Giáo trình logic Toán - Chương VIII: Ma Trận - Ðịnh Thức

ðẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Linear Algebra) Ma Trận - ðịnh Thức GV: Ngô Thái Hưng Chương VIII Ma Trận - ðịnh Thức
Ma trận
ðịnh thức của ma trận vuông
Ma trận nghịch ñảo
Hạng của ma trận §1. Ma Trận (Matrix) 1. ðịnh nghĩa A gọi là ma trận cấp , A ∈ Mmxn Ký hiệu : hay [A]ij là phần tử tại hàng i, cột j trong A 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a A a a a       =        ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ m n× ( )ij m nA a ×= ij m nA a × =   §1. Ma Trận 2. Ma trận bằng nhau 3. Các ma trận ñặc biệt 1. Ma trận không ×∈ = ⇔  = ∀ = = m n ij ij A,B M A B [A] [B] , i 1,m, j 1,n ×       =        ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ m n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 §1. Ma Trận 3. Các ma trận ñặc biệt 2. Ma trận vuông (Square Matrix) Là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. A ∈ Mnxn hay A ∈ Mn , A ñược gọi là ma trận vuông cấp n. Các phần tử [A]11, [A]22, .. , [A]nn ñược gọi là thuộc ñường chéo chính của A. Các phần tử [A]n1, [A]n-1,2, .. , [A]1n ñược gọi là thuộc ñường chéo phụ của A. §1. Ma Trận 3. Các ma trận ñặc biệt 2. Ma trận vuông Ví dụ − −    =       1 6 5 2 3 A 0 5 2 3 ðường chéo chính −    =     −  3 6 2 1 2 A 0 5 3 5 ðường chéo phụ §1. Ma Trận 3. Các ma trận ñặc biệt 3. Ma trận chéo (Diagonal Matrix) Là ma trận vuông có mọi phần tử không thuộc ñường chéo chính ñều bằng 0. Ví dụ , gọi là ma trận chéo cấp 3.5 0 0 A 0 7 0 0 0 0     = −      §1. Ma Trận 3. Các ma trận ñặc biệt 4. Ma trận ñơn vị (Identity Matrix) Là ma trận chéo có mọi phần tử thuộc ñường chéo chính ñều bằng 1. Ký hiệu : In là ma trận ñơn vị cấp n.       =        n 1 0 ... 0 0 1 ... 0 I ... ... ... ... 0 0 ... 1 §1. Ma Trận 3. Các ma trận ñặc biệt 5. Ma trận tam giác trên (dưới) Là ma trận vuông có mọi phần tử ở phía dưới (phía trên) ñường chéo chính ñều bằng 0. Ví dụ: A ñược gọi là ma trận tam giác trên −    = −      0 0 0 5 2 1 A 7 4 0 §1. Ma Trận 3. Các ma trận ñặc biệt 6. Ma trận hàng (cột) Là ma trận chỉ có một hàng (cột). Còn ñược gọi là vectơ hàng (cột). Một ma trận cấp có thể ñược xem như ñược tạo bởi m vectơ hàng hay bởi n vectơ cột. m n× Ma trận hàng: ( )= −A 2 1 0 Ma trận cột:     = −      2 A 1 0 §1. Ma Trận 4. Các phép toán trên ma trận Cho 1. Phép nhân ma trận với một số thực k.A là ma trận ñược xác ñịnh bởi (–1).A hay –A ñược gọi là ma trận ñối của A. 2. Phép cộng hai ma trận A + B là ma trận ñược xác ñịnh bởi Phép trừ ñược ñịnh nghĩa là A + (–B) ×∈ ∈ℝm nA, B M , k [ ] [ ] [ ]+ = + ∀ = = ij ij ij A B A B , i 1,m, j 1,n [ ] [ ]= ∀ = = ij ij kA k A , i 1,m, j 1,n §1. Ma Trận 4. Các phép toán trên ma trận 3. Tính chất i. A + B = B + A (tính giao hoán) ii. (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp) iii. A + 0 = A (0 ñược hiểu là 0mxn) iv. A + (−A) = 0 v. h(kA) = k(hA) vi. h(A + B) = hA + hB vii. (h + k)A = hA + kA viii. 1.A = A §1. Ma Trận 4. Các phép toán trên ma trận 4. Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận Tích của A và B là ma trận cấp , ký hiệu AB ñược xác ñịnh bởi , với mọi . [AB]ik chính là tích vô hướng của vectơ hàng thứ i của ma trận A với vectơ cột thứ k của ma trận B. m n n pA M , B M× ×∈ ∈ m p× [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n ik ij jk i1 1k i2 2k in nk j 1 AB A B A B A B ... A B = = = + + +∑ i 1,m, k 1,p= = §1. Ma Trận 4. Các phép toán trên ma trận 4. Phép nhân hai ma trận Ví dụ 3x2 2x2 1 2 2 3 A 1 1 M , B M 2 1 2 3      = − ∈ = ∈   −     §1. Ma Trận 4. Các phép toán trên ma trận 5. Tính chất i. A(BC) = (AB)C (tính kết hợp) ii. (A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB (tính phân bố) iii. k(AB) = (kA)B = A(kB) Lưu ý: Tích của A và B không chắc tồn tại và không có tính giao hoán. §1. Ma Trận 5. Các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng 1. Hoán vị hai hàng i và j Ký hiệu (i) ~ (j) Ví dụ ( ) ( )             = →            − −    ∼1 3 1 3 2 0 1 2 3 0 1 2 3 A 5 1 2 0 5 1 2 0 3 2 1 5 4 1 53 4 3 2 12 §1. Ma Trận 5. Các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng 2. Nhân hàng i với một số α ≠ 0 Ký hiệu (i) := α(i) Ví dụ ( ) ( )= − −        = →            1 3 : 3 5 1 2 3 1 0 0 2 3 A 0 1 4 0 1 4 5 0 0 1 §1. Ma Trận 5. Các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng 3. Thay hàng i bởi hàng i cộng với α lần hàng j Ký hiệu (i) := (i) + α(j) Ví dụ ( ) ( ) ( )= + −        = − → −         − − −   3 : 1 3 1 1 0 A 1 0 2 0 0 1 1 1 1 2 0 1 1 1 0 §1. Ma Trận 6. Áp dụng của các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng 1. Chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên Ví dụ ( ) ( ) ( )= + −        = − →          − −  − − 3 : 1 3 1 1 0 A 1 0 2 0 0 1 1 1 1 2 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( )= + −    → −    − 3 : 2 3 1 1 0 0 0 0 1 1 1 §1. Ma Trận 6. Áp dụng của các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng 2. Chuyển ma trận tam giác trên về ma trận ñơn vị Nếu các phần tử thuộc ñường chéo chính của ma trận tam giác trên ñều khác 0. Ví dụ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − = +         = →            − − − − − − 1 : 1 1 2 : 3 2 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 A 0 1 0 0 = − + = − =−     → =      (1) : 1(2) (1) 3(2) : 1 (2) (3) : 1 (3) 0 1 0 0 0 1 1 0 I 0 §1. Ma Trận 6. Áp dụng của các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng 3. Ma trận bậc thang theo hàng Là ma trận thỏa với hai hàng bất kỳ, số hạng khác 0 ñầu tiên của hàng dưới luôn nằm bên phải số hạng khác 0 ñầu tiên của hàng trên. Ví dụ: 0 1 0 3 5 7 0 0 0 2 4 6 A 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0     −   =         1 0 2 0 9 6 0 2 4 4 7 1 B 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0     −   =         §1. Ma Trận 6. Áp dụng của các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng 4. Chuyển ma trận bất kỳ về ma trận bậc thang theo hàng Ví dụ = + = − = − − − −            = − − → →            − −      (2): (2) (1) (3): (3) 3.(2) (3): (3) 2.(1) 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 A 1 2 2 1 0 1 1 2 0 1 1 2 2 1 6 3 0 3 0 1 0 0 3 5 §1. Ma Trận 7. Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) 1. ðịnh nghĩa Cho A ∈ Mmxn , chuyển vị của A, ký hiệu AT là ma trận cấp ñược ñịnh nghĩa bởi : Ví dụ [ ]  = ∀ = = T jiijA A , i 1,n, j 1,m ×n m 2 3 1 2 3 A M 4 5 6 ×   = ∈    T 3 2 1 4 A 2 5 M 3 6 ×     = ∈      §1. Ma Trận 7. Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) 2. Tính chất i. ii. iii. ( )TTA A= ( )T T TA B A B+ = + ( )T T TAB B A= §1. Ma Trận 8. Ma trận ñối xứng (Symmetric Matrix) 1. ðịnh nghĩa Ma trận vuông A ñược gọi là một ma trận ñối xứng khi và chỉ khi A = AT⇒ các phần tử trong A ñối xứng nhau qua ñường chéo chính. Ví dụ x 1 3 A 1 y 5 3 5 z     =       §1. Ma Trận Câu hỏi (quiz) 1. Chứng minh các tính chất ở 4.3, 4.5, 7.2. 2. Chứng minh In giao hoán với mọi ma trận vuông cấp n. 3. Cho A ∈ Mn. A’ là ma trận thu ñược từ A bằng cách áp dụng phép biến ñổi sơ cấp thứ i (i = 1,2,3). Chứng minh rằng A’ = I’n.A với I’n là ma trận thu ñược từ In bằng cách áp dụng phép biến ñổi sơ cấp thứ i. §2. ðịnh thức của ma trận vuông (Determinant) 1. Ma trận bù Ký hiệu : Aij , là ma trận nhận ñược từ A sau khi bỏ ñi hàng thứ i và cột thứ j. Ví dụ 3 1 2 3 A 4 5 6 M 7 8 9     = ∈        =     11 5 6 A , 8 9 23 33 2 1 2 1 2 A , A M 7 8 4 5     = = ∈        §2. ðịnh thức của ma trận vuông 2. ðịnh nghĩa Cho A ∈ Mn. ðịnh thức của A, ký hiệu det A hay |A|, là một số thực ñược ñịnh nghĩa bằng quy nạp theo n như sau : Với n = 1, nghĩa là A = (a11), det A = a11 Với n ≥ 2, giả sử A = (aij)nxn , thì ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 n11 11 12 12 1n 1ndet A 1 a det A 1 a det A ... 1 a det A+ + += − + − + + − ( )n 1 j 1j 1 j j 1 1 a det A + = = −∑ §2. ðịnh thức của ma trận vuông 3. Nhận xét 11 12 21 22 a a A a a   =     + + = − + − = −1 1 1 211 22 12 11 22 2121 12det A ( 1) a det (a ) ( 1) a det ( a a a aa )     = = − +      1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 a a a b b b b b b B b b b , B a a a c c c c c c c c c ( ) ( ) ( )1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1a b c b c a b c b c a b c b c= − − − + − + + − −= −1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1a b c a b c a b c a b c a b c a b c §2. ðịnh thức của ma trận vuông 4. Tính ñịnh thức cấp 3 bằng quy tắc Sarrus Xây dựng ma trận A'3x5 từ A3x3 bằng cách bổ sung thêm vào A cột 1 và cột 2 3 số hạng mang dấu cộng trong ñịnh thức là tích các phần tử nằm trên ba ñường song song với ñường chéo chính 3 số hạng mang dấu âm trong ñịnh thức là tích các phần tử nằm trên ba ñường song song với ñường chéo phụ ×     =       1 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 a a a A b b b c c c ×     =       1 2 3 1 2 / 3 5 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 a a a a a A b b b b b c c c c c §2. ðịnh thức của ma trận vuông 5. Ví dụ 6. Lưu ý Công thức tính ñịnh thức của ma trận vuông ñược trình bày ở mục ñịnh nghĩa 2 là công thức tính ñịnh thức khai triển theo dòng thứ 1. ðịnh thức của ma trận vuông không ñổi khi ta khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ = − − 1 2 3 DetA 3 4 0 1 2 5 ( ) ( ) ( ) ( )= + − + − − − − − − = −DetA 1.4.5 2.0. 1 3.3. 2 3.4. 1 1.0. 2 2.3.5 16     =     − − − −  / 1 2 3 1 2 A 3 4 0 3 4 1 2 5 1 2 §2. ðịnh thức của ma trận vuông 7. ðịnh lý Cho , khi ñó với mọi 1 ≤ i0, j0 ≤ n (1) gọi là công thức khai triển theo hàng i0, (2) gọi là công thức khai triển theo cột j0. ( )i j n nA a ×= 0 0 0 n i j i j i j j 1 det A ( 1) a det A+ = = −∑ 0 00 n i j i ij j i 1 det A ( 1) a det A+ = = −∑ (1) (2) §2. ðịnh thức của ma trận vuông 8. Tính chất i. Cho A, B, C ∈ Mn thỏa: [C]1j = [A]1j + [B]1j [A]ij=[B]ij=[C]ij ∀ i = 2..n, j = 1..n. Ta có: detC = detA + detB ii. Cho k ∈ ℜ và A, B ∈ Mn thỏa: [B]1j = k.[A]1j [B]ij = [A]ij ∀ i = 2..n, j = 1..n. Ta có: detB = k.detA do ñó : det(k.A) = kn.detA , ∀ A ∈ Mn iii. ∀ A, B ∈ Mn, det(AB) = det (BA) = detA.detB §2. ðịnh thức của ma trận vuông 9. ðịnh lý i. Nếu thì detB = −detA ii. Nếu thì detB = α.detA iii. Nếu thì detB = detA (i≠i’) iv. ðịnh thức của ma trận tam giác trên bằng tích các phần tử thuộc ñường chéo chính. v. ðịnh thức của ma trận có hai dòng bất kỳ tỷ lệ với nhau thì bằng 0. vi. detA = det(AT), ∀ A ∈ Mn (i) (i )A B′→∼ (i): (i)A B=α→ (i) : (i) (i )A B′= + α→ §2. ðịnh thức của ma trận vuông 10.Tính ñịnh thức sử dụng các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng Sử dụng các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng ñể biến An về A’n là ma trận tam giác trên. |A| liên hệ với |A’| theo các ñịnh lý trong 9.9. Ví dụ: = − = + = −             = → − → − =            − − −      (2) : (2) 4(1) (3) : (3) 4(2) / (3) : (3) 3(1) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A 4 9 6 0 1 6 0 1 6 A 3 2 0 0 4 9 0 0 33 = = − = − /det A det A 1.1 ( 33) 33 §3. Ma trận nghịch ñảo 1. ðịnh nghĩa Cho A, B ∈ Mn A, B gọi là hai ma trận nghịch ñảo của nhau khi và chỉ khi AB = BA = In. Khi ñó ta nói A, B là các ma trận khả nghịch. Ký hiệu A = B-1 hay B = A-1. Ví dụ 1 3 7 A 2 1 2 7 1 4     =     −  2 5 1 B 22 53 12 9 22 5 −    = − −    −  1 0 0 AB BA 0 1 0 0 0 1     = =       §3. Ma trận nghịch ñảo 2. Tính chất An khả nghịch khi và chỉ khi detA ≠ 0 3. Tìm ma trận nghịch ñảo bằng ñịnh thức Cho A ∈ Mn, ñặt Ta có ( ) ( )( )+= = − ∈i jij ij nB b 1 det A M T 11 12 1n 21 22 2n1 T n1 n2 nn b b b b b b1 1 A B det A det A b b b −       = =        ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ §3. Ma trận nghịch ñảo 3. Tìm ma trận nghịch ñảo bằng ñịnh thức Ví dụ 1 3 7 A 2 1 2 7 1 4     =     −  det A 1= − −     = =       T 12 13 1 T 21 22 23 31 31 33 b b 1 1 A B b b b det A det A 2 b b b ( )1 111 1 2b 1 2 1 4 + = − = §3. Ma trận nghịch ñảo 4. Tìm ma trận nghịch ñảo bằng các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng Bước 1: Lập ma trận là ma trận gồm n hàng và 2n cột, trong ñó n cột ñầu chính là ma trận An n cột cuối là ma trận ñơn vị In Bước 2: Sử dụng các phép biến ñổi sơ cấp trên hàng, nếu có thể chuyển ñược ma trận về ma trận , khi ñó B = A-1 ( )nA I ( )nA I ( )nI B §3. Ma trận nghịch ñảo 4. Tìm ma trận nghịch ñảo bằng các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng Ví dụ 1 3 7 A 2 1 2 7 1 4     =     −  ( )     =     −  3 1 3 7 1 0 0 A I 2 1 2 0 1 0 7 1 4 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − = +         → − − −        −    2 : 2 2 1 3 : 3 7 1 1 3 7 1 0 0 1 3 7 1 0 0 2 1 2 0 1 0 0 5 12 2 1 0 7 1 4 0 0 1 0 22 53 7 0 1 §3. Ma trận nghịch ñảo 5. ðịnh lý Nếu An khả nghịch thì ma trận nghịch ñảo A-1 tồn tại duy nhất. 6. Tính chất Cho A, A1, A2 khả nghịch cấp n i. ii. iii. ( ) 11A A−− = ( ) 1 1 11 2 2 1A A A A− − −= ( ) ( )1 1 TTA A− −= §4. Hạng(rank) của ma trận 1. ðịnh thức con Cho A ∈ Mmxn. ðịnh thức con cấp k của A là ñịnh thức của ma trận vuông cấp k thu ñược từ A sau khi bỏ ñi một số hàng và cột. §4. Hạng(rank) của ma trận 2. ðịnh nghĩa hạng của ma trận Cho A ∈ Mmxn. Hạng của A là r nếu: i. Mọi ñịnh thức con của A cấp lớn hơn r ñều bằng 0. ii. Trong A tồn tại một ñịnh thức con cấp r khác 0. Ký hiệu: rank(A) hay r(A). Ta quy ước rank(0) = 0 ⇒ 0 ≤ r(A) ≤ min{m,n} §4. Hạng(rank) của ma trận 2. ðịnh nghĩa hạng của ma trận Ví dụ vì detA = 0, và A có ñịnh thức con cấp 2 1 2 3 A 2 4 6 2 5 0     =       ( )r A 2= 1 2 0 2 5 ≠ §4. Hạng(rank) của ma trận 3. Tính chất i. Hạng của ma trận không ñổi qua các phép biến ñổi sơ cấp ii. rank(A) = rank(AT) iii. Nếu A là ma trận bậc thang theo hàng thì hạng của A là số hàng khác 0 của A. ⇒Tìm hạng ma trận bằng cách biến ñổi về ma trận bậc thang theo hàng. §4. Hạng(rank) của ma trận 4. Tìm hạng ma trận theo tính chất 3 Ví dụ 1 2 1 0 A 1 2 4 2 3 6 3 0 −    = −    −  − −        − →        −    1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 4 2 0 4 3 2 3 6 3 0 0 0 0 0 ⇒ rank(A) = 2