Giáo trình : Giải tích lồi

GIẢI TÍCH LỒI Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế 20/10/2005 1Mục lục Mục lục 1 Chương 1 Tập lồi 3 1.1. Tập lồi - Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Nón lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4. Định lý Carathéodory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Định lý Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii. . . . . . 6 1.2.3. Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Không gian tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn. . . . . . . 13 1.4.2. Các tính chất tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3. Nón lùi xa của tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 16 2.1. Định lý tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2. Định lý Tách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3. Định lý Tách mạnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 22.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Tôpô yếu trên X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2. Tôpô yếu* trên X∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3. Cặp đối ngẫu tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.4. Không gian Banach phản xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 3 Hàm lồi 23 3.1. Cấu trúc hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1. Định nghĩa hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.2. Các phép toán trên hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1. Hàm nửa liên tục dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.2. Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.1. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine. . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.2. Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4. Dưới vi phân hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.2. Quan hệ với đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.3. Các phép toán qua dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4.4. Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi. . . . . . . . . . . . 32 Chương 1 TẬP LỒI 1.1. Tập lồi - Đa tạp affine. 1.1.1. Đa tạp affine. Cho X là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y) lần lượt là đường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng và đoạn thẳng mở nối hai điểm x và y. Tức là L(x, y) = {λx + (1− λ)y | λ ∈ R}, [x, y] = {λx + (1− λ)y | λ ∈ [0, 1]}, (x, y) = {λx + (1− λ)y | λ ∈ (0, 1)}. Một tập M ⊂ X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ⊂ M . Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau a) Giao của một họ bất kỳ các đa tạp affine là một đa tạp affine. Nếu A ⊂ X là một tập con bất kỳ của X ta gọi bao affine của A, ký hiệu Aff(A), là giao của tất cả các đa tạp affine chứa A. Từ tính chất a) Aff(A) là một đa tạp affine và là đa tạp affine bé nhất chứa A. Thật ra tập Aff(A) có thể được biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọi véctơ có dạng x = m∑ i=1 λiai, với λi ∈ R thoả mãn ∑ λi = 1 là một tổ hợp affine của các véctơ {a1, a2, · · · , am}. Ta nhận được các tính chất sau b) Aff(A) = {x | x là tổ hợp affine của các vectơ thuộc A}. c) A là đa tạp affine khi và chỉ khi A = Aff(A), tức là A = { m∑ 1 λiai | m ∈ N∗; ai ∈ A; λi ∈ R : ∑ λi = 1 } 4d) M là đa tạp affine khi và chỉ khi với mọi m ∈ M ta có M −m ≤ X, tức là M = m + V, với V là một không gian con của X. Lúc đó, ta gọi chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V : dimM := dimV ; codimM := codimV. Nếu codimM = 1 ta nói M là một siêu phẳng. Bây giờ nếu Y cũng là một không gian vectơ, ta ký hiệu L(X, Y ) là không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Đặc biệt nếu Y = R, ta đặt X# := L(X,R), là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X. e) M ⊂ X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại f ∈ X# \ {0} và α ∈ R sao cho M = f−1(α) = {x ∈ X | f(x) = α}. f) Nếu codimM = k ∈ N thì tồn tại các siêu phẳng M1, M2, · · · ,Mk sao cho M = k⋂ 1 Mi. 1.1.2. Tập lồi. Tập hợp C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C. a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi. Tương tự bao affine, ta gọi bao lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu coA, là giao của tất cả các tập lồi chứa A. Từ tính chất trên coA cũng là một tập lồi và là tập lồi bé nhất chứa A. Một tổ hợp affine x = ∑m i=1 λiai với các λi ≥ 0 sẽ được gọi là một tổ hợp lồi của các véctơ {a1, · · · , am}. b) coA = {x | x là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A}. c) C là tập lồi khi và chỉ khi C = coC, tức là C = { m∑ 1 λiai | m ∈ N∗; ai ∈ C; λi ≥ 0 : m∑ 1 λi = 1 } . Nếu C là tập lồi, ta định nghĩa số chiều của C chính là số chiều của Aff(C): dimC := dimAff(C). d) Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A + B, αA cũng lồi. 51.1.3. Nón lồi. Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta có λk ∈ K. Nếu hơn nữa, K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi. Một tổ hợp tuyến tính ∑m i=1 λiai sẽ được gọi là một tổ hợp dương nếu λi ≥ 0 với mọi i, là tổ hợp dương không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số λi dương chặt. a) Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi. Ta gọi bao nón lồi của một tập A ⊂ X, ký hiệu con coA, là nón lồi bé nhất chứa A. Lúc đó, b) con coA = {x | x là tổ hợp dương không tầm thường các vectơ thuộc A}. c) K là nón lồi khi và chỉ khi K = con coK, tức là K = { m∑ 1 λiki | m ∈ N; ki ∈ K; λi ≥ 0 : m∑ 1 λi > 0}. d) Nếu K1, K2 là các nón lồi chứa gốc thì K1 + K2 = co(K1 ∪K2). 1.1.4. Định lý Carathéodory. Định lý 1.1. Cho A ⊂ X. Lúc đó, với mọi k ∈ con coA \ {0}, tồn tại hệ độc lập tuyến tính {a1, a2, · · · , am} ⊂ A và các số dương λ1, · · · , λm sao cho k = m∑ 1 λiai. Định lý 1.2 (Carathéodory). Giả sử dimX = n < ∞ và A ⊂ X. Lúc đó, với mọi x ∈ coA, x là tổ hợp lồi của một họ không quá n+ 1 vectơ thuộc A. Tức là, tồn tại hệ {a0, a1, · · · , am} ⊂ A và các số λ0, · · · , λm ≥ 0, với m ≤ n, sao cho m∑ 0 λi = 1 và x = m∑ 0 λiai. 1.2. Định lý tách tập lồi. 1.2.1. Định lý Hahn-Banach. Cho X là một không gian vectơ. Một ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếm hàm dưới tuyến tính nếu a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X; b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0, x ∈ X. 6Định lý 1.3 (Hahn-Banach). Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X, M là một không gian con của X và f ∈ M# thoả mãn f(m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M. Lúc đó, tồn tại F ∈ X# sao cho a) F (m) = f(m) với mọi m ∈ M ; b) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X. Hệ quả 1.1. Cho X là không gian định chuẩn và M là không gian con của X. Lúc đó, với mọi f ∈ M∗, tồn tại F ∈ X∗ sao cho F |M = f và ‖F‖ = ‖f‖. Hệ quả 1.2. Cho X là không gian định chuẩn và x0 ∈ X \ {0}. Lúc đó, tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho ‖x∗‖ = 1 và 〈x∗, x0〉 = ‖x0‖. 1.2.2. Tập lồi hấp thụ - Điểm bọc - Phiếm hàm Minkowskii. Một tập con A của không gian vectơ X được gọi là hấp thụ nếu ∀x ∈ X, ∃ > 0, (−x, x) ⊂ A hay, một cách tương đương, ∀x ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ, x ∈ tA. Một điểm x0 được gọi là điểm bọc của A nếu A− x0 là hấp thụ. Tập tất cả các điểm bọc của A, ký hiệu coreA, được gọi là lõi của A. Rõ ràng, khái niệm điểm bọc là một mở rộng của khái niệm điểm trong của không gian định chuẩn. Hơn nữa, ta có kết quả sau Mệnh đề 1.4. Nếu X là một không gian định chuẩn và A ⊂ X, thì a) IntA ⊂ coreA. b) Nếu dimX < ∞ và A lồi, thì IntA = coreA. Mệnh đề 1.5. Nếu C ⊂ X là tập lồi, thì các tập coreC và linC := {y ∈ X | ∃ c ∈ C, [c, y) ⊂ C} cũng lồi. 7Bây giờ, cho C là một tập lồi hấp thụ trong X. Ta định nghĩa phiếm hàm Minkowskii của C là hàm được xác định bởi pC(x) := inf{λ > 0 | x ∈ λC}; x ∈ X. Rõ ràng, 0 ≤ pC(x) < ∞ với mọi x ∈ X. Định lý 1.6. pC là phiếm hàm dưới tuyến tính và {x ∈ X | pC(x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ X | pC(x) ≤ 1}. Cụ thể hơn, ta có {x ∈ X | pC(x) < 1} = coreC và {x ∈ X | pC(x) ≤ 1} = linC. 1.2.3. Định lý tách tập lồi. Cho A và B là hai tập con của không gian vectơ X. Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ X# \ {0} được gọi là tách A và B nếu f(a) ≤ f(b) (hoặc f(a) ≥ f(b)); ∀a ∈ A, b ∈ B. Điều này tương đương với nói rằng, tồn tại một số α ∈ R sao cho f(a) ≤ α ≤ f(b); ∀a ∈ A, b ∈ B. Lúc đó, ta nói siêu phẳng H(f ;α) := f−1(α) = {x ∈ X | f(x) = α} tách A và B. Trường hợp B là tập một điểm: B = {x0}, ta nói đơn giản siêu phẳng H(f ;α) tách A và x0. Rõ ràng, siêu phẳng tách hai tập, nếu có, là không duy nhất. Định lý 1.7 (Định lý tách cơ bản). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, coreA 6= ∅ và A ∩B = ∅. Lúc đó, tồn tại siêu phẳng tách A và B. Bổ đề 1.1. Nếu C là tập lồi hấp thụ và x0 6∈ C thì tồn tại siêu phẳng tách C và x0. 1.3. Không gian tôpô lồi địa phương. 1.3.1. Không gian tôpô. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ τ ⊂ P(X) được gọi là một tôpô trên X nếu nó thoả mãn các tính chất sau: i) ∅, X ∈ τ , ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ , 8iii) Hợp của một họ tuỳ ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ. Lúc đó, X được gọi là một không gian tôpô và mỗi phần tử U ∈ τ được gọi là một tập mở trong X. Bây giờ cho A ⊂ X, x0 ∈ X, ta nói x0 - là một điểm trong của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U ⊂ A, - là một điểm ngoài của A nếu tồn tại U ∈ τ sao cho x ∈ U và U ∩ A = ∅, - là một điểm biên của A nếu hai mệnh đề trên đều sai. Ta nói phần trong (phần ngoài, biên) của A là tập hợp gồm tất cả các điểm trong (điểm ngoài, điểm biên tương ứng) của A và ký hiệu là IntA (ExtA, ∂A). Nếu x0 là điểm trong của A ta cũng nói A là một lân cận của x0. Tập A được gọi là đóng nếu ∂A ⊂ A. Với A là tập bất kỳ, ta gọi bao đóng của A là tập A := A ∪ ∂A. Các kết quả dưới đây có thể được kiểm chứng dễ dàng. a) A là đóng khi và chỉ khi X \ A là mở. b) Với A là tập tuỳ ý, IntA là tập mở, và là tập con mở lớn nhất của A, A mở khi và chỉ khi A = IntA. c) Với A là tập tuỳ ý, A là tập đóng, và là tập đóng bé nhất chứa A, A đóng khi và chỉ khi A = A. Từ tính chất a) và các tính chất của tập mở ta suy ra các tính chất của tập đóng: i) ∅ và X là các tập đóng, ii) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng, iii) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. Một tập được sắp thứ tự (I,<) được gọi là tập định hướng nếu với mọi λ, µ ∈ I tồn tại γ ∈ I sao cho λ < γ và µ < γ. Một dãy suy rộng trong X là một ánh xạ ϕ từ một tập được định hướng I vào X. Nếu ký hiệu xλ := ϕ(λ) thì ta có thể nói (xλ) là một dãy suy rộng trong X. Giả sử (xλ)λ∈I là một dãy suy rộng, J là một tập định hướng khác và φ là một ánh xạ từ J vào I, với λµ := φ(µ); µ ∈ J , thoả mãn: + Với mọi µ < µ′ ta có λµ < λµ′ ; + Với mọi λ ∈ I tồn tại µ ∈ J sao cho λ < λµ. Lúc đó, ta gọi ϕ ◦ φ là dãy (suy rộng) con của dãy ϕ hay (xλµ) là dãy con của dãy (xλ). Dãy suy rộng (xλ) trong không gian tôpô (X, τ) được gọi là hội tụ đến x¯ nếu vơi mọi lân cận V của x¯, tồn tại λ0 sao cho với mọi λ > λ0 ta có xλ ∈ V . Lúc đó, ta ký hiệu xλ → x¯. Một tập con A của X được gọi là compact nếu mọi dãy suy rộng trong A đều tồn tại dãy con hội tụ đến một điểm thuộc A. Ta có thêm các kết quả sau 9d) A là tập đóng ⇐⇒ với mọi dãy (xλ) ⊂ A, nếu xλ → x¯ thì x¯ ∈ A. Ta gọi một phủ mở của A là một họ {Uα | α ∈ Λ} các tập mở sao cho A ⊂ ⋃ α∈Λ Uα. Lúc đó, nếu có họ hữu hạn H = {α1, α2, · · · , αk} ⊂ Λ sao cho A ⊂ ⋃ α∈H Uα, thì ta nói đây là một phủ con hữu hạn của phủ trên. e) A là tập compact ⇐⇒ mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn. 1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính. Cho không gian vectơ X. Lúc đó, một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số trên X nếu dưới tôpô này, các ánh xạ sau liên tục. + :X ×X → X, . :R×X → X. Tức là: Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U + V ⊂ W. Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và mọi lân cận W của λx, tồn tại  > 0 và lân cận V của x sao cho µV ⊂ W với mọi µ ∈ (λ− , λ + ). Lúc đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không gian vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính. Bổ đề 1.2. Trong không gian tôpô tuyến tính X, Phép tịnh tiến: Ta(x) := a + x, Phép vị tự: ϕα(x) := αx, với a ∈ X, α ∈ R \ {0}, là các phép đồng phôi từ X lên X. Hệ quả 1.3. Trên không gian tôpô tuyến tính ta có a) V là lân cận gốc ⇔ V + a là lân cận của a; b) V là lân cận gốc ⇔ αV là lân cận gốc, với mọi α 6= 0. Hệ quả 1.4. Nếu V là lân cận gốc trong không gian tôpô tuyến tính X, thì a) V là tập hấp thụ. 10 b) Tồn tại một lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊂ V . Định lý 1.8. Cho X là một không gian vectơ. a) Nếu τ là một tôpô tuyến tính, thì tồn tại cơ sở lân cận gốc B ⊂ τ thoả mãn i) V cân đối, hấp thụ với mọi V ∈ B, ii) αV ∈ B với mọi α 6= 0 và V ∈ B, iii) Với mọi V ∈ B tồn tại U ∈ B sao cho U + U ⊂ V , iv) Với mọi V1, V2 ∈ B, tồn tại U ∈ B sao cho U ⊂ V1 ∩ V2. b) Ngược lại, nếu B ⊂ P(X) là họ các tập thoả mãn các điều kiện (i-iv), thì tồn tại tôpô tuyến tính τ trên X nhận B làm cơ sở lân cận gốc. Cụ thể, τ = {U | ∀x ∈ U, ∃V ∈ B, x + V ⊂ U}. Mệnh đề 1.9. Nếu tôpô tuyến tính τ trên X nhận B làm cơ sở lân cận gốc, thì τ là tôpô Hausdorff khi và chỉ khi ⋂ V ∈B V = {0}. 1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương. Từ kết quả của mục trước, ta thấy cấu trúc của một tôpô tuyến tính hoàn toàn được xác định bởi hệ cơ sở lân cận gốc. Nếu tồn tại một hệ cơ sở lân cận gốc gồm toàn các tập lồi thì τ sẽ được gọi là tôpô (tuyến tính) lồi địa phương và X được gọi là không gian tôpô (tuyến tính) lồi địa phương. Định lý 1.10. Cho X là một không gian vectơ. a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận gốc B gồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ. b) Ngược lại, nếu B0 là một họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ sau B := {  m⋂ 1 Vi |  > 0; m ∈ N; Vi ∈ B0 } là cơ sở lân cận gốc của một tôpô lồi địa phương nào đó. Hơn nữa, tôpô này là Hausdorff khi và chỉ khi ⋂ V ∈B0 V = {0}. Nếu chú ý rằng, với mọi V ∈ B ta có V ⊂ 2V , thì ta có thể khẳng định rằng mọi tôpô lồi địa phương đều tồn tại một cơ sở lân cận gốc lồi, cân đối và đóng. 11 Ví dụ 1.1. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi họ chỉ gồm một tập: B0 = {B(0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là B = {B(0; 1) |  > 0} = {B(0; ) |  > 0}. Ví dụ 1.2. Với mỗi p > 0 ta vẫn ký hiệu lp = {x = (xn) ⊂ R | ∞∑ 1 |xn|p < ∞}. Đó là các không gian vectơ. Đặt V := { x ∈ lp ∣∣∣ ( ∞∑ 1 |xn|p ) 1 p <  } . Lúc đó, B = {V |  > 0} là cơ sở lân cận gốc của một tôpô tuyến tính trên lp. Hơn nữa, ta có thể chứng minh được rằng lp là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi p ≥ 1. 1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất. Trên không gian vectơ X có thể có nhiều tôpô lồi địa phương khác nhau. Ta gọi tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên X là tôpô τ0 sinh bởi họ B0 gồm tất cả các tập lồi, cân đối, hấp thụ trong X. Sở dĩ có tên gọi như vậy vì với mọi tôpô lồi địa phương τ trên X, ta có τ ⊂ τ0. Định lý 1.11. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất τ0 trên X là Hausdorff. Trong tôpô ấy ta có a) Mọi tập lồi, hấp thụ đều là lân cận gốc; b) Nếu C là tập con lồi của X, thì coreC = IntC; c) Cho Y là một không gian lồi địa phương tuỳ ý. Lúc đó, mọi ánh xạ tuyến tính từ X vào Y đều liên tục. Định lý 1.12. Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì trong X chỉ có một tôpô lồi địa phương Hausdorff duy nhất. Đó chính là tôpô Euclide thông thường. Hệ quả 1.5. Trong Rn ta có a) Nếu C ⊂ Rn là tập lồi thì IntC = coreC; b) Mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn vào một không gian lồi địa phương Y đều liên tục. Hệ quả 1.6. Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian lồi địa phương đều đóng. 12 1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô lồi địa phương. Lúc đó, không gian vectơ tích X × Y với tôpô tích Tikhonov cũng là không gian lồi địa phương, cụ thể ta có kết quả sau Định lý 1.13. a) Tích của hai không gian lồi địa phương (Hausdorff) X, Y là không gian lồi địa phương (Hausdorff) X × Y . b) Nếu Z là một không gian lồi địa phương thì mọi ánh xạ A ∈ L(X × Y, Z) đều có dạng A(x, y) = A1(x) + A2(y), với A1 ∈ L(X,Z) và A2 ∈ L(Y, Z) là các ánh xạ được xác định bởi A1(x) = A(x, 0); A2(y) = A(0, y). Hơn nữa, A liên tục khi và chỉ khi A1 và A2 đều liên tục. Bây giờ giả sử M ≤ X và N là phần bù đại số của M (tức là, với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất một cặp m ∈ M và n ∈ N sao cho x = m+n). Với tôpô cảm sinh, M và N cũng là các không gian lồi địa phương và do đó ta có không gian lồi địa phương M ×N . Xét ánh xạ ϕ :M ×N → X (m,n) → m + n. Dễ thấy rằng ϕ là một song ánh tuyến tính liên tục. Nếu ϕ−1 cũng là một ánh xạ liên tục, thì M , N sẽ được gọi là phần bù tôpô của nhau và ký hiệu X = M ⊕N. Mệnh đề 1.14. Nếu M là không gian con đóng của X và codimM < ∞, thì mọi phần bù đại số của M đều là phần bù tôpô. Để chứng minh mệnh đề này ta cần sử dụng kết quả sau. Bổ đề 1.3. Cho M và C là hai tập con của một không gian tôpô tuyến tính sao cho M đóng, C compact. Lúc đó M + C là tập đóng. 1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương. Trong suốt mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết X là một không gian tôpô lồi địa phương. 13 1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn. Mệnh đề 1.15. a) Cho C là tập lồi, hấp thụ trong X. Lúc đó pC là hàm liên tục khi và chỉ khi C là một lân cận gốc. Hơn nữa, ta có IntC = {x ∈ X | pC(x) < 1}; C = {x ∈ X | pC(x) ≤ 1}. b) Cho C và D là hai tập lồi, hấp thụ trong X và α > 0. Lúc đó, p(αC) = 1 α pC ; p(C∪D) = max{pC , pD}. c) Nếu p là một phiếm hàm dưới tuyến tính không âm trên X thì p = pC, với C = {x ∈ X | p(x) < 1}. Một phiếm hàm p trên X được gọi là một nửa chuẩn nếu a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), với mọi x, y ∈ X; b) p(λx) = |λ|p(x), với mọi λ ∈ R và x ∈ X. Vậy, p là một chuẩn nếu p là nửa chuẩn và p(x) = 0 ⇔ x = 0. Mệnh đề 1.16. Cho p là một phiếm hàm trên X. a) p là nửa chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ. b) p là chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa trọn đường thẳng nào. Từ Định lý 1.10 ta thấy, một tôpô lồi địa phương τ trên không gian vectơ X hoàn toàn được xác định bởi một họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ B0 (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất nhận mọi tập V ∈ B0 làm lân cận gốc). Kết hợp với Mệnh đề 1.15 và Mệnh đề 1.16 ta có thể khẳng định thêm rằng τ hoàn toàn được xác định bởi một họ P0 các nửa chuẩn (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất sao cho mọi nửa chuẩn p ∈ P0 đều liên tục). Đặc biệt, mọi chuẩn đều hoàn toàn được xác định bởi một tập C lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa đường thẳng nào (lúc đó, với chuẩn này, B(0; 1) ⊂ C ⊂ B′(0; 1)). 1.4.2. Các tính chất tôpô. Cho C là tập lồi trong X. Ta vẫn ký hiệu IntC là phần trong của C. Ngoài ra, ta gọi phần trong tương đối của C là phần trong của tập này theo tôpô cảm sinh trong Aff(C). Cụ thể, riC := {x ∈ C | tồn tại lân cận gốc V : (x + V ) ∩ Aff(C) ⊂ C}. Với x, y ∈ X, ta ký hiệu [x, y) := {(1−λ)x+λy | λ ∈ [0; 1)} là đoạn thẳng nửa mở với hai mút x, y. 14 Định lý 1.17. Cho C là tập lồi khác rỗng trong X. Lúc đó, a) IntC, C là các tập lồi. b) Nếu x ∈ IntC và y ∈ C thì [x, y) ⊂ IntC. c) Nếu IntC 6= ∅ thì C = IntC, IntC = IntC và coreC = IntC. d) Nếu dimC < ∞ thì riC 6= ∅ và C = riC; riC = riC. Cho A ⊂ X, ta ký hiệu coA là tập lồi đóng bé nhất chứa A. Từ định lý trên, ta thấy coA = coA. Tuy nhiên chú ý rằng nói chung ta chỉ có bao hàm thức coA ⊂ coA. Mệnh đề 1.18. Nếu A ⊂ X là một tập compact và tồn tại số nguyên dương n sao cho, với mọi x ∈ coA đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của không quá n phần tử thuộc A, thì coA là tập compact. Hệ quả 1.7. Nếu A ⊂ X là một tập compact và dimX < ∞, thì coA là tập compact. Hệ quả 1.8. Nếu C1, C2, · · · , Cn ⊂ X là các tập lồi compact, thì co(C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn) cũng là tập compact. Mệnh đề sau là một mở rộng của Hệ quả 1.7. Mệnh đề 1.19. Nếu A là một tập compact trong không gian Banach X, thì coA là tập compact. Thật vậy, lúc đó coA là tập hoàn toàn bị chặn. 1.4.3. Nón lùi xa của tập lồi. Cho tập lồi khác rỗng C ⊂ X. Ta nói vectơ d là một phương lùi xa của C nếu x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0. Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được ký hiệu là o+(C). Vậy, o+(C) = {d ∈ X | x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0}. Mệnh đề 1.20. o+(C) là nón lồi chứa gốc. Hơn nữa, o+(C) = {d ∈ X | C + d ⊂ C} 15 Ví dụ 1.3. Trong R2 cho các tập C1 = {(x, y) | x > 0; y ≥ 1 x }; C2 = {(x, y) | y ≥ x2}; C3 = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1}; C4 = {(x, y) | y ≥ √ 1 + x2}; C5 = {(x, y) | (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x = y = 0)}. Lúc đó, o+(C1) = {(u, v) | u ≥ 0; v ≥ 0}; o+(C2) = {(0, v) | v ≥ 0}; o+(C3) = {(0, 0)}; o+(C4) = {(u, v) | v ≥ |u|}; o+(C5) = C5. Ví dụ 1.4. Cho ai ∈ Rn, αi ∈ R; 1 ≤ i ≤ m. Xét tập hợp C6 = {x ∈ Rn | 〈ai, x〉 ≤ αi; 1 ≤ i ≤ m} 6= ∅. Ta có o+(C6) = {x ∈ Rn | 〈ai, x〉 ≤ 0; 1 ≤ i ≤ m}. Mệnh đề 1.21. Cho C lồi đóng khác rỗng. Lúc đó, o+(C) là nón lồi đóng và a) d ∈ o+(C) ⇔ ∃x0 ∈ C,∀λ > 0 : x0 + λd ∈ C. b) o+(C) = ∩ λ>0 λ(C − x0); với mọi x0 ∈ C. Mệnh đề 1.22. Cho tập lồi khác rỗng C ⊂ Rn. Lúc đó, C bị chặn khi và chỉ khi o+(C) = ∅. Chương 2 KHÔNG GIAN LIÊN HỢP TÔPÔ YẾU 2.1. Định lý tách. 2.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. Cho X là một không gian tôpô lồi địa phương. Ta vẫn ký hiệu X# là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X. Với mỗi f ∈ X# \ {0} và α ∈ R tập hợp H(f ;α) = {x ∈ X | f(x) = α} là một siêu phẳng trong X, song song với không gian con Ker f = f−1(0). Mệnh đề 2.1. Siêu phẳng H(f ;α) là đóng khi và chỉ khi f liên tục. Ta ký hiệu tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là X∗ và gọi là không gian liên hợp, hay không gian đối ngẫu tôpô của X. Dễ kiểm chứng được rằng X∗ là một không gian vectơ con của không gian đối ngẫu đại số X#. Hệ quả 2.1. Nếu tôpô trên X là tôpô lồi địa phương mạnh nhất, thì mọi siêu phẳng trong X đều đóng. Nói cách khác, X∗ = X#. Ta nói siêu phẳng H(f ;α) để tập A ⊂ X về một phía nếu A là tập con của một trong hai nửa không gian sau: H+(f ;α) := {x ∈ X | f(x) ≥ α}; H−(f ;α) := {x ∈ X | f(x) ≤ α}. Như vậy, theo định nghĩa trong Mục 1.2.3. siêu phẳng H(f ;α) tách hai tập A và B khi và chỉ khi siêu phẳng đó để hai tập này về hai phía khác nhau. Tức là A ⊂ H+(f ;α) và B ⊂ H−(f ;α) (hoặc ngược lại). 17 Mệnh đề 2.2. a) Nếu siêu phẳng H(f ;α) để A về một phía, thì H(f ;α) ∩ coreA = ∅. b) Một siêu phẳng để một tập có phần trong khác rỗng về một phía thì đóng. 2.1.2. Định lý Tách. Định lý 2.3 (Định lý Tách). Giả sử hai tập lồi A và B trong không gian X rời nhau. Hơn nữa, nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn a) dimX < ∞, b) IntA ∪ IntB 6= ∅, thì có một siêu phẳng đóng tách A và B. Cho tập lồi C ⊂ X và một điểm x0 ∈ C. H(f ;α) được gọi là siêu phẳng tựa của C tại x0, nếu nó chứa x0 và để C về một phía. Lúc đó, ta nói x0 là điểm tựa của C trên siêu phẳng H(f ;α) và f là phiếm hàm tựa của tập lồi C tại x0. Nếu hơn nữa, C ⊂ H−(f ;α) thì f được gọi là một vectơ pháp tuyến ngoài của C tại x0. Lúc đó, f(c− x0) ≤ 0; ∀c ∈ C. Ta ký hiệu NC(x0) là tập hợp tất cả các vectơ pháp tuyến ngoài liên tục của C tại x0; tức là NC(x0) := {f ∈ X∗ | f(c− x0) ≤ 0; ∀c ∈ C}. Hệ quả 2.2. Cho tập lồi C và x0 ∈ C. a) NC(x0) là nón lồi chứa gốc trong X ∗. b) Nếu IntC 6= ∅ và x0 ∈ ∂C, thì NC(x0) 6= {0}. Từ kết quả này ta thường gọi NC(x0) là nón pháp tuyến của C tại x0. 2.1.3. Định lý Tách mạnh. Ta nói hai tập A và B là tách mạnh được nếu tồn tại phiếm hàm f 6= 0 và các số γ > β sao cho A ⊂ H−(f ; β) và B ⊂ H+(f ; γ). Lúc đó, nếu có α ∈ (β, γ) ta cũng nói siêu phẳng H(f ;α) tách mạnh A và B. Định lý 2.4 (Định lý Tách mạnh). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong X sao cho A đóng và B compact. Lúc đó, tồn tại một siêu phẳng đóng tách mạnh A và B. 18 Hệ quả 2.3. Cho M là một không gian con của X và x0 ∈ X \M . Lúc đó, tồn tại f ∈ X∗ sao cho f(x0) = 1 và f(m) = 0 với mọi m ∈ M. Hệ quả 2.4. Một không gian con M là trù mật trong X khi và chỉ khi, với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X mà bằng không trên M thì f = 0. Cuối cùng, ta nhận được mệnh đề sau mà là mở rộng một phần của Hệ quả 1.1. Mệnh đề 2.5. Cho M là một không gian con của X. Lúc đó, với mọi g ∈ M∗ tồn tại f ∈ X∗ sao cho f |M = g. 2.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*. 2.2.1. Tôpô yếu trên X. Cho (X, τ) là không gian tôpô lồi địa phương. Với mỗi f ∈ X∗, tập hợp V (f ; 1) := {x ∈ X | |f(x)| < 1} là một tập lồi cân đối hấp thụ trong X. Do đó, từ kết quả Định lý 1.8, họ B0 := {V (f ; 1) | f ∈ X∗} sẽ xác định một tôpô lồi địa phương τw trên X. Tôpô này nhận họ sau làm cơ sở lân cận gốc: B = { m⋂ i=1 V (fi; ) | m ∈ N∗;  > 0; fi ∈ X∗, 1 ≤ i ≤ m } . Dễ kiểm chứng được rằng đây là tôpô lồi địa phương yếu nhất trên X bảo đảm sự liên tục của tất cả các phiếm hàm f ∈ X∗. Nói riêng, τw ⊂ τ . Do đó, ta sẽ gọi τw là tôpô yếu trên X để phân biệt với tôpô mạnh là τ . Tương ứng với tôpô này ta có các khái niệm mới trên X như tập mở yếu, tập đóng yếu, hội tụ yếu, compact yếu... Ta sẽ ký hiệu xλ w→ x¯ để chỉ rằng dãy suy rộng (xλ) hội tụ yếu đến x¯ để phân biệt với ký hiệu xλ → x¯ nói rằng (xλ) hội tụ mạnh đến x¯. Mệnh đề 2.6. Cho dãy suy rộng (xλ) trong X và x¯ ∈ X. Lúc đó, xλ w→ x¯ ⇐⇒ f(xλ) → f(x¯); ∀f ∈ X∗. Mệnh đề 2.7. Nếu tôpô mạnh trên X là Hausdorff thì tôpô yếu cũng Hausdorff. 19 Vì tôpô yếu là yếu hơn tôpô mạnh, nên mọi tập đóng yếu (mở yếu) đều đóng (mở). Điều ngược lại thì không nhất thiết đúng. Tuy vậy, đối với tập lồi thì hai khái niệm đóng và đóng yếu là tương đương. Điều này được thể hiện trong kết quả sau: Mệnh đề 2.8. Mọi tập lồi đóng trong X cũng đóng yếu. Hệ quả 2.5 (Bổ đề Mazur). Giả sử X là không gian định chuẩn và (xn) là một dãy trong X hội tụ yếu đến x¯. Lúc đó, tồn tại một dãy (yn) hội tụ (mạnh) đến x¯ sao cho yn ∈ co{xk | k ∈ N}, với mọi n ∈ N . 2.2.2. Tôpô yếu* trên X∗. Như đã nhận xét trong 1.1.1. X∗ là một không gian vectơ con của không gian X#. Sau đây chúng ta sẽ tìm cách xây dựng một tôpô lồi địa phương trên X∗. Tương ứng với mỗi x ∈ X, ta thiết lập một phiếm hàm φx trên X∗ được xác định bởi φx(f) := f(x); ∀f ∈ X∗. Dễ kiểm chứng được rằng đây là một phiếm hàm tuyến tính trên X∗, và do đó, nếu đồng nhất mỗi x ∈ X với φx ta có thể xem X như một họ các phiếm hàm tuyến tính trên X∗. Tôpô tuyến tính yếu nhất τw∗ trên X∗ bảo đảm sự liên tục của mọi x ∈ X được gọi là tôpô yếu* trên X∗. Tương tự tôpô yếu, ta có thể thấy τw∗ là tôpô lồi địa phương, có cơ sở lân cận gốc gồm các tập có dạng B∗ = { m⋂ i=1 V ∗(xi; ) | m ∈ N;  > 0; xi ∈ X, 1 ≤ i ≤ m } , trong đó, V ∗(x; ) := {f ∈ X∗ | |f(x)| < }. Một điều đáng chú ý là bất luận tôpô trên X như thế nào, tôpô yếu* trên X∗ luôn luôn là Hausdorff. Tương tự sự hội tụ trong tôpô yếu, ta ký hiệu fλ w∗→ f để chỉ rằng dãy suy rộng (fλ) hội tụ theo tôpô yếu* về phiếm hàm f trong X ∗. Mệnh đề 2.9. Cho dãy suy rộng (fλ) trong X ∗. Lúc đó, fλ w∗→ f ⇐⇒ ∀x ∈ X, fλ(x) → f(x). Cho V là một tập con khác rỗng của X, ta gọi đối cực của V là tập hợp sau V 0 := {f ∈ X∗ | f(x) ≤ 1}. Bổ đề 2.1. a) V 0 là tập lồi, đóng yếu* trong X∗, b) Nếu V cân đối thì V 0 cũng vậy, 20 c) Nếu V ⊃ U 6= ∅ thì V 0 ⊂ U0. Định lý 2.10 (Alaoglu). Nếu V là một lân cận gốc trong X thì V 0 là compact yếu*. Hệ quả 2.6. Cho V là một lân cận gốc trong X và ϕ : V → R là một phiếm hàm liên tục trên V . Lúc đó, tập hợp K = {f ∈ X∗ | f(v) ≤ ϕ(v), ∀v ∈ V } là compact yếu*. Hệ quả 2.7. Hình cầu đơn vị đóng B′∗(0; 1) trong không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là compact yếu*. 2.2.3. Cặp đối ngẫu tổng quát. Cho X và Y là hai không gian vectơ và 〈·, ·〉 : X × Y → R là một dạng song tuyến tính tách được theo từng biến. Nghĩa là 〈x, λy1 + µy2〉 = λ〈x, y1〉+ µ〈x, y2〉; ∀x ∈ X, y1, y2 ∈ Y, λ, µ ∈ R, 〈λx1 + µx2, y〉 = λ〈x1, y〉+ µ〈x2, y〉; ∀x1, x2 ∈ X, y ∈ Y, λ, µ ∈ R. ∀x0 ∈ X \ {0},∃y ∈ Y : 〈x0, y〉 6= 0, ∀y0 ∈ Y \ {0},∃x ∈ X : 〈x, y0〉 6= 0. Lúc đó, mỗi y ∈ Y cố định sẽ xác định một phiếm hàm tuyến tính trên X theo quy tắc x ∈ X −→ 〈x, y〉 ∈ R, và mỗi x ∈ X cũng xác định một phiếm hàm tuyến tính trên Y bởi y ∈ Y −→ 〈x, y〉 ∈ R. Như vậy có thể xem X là một không gian vectơ những phiếm hàm tuyến tính trên Y , hay X ≤ Y #. Tương tự, Y ≤ X#. Ta sẽ ký hiệu tôpô tuyến tính yếu nhất trên X bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm y ∈ Y bởi σ(X, Y ) và tôpô tuyến tính yếu nhất trên Y bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm x ∈ X bởi σ(Y,X). Định lý 2.11. σ(X, Y ) là tôpô lồi địa phương Hausdorff trên X. Hơn nữa, không gian liên hợp của (X, σ(X, Y )) cũng chính là Y . Dĩ nhiên, một kết quả tương tự cũng đúng đối với tôpô σ(Y,X) và ta cũng có (Y, σ(Y,X))∗ = X. Để chứng minh các kết quả này ta cần đến bổ đề sau Bổ đề 2.2. Nếu f1, f2, · · · , fm và g là các phiếm hàm tuyến tính trên không gian vectơ X sao cho m⋂ i=1 Ker fi ⊂ Ker g, thì g là một tổ hợp tuyến tính của họ {f1, f2, · · · , fm}. 21 Hệ quả 2.8. Giả sử (X, τ) là một không gian lồi địa phương Hausdorff với không gian liên hợp X∗. Lúc đó với dạng song tuyến tính 〈x, f〉 = f(x) trên X ×X∗ ta có σ(X,X∗) = τw, σ(X∗, X) = τw∗. Đặc biệt, (X, τw)∗ = X∗ và (X∗, τw∗)∗ = X. Do tính đối xứng giữa các không gian X và X∗, được thể hiện qua hệ quả trên, ta thường ký hiệu các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian lồi địa phương X là x∗ ∈ X∗ và viết 〈x, x∗〉 thay cho x∗(x). 2.2.4. Không gian Banach phản xạ. Trong mục này, ta xét trường hợp X là một không gian định chuẩn và X∗ là không gian liên hợp của nó. Ta đã biết X∗ cũng là một không gian định chuẩn, hơn nữa là không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi ‖x∗‖ = sup{|〈x, x∗〉| : ‖x‖ ≤ 1}; x∗ ∈ X∗. Đến lượt nó, không gian định chuẩn X∗ cũng có không gian liên hợp gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên nó mà ta ký hiệu là X∗∗, với chuẩn ‖x∗∗‖ = sup{|〈x∗, x∗∗〉| : ‖x∗‖ ≤ 1}; x∗∗ ∈ X∗∗. Chú rằng trên X∗ cũng tồn tại hai tôpô, đó là tôpô sinh bởi chuẩn mà ta gọi là tôpô mạnh và tôpô yếu* τw∗ = σ(X ∗, X). Vì |〈x, x∗〉| ≤ ‖x∗‖; ∀x ∈ X, x∗ ∈ X∗, nên sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ yếu*, hay tôpô yếu* là yếu hơn tôpô mạnh. Bây giờ với mỗi phần tử x ∈ X, phiếm hàm tuyến tính tương ứng φx đã xét trong 2.2.2. là liên tục theo tôpô σ(X∗, X) nên cũng liên tục theo tôpô chuẩn. Tức là φx ∈ X∗∗. Mặt khác, chuẩn của φx trong X∗∗ được xác định bởi ‖φx‖ = sup{|〈x∗, φx〉| : ‖x∗‖ ≤ 1} = sup{|〈x, x∗〉| : ‖x∗‖ ≤ 1} = ‖x‖. Như vậy ánh xạ Φ : X → X∗∗ với Φ(x) = φx là một phép nhúng đẳng cự từ X vào X∗∗, và do đó, có thể đồng nhất X với không gian con Φ(X) của X∗∗. Với quan điểm như vậy, từ nay về sau ta luôn xem X là không gian con của không gian X∗∗. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ nếu X = X∗∗ (tức là ánh xạ nhúng Φ là một song ánh từ X lên X∗∗, điều này xảy ra khi và chỉ khi Φ(B′) = B′∗∗). Vì không gian X∗∗ luôn luôn là không gian Banach, nên một không gian phản xạ phải là không gian Banach. Định lý dưới đây cho thấy khi nào một không gian Banach là phản xạ. Định lý 2.12. Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi hình cầu đơn vị đóng B′(0; 1) là compact yếu. 22 Hệ quả 2.9. Trong một không gian phản xạ mọi tập lồi, đóng, bị chặn là compact yếu. Hệ quả 2.10. Trong một không gian phản xạ mọi dãy bị chặn đều tồn tại dãy con hội tụ yếu. Chương 3 HÀM LỒI 3.1. Cấu trúc hàm lồi. 3.1.1. Định nghĩa hàm lồi. Cho (X, τ) là một không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff và f : X −→ [−∞,∞] là một phiếm hàm trên X. Các tập hợp dom f := {x ∈ X | f(x) < ∞}, epi f := {(x, γ) ∈ X × R | f(x) ≤ γ} lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và epi đồ thị của f . Ngoài ra, với mỗi α ∈ R ta gọi tập hợp sau là tập mức dưới của hàm f tương ứng với mức α: C(f ;α) := {x ∈ X | f(x) ≤ α}. Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f 6= ∅ và f(x) > −∞, ∀x ∈ X, và được gọi là lồi nếu epi f là tập lồi trong không gian X × R. Nếu −f là hàm lồi thì f được gọi là hàm lõm. Mệnh đề 3.1. Nếu f lồi thì dom f lồi. Mệnh đề 3.2. Nếu f lồi thì C(f ;α) lồi với mọi α ∈ R. Mệnh đề 3.3. Cho f : X → (−∞,+∞]. Lúc đó, f lồi ⇔ f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y); ∀x, y ∈ X; ∀λ ∈ (0, 1). 24 Mệnh đề 3.4 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : X → (−∞,+∞]. Lúc đó, f lồi ⇔ f ( m∑ 1 λix i ) ≤ m∑ 1 λif(x i); ∀xi ∈ X; ∀λi ≥ 0 : m∑ 1 λi = 1. Một ví dụ đơn giản của hàm lồi là hàm chỉ; Cho C là tập con của X, ta gọi hàm chỉ của C là hàm δC(x) = { 0, x ∈ C, ∞, x ∈ X \ C. Lúc đó, dễ kiểm tra được rằng δC là hàm lồi khi và chỉ khi C là tập lồi. Hàm f : X → R được gọi là thuần nhất dương nếu f(λx) = λf(x); ∀x ∈ X, ∀λ > 0. Mệnh đề 3.5. Cho hàm thuần nhất dương f : X → (−∞,+∞]. Ba phát biểu sau là tương đương a) f lồi, b) f(x + y) ≤ f(x) + f(y); ∀x, y ∈ Rn. c) epi f là một nón lồi. Hệ quả 3.1. Nếu f là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương thì f ( m∑ 1 λix i ) ≤ m∑ 1 λif(x i); ∀xi ∈ X; ∀λi > 0. Hệ quả 3.2. Nếu f là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương thì f(x) + f(−x) ≥ 0; ∀x ∈ X. 3.1.2. Các phép toán trên hàm lồi. Mệnh đề 3.6. Cho hàm lồi f : X → R và hàm lồi không giảm ϕ : R→ (−∞,+∞]. Lúc đó, ϕ ◦ f là hàm lồi. Mệnh đề 3.7. Nếu f1, f2 là những hàm lồi chính thường thì f1 + f2 cũng lồi. Hệ quả 3.3. Nếu f1, f2, · · · , fm lồi chính thường và λi > 0, 1 ≤ i ≤ m, thì hàm λ1f1 + λ2f2 + · · ·+ λmfm lồi. Ta thấy mỗi hàm f trên X xác định một tập hợp epi f ⊂ X × R. Bây giờ, với mỗi tập F ⊂ X × R cho trước, ta xét hàm tương ứng fF trên X được định nghĩa như sau fF (x) := inf{γ ∈ R | (x, γ) ∈ F}; x ∈ X. Rõ ràng, fepi f ≡ f . Tuy vậy, nói chung ta chỉ có bao hàm thức F ⊂ epi fF . 25 Bổ đề 3.1. Cho F ⊂ X × R là tập lồi. Lúc đó fF là hàm lồi trên X. Bây giờ cho f1, f2, · · · , fm là những hàm lồi chính thường trên X. Ta gọi tổng chập của họ các hàm (fi)1≤i≤m là hàm f được xác định bởi: f(x) := inf { m∑ 1 fi(x i) ∣∣∣ xi ∈ X : m∑ 1 xi = x } ; x ∈ X và ký hiệu f = m⊕ 1 fi. Mệnh đề 3.8. Tổng chập của họ các hàm lồi, chính thường cũng là hàm lồi. Cho f : X → R. Ta định nghĩa bao lồi của f là hàm co f := fco epi f . Tức là, co f(x) := inf{γ ∈ R | (x, γ) ∈ co epi f}; x ∈ X. Mệnh đề 3.9. co f là hàm lồi lớn nhất trong số các hàm lồi non hơn f . Chú ý rằng, nói chung epi(co f) 6= co(epi f). Mệnh đề 3.10. Với mọi x ∈ X, ta có co f(x) = inf { m∑ 1 λif(x i) ∣∣∣ λi ≥ 0, m∑ 1 λi = 1; x i ∈ X, m∑ 1 λix i = x } . Cho họ hàm fα : X → R, α ∈ I. Ta gọi cận trên và cận dưới của họ hàm này lần lượt là các hàm∨ fα = ∨ α∈I fα := sup fα; ∧ fα = ∧ α∈I fα := inf fα. Mệnh đề 3.11. Nếu fα lồi (lõm) với mọi α ∈ I, thì ∨fα (∧fα) cũng lồi (lõm). 3.2. Sự liên tục của hàm lồi. 3.2.1. Hàm nửa liên tục dưới. Cho f : X → R. f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại x0 nếu lim inf x→x0 f(x) ≥ f(x0). Nếu f(x0) hữu hạn thì điều kiện này có thể viết lại một cách tương đương rằng, với mọi  > 0 tồn tại lân cận gốc V sao cho f(x) > f(x0)− , ∀x ∈ x0 + V. f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm. 26 Mệnh đề 3.12. Cho f : X → R, ba phát biểu sau là tương đương a) f l.s.c. b) C(f ;α) đóng, với mọi α ∈ R, c) epi f là tập đóng trong X × R. Từ kết quả này mà một hàm nửa liên tục dưới còn được gọi là hàm đóng. Hệ quả 3.4. Một hàm lồi, l.s.c. thì cũng l.s.c. theo tôpô yếu. Cho f : X → R. Ta gọi bao đóng của f là hàm f¯ := fepi f . Tức là: f¯(x) := inf{γ ∈ R | (x, γ) ∈ epi f}; x ∈ X và bao lồi đóng của f là hàm cof := co f . Mệnh đề 3.13. f¯ (cof) là hàm đóng (lồi đóng) lớn nhất trong số các hàm đóng (lồi đóng) non hơn f . Hơn nửa, epi f¯ = epi f ; epi(cof) = co(epi f). Chú ý: co f¯ không nhất thiết là hàm đóng và do đó, nói chung co f¯ 6= cof . Mệnh đề 3.14. Một hàm lồi, đóng, không chính thường thì không nhận giá trị hữu hạn nào. Mệnh đề 3.15. a) f đóng khi và chỉ khi f = f¯ . b) Nếu f lồi thì f¯ lồi và do đó cof = f¯ . c) Nếu f1, f2 đóng thì f1 + f2 đóng. d) Nếu fα đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα đóng. e) Nếu fα lồi, đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα lồi, đóng. 3.2.2. Sự liên tục của hàm lồi. Một hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 nếu tồn tại một lân cận gốc lồi, cân đối V và hằng số K > 0 sao cho |f(x)− f(x′)| ≤ KpV (x− x′); ∀x, x′ ∈ x0 + V. f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập mở U ⊂ X nếu nó Lipschitz địa phương tại mọi điểm thuộc U . Dễ thấy các định nghĩa này không phụ thuộc vào lân cận V được chọn và, khi X là không gian định chuẩn, ta nhận được định nghĩa hàm Lipschitz thông thường bằng cách chọn V là hình cầu đơn vị. 27 Định lý 3.16. Cho f lồi chính thường, các phát biểu sau là tương đương. a) f liên tục tại một điểm x¯ ∈ X. b) f bị chặn trên trong một tập lồi mở khác rỗng nào đó. c) Int(epi f) 6= ∅. d) Int(dom f) 6= ∅ và f Lipschitz địa phương trên Int(dom f). e) Int(dom f) 6= ∅ và f liên tục tại mọi điểm thuộc Int(dom f). Hệ quả 3.5. Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn thì f liên tục trong tôpô tương đối của Aff(dom f) tại mọi điểm x ∈ ri(dom f). 3.3. Hàm liên hợp. 3.3.1. Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine. Nhắc lại rằng, một hàm affine trên X là hàm có dạng ϕ(x) = 〈x∗, x〉+ α, với x∗ ∈ X# và α ∈ R. Lúc đó, ϕ là liên tục khi và chỉ khi x∗ ∈ X∗. Ký hiệu AX là họ tất cả các hàm affine liên tục trên X. Cho f là một hàm trên X. Ta ký hiệu A(f) := {ϕ ∈ AX | ϕ ≤ f}; L(f) := {x∗ ∈ X∗ | x∗ ≤ f}. Định lý 3.17. Cho f là hàm chính thường. Lúc đó, f lồi đóng khi và chỉ khi f = ∨ ϕ∈A(f) ϕ. Hệ quả 3.6. Cho f là hàm chính thường, thuần nhất dương. Lúc đó, f lồi đóng khi và chỉ khi f = ∨ ϕ∈L(f) ϕ. Hệ quả 3.7. Cho f : X → R. Lúc đó, cof = ∨ ϕ∈A(f) ϕ. Hệ quả 3.8. Cho f là hàm lồi, đóng, chính thường trên X. Lúc đó, tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho hàm g(x) := 〈x∗, x〉 − f(x) bị chặn trên. 28 3.3.2. Hàm liên hợp. Cho hàm f : X → R. Ta gọi hàm f ∗ : X∗ → R được xác định như sau là hàm liên hợp (hay biến đổi Fenchel - Moreau) của f : f ∗(x∗) := sup{〈x∗, x〉 − f(x) | x ∈ X} = sup{〈x∗, x〉 − f(x) | x ∈ dom f}. Ví dụ 3.1. Với f(x) = 〈x∗0, x〉+ α; x ∈ X, ta có f ∗(x∗) = { −α; x∗ = x∗0, +∞; x∗ 6= x∗0. Với tôpô σ(X∗, X), thì đối ngẫu của X∗ chính là X. Do đó, nếu g : X∗ → R là một hàm trên X∗ thì ta cũng có định nghĩa hàm liên hợp của g là hàm g∗ : X → R xác định bởi g∗(x) := sup{〈x∗, x〉 − g(x∗) | x∗ ∈ X∗} = sup{〈x∗, x〉 − g(x∗) | x∗ ∈ dom g}. Ta ký hiệu f ∗∗ := (f ∗)∗ và gọi là hàm liên hợp bậc hai của f . Ví dụ 3.2. Cho ∅ 6= C ⊂ X. Lúc đó (δC) ∗(x∗) = sup x∈C 〈x∗, x〉 = σC(x∗). Nói cách khác, liên hợp của hàm chỉ là hàm tựa. Ngược lại, nếu C lồi đóng thì ta cũng có (σC) ∗ = δC . Vậy, nếu C lồi đóng thì δ∗∗C = δC . Mệnh đề 3.18. a) f ∗(x∗) + f(x) ≥ 〈x∗, x〉 với mọi x∗ ∈ X∗, x ∈ X. b) f ∗∗ ≤ f . c) f ∗ là hàm lồi đóng trên X∗. Hệ quả 3.9. f ∗∗ ≤ cof. Mệnh đề 3.19. Nếu f lồi, đóng, chính thường thì f ∗ cũng vậy. Định lý 3.20 (Fenchel-Moreau). Cho f : X → (−∞,+∞]. Lúc đó, f = f ∗∗ khi và chỉ khi f lồi, đóng. Hệ quả 3.10. Giả sử cof chính thường. Lúc đó, cof = f ∗∗; (cof)∗ = f ∗. 29 3.4. Dưới vi phân hàm lồi. 3.4.1. Định nghĩa. Trong mục này ta luôn giả thiết f : X → R là một hàm lồi chính thường và f(x0) < ∞. Một phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới gradient của hàm f tại x0 nếu f(x) ≥ f(x0) + 〈x∗, x− x0〉; ∀x ∈ X. Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là hàm affine φ(x) := f(x0) + 〈x∗, x− x0〉; x ∈ X có đồ thị là một siêu phẳng nằm dưới epi f và tựa vào epi f tại điểm (x0, f(x0)). Mệnh đề 3.21. Ba phát biểu sau là tương đương: a) x∗ là dưới gradient của f tại x0, b) f(x0) + f ∗(x∗) = 〈x∗, x0〉, c) (x∗,−1) ∈ Nepi f (x0, f(x0)). Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại điểm đó và được ký hiệu là ∂f(x0). Vậy, ∂f(x0) = {x∗ ∈ X∗ | f(x)− f(x0) ≥ 〈x∗, x− x0〉; ∀x ∈ X}. Nếu ∂f(x0) là tập khác rỗng ta nói f khả dưới vi phân tại x0. Từ Hệ quả 2.6 ta nhận được kết quả sau Định lý 3.22. Nếu f lồi, chính thường và liên tục tại một điểm nào đó, thì tại mọi điểm x0 ∈ Int(dom f), ∂f(x0) là tập lồi, compact yếu*, khác rỗng. Ví dụ 3.3. Nếu f là hàm affine liên tục: f(x) = 〈x∗, x〉+α, thì ∂f(x0) = x∗ với mọi x0 ∈ X. Nếu f là hàm chỉ của tập lồi C: f(x) = δC(x), thì ∂δC(x0) = {x∗ ∈ X∗ | 〈x∗, x− x0〉 ≤ 0; ∀x ∈ C} = NC(x0). Nếu f là hàm chuẩn trong không gian định chuẩn X: f(x) = ‖x‖, thì ∂f(x0) = { {x∗ | ‖x∗‖ = 1, 〈x∗, x0〉 = ‖x0‖}; x0 6= 0, {x∗ | ‖x∗‖ ≤ 1}; x0 = 0. 30 3.4.2. Quan hệ với đạo hàm theo hướng. Cho hàm f : X → R và x0 ∈ X sao cho f(x0) ∈ R. Với mỗi vectơ d ∈ X, ta định nghĩa đạo hàm của f theo hướng d là giới hạn sau, nếu nó tồn tại, hữu hạn hoặc vô hạn: f ′(x0; d) := lim λ→0+ f(x0 + λd)− f(x0) λ . Ví dụ 3.4. Cho f, g : R→ R, xác định bởi f(x) = { x sin 1 x ; x > 0, 0; x ≤ 0; g(x) = 3 √ x; x ∈ R. Lúc đó, f ′(0; 1) không tồn tại, f ′(0;−1) = 0, g′(0; 1) = +∞, g′(0;−1) = −∞. Qua ví dụ này ta thấy đạo hàm theo hướng có thể tồn tại hoặc không, tuỳ theo từng trường hợp. Tuy vậy, nếu f là hàm lồi thì đạo hàm của nó theo mọi hướng luôn luôn tồn tại. Điều đó được khẳng định trong định lý sau đây Định lý 3.23. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X và x0 ∈ dom f . Với mỗi d ∈ X, ta có a) Hàm số sau ϕd(λ) := f(x0 + λd)− f(x0) λ ; λ ∈ (0,+∞) không giảm trên khoảng (0,+∞). b) Đạo hàm của f theo hướng d tồn tại và f ′(x0; d) = inf λ>0 ϕd(λ). c) f(x0 + d)− f(x0) ≥ f ′(x0; d), với mọi d ∈ X. Định lý 3.24. Cho f là hàm lồi chính thường trên X và x0 ∈ dom f . a) f ′(x0; ·) là hàm lồi thuần nhất trên X. b) Nếu x0 ∈ Int dom f thì hàm f ′(x0; d) hữu hạn với mọi d ∈ X. c) Nếu f liên tục tại x0 thì f ′(x0; d) hữu hạn và liên tục tại mọi d ∈ X. Bổ đề 3.2. Cho g : X → R thuần nhất dương. Lúc đó a) Nếu g liên tục tại v ∈ X thì g cũng liên tục tại mọi điểm λv với λ > 0. b) Nếu g liên tục trong một lân cận của 0 thì g liên tục (tại mọi điểm). 31 Mệnh đề 3.25. Nếu f là hàm lồi chính thường thì tại mọi điểm x0 ∈ dom f ta có ∂f(x0) = ∂f ′(x0; ·)(0) = dom(f ′(x0; ·))∗. Hơn nữa, ∂f(x0) 6= ∅ khi và chỉ khi f ′(x0; ·) nửa liên tục dưới tại gốc, khi ấy f ′(x0; d) = sup{〈x∗, d〉 | x∗ ∈ ∂f(x0)}. Hệ quả 3.11. Nếu một hàm lồi f liên tục tại x0 thì f ′(x0; d) = max{〈x∗, d〉 | x∗ ∈ ∂f(x0)}. Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại x0 ∈ X nếu tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho lim λ→0 f(x0 + λd)− f(x0) λ = 〈x∗, d〉; ∀d ∈ X. Phiếm hàm f ′G(x0) = x ∗ như trên, nếu có, là duy nhất và được gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại x0. Định lý 3.26. Nếu một hàm lồi f liên tục tại x0 và có tập ∂f(x0) chỉ gồm một phần tử {x∗}, thì f khả vi Gâteaux tại x0 và f ′G(x0) = x ∗. Ngược lại, nếu f lồi, khả vi Gâteaux tại x0 thì ∂f(x0) = {f ′G(x0)}. 3.4.3. Các phép toán qua dưới vi phân. Mệnh đề 3.27. Cho f là hàm lồi chính thường trên X và λ > 0. Lúc đó ∂(λf)(x) = λ ∂f(x); ∀x ∈ dom f. Định lý 3.28 (Moreau-Rockafellar). Nếu f1, f2, · · · , fm là các hàm lồi chính thường trên X thì ∂(f1 + f2 + · · ·+ fm)(x) ⊃ ∂f1(x) + ∂f2(x) + · · ·+ ∂fm(x); ∀x ∈ ∩ dom fi. Nếu tồn tại một điểm x1 ∈ ∩ dom fi tại đó có đến m− 1 hàm fi liên tục, thì ∂(f1 + f2 + · · ·+ fm)(x) = ∂f1(x) + ∂f2(x) + · · ·+ ∂fm(x); ∀x ∈ ∩ dom fi. Cho f1, f2, · · · , fm là các hàm lồi trên X và f = ∨fi. Với mỗi x0 ∈ X ta ký hiệu I(x0) = {i ∈ {1, 2, · · · ,m} | fi(x0) = f(x0)}. Mệnh đề sau cho ta công thức tính dưới vi phân của hàm f tại x0. 32 Định lý 3.29. Với mọi x0 ∈ X ta có ∂f(x0) ⊃ co ⋃ i∈I(x0) ∂fi(x0). Nếu các hàm f1, f2, · · · , fm đều liên tục tại x0 thì ∂f(x0) = co ⋃ i∈I(x0) ∂fi(x0). Bây giờ cho {fi | i ∈ I}, với I là tập tuỳ ý, là một họ các hàm lồi trên X. Đặt f = ∨ i∈I fi và với mỗi x0 ∈ X : I(x0) = {i ∈ I | fi(x0) = f(x0)}. Định lý 3.30. Với mọi x0 ∈ X ta có ∂f(x0) ⊃ co ⋃ i∈I(x0) ∂fi(x0). Nếu I là không gian tôpô compact, hàm f(i, x) = fi(x) nửa liên tục trên, theo biến i, trên I và các hàm fi, i ∈ I, đều liên tục tại x0, thì ∂f(x0) = co ⋃ i∈I(x0) ∂fi(x0). Hệ quả 3.12. Cho I là không gian tôpô compact và f(i, x) : I × Rn → R là hàm nửa liên tục trên theo biến i, lồi và liên tục theo biến x. Ký hiệu fi(x), f(x) và I(x0) tương tự như định lý trên. Lúc đó, với mọi y∗ ∈ ∂f(x0) tồn tại i1, i2, · · · , ik ∈ I(x0) với k ≤ n + 1 sao cho y∗ = k∑ j=1 αjy ∗ j , với αj ≥ 0, y∗j ∈ ∂fij(x0); 1 ≤ j ≤ k : k∑ j=1 αj = 1. 3.4.4. Ứng dụng khảo sát bài toán Quy hoạch lồi. Cho f là một hàm lồi chính thường trên X và C là một tập con lồi khác rỗng của X. Ta quan tâm đến bài toán quy hoạch lồi sau đây P(C; f) : { f(x) → min, x ∈ C. Một điểm x0 ∈ C được gọi là điểm cực tiểu của hàm f trên C, hay là một nghiệm của Bài toán P(C; f), nếu f(x0) ≤ f(x); ∀x ∈ C. 33 C được gọi là tập chấp nhận được còn f là hàm mục tiêu của bài toán. Khi C = X, ta gọi đó là bài toán không có ràng buộc và viết một cách đơn giản là P(f). Kết quả sau là một mở rộng của Định lý Fermat trong giải tích cổ điển. Mệnh đề 3.31. Một điểm x0 ∈ X là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi P(f) khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f(x0). Trong trường hợp tổng quát ta có kết quả sau Định lý 3.32. Cho x0 ∈ C, a) Nếu ∂f(x0) ∩ (−NC(x0)) 6= ∅, thì x0 là nghiệm của Bài toán P(C; f). b) Ngược lại nếu x0 là nghiệm của Bài toán P(C; f) và f liên tục tại một điểm x ∈ C, thì ∂f(x0) ∩ (−NC(x0)) 6= ∅. Trường hợp C là một đa tạp affine song song với một không gian con V thì NC(x0) = V ⊥ tại một điểm bất kỳ x0 ∈ C. Vì vậy, ta có hệ quả sau Hệ quả 3.13. Nếu C là một đa tạp affine song song với không gian con V trong X và f liên tục tại một điểm x ∈ C, thì một điểm x0 ∈ C là nghiệm của bài toán P(C; f), khi và chỉ khi ∂f(x0) ∩ V ⊥ 6= ∅. Đặc biệt nếu C là đa tạp affine có đối chiều hữu hạn được cho bởi C = {x ∈ X | 〈x∗i , x〉 = αi; 1 ≤ i ≤ m} 6= ∅, (3.1) trong đó, x∗i ∈ X∗ và αi ∈ R, thì NC(x0) = span{x∗1, x∗2, · · · , x∗m}. Vì vậy, ta có hệ quả sau Hệ quả 3.14. Giả sử C được cho bởi (3.1) và f liên tục tại một điểm x ∈ C. Lúc đó, một điểm x0 ∈ C là nghiệm của bài toán P(C; f) khi và chỉ khi tồn tại các số thực λi ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, sao cho ∑ λix ∗ i ∈ ∂f(x0).