trị cực đại này đạt được nếu hướng của vi phân khoảng cách ngược với hướng của E, nói cách khác hướng của E ngược với hướng mà điện thế tăng nhanh nhất max dVE dL = V = +90 +80 +70 +60 +50 +40 +30 +20 +10 P E max N dV dL   = −    E a aN ΔL Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 32 Gradient thế (4) max dV dV dL dN = V = +90 +80 +70 +60 +50 +40 +30 +20 +10 P E max N dV dL   = −     E a aN ΔL E aN dV dN → = − grad aN dTT dN =Gradient của T = gradE V= − Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 33 Gradient thế (5) gradE V= − ( , , )V V x y z= V V VdV dx dy dz x y z ∂ ∂ ∂ → = + +∂ ∂ ∂ .E L x y zdV d E dx E dy E dz= − = − − − x y z VE x V E y VE z  ∂ = − ∂ ∂ → = − ∂  ∂ = − ∂ E a a a ∂ ∂ ∂→ = − + + ∂ ∂ ∂ x y z V V V x y z grad a a a x y z V V VV x y z ∂ ∂ ∂ = + +∂ ∂ ∂→ Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 34 Gradient thế (6) gradE V= − gradT T→∇ = grad a a a x y z V V VV x y z ∂ ∂ ∂ = + +∂ ∂ ∂ a a a x y z x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ x y z T T TT x y z ∂ ∂ ∂ →∇ = + + ∂ ∂ ∂ a a a → V= −∇E Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 35 Gradient thế (7) 1 (Tru tròn)a a az V V VV z ρ ϕρ ρ ϕ ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ ɺ (Descartes)a a a x y z V V VV x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ 1 1 ( ) sin a a aθ ϕθ θ ϕ ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ CÇur V V VV r r r Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 36 Gradient thế (8) yx z DD D x y z ∂∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ .D x y z V V VV x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ a a aGradient: Đive: Gradient thế (9) Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 37 Tính gradient của các hàm sau: 2 3) 2 5 ) 6 sin 4 cos3 1) 2 sin cos a f a y y z b g z c h r r ρ ϕ ρ ϕ θ ϕ = − = + = + Ví dụ 1 Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 38 Gradient thế (10) 22( 4) (3) 5(6) 66 VPV = − − = E V= −∇ a a a ∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂ x y z V V V x y z Cho trường thế V = 2x2y – 5z (V) & điểm P(–4, 3, 6). Tính các thông số tại P: điện thế VP, cường độ điện trường EP , hướng của EP , dịch chuyển điện DP , & mật độ điện tích khối ρv . Ví dụ 2 24 2 5 V/ma a ax y zxy x= − − + 48 32 5 V/mE a a ap x y z→ = − + , E a E p E P p = 2 2 2 48 32 5 48 ( 32) 5 a a ax y z− + = + − + 0,83 0,55 0,086a a a x y z= − + Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 39 Gradient thế (11) 0D Eε= 335, 4 pC/my= − Cho trường thế V = 2x2y – 5z (V) & điểm P(–4, 3, 6). Tính các thông số tại P: điện thế VP, cường độ điện trường EP , hướng của EP , dịch chuyển điện DP, & mật độ điện tích khối ρv . 2 235,40 17,71 44,30 pC/ma a ax y zxy x= − − + 12 28,854.10 ( 4 2 5 )a a ax y zxy x−= − − + v ρ = ∇.D ( )2. 35,40 17,71 44,30a a a a a ax y z x y zxy x x y z  ∂ ∂ ∂ = + + − − + ∂ ∂ ∂  2( 35,40 ) ( 17,71 ) (44,30)xy x x y z ∂ − ∂ − ∂ = + + ∂ ∂ ∂ Ví dụ 2 Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 40 Năng lượng & điện thế 1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 2. Tích phân đường 3. Hiệu điện thế & điện thế 4. Trường thế của điện tích điểm 5. Trường thế của một hệ điện tích 6. Gradient thế 7. Lưỡng cực 8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 41 Lưỡng cực (1) • Đóng vai trò quan trọng trong việc khảo sát chất điện môi trong điện trường • Lưỡng cực (lưỡng cực điện): 2 điện tích điểm có độ lớn bằng nhau & ngược dấu, khoảng cách giữa chúng rất nhỏ so với khoảng cách tới điểm P cần xét x y z +Q –Q P R1 r R2 d θ Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 42 Lưỡng cực (2) 2 1 0 1 2 0 1 2 1 1 4 4 R RQ QV R R R Rpiε piε   − = − =    1 2R R≐ 2 1 cosR R d θ− ≐ x y z +Q –Q P R1 r R2 d θ x y z +Q –Q R1 r R2 d θ 2 1 cosR R d θ− ≐ 2 0 cos 4 QdV r θ piε =→ E V= −∇ 3 0 (2cos sin ) 4 E a a r Qd r θθ θpiε = + 1 1 sin a a a r V V V r r r θ ϕθ θ ϕ  ∂ ∂ ∂ = − + + ∂ ∂ ∂  Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 43 Lưỡng cực (3) z 0,4 0,6 0,8 1 2 0 cos 4 QdV r θ piε = 3 0 (2cos sin ) 4 E a a r Qd r θθ θpiε = + Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 44 Lưỡng cực (4) p dQ= cosd.a r d θ= Mômen lưỡng cực 2 04 p.a rV rpiε → = 2 0 cos 4 QdV r θ piε = 2 0 1 ' '4 'piε − = − − r rp. r rr r r : véctơ định vị P r’: véctơ định vị tâm lưỡng cực d x y z +Q –Q P R1 r R2 d θ r a Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 45 Năng lượng & điện thế 1. Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 2. Tích phân đường 3. Hiệu điện thế & điện thế 4. Trường thế của điện tích điểm 5. Trường thế của một hệ điện tích 6. Gradient thế 7. Lưỡng cực 8. Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 46 Mật độ năng lượng (1) • Khi dịch chuyển một điện tích dương (1) ở vô cùng vào một điện trường của một điện tích dương khác (2), ta phải thực hiện một công • Nếu điện tích 1 được giữ nguyên trong điện trường, nó có một thế năng • Nếu thả điện tích 1 ra, nó sẽ lùi ra xa điện tích 2, & tích luỹ động năng trong quá trình chuyển động • Bài toán: tìm thế năng của một hệ điện tích Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 47 Mật độ năng lượng (2) • (Công dịch chuyển Q2) = Q2V2, 1 • V2, 1: điện thế tại vị trí của Q2 do Q1 gây ra • Nếu thêm Q3 vào hệ thì • (Công dịch chuyển Q3) = Q3V3, 1 + Q3V3, 2 • (Công dịch chuyển Q4) = Q4V4, 1 + Q4V4, 2 + Q4V4, 3 • Tổng công dịch chuyển = thế năng của điện trường = = WE = Q2V2, 1 + Q3V3, 1 + Q3V3, 2 + Q4V4, 1 + Q4V4, 2 + + Q4V4, 3 + Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 48 Mật độ năng lượng (3) WE = Q2V2, 1 + Q3V3, 1 + Q3V3, 2 + Q4V4, 1+ Q4V4, 2 + Q4V4, 3 + 1 3 3,1 3 0 134 QQV Q Rpiε = 13 31R R= 3 3 3,1 1 1 1,3 0 314 QQV Q QV Rpiε → = = WE = Q1V1, 2 + Q1V1, 3 + Q2V2, 3 + Q1V1, 4+ Q2V2, 4 + Q3V3, 4 + WE = Q2V2, 1 + Q3V3, 1 + Q3V3, 2 + Q4V4, 1+ Q4V4, 2 + Q4V4, 3 + + 1 1,2 1,3 1,4 2 2,1 2,3 2,4 3 3,1 3,2 3,4 2 ( ...) ( ...) ( ...) ... EW Q V V V Q V V V Q V V V = + + + + + + + + + + + + + + + Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 49 Mật độ năng lượng (4) 1 2E vV W Vdvρ→ = ∫ 1 1 2 2 3 3 1 1 1( ...) 2 2 k N E k k k W QV Q V QV Q V = = → = + + + = ∑ 1 1,2 1,3 1,4 2 2,1 2,3 2,4 2 3,1 3,2 3,4 2 ( ...) ( ...) ( ...) ... EW Q V V V Q V V V Q V V V = + + + + + + + + + + + + + 1,2 1,3 1,4 1...V V V V+ + + = 2,1 2,3 2,4 2...V V V V+ + + = 3,1 3,2 3,4 3...V V V V+ + + = k vQ dvρ= Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 50 Mật độ năng lượng (5) • Tổng thế năng của một hệ điện tích • Ngoài phương trình đối với điện tích khối, còn có thể xây dựng phương trình đối với điện tích điểm, điện tích đường, điện tích mặt 1 2E vV W Vdvρ= ∫ Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 51 Mật độ năng lượng (6) .( ) ( . ) .( )D D DV V V∇ ≡ ∇ + ∇ 1 ( . ) 2E V W Vdv→ = ∇∫ D .D v ρ∇ =Phương trình Maxwell 1: [ ]1 .( ) .( ) 2E V W V V dv→ = ∇ − ∇∫ D D 1 2E vV W Vdvρ= ∫ Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 52 Mật độ năng lượng (7) 1 .( ) 2 V V dv∇∫ D [ ]1 .( ) .( ) 2E V W V V dv= ∇ − ∇∫ D D 1 1 .( ) .( ) 2 2V V V dv V dv= ∇ − ∇∫ ∫D D . . S V d dv= ∇∫ ∫D S D
Định lý đive: 1 1 .( ) ( ). 2 2V S V dv V d→ ∇ =∫ ∫D D S
1 1( ). .( ) 2 2E S V W V d V dv→ = − ∇∫ ∫D S D
Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 53 Mật độ năng lượng (8) 1 1( ). .( ) 2 2E S V W V d V dv= − ∇∫ ∫D S D
04 QV rpiε = : suy giảm với tốc độ 1/r 24 D a r Q rpi = : suy giảm với tốc độ 1/r2 Sd : tăng với tốc độ r2 1 ( ). 0 2 D S S V d→ =∫
1 .( ) 2E V W V dv→ = − ∇∫ D E V= −∇ (gradient thế) 2 0 1 1 . 2 2E V V W dv E dvε= =∫ ∫DE→ Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 54 Mật độ năng lượng (9) ρ = a ρ = b Tính thế năng của một đoạn cáp đồng trục, mặt ngoài của trụ trong có mật độ điện tích mặt ρS . Ví dụ 2 2 00 0 0 1 2 z L b S E z a aW dv ϕ pi ρ ϕ ρ ρ ε ε ρ = = = = = =   → =     ∫ ∫ ∫ ( )SaD a bρ ρ ρ ρ = < < 2 0 1 2E V W E dvε= ∫ 0 SaE ρ ε ρ→ = dv d d dzρ ρ ϕ= 2 22 0 2 20 0 0 1 2 z L b S E z a aW d d dz ϕ pi ρ ϕ ρ ρ ε ρ ρ ϕ ε ρ = = = = = = → = ∫ ∫ ∫ 2 2 0 lnSLa b a pi ρ ε = Cách 1: Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 55 Mật độ năng lượng (10) ρ = a ρ = b 0 a S a b aV dρ ρ ε ρ → = −∫ . cuèi ®Çu ABV d= −∫ E L 1 2E vV W Vdvρ= ∫ 0bV = 0 lnSa b a ρ ε = Cách 2: a a b V E dρ ρ→ = −∫ 0 SaEρ ρ ε ρ= 0 1 ln 2 S E vV a bW dv a ρρ ε → = ∫1 2E vV W Vdvρ= ∫ Ví dụ Tính thế năng của một đoạn cáp đồng trục, mặt ngoài của trụ trong có mật độ điện tích mặt ρS . Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 56 Mật độ năng lượng (11) ρ = a ρ = b 1 2E vV W Vdvρ= ∫ , , 2 2 S v t t a a t a t ρρ ρ= − ≤ ≤ + ≪ Cách 2: 0 1 ln 2 S v v a b dv a ρρ ε = ∫ 2 /2 0 0 /2 0 1 ln 2 z L a t S S E z a t bW a d d dz t a ϕ pi ρ ϕ ρ ρ ρ ρ ρ ϕ ε = = = + = = = − → = ∫ ∫ ∫ 2 2 0 lnSLa b a pi ρ ε = Ví dụ Tính thế năng của một đoạn cáp đồng trục, mặt ngoài của trụ trong có mật độ điện tích mặt ρS . Năng lượng & điện thế - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 57 .W Q d= − ∫E L .V d= −∫E L Q 1 224 R QQ Rpiε =F a 24 R Q Rpiε =E a ε=D E